课时规范练62　二项式定理--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练62　二项式定理
(分值:113分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2024·北京,4)的二项展开式中x3的系数为(　　)
A.15 B.6 C.-4 D.-13
2.(2025·江苏泰州模拟)(x-)n(n∈N*)的展开式中二项式系数的和为64,则展开式中的常数项为(　　)
A.8 B.12
C.15 D.-20
3.(2025·四川广安模拟)已知(1+ax)(x-2)5的展开式中x3的系数为-80,则实数a的值为(　　)
A. B.2 C.1 D.-
4.(2025·江苏徐州模拟)已知(1+x)n的展开式中第2项与第5项的系数相等,则偶数项的二项式系数和为(　　)
A.8 B.16 C.32 D.64
5.(2025·山东青岛模拟)将展开成按x的降幂排列的多项式,则展开式中第2项的系数为(　　)
A.50 B.-50
C.-10 D.10
6.(2025·江西新余模拟)已知(2x+3)n的展开式中各项二项式系数和为256,(x-a)n=b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+b8(x+1)8,b5=448,则实数a=(　　)
A.-3 B.-2 C.-1 D.1
7.(多选题)(2025·江西赣州二模)设(x-1)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则(　　)
A.a0=1
B.a1+a2+…+a9=1
C.a4+a5=0
D.a1+a3+a5+a7+a9=256
8.(多选题)(2025·山东济南三模)在(2x-)6的展开式中,下列说法正确的是(　　)
A.常数项为120
B.各二项式系数的和为64
C.各项系数的和为1
D.各二项式系数的最大值为240
9.(2025·北京,12)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0=　　　　;a1+a2+a3+a4=　　　　.
10.(13分)已知(5x-)n(n∈N*)的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240.
(1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中的有理项.
综 合 提升练
11.(2025·云南昭通模拟)在(x2+)n(n∈N*)的展开式中,二项式系数的最大值为20,则系数的最大值为(　　)
A.729 B.1 243 C.1 458 D.2 187
12.(2025·广东珠海模拟)已知=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2nx2n,若|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2n|=4 096,则a3=(　　)
A.-640 B.-200
C.-160 D.-40
13.(2025·广东广州三模)若(x-k·+1)(x-y)8的展开式中x4y5的系数为28,则k的值为　　　　.
14.(15分)已知(2x-)n的展开式中,第5项与第3项的系数之比为7∶6.
(1)求n的值;
(2)求展开式中二项式系数最大的项;
(3)若(2x+1)m=a0+a1x+a2x2+…+amxm(m为常数),求-a1+2a2-3a3+…+m(-1)mam的值.
创 新 应用练
15.(多选题)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中,除每行两边的数都是1外,其余每个数都是其“肩上”的两个数之和,例如第4行的6为第3行中两个3的和,则下列说法中正确的是(　　)
A.在“杨辉三角”中,第n行的所有的数字之和为2n
B.在“杨辉三角”第2n行的数中,从左到右第n个数最大
C.在“杨辉三角”中,从第3行开始,取每行的第4个数得到一数列,则该数列前10项之和为
D.记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai,则(ai·an+2-i)的值恰好是第2n行的中间一项的数字
16.(17分)在(n∈N)的展开式中,把xk的系数记作,称为三项式系数.数列,…,称为三项式n次系数列,如三项式0次系数列为1,三项式1次系数列为1,1,1.
(1)试写出三项式的2次和3次系数列;
(2)类比杨辉三角形中的规律,探究三项式系数的规律(不需要给出证明);
(3)写出两个三项式n次系数列的性质(不需要给出证明).
参考答案
1.B　解析 的展开式的通项为Tr+1=x4-r(-1)r(r=0,1,2,3,4),
令4-=3,解得r=2,故展开式中x3的系数为(-1)2=6.故选B.
2.C　解析 由题可知2n=64,得n=6,展开式的通项公式为Tr+1=x6-r(-)r=(-1)r,令6-r=0,得r=4,所以常数项为(-1)4=15.故选C.
3.A　解析 (x-2)5的展开式的通项为Tk+1=x5-k·(-2)k=(-2)k·x5-k,k=0,1,2,3,4,5,令5-k=3,得k=2,令5-k=2,得k=3,则(1+ax)(x-2)5的展开式中x3的系数为(-2)2+a(-2)3=-80,解得a=故选A.
4.B　解析 依题意,,解得n=5,所以(1+x)5的展开式偶数项的二项式系数和为24=16.故选B.
5.C　解析 ,其展开式通项为(x-1)10-2r=x10-2r-t·(-1)t,其中0≤r≤5,0≤t≤10-2r,r,t∈N.则展开式最高次项次数为10,则按x的降幂排列,第2项对应次数为9.令10-2r-t=9,当r≥1时,10-2r-t≤8-t≤8不满足题意,则r=0,t=1.则对应系数为(-1)1=-10.故选C.
6.A　解析 由题知,2n=256,解得n=8,(x-a)8=[(x+1)-a-1]8,其展开式的通项公式为Tr+1=(x+1)8-r(-a-1)r,r=0,1,…,8.令8-r=5,得r=3,∴b5=(-a-1)3=448,∴a=-3.故选A.
7.BCD　解析 令x=0,得a0=(0-1)9=-1,故A错误;
令x=1,则a0+a1+a2+…+a9=0,①
又a0=-1,则a1+a2+…+a9=1,故B正确;
(x-1)9的展开式的通项为Tr+1=x9-r(-1)r=(-1)rx9-r,r=0,1,…,9,所以T5=(-1)4x5,T6=(-1)5x4,则a4=,a5=-,所以a4+a5=0,故C正确;
令x=-1,则a0-a1+a2-…-a9=-29,②
①-②得2(a1+a3+…+a9)=29,则a1+a3+a5+a7+a9=28=256,故D正确.故选BCD.
8.BC　解析 (2x-)6的展开式的通项公式为Tr+1=(2x)6-r·(-)r=(-1)r·26-rx6-r=(-1)r26-r,r=0,1,…,6.
令6-=0,得r=4,故常数项为(-1)426-4=4=60,故A错误;
各二项式系数的和为26=64,故B正确;
令x=1,得(2×1-)6=(2-1)6=1,所以各项系数的和为1,故C正确;
因为n=6,所以二项式系数最大的项为第4项,其二项式系数为=20,故D错误.故选BC.
9.1　15　解析 令x=0,则a0=1,令x=-,得16=a0+a1+a2+a3+a4,把a0=1代入上式,得a1+a2+a3+a4=15.
10.解 (1)令x=1,则展开式中各项系数之和为(5-1)n=4n,各二项式系数和为2n,则4n-2n=240,解得n=4,所以(5x-)4的展开式的通项公式为Tr+1=(5x)4-r(-)r=54-r(-1)r,r=0,1,2,3,4,
所以二项式系数最大的项为T3=(5x)2(-)2=150x.
(2)令4-Z,且r=0,1,2,3,4,解得r=0,2,4,则展开式中的有理项有3项,分别为625x4,150x,x-2.
11.C　解析 因为=10,=20,=35,所以n=6.
设展开式的第k项的系数为ak,则ak=3k-1,1≤k≤7.
令k,所以取k=6,得a6=35=1 458.故选C.
12.A　解析 由,其展开式的通项为Tr+1=(-x)r,0≤r≤n,r∈N,由于>0,且的展开式中x的次数均为偶数,所以当r为偶数时,对应项的x的次数为偶数,且对应项的系数大于0,当r为奇数时,对应项的x的次数为奇次,且对应项的系数小于0,所以a0,a2,a4,…,a2n为正数,a1,a3,a5,…,a2n-1为负数,由=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2nx2n,令x=-1,则4n=a0-a1+a2-a3+…+a2n=|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2n|=4 096,则n=6,此时由,其展开式的通项为Tr+1=(-x)r,0≤r≤6,r∈N,而的展开式的通项为Tk+1=2k=2k·x12-2r-2k,0≤k≤6-r,k∈N,要使的展开式中x的次数为3,则r=1,k=4或r=3,k=3,则a3=(-1)124+(-1)323=-640.故选A.
13　解析 (x-y)8的展开式通项公式为Tr+1=x8-r(-y)r=(-1)rx8-ryr,r=0,1,…,8.所以含x4y5的项为x·(-x3y5)+(-)·(-x5y3)=-56x4y5+kx4y5=(-56+56k)x4y5.
因此-56+56k=28,解得k=
14.解 (1)(2x-)n的展开式的通项为Tr+1=(2x)n-r(-)r=(-1)r2n-rxn-2r,0≤r≤n,r∈N.
因为第5项与第3项的系数之比为7∶6,所以,
即n2-5n-50=0,解得n=10或n=-5(舍去),所以n=10.
(2)因为n=10,所以展开式中二项式系数最大的项为T6=(2x)5(-)5=-8 064.
(3)对(2x+1)m=a0+a1x+a2x2+…+amxm两边求导,得2m(2x+1)m-1=a1+2a2x+…+mamxm-1.
令x=-1,得2m(-1)m-1=a1-2a2+…+mam(-1)m-1,
则-a1+2a2-3a3+…+m(-1)mam=2m·(-1)m.
15.ACD　解析 对于A,第n行的所有的数字之和为+…+=2n,故A正确;
对于B,第2n行的数中,从左到右共有2n+1个数,则第n+1个数最大,故B错误;
对于C,从第3行开始,取每行的第4个数得到一数列,则该数列前10项之和为+…+,因为+…++…++…+=…=,故C正确;
对于D,依题意,ai=,则(ai·an+2-i)=+…+,下面证明+…+
分别从两个角度考虑二项式(x+1)2n展开式中xn的系数,由(x+1)2n的通项可知xn的系数为,由(x+1)2n=(x+1)n(x+1)n考虑,xn的系数为+…+,故有+…+,而第2n行的中间一项为第n+1项,即,故D正确.故选ACD.
16.解 (1)由题意+2(x+x2)+1=1+2x+3x2+2x3+x4,三项式的2次系数列为1,2,3,2,1;
=(1+2x+3x2+2x3+x4)(1+x+x2)=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6,
三项式的3次系数列为1,3,6,7,6,3,1.
(2)规律:每一个数等于它“肩上”(上面一行)的三个数的和.
(3)性质1:在中,令x=1,可得+…+=3n.
性质2:在中,令x=-1,可得-…+=1.
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