课时规范练59　用样本估计总体--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练59　用样本估计总体
(分值:83分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·河北秦皇岛三模)数据16,22,13,14,25,17,18,19,21,10的第70百分位数是(　　)
A.18 B.19 C.20 D.21
2.(2025·上海普陀二模)某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛,他们在预赛中所得的积分互不相同,只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后,要判断自己能否进入决赛,则他只需要知道这19位同学的预赛积分的(　　)
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
3.(2025·山西晋中三模)下列频率分布直方图中,平均数大于中位数的是(　　)
A. B.
C. D.
4.(2025·陕西安康模拟)有一组样本数据x1,x2,…,xn,其平均数为,方差为,若样本数据-x1+1,-x2+1,…,-xn+1的平均数为,方差为,则(　　)
A.-1 B.
C. D.
5.(2022·全国甲,理2,文2)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图,则(　　)
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
6.(2025·辽宁大连模拟)已知甲、乙两组数据如表所示,则下列结论中表述正确的是(　　)
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 82 83 81 82 76 91 83 88 89 93
乙 68 80 88 72 89 88 95 74 90 71
A.甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B.甲组数据的方差小于乙组数据的方差
C.甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
D.甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数
7.(多选题)(2025·福建厦门模拟)设x1,x2,…,xn的极差为X,平均数为,中位数为m,标准差为s,yi=axi+b(i=1,2,…,n),其中a,b∈R,y1,y2,…,yn的极差为Y,平均数为,中位数为p,标准差为t,则(　　)
A.Y=aX+b B.=a+b
C.p=am+b D.t=as+b
8.(多选题)(2025·四川绵阳模拟)为弘扬中华优秀传统文化,树立正确的价值导向,落实立德树人的根本任务,某校组织全体高一年级学生进行古典诗词知识测试,从中随机抽取100名学生,记录他们的分数,整理得到频率分布直方图如图(各组区间除最后一组为闭区间外,其余各组均为左闭右开区间),则以下说法正确的是(　　)
A.a=0.025
B.估计此次测试学生分数的众数为95
C.估计此次测试学生分数的中位数为90
D.估计此次测试学生分数的下四分位数为85
9.下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的有　　　　　.
①x1,x2,…,xn的标准差;
②x1,x2,…,xn的中位数;
③x1,x2,…,xn的极差;
④x1,x2,…,xn的平均数.
10.(2025·河南安阳一模)某学校统计了所有在职教师(只有一级教师和高级教师)的工资情况,其中一级教师80人,平均工资为4.5千元,方差为0.04,高级教师20人,平均工资为6.5千元,方差为0.44,则该校所有在职教师工资的方差为　　　　　.
综 合 提升练
11.(多选题)(2025·重庆沙坪坝模拟)甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示,则(　　)
甲、乙得分折线图
A.甲得分的极差大于乙得分的极差
B.甲得分的方差小于乙得分的方差
C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D.甲得分的平均数大于乙得分的平均数
12.(2025·辽宁鞍山二模)已知互不相等的数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,t的平均数为t,方差为,数据x1,x2,x3,x4,x5,x6的方差为,则(　　)
A.
B.
C.
D.的大小关系无法判断
13.某校积极开展“武术进校园”活动,为了解该校各班参加武术兴趣小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为5,极差不大于6,且样本数据互不相等,则该样本数据的方差的最大值为　　　　　.
创 新 应用练
14.(15分)某中学举办校园诗词大赛,评委对参赛选手的表现进行打分.现随机抽取了40名选手的成绩,并分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),第三组[70,80),第四组[80,90),第五组[90,100],绘制成如图所示频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)估计这40名选手成绩的平均数和第95百分位数(同组中数据用该组区间中点值作代表);
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.若第二组选手成绩的平均数和方差分别为65和30,第五组选手成绩的平均数和方差分别为95和40,请据此估计第二组和第五组所有选手成绩的方差.
参考答案
1.C　解析 将给定数据由小到大排列为10,13,14,16,17,18,19,21,22,25,由10×70%=7,得第70百分位数是=20.故选C.
2.C　解析 因为19位同学的积分,中位数是第10名,所以知道中位数即可判断积分是否在前10.故选C.
3.D　解析 根据拖尾效应,对于选项A和B,根据频率分布直方图关于中线对称,所以平均数等于中位数,所以A和B错误;
对于选项C,根据频率分布直方图左拖尾,易得平均数小于中位数,所以C错误;
对于选项D,根据频率分布直方图右拖尾,易得平均数大于中位数,所以D正确.
故选D.
4.C　解析 根据样本数据平均数公式可知,=-+1,方差=(-1)2故选C.
5.B　解析 对于A,中位数为(70%+75%)÷2=72.5%>70%,A错误;对于B,平均数为89.5%>85%,B正确;对于C,从图中可以看出,讲座前问卷答题的正确率的波动幅度要大于讲座后问卷答题的正确率的波动幅度,故C错误;对于D,讲座后问卷答题的正确率的极差为20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为35%,D错误.故选B.
6.B　解析 将甲组数据从小到大排序为76,81,82,82,83,83,88,89,91,93,
极差为93-76=17,中位数为=83,平均数为
=84.8,
方差=24.76,
乙组数据从小到大排序为68,71,72,74,80,88,88,89,90,95,极差为95-68=27,中位数为=84,平均数为=81.5,
方差=83.65,甲组数据的极差小于乙组数据的极差,A错误;甲组数据的方差小于乙组数据的方差,B正确;甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数,C错误;甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数,D错误.故选B.
7.BC　解析 不妨设x1≤x2≤…≤xn,则知Y=|a|·X,故A错误;t=|a|s,D错误;
由平均数、中位数定义可知=a+b,p=ma+b,B,C正确.故选BC.
8.ABD　解析 对于A,由10×(0.006+0.009+0.02+0.032+a+0.008)=1得a=0.025,所以A正确;对于B,因众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标,故众数是95,B正确;对于C,由于90左边的频率是0.35,中位数不可能为90,所以C错误;对于D,由第25百分位数就是下四分位数,根据直方图,易知85左边的频率是0.25,所以D正确.故选ABD.
9.①③　解析 平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势,一般地,对数值型数据集中趋势的描述,可以用平均数和中位数,对分类型数据集中趋势的描述,可以用众数.方差、标准差和极差均是度量样本数据离散程度的数字特征.故填①③.
10.0.76　解析 设一级教师的平均工资和方差为,高级教师的平均工资和方差为,因一级教师的占比ω1=,高级教师的占比ω2=,则该校所有在职教师的平均工资为=ω1+ω24.5+6.5=4.9,则该校所有在职教师工资的方差为s2=ω1[]+ω2[]=[0.04+(4.5-4.9)2]+[0.44+(6.5-4.9)2]=0.76.
11.BCD　解析 对于A,甲5场比赛得分由低到高排序为15,16,18,21,30,乙5场比赛得分由低到高排序为5,10,16,22,38,则甲得分的极差为30-15=15,乙得分的极差为38-5=33,故甲得分的极差小于乙得分的极差,故A错误;对于D,甲得分的平均数=20,乙得分的平均数=18.2,则甲得分的平均数大于乙得分的平均数,故D正确;对于C,甲得分的中位数为18,乙得分的中位数为16,则甲得分的中位数大于乙得分的中位数,故C正确;
对于B,甲得分的方差为
=29.2,
乙得分的方差为
=130.56,
故甲得分的方差小于乙得分的方差,故B正确.故选BCD.
12.C　解析 根据已知条件第一组数据的个数为7,且=t,
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=6t,
=
=,
第二组数据的个数为6,且平均数=t,
=
因为>0,所以故选C.
13　解析 不妨设这5个班级的样本数据分别为a,b,c,d,e(a依题意有a+b+c+d+e=25,易知e≥d+1≥c+2≥b+3≥a+4,所以5a+10≤a+b+c+d+e≤5e-10,则e≥7,a≤3,又e-a≤6,所以a,b,c,d,e的值可能有如下三种情况,
2,3,5,7,8,则均值为5,方差为[(2-5)2+(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(8-5)2]=;
2,4,5,6,8,则均值为5,方差为[(2-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(8-5)2]=4;
3,4,5,6,7,则均值为5,方差为[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]=2;
所以2,3,5,7,8的方差最大,为
14.解 (1)因为(0.005+0.02+a+0.03+0.01)×10=1,所以a=0.035.
(2)40名选手成绩的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77.
因为前4组的频率和为0.05+0.2+0.35+0.3=0.9<0.95,前5组的频率和为1>0.95,
所以第95百分位数位于[90,100]内,设其为x,则0.9+0.01(x-90)=0.95,解得x=95,即第95百分位数为95.
(3)设第二组、第五组选手成绩的平均数、方差分别为=65,=95,=30,=40,且从第二组选取的人数为20×0.2=4,从第五组选取的人数为20×0.1=2,
则第二组和第五组所有选手的成绩平均数为=75,
第二组和第五组所有选手成绩的方差为s2=]+]=[30+(65-75)2]+[40+(95-75)2]=,
所以第二组和第五组所有选手成绩的方差为
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