【培优方案】 6.2.3　向量的数乘运算（课件）人教A版数学必修第二册

(共52张PPT)
6.2.3　向量的数乘运算
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法
则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义 数学运算
2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如
果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运
动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的
位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？
【问题】　类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想a＋a＋a的
结果吗？
知识点一　向量的数乘运算及运算律
1. 向量的数乘
（1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个
，这种运算叫做向量的数乘，记作 ；
（2）规定：①｜λa｜＝ ；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa
的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝ ；（－
1）a＝ .
向
量　
λa　
｜λ｜｜a｜　
相同　
相反　
0　
－a　
2. 向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么
（1）λ（μa）＝ ；
（2）（λ＋μ）a＝ ；
（λμ）a　
λa＋μa　
（3）λ（a＋b）＝ .
特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－
b）＝λa－λb.
提醒　（1）向量的数乘仍是向量；（2）实数λ与向量不能相
加；（3）若λa＝0，则λ＝0或a＝0；（4）当a≠0时，向量
是与向量a同向的单位向量.
λa＋λb　
知识点二　共线向量定理
向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在 实数λ，
使 .
唯一一个　
b＝λa　
【想一想】
共线向量定理中为什么规定a≠0？
提示：（1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；
（2）当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a
与b共线；
（3）当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在唯
一一个实数λ矛盾.
1. 已知非零向量a，b满足a＝－4b，则（　　）
A. ｜a｜＝｜b｜
B. 4｜a｜＝｜b｜
C. a与b的方向相同
D. a与b的方向相反
解析：∵a＝－4b，－4＜0，∴｜a｜＝4｜b｜且a与b方向相反.
2. 已知λ∈R，则下列命题正确的是（　　）
A. ｜λa｜＝λ｜a｜ B. ｜λa｜＝｜λ｜a
C. ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ D. ｜λa｜＞0
解析：　由数乘向量的模的意义可知｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，故
A、B错误，C正确，当λ＝0或｜a｜＝0时，｜λa｜＝0，故D错
误，故选C.
3.4（a－b）－3（a＋b）－b＝ .
解析：4（a－b）－3（a＋b）－b＝4a－4b－3a－3b－b＝a－
8b.
a－8b
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的线性运算
【例1】　（1）化简： [2（2a＋4b）－4（5a－2b）]；
解： [2（2a＋4b）－4（5a－2b）]＝ （4a＋8b－20a＋8b）＝ （－16a＋16b）＝－4a＋4b.
（2）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），求x.
解：因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b
＋3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c.
通性通法
向量线性运算的方法
（1）向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似
于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因
式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的
系数；
（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移
项，合并同类项，系数化为1等步骤求解.
【跟踪训练】
1. （2024·济南月考）已知e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝e1＋
2e2，b＝3e1－5e2，则4a－3b＝ （用e1，e2表示）.
解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，∴4a－3b＝4（e1＋2e2）－
3（3e1－5e2）＝－5e1＋23e2.
－5e1＋23e2
2. 已知向量a，b，未知向量x，y，向量a，b，x，y满足关系式
3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则向量x＝ ，y＝
.
解析：由3x－2y＝a①，－4x＋3y＝b②，①×3＋②×2，得x
＝3a＋2b，代入①得3×（3a＋2b）－2y＝a，即y＝4a＋
3b.∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
3a＋2b
4a
＋3b
题型二 向量共线的判定及应用
【例2】　设a，b是不共线的两个非零向量.
（1）若 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a－3b，求证：A，B，
C三点共线；
解：证明：∵ ＝ － ＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋
2b， ＝ － ＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋
4b）＝－2 ，
∴ 与 共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.
（2）若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
解：∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b），
即（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0.
∵a与b不共线，∴
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
通性通法
1. 证明或判断三点共线的方法
（1）一般来说，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否存
在实数λ，使得 ＝λ （或 ＝λ 等）即可；
（2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在
实数x，y，使 ＝x ＋y 且x＋y＝1.
2. 利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据共线向量定理寻求唯一的实
数λ，使得b＝λa（a≠0）.而已知向量共线求λ，常根据向量共线
的条件转化为相应向量系数相等求解，利用待定系数法建立方程，
从而解方程求得λ的值.若两向量不共线，必有向量的系数为零.
【跟踪训练】
1. 设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2（k∈R）与
向量n＝e2－2e1共线，则（　　）
A. k＝0 B. k＝1 C. k＝2 D. k＝
解析：　由共线向量定理可知存在实数λ，使m＝λn，即－e1＋
ke2＝λ（e2－2e1）＝λe2－2λe1，又e1与e2是不共线向量，
∴解得
2. （2024·周口月考）若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且
＝x ＋y ，则x＋y＝ .
解析：∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得 ＝λ ，即
－ ＝λ（ － ），∴ ＝（1＋λ） －λ ，则x＝1
＋λ，y＝－λ，∴x＋y＝1.
1
题型三 用已知向量表示未知向量
【例3】　如图，已知ABCD是一个梯形， ∥ 且｜ ｜＝2｜
｜，M，N分别是DC，AB的中点，已知 ＝e1， ＝e2，分
别用e1，e2表示 ， .
解：因为 ∥ ，｜ ｜＝2｜ ｜，
所以 ＝2 ， ＝ .
则 ＝ ＋ ＝e2＋ e1.
因为M，N分别为DC，AB的中点，
所以｜ ｜＝2｜ ｜，｜ ｜＝2｜ ｜，
则 ＝ ＋ ＋
＝－ － ＋
＝－ e1－e2＋ e1＝ e1－e2.
通性通法
用已知向量表示未知向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或
平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然
后解关于所求向量的方程.
【跟踪训练】
1. 如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若 ＝a， ＝b，则
＝（　　）
A. a－b B. a＋b
C. a＋ b D. a－ b
解析：　因为E是BC的中点，所以 ＝ ＝－ ＝－
b，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝a－ b.
2. （2024·莆田月考）如图，在△ABC中，BD＝2DC. 若 ＝a，
＝b，则 ＝（　　）
A. a＋ b B. a－ b
C. a＋ b D. a－ b
解析：　由题意可得， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
（ － ）＝ ＋ ＝ a＋ b.
1. 已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，则2a－3b＋c＝（　　）
A. 10d B. －10d
C. 20d D. －20d
解析：　2a－3b＋c＝2（4d）－3（5d）－3d＝8d－15d－3d
＝－10d.
2. 如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则 ＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　在矩形ABCD中，AB CD，故 ＝ ，又∵E为
CD的中点，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .
3. （多选）下列运算正确的是（　　）
A. （－3）·2a＝－6a
B. 2（a＋b）－（2b－a）＝3a
C. （a＋2b）－（2b＋a）＝0
D. 2（3a－b）＝6a－2b
解析：　根据向量数乘运算和加、减运算律知A、B、D正确；C中，（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，而不是0，所以该运算错误.
4. 已知a，b为两个不共线的向量，向量－ta＋b（t∈R）与 a－
b共线，则实数t＝ .
解析：因为向量－ta＋b与 a－ b共线，则存在实数λ，使－ta＋
b＝λ（ a－ b），即有－t2＝－ ，解得t＝± .
±
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的有（　　）
①m（a－b）＝ma－mb；②（m－n）a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A. ①④ B. ①② C. ①③ D. ③④
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解析：　对于①，m（a－b）＝ma－mb，故①中命题正确；
对于②，（m－n）a＝ma－na，故②中命题正确；对于③，当
m＝0时，由0·a＝0·b，不能得到a＝b，故③中命题错误；对于
④，当a＝0时，由ma＝na，不能得到m＝n，故④中命题错误.
故选B.
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2. 设D为△ABC所在平面内一点， ＝2 ，E为BC的中点，则
＝（　　）
A. ＋ B. ＋
C. － D. －
解析：　因为 ＝2 ，E为BC的中点，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，故选A.
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3. （2024·广州月考）在梯形ABCD中， ＝4 ， ＋ ＝x
＋y ，则x－y＝（　　）
A. 5 B. 6
C. －5 D. －6
解析：　因为 ＝4 ，所以 ＋ ＝（ ＋ ）＋4
＝ －5 .所以x－y＝1－（－5）＝6，故选B.
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4. （2024·温州月考）设e1与e2是两个不共线向量， ＝3e1＋2e2，
＝ke1＋e2， ＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝
（　　）
A. － B. －
C. D.
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解析：　因为A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得
＝λ ，又 ＝3e1＋2e2， ＝ke1＋e2， ＝3e1－2ke2，所
以 ＝ － ＝3e1－2ke2－（ke1＋e2）＝（3－k）e1－（2k
＋1）e2，所以3e1＋2e2＝λ（3－k）e1－λ（2k＋1）e2，所以
解得k＝－ .
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5. （多选）下列说法正确的有（　　）
A. λa与a的方向不是相同就是相反（λ∈R且λ≠0，a≠0）
B. 若a∥b，则b＝λa，其中λ∈R且唯一
C. 若｜b｜＝2｜a｜，则b＝±2a
D. 若b＝±2a，则｜b｜＝2｜a｜
解析：　当λ＞0时，a与λa方向相同，当λ＜0时，a与λa方向
相反，故A正确；当a≠0时，结论才成立，故B错误；当｜b｜＝
2｜a｜时，b与2a不一定共线，C错误；显然当b＝±2a时，｜
b｜＝2｜a｜，故D正确.
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6. （多选）已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一
定可以使a，b共线的是（　　）
A. 2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B. 存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0
C. 已知正五边形ABCDE，其中 ＝a， ＝b
D. 已知梯形ABCD，其中 ＝a， ＝b
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解析：　选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝
e，b＝－ e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，
则有a＝－ b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项
D，当AB，CD分别为梯形的两腰时，直线AB，CD是相交直线，
则向量a，b不共线，故选A、B.
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7. 已知向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ
＝ .
解析：由a＝λb，得｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜.∵｜a｜＝
3，｜b｜＝5，∴｜λ｜＝ ，即λ＝± .
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8. （2024·厦门月考）已知a，b是平面内两个不共线向量， ＝2a
＋mb， ＝3a－b，且A，B，C三点共线，则实数m的值
为 .
解析：因为 ＝2a＋mb， ＝3a－b，且A，B，C三点共
线，所以存在唯一的实数λ，使得 ＝λ ，即2a＋mb＝3λa－
λb.解得λ＝ ，m＝－ .
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9. 如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则 ＝ .（用 ， 表示）
－
解析：利用向量的三角形法则，可得 ＝ － ， ＝ ＋
，∵E为BC的中点，F为AE的中点，∴ ＝ ， ＝
，∴ ＝ － ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝
＋ － .又∵ ＝ ，∴ ＝ － .
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10. 化简：（1）5（3a－2b）＋4（2b－3a）；
解：5（3a－2b）＋4（2b－3a）＝（15a－12a）＋
（－10b＋8b）＝3a－2b.
（2） （a－2b）－ （3a－2b）－ （a－b）；
解： （a－2b）－ （3a－2b）－ （a－b）＝
（ a－ a－ a）＋（－ b＋ b＋ b）＝－ a＋ b.
（3）（x＋y）a－（x－y）a.
解：（x＋y）a－（x－y）a＝（xa－xa）＋（ya
＋ya）＝2ya.
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11. 已知a，b为不共线的非零向量， ＝a＋5b， ＝－2a＋
8b， ＝3a－3b，则（　　）
A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线
C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线
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解析：　由于a，b为不共线的非零向量，向量 和 ，向量
和 显然没有倍数关系，根据共线向量定理，它们不共线，
A、C选项错误； ＝ ＋ ＝a＋5b＝ ，于是A，B，D
三点共线，B选项正确； ＝ ＋ ＝－a＋13b，显然和
没有倍数关系，D选项错误.故选B.
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12. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点， ＝2 ，
若 ＝x ＋y ，则x＋y＝（　　）
A. B. －
C. －6 D. 6
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解析：　 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋
＋ ＝ ＋ － ＝ ＋ .∵ ＝x ＋
y ，∴x ＋y ＝ ＋ ，∴（x－ ） ＝（ －
y） ，又 与 不共线，∴x－ ＝0且 －y＝0，故x＝
，y＝ .∴x＋y＝ .
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13. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中
点，AE的延长线与CD交于点F，若 ＝a， ＝b，则 用
a，b可表示为 .
解析：∵△DEF∽△BEA，∴ ＝ ＝ ，∴DF＝ DC＝
AB，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ .∵ ＝ ＋ ＝a，
＝ － ＝b，联立得， ＝ （a－b）， ＝ （a＋
b），∴ ＝ （a＋b）＋ （a－b）＝ a＋ b.
a＋ b
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14. 设两个非零向量a与b不共线.
（1）若 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3（a－b）.求证：
A，B，D三点共线；
解：证明：∵ ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3（a－b）.
∴ ＝ ＋ ＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－
3b＝5（a＋b）＝5 .
∴ ， 共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
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（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线.
解：∵ka＋b与a＋kb反向共线，
∴存在实数λ（λ＜0），使ka＋b＝λ（a＋kb），
即ka＋b＝λa＋λkb，
∴（k－λ）a＝（λk－1）b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，
∴（舍去）或∴k＝－1.
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