课时规范练61　计数原理、排列与组合--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练61　计数原理、排列与组合
(分值:82分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·安徽淮北模拟)在全球高铁技术竞争中,中国站到了前沿,全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验,预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京,已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张,一等座10张,商务座5张,则小张的购票方案种数为(　　)
A.14 B.19
C.90 D.200
2.为提升学生的数学素养,某中学开设了“数学史”“数学建模”“古今数学思想”“数学探究”“先修课程微积分学习指导”五门选修课程,要求每位同学每学年至多选四门,高一到高二两学年必须将五门选修课程选完,则每位同学不同的选修方法数为(　　)
A.30 B.20
C.15 D.10
3.(2025·浙江绍兴模拟)某班一天上午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、心理6堂课的课程表,要求数学课排在上午,体育课排在下午,不同排法总数是(　　)
A.192 B.144
C.124 D.216
4.(2025·广东惠州一模)某市马拉松赛事期间,组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点,每个服务点1人.已知甲不能安排在物资分发服务点,则不同的安排方法共有(　　)
A.9种 B.12种
C.15种 D.18种
5.(2025·湖北恩施模拟)某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出二十四节气宣传橱窗,其中“雨水”“惊蛰”“谷雨”“芒种”“白露”“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里,要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻,且“白露”与“寒露”两块展板不相邻,则不同放置方式的种数为(　　)
A.144 B.240
C.336 D.456
6.(2025·福建福州期末)某学术协会收到5篇论文,需要分配给3名专家进行评审,每名专家至少评审1篇,每篇论文由1名专家独立评审,则不同的分配方式共有(　　)
A.60种 B.90种
C.120种 D.150种
7.(多选题)(2025·安徽马鞍山模拟)某班有10名同学,现在选出3名去参加歌唱比赛,则不同的选法种数为(　　)
A. B.
C. D.+2
8.(多选题)为传承红色文化,宣扬爱国精神,某中学国旗队在高一年级招收新成员,现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练,则下列说法正确的是(　　)
A.7名同学站成一排,小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位,则不同的站法种数为840
B.7名同学站成一排,小明、小红两人相邻,则不同的排法种数为720
C.7名同学站成一排,小明、小红两人不相邻,则不同的排法种数为480
D.7名同学分成三组(每组至少有两人),进行三种不同的训练,则有630种不同的训练方法
9.(2025·陕西西安模拟)从A,B,C,D,E这5人中选出4人,安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上,如果A不能安排在甲岗位上,则不同的安排方法有　　　　种.
10.(2025·广东茂名模拟)如图,现要用5种不同的颜色对4个区域进行着色,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色,共有　　　　　种不同的着色方法.
综 合 提升练
11.(2025·山东济南模拟)由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架,一只蚂蚁从点P出发,沿木棍爬行到点Q的最短路径有(　　)
A.15种 B.30种
C.48种 D.60种
12.(2025·安徽合肥三模)某面包店一天下班后要将所剩6个不同款式的面包分给小明、小红、小强三个员工,要求每个员工都能拿到面包,则小明最终拿到偶数个面包的情况有(　　)
A.180种 B.210种
C.240种 D.360种
13.(2026·重庆江北模拟)由1,2,3,4,5,6,7,8组成一个没有重复数字的八位数,任何相邻两个数字的奇偶性不同,且满足3和4相邻,则这样的八位数有(　　)
A.432个 B.257个
C.216个 D.504个
14.(2025·河南濮阳期末)将8块颜色各不相同的箭头形积木按如图的方式,首尾相连拼接成一个圆环,若任意调换积木的顺序,但其中红色和黄色两块积木必须相邻,则可以拼成的不同圆环有　　　　种.(用数字作答)
创 新 应用练
15.算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五,梁下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.例如在十位档拨一颗上珠和一颗下珠,个位档拨一颗上珠,表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠,再随机选择其中两个档位各拨一颗下珠,则所拨数字大于200的共有　　　　种.
16.(2025·辽宁锦州期末)如图,左边是编号为1,2,3,4的A型钢板,右边是编号为甲、乙、丙的B型钢板,现将两堆钢板自上而下地混合堆放在一起,则B型钢板均不相邻的放法共　　　种,乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等的放法共　　　　种.(用数字作答)
参考答案
1.B　解析 按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为4+10+5=19.故选B.
2.A　解析 由题意,每门选修课程被安排到高一到高二两学年都有2种安排方法,共有25=32(种)安排方法,其中五门选修课程安排到同一学年的情况有2种,则每位同学不同的选修方式为32-2=30(种).故选A.
3.A　解析 数学课排在上午有=4(种),体育课排在下午有=2(种),剩下的语文、政治、英语、心理4堂课有=24(种),所以不同的排法共有4×2×24=192(种).故选A.
4.D　解析 运用分类加法计数原理,若甲不入选,有=6(种)安排方法;
若甲入选,则有=12(种)安排方法,所以共有6+12=18(种)不同的安排方法.故选D.
5.C　解析 根据题意,第一步,让“雨水”和“谷雨”不相邻,不同放置方式种数为;
第二步,让“雨水”和“谷雨”不相邻且“白露”和“寒露”相邻,不同放置方式种数为
所以不同放置方式种数为=336.故选C.
6.D　解析 先将5篇论文分成3组且每组至少一篇,只有两种分组方法:3,1,1和2,2,1.
若5篇论文分成3,1,1三份,有=10(种)方法,再将这三份论文分配给3名专家,因此总计=60(种)方法;
若5篇论文分成2,2,1三份,有=15(种)方法,再将这三份论文分配给3名专家,因此总计15=90(种)方法.因此总计60+90=150(种)分配方式.故选D.
7.ACD　解析 从10名同学选出3名去参加歌唱比赛,则不同的选法种数为,故A正确,B错误;
从10名同学选出3名去参加歌唱比赛,根据甲同学入选与否可得不同的选法种数为,从10名同学选出3名去参加歌唱比赛,根据甲乙两名同学入选与否可得不同的选法种数为,故C,D正确.故选ACD.
8.AD　解析 对于A,先从7个位置中选3个排小明等3人,有=35(种)方法,随后排列剩下4人,有=4!=24(种)方法,则共有35×24=840(种)方法,故A正确;
对于B,将小明、小红两人捆绑为1人,有2种排列方法,随后与剩下5人一起排列,有=6!=720(种)方法,则共有720×2=1 440(种)方法,故B错误;
对于C,先排剩下5人,有=5!=120(种)方法,再将小明、小红排进5人产生的6个空隙中,有=6×5=30(种)方法,则共有30×120=3 600(种)方法,故C错误;
对于D,由题分组情况为2,2,3,则有=105(种)方法,随后安排训练,有=3!=6(种)方法,则共有105×6=630(种)方法,故D正确.
故选AD.
9.96　解析 由题意可知,根据A是否入选进行分类,若A入选,则先给A从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位,有3种,再给剩下3个岗位安排人,有=24(种),共有3×24=72(种)方法;
若A不入选,则4个人4个岗位全排,有=24(种)方法.所以共有72+24=96(种)不同的安排方法.
10.180　解析 先排Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ共有=60(种),再排Ⅳ有=3(种),故不同的着色方法数为60×3=180.
11.D　解析 根据题意,一只蚂蚁从点P出发,沿木棍爬行到点Q,要使得爬行的距离最短,则需要向右爬3格,向前爬2格,向上爬1格,共计6步,则爬行的路径共有=60(种).故选D.
12.C　解析 若小明拿到2个面包,则有()=15×14=210(种)情况;若小明拿到4个面包,则有=30(种)情况.故小明最终拿到偶数个面包的情况有210+30=240(种).故选C.
13.D　解析 第一步,排1,5,7三个数,有=6(种)不同的排法;
第二步,排2,6,8三个数,有=12(种)不同的排法;
第三步,将3和4作为一个整体插入,有=7(种)不同的排法.
根据分步乘法计数原理,组成的不同的八位数共有6×12×7=504(个).
故选D.
14.1 440　解析 将红色和黄色两块积木捆绑并放在圆环某一固定位置上,有=2(种)排法,将其余六块依次放入余下六个位置,共有=720(种)排法,故可以拼成的不同圆环有2×720=1 440(种)排法.
15.18　解析 若上珠拨的是千位档或百位档,则所拨数字一定大于200,有=12(种);
若上珠拨的是个位档或十位档,则下珠一定要拨千位,再从个、十、百里选一个下珠,有=6(种),则所拨数字大于200的共有12+6=18(种).
16.1 440　336　解析 若B型钢板均不相邻,先将A型钢板任意排列,然后将B型钢板插入A型钢板形成的5个空位中的3个空位,由插空法可知,B型钢板均不相邻的放法种数为=24×60=1 440;
若乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等,则乙号钢板上方的A型钢板为1,4号或2,3号,此时不同的放法种数为=8,然后再放置甲、丙号钢板,分两种情况讨论,若甲、丙号钢板相邻,则将甲、丙号钢板捆绑,插入其余5块钢板形成的6个空位中的1个空位,此时,不同的放法种数为=12;若甲、丙号钢板不相邻,则将甲、丙号钢板插入其余5块钢板形成的6个空位中的2个空位中,此时,不同的放法种数为=30.
综上所述,乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等的放法种数为8×(12+30)=336.
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