课时规范练64　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练64　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
(分值:80分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·天津河北模拟)甲、乙两人独立地破译一份密码,甲、乙能破译的概率分别为,则密码被成功破译的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.(2025·福建龙岩二模)甲、乙、丙三家公司生产同一种产品.三家公司的市场占有率如图所示,且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为2%,1%,m%.若市场上该产品的次品率为2%,则m=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2025·吉林模拟)某学校准备抽奖活动,在一个盒子中有20个大小和形状均相等的小球,其中有8个粉色球,8个紫色球和4个蓝色球,从盒子中任选一球,若它不是粉色球,则它为蓝色球的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.(2025·安徽合肥模拟)设事件A,B为两个随机事件,已知P(A)=,P(B)=,且P(|B)=P(B|A),则P(AB)的值为(　　)
A. B. C. D.
5.(2025·湖北黄冈模拟)已知甲箱中有2个红球和3个黑球,乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同),某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱,再从乙箱中随机取出2个球,记事件B=“从乙箱中取出的球是2个黑球”,则P(B)=(　　)
A. B.
C. D.
6.(2025·海南海口模拟)小明、小刚两位同学进行射击比赛,小明击中靶心的概率为,小刚击中靶心的概率为,比赛规则如下:每次由一人进行射击,若击中靶心,下一轮由另一人射击,若没有击中靶心,则继续进行射击,问4轮射击中,小明恰好射击3次的概率是(　　)
A. B. C. D.
7.(多选题)(2025·福建莆田三模)某校教研会上,共有3位统考科目(语文、数学、外语)教师,2位首选科目(物理、历史)教师,4位再选科目(化学、生物、政治、地理)教师进行发言,现用抽签的方式决定发言顺序,用事件Ai,Bi,Ci(1≤i≤9,i∈N)分别表示第i位发言的是统考科目教师、首选科目教师、再选科目教师,则(　　)
A.P(B2)= B.P(A1B2)=
C.P(C9|B2)= D.P(C2+C3)=
8.乒乓球比赛现采用五局三胜制,即最多打五局,谁先赢三局谁胜.甲、乙两人进行乒乓球比赛,甲在每局比赛中获胜的概率为,乙在每局比赛中获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.已知前两局比赛中,甲、乙各胜1局,则最终乙获胜的概率为　　　　.
9.(13分)(2025·湖南郴州模拟)错题重做是一种有效的学习策略,它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“精英队”参加挑战赛.每轮比赛中,甲和乙各抽取一道错题,他们做对与否互不影响,且各轮结果也互不影响.
(1)若甲每轮做对的概率为,乙每轮做对的概率为,求“精英队”在两轮比赛中做对2题的概率;
(2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为,第二轮做对的概率分别为,求“精英队”在两轮比赛中做对3题的概率.
综 合 提升练
10.(多选题)(2025·山东泰安模拟)甲箱中有5个红球、2个白球和2个黑球,乙箱中有4个红球、3个白球和2个黑球,先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,以事件A1,A2,A3分别表示甲箱取出的球是红球、白球和黑球;再从乙箱中随机取出一球,以事件B表示由乙箱取出的球是红球.则(　　)
A.事件B与事件Ai(i=1,2,3)相互独立
B.P(A1B)=
C.P(B|A1)=
D.P(B)=
11.(15分)(2025·上海三模)某电台举办有奖知识竞答比赛,选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为,若甲自己没有把握答对,则在规定时间内连线亲友团寻求帮助,其亲友团每道题能答对的概率为p,假设每道题答对与否互不影响.
(1)当p=时,若甲答对了某道题,求该题是甲自己答对的概率;
(2)乙答对每道题(含亲友团助力)的概率为,现甲、乙两人各答两个题目,若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于,求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.
创 新 应用练
12.(2025·河北保定二模)已知甲箱中有2个红球和3个黑球,乙箱中有n个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同),某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱,再从乙箱中随机取出1个球,记事件Ai=“从甲箱中取出的球恰有i个红球”,i=0,1,2,B=“从乙箱中取出的球是黑球”,则P(A2|B)是(　　)
A.与n有关的常量
B.与n有关的变量
C.与n无关的定值,且为
D.与n无关的定值,且为
参考答案
1.A　解析 由题设,甲、乙都不能破译的概率为(1-)(1-)=,所以密码被成功破译的概率为1-故选A.
2.C　解析 设事件A=“从出厂产品中任取一件,它是次品”,
则P(A)=50%×2%+25%×1%+25%×m%=2%,
解得m=3.
故选C.
3.D　解析 记事件A=“取出蓝色球”,事件B=“取出的不是粉色球”,则P(A)=,P(B)=,P(AB)=P(A)=,则P(A|B)=
故选D.
4.A　解析 P(|B)=,P(B|A)=,又P(|B)=P(B|A),所以,P(AB)=故选A.
5.D　解析 记事件A1=“从甲箱中取出的球为红球”,A2=“从甲箱中取出的球为黑球”,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=故选D.
6.D　解析 小明、小刚两人每次击中靶心的概率分别为,则小明、小刚两人每次未击中靶心的概率分别为,根据题意,前4次中小明恰好射击3次的情况为第1次小刚击中,第2,3次小明均未击中,第4次小明射击,其概率为,
第1次小明击中,第2次小刚击中,第3次小明未击中,第4次小明射击,其概率为,
第1次小明未击中,第2次小明击中,第3次小刚击中,第4次小明射击,其概率为,
第1,2次小明未击中,第3次小明击中,第4次小刚射击,其概率为
则前4次中小明恰好射击3次的概率为
故选D.
7.ACD　解析 P(B2)=(或P(B2)=),故A正确;
P(A1B2)=(或P(A1B2)=),故B错误;
P(B2C9)=(或P(B2C9)=),所以P(C9|B2)=,故C正确;
因为P(C2)=P(C3)=,P(C2C3)=,所以P(C2+C3)=P(C2)+P(C3)-P(C2C3)=,故D正确.
故选ACD.
8　解析 乙最后的胜利包含三种情况:
一是第3局乙负,第4,5局乙胜,此时乙胜的概率为;
二是第3局乙胜,第4局乙负,第5局乙胜,此时乙胜的概率为;
三是第3,4局乙胜,此时乙胜的概率为
乙获胜的概率为
9.解 (1)设事件Ai=“甲第i轮做对”,Bi=“乙第i轮做对”,i=1,2,已知P(Ai)=,P(Bi)=,且Ai与Bi相互独立,各轮之间也相互独立.“精英队”在两轮比赛中做对2题有三种情况:
甲做对2题,乙做对0题的概率为P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()·P()=;
甲做对0题,乙做对2题的概率为P(B1B2)=P()P()P(B1)·P(B2)=;
甲做对1题的概率为P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()·P(A2)=,
乙做对1题的概率为P(B1)+P(B2)=P(B1)P()+P()·P(B2)=,
所以甲做对1题,乙做对1题的概率为
因为这三种情况互斥,所以“精英队”在两轮比赛中做对2题的概率为P=
(2)已知P(A1)=,P(B1)=,P(A2)=,P(B2)=,且各事件相互独立.
“精英队”在两轮比赛中做对3题有两种情况:
甲做对2题,乙做对1题,甲做对2题的概率为P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,
乙做对1题的概率为P(B1)+P(B2)=P(B1)P()+P()·P(B2)=,所以甲做对2题,乙做对1题的概率为;
甲做对1题,乙做对2题,甲做对1题的概率为P(A1)+P(A2)=P(A1)·P()+P()P(A2)=,
乙做对2题的概率为P(B1B2)=P(B1)P(B2)=,所以甲做对1题,乙做对2题的概率为
由于这两种情况互斥,所以“精英队”在两轮比赛中做对3题的概率为
10.BC　解析 由题意知,P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,若A1发生,此时乙箱中有5个红球、3个白球和2个黑球,则P(B|A1)=,故C正确;
若A2发生,此时乙箱中有4个红球、4个白球和2个黑球,则P(B|A2)=,若A3发生,此时乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球,则P(B|A3)=,所以P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=,故B正确;
P(A2B)=P(A2)P(B|A2)=,P(A3B)=P(A3)P(B|A3)=,P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=,故D错误;
P(A1)P(B)≠P(A1B),P(A2)·P(B)≠P(A2B),P(A3)P(B)≠P(A3B),故A错误.
故选BC.
11.解 (1)记事件A=“甲答对了某道题”,事件B=“甲自己答对”,
则P(AB)=,P(A)=+(1-),
所以P(B|A)=
(2)记事件Ai=“甲答对了i道题”,事件Bi=“乙答对了i道题”,i=0,1,2,其中甲答对某道题的概率为p=(1+p),答错某道题的概率为1-(1+p)=(1-p),
则P(A1)=(1+p)(1-p)=(1-p2),
P(A2)=[(1+p)]2=(1+p)2,
P(B0)=()2=,P(B1)=,
所以甲答对题数比乙多的概率为P(A1B0∪A2B0∪A2B1)=P(A1B0)+P(A2B0)+P(A2B1)=(1-p2)(1+p)2(1+p)2(3p2+10p+7),
解得p,
所以甲的亲友团助力的概率p的最小值为
12.C　解析 依题意可得P(A0)=,P(A1)=,P(A2)=,
若A0发生,则乙箱中有n个红球,5黑球,此时P(B|A0)=,
若A1发生,则乙箱中有n+1个红球,4黑球,此时P(B|A1)=,
若A2发生,则乙箱中有n+2个红球,3黑球,此时P(B|A2)=
所以P(A0B)=P(B|A0)P(A0)=,P(A1B)=P(B|A1)P(A1)=,P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=,所以P(B)=P(B|A0)·P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)·P(A2)=,
所以P(A2|B)=故选C.
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