课时规范练57　求值、证明、探究性问题--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练57　求值、证明、探究性问题
(分值:62分)
1.(15分)(2025·浙江杭州质检)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2,点D(p,0),过F的直线交Γ于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为A1,B1,直线A1D,B1D与直线AB分别交于点M,N.
(1)求Γ的方程;
(2)记M,N的纵坐标分别为yM,yN,当=1时,求直线AB的斜率;
(3)设E为x轴上一点,记k1,k2分别为直线ME,ND的斜率,若为定值,求点E的坐标.
2.(15分)(2025·浙江一模)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线C上点M(2,y0)满足|MF|=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设点D(-1,0),过D作直线l交抛物线C于A,B两点,证明:x=1是∠AFB的平分线.
3.(15分)(2025·江苏苏锡常镇二模)已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,且经过点(3,),F1,F2是E的左、右焦点.
(1)求E的标准方程;
(2)过F2的直线与E交于P,Q两点,若△F1PQ的内切圆半径为r,r=|PQ|,求|F2P|·|F2Q|的值.
4.(17分)(2025·江苏苏锡常镇一模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点A到其渐近线的距离为,点B(2,1)在C的渐近线上,过B的直线l与C交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若△APQ的面积为,求l的方程;
(3)证明:线段MN的中点为定点.
参考答案
1.解 (1)由题意知p=2,所以抛物线Γ的方程为y2=4x.
(2)设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),则A1(-1,y1),B1(-1,y2),D(2,0).
联立得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.所以直线A1D的方程为y=-(x-2),与直线AB的方程x=my+1联立,解得yM=,同理yN=
所以=2m+=-m=1,所以m=-1,所以直线AB的斜率为=-1.
(3)设E(t,0),因为
因为y1+y2=4m,y1y2=-4,所以,当t=时,=2为定值,所以E(,0).
2.(1)解 由|MF|=xM+=3,可得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明 根据题意,直线AB斜率不为0,设其方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得y2-4my+4=0,
由Δ=16m2-16>0,可得m>1或m<-1,
y1+y2=4m,y1y2=4.
则kFA+kFB=
=
=
=
==0,
即直线FA与直线FB的倾斜角互补,
所以x=1是∠AFB的平分线.
3.解 (1)由椭圆的离心率为,可设a=5t,b=4t,c=3t(t>0),因为点(3,)在椭圆E上,所以=1,解得t=1,故椭圆E的方程为=1.
(2)设直线PQ:x=my+3,代入椭圆方程得(16m2+25)y2+96my-256=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),16m2+25≠0,Δ=(96m)2-4×256(16m2+25)>0,则y1+y2=-,y1y2=-,
则有|PQ|=|y1-y2|.
设S,C分别为△F1PQ的面积与周长,则S=Cr,即r=注意到C=4a=20,S=|F1F2|·|y1-y2|=3|y1-y2|,故r=|y1-y2|.
由|PQ|=10r,可得|y1-y2|=3|y1-y2|m2=2.
注意到P,Q,F2三点共线,故|F2P|·|F2Q|=||,=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(m2+1)y1y2=(m2+1)=-,故|F2P|·|F2Q|=
4.(1)解 因为C的一条渐近线方程为bx-ay=0,A(a,0),则点A到该渐近线的距离d=,由渐近线过点B(2,1)得2b-a=0,解得a=2,b=1,所以双曲线C的方程为-y2=1.①
(2)解 如图,显然直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-2)+1,②
联立①②得(-k2)x2-(2k-4k2)x-4k2+4k-2=0,则有-k2≠0,③
Δ=(2k-4k2)2-4(-k2)(-4k2+4k-2)=2-4k>0.④
则k<且k≠-
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,⑤
x1x2=,⑥
把⑤⑥代入得|x2-x1|=,所以S△APQ=AB·|x2-x1|=1,整理得(k+1)(4k2-2k+1)=0,解得k=-1,满足③④式,则直线l的方程为x+y-3=0.
(3)证明 (方法一)由(2)知,直线AP:y=(x-2),令x=0,得yM=,直线AQ:y=(x-2),
同理得yN=,将⑤⑥代入得(yM+yN)==-(k++k+)=-[2k+]=-1.则线段MN的中点为定点(0,-1).
(方法二)设M(0,m),N(0,n),不妨设m>n,则直线AM:y=-(x-2).⑦
联立①⑦得(1-m2)x2+4m2x-4m2-4=0,易知1-m2≠0,则Δ=(4m2)2+4(1-m2)(4m2+4)=16,xAxP=,则xP=,yP=同理得xQ=,yQ=而=(2-,1+)=(),=(2-,1+)=().又P,B,Q三点共线,所以,则,得(m-n)(m+n+2)=0,所以m+n+2=0,所以线段MN的中点为定点(0,-1).
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