【培优方案】 6.2.1　向量的加法运算（课件）人教A版数学必修第二册

(共30张PPT)
6.2.1　向量的加法运算
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加
法运算，理解其几何意义 数学抽象、直观
想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，李敏同学上午从家（点A）到达了公园（点B），下午从公园（点B）到达了舅舅家（点C）.
【问题】　（1）分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以
及这一天的位移；
（2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？
知识点一　向量加法的定义及三角形法则
1. 向量加法的定义
求两个向量 的运算，叫做向量的加法.
和　
提醒　运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相
连”.
2. 三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作 ＝a， ＝b，则向量 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝ ＋ ＝ .这种求向量和的方法，称为向量加法的 法则.
三角形　
知识点二　向量加法的平行四边形法则
1. 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作
OACB，则以O为起点的向量 （OC是 OACB的对角线）就
是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的
法则.
2. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.
平
行四边形　
提醒　（1）运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个
向量起点相同；（2）从平行四边形的性质可知三角形法则和平行
四边形法则是一致的.
知识点三　向量加法的运算律及模之间的关系
1. 向量加法的运算律
（1）加法交换律：a＋b＝ ；
（2）加法结合律：（a＋b）＋c＝ .
2. ｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系
一般地，我们有｜a＋b｜≤ ，当且仅当a，b
中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立.
提醒　（1）已知几个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点
指向末尾向量的终点的向量即为这几个向量的和；（2）首尾顺次
相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
b＋a　
a＋（b＋c）　
｜a｜＋｜b｜　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） ＋ ＝ . （　√　）
（2） ＋ ＝0. （　√　）
（3） ＋ ＞ . （　×　）
√
√
×
2. 如图，在平行四边形ABCD中， ＋ ＝（　　）
解析：因为ABCD为平行四边形，所以 ＋ ＝ ，故选B.
3. 化简 ＋ ＋ ＝ .
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0.
0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的加法运算法则
【例1】　（1）如图①所示，求作向量a＋b；
解：首先作向量 ＝a，然后作向量
＝b，则向量 ＝a＋b.如图③所示.
（2）如图②所示，求作向量a＋b＋c.
解：法一（三角形法则）　如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a，再
作向量 ＝b，则得向量 ＝a＋b，然后作
向量 ＝c，则向量 ＝（a＋b）＋c＝a＋
b＋c即为所求.
首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a，
＝b， ＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则 ＝ ＋ ＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则 ＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求.
法二（平行四边形法则）　如图⑤所示，
通性通法
求作和向量的方法
（1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向
量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两
个向量的和.一定要注意首尾相接；
（2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作
两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行
四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个
向量的和.
【跟踪训练】
1. （2024·东营月考）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，
F，G，H，则 ＋ ＝（　　）
解析：　以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则 ＋
＝ ，由 和 的模相等，方向相同，得 ＝ ，即
＋ ＝ .
2. 已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜ ｜＝1，则｜ ＋ ｜＝ .
解析：因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三
角形，所以｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1.
1
题型二 向量加法运算律的应用
【例2】　化简：（1） ＋ ；
解： ＋ ＝ ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝
＋ ＝0.
（3） ＋ ＋ ＋ ＋ .
解： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0.
通性通法
1. 当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立.
2. 多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如
（a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋
e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）.
3. 向量求和的多边形法则： ＋ ＋ ＋…＋ ＝
.特别地，当An和A1重合时， ＋ ＋ ＋…＋
＝0.
【跟踪训练】
1. （2024·新乡月考）已知正方形ABCD的边长为1，则｜ ＋ ＋
＋ ｜＝ .
解析：｜ ＋ ＋ ＋ ｜＝｜ ＋ ＋ ＋ ｜＝｜
＋ ｜＝2｜ ｜＝2 .
2
2. 根据图示填空，其中a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ .
（1）a＋b＋c＝ ；
解析：a＋b＋c＝ ＋ ＋ ＝ .

（2）b＋d＋c＝ .
解析：b＋d＋c＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .

题型三 向量加法的实际应用
【例3】　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如
果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
解：作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图
可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为
平行四边形.
在Rt△ACD中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v水｜＝10
m/min，｜ ｜＝｜v船｜＝20 m/min，
∴ cos α＝ ＝ ＝ ，∴α＝60°.
故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向.
【母题探究】
1. （变条件、变设问）本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航
行”，其他条件不变，求船实际行进的方向的正切值（相当于与河
岸的夹角）.
解：如图所示，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v船｜＝20 m/min，｜ ｜
＝｜v水｜＝10 m/min，
则tan∠BAC＝ ＝2，即为所求.
2. （变设问）若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多
少km？
解：由题意可知｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×20＝10 （m/min）
＝ （km/h），
则经过3小时，该船的实际航程是3× ＝ （km）.
通性通法
应用向量解决实际问题的基本步骤
（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问
题；
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关
向量进行运算，解答向量问题；
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答
原问题.
【跟踪训练】
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平木杆AB上，∠ACW＝
150°，∠BCW＝120°，求A处和B处所受力的大小（绳子的质量忽
略不计）.
解：如图，设 ， 分别表示A，B处所受的力，
10 N的重力用 表示，
则 ＋ ＝ .
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
｜ ｜＝｜ ｜× cos 30°＝10× ＝5 .
｜ ｜＝｜ ｜× cos 60°＝10× ＝5.
故A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N.