【培优方案】6.1　平面向量的概念（课件）人教A版数学必修第二册

(共50张PPT)
6.1　平面向量的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，
了解平面向量的实际背景 数学抽象
2.理解平面向量的几何表示和基本要素 直观想象
3.理解共线向量和相等向量的含义 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们在物理学中已经知道，力是矢量（既有大小，又有方向），如
图，放在水平桌面上的物体A.
【问题】　（1）物体A受到哪些力的作用？
（2）物体A受到的力应怎样表示？
知识点一　向量与数量
1. 向量：既有 又有 的量叫做向量.
2. 数量：只有 没有 的量称为数量.
提醒　（1）数量是一个代数量，只有大小没有方向，可以比较大
小，如长度、质量、面积、体积等都是数量；（2）向量既有大小
又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小.
大小　
方向　
大小　
方向　
知识点二　向量的几何表示
1. 有向线段：具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要
素： 、 、 .
以A为起点、B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫做
有向线段 的长度，记作 .
方向　
起点　
方向　
长度　
｜ ｜　
2. 向量的表示
（1）几何表示：向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表
示向量的 ，有向线段的方向表示向量的 ，
向量 的大小称为向量 的 （或称模），记作 ；
大小　
方向　
长度　
｜ ｜
（2）字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示（印刷用黑体
a，b，c，…，书写用 ， ， ，…）.
提醒　（1）向量不能比较大小，但向量的模能比较大小；
（2）有向线段是向量的几何表示，并不是说向量就是有向线
段.一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多
条有向线段.
知识点三　零向量和单位向量
1. 零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 .
2. 单位向量：长度等于 长度的向量，叫做单位向量.
提醒　（1）定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定
方向；（2）当有向线段的起点A与终点B重合时， ＝0；（3）
在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，它们的终点可构
成一个半径为1的圆.
0　
0　
1个单位　
知识点四　相等向量与共线向量
1. 平行向量（共线向量）：方向 的非零向量叫做平行
向量.向量a与b平行，记作 .
规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都
有 .
2. 相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量.向
量a与b相等，记作 .
相同或相反　
a∥b　
平行　
0∥a　
相等　
相同　
a＝b　
1. 给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥
路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（　　）
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
解析：　质量、路程、密度、功只有大小，没有方向，所以是数
量，不是向量.
2. 下列命题正确的是（　　）
A. 如果｜ ｜＞｜ ｜，那么 ＞
B. 若a，b都是单位向量，则a＝b
C. 若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同
D. 零向量的大小为0，没有方向
解析：　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故A错
误；a与b都是单位向量，则｜a｜＝｜b｜＝1，但a与b方向可能
不同，故B错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，故
D错误；C显然正确.故选C.
3. 如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有
.（填序号）
① ＝ ；② ∥ ；③ 与 共线；④ ＝ .
解析： 与 方向相同，长度相等，∴①正确；∵A，O，C三
点在一条直线上，∴ ∥ ，②正确；∵AB∥DC，∴ 与
共线，③正确； 与 方向不同，∴二者不相等，④错误.
①
②③
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的有关概念
【例1】　（多选）下列说法中正确的有（　　）
A. 单位向量的长度大于零向量的长度
B. 零向量与任一单位向量平行
C. 向量 和向量 长度相等
D. 向量就是有向线段
解析：　单位向量的长度为1，零向量的长度为0，A正确；零向量与任意向量平行，B正确；因为向量 和向量 是方向相反，模相等的两个向量，C正确；向量是用有向线段来表示的，不能把两者等同起来，D不正确.
通性通法
1. 判断一个量是否为向量的两个关键条件
（1）有大小；
（2）有方向.两个条件缺一不可.
2. 理解零向量和单位向量应注意的问题
（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.
提醒　两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定
相等.
【跟踪训练】
（多选）（2024·济宁月考）下列说法正确的是（　　）
A. 若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B. 共线向量一定在同一直线上
C. 若a＝b，则｜a｜＝｜b｜
D. 单位向量的长度为1
解析：　A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不
一定平行，故A错误；B中，共线向量不一定在同一直线上，故B错
误；C中，两向量相等，它们的方向与长度均都相同，故C正确；D显
然正确.故选C、D.
题型二 向量的表示及应用
【例2】　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改
变方向，向西偏北50°的方向行驶了200 km到达C点，最后又改变方
向，向东行驶了100 km到达D点.
（1）作出向量 ， ， ；
解：向量 ， ， 如图所示.
（2）求｜ ｜.
解：由题意，可知 与 方向相反，故 与 共线，
∵｜ ｜＝｜ ｜，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴ ＝ ，∴｜ ｜＝｜ ｜＝200 km.
通性通法
用有向线段表示向量的步骤
（1）定起点：先确定向量的起点；
（2）定方向：再确定向量的方向；
（3）定终点：有了起点和方向，结合向量的长度确定向量的终点.
【跟踪训练】
一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2
km到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地
又向南偏西30°方向行驶2 km才到达B地.
（1）在图中作出 ， ， ， ；
解：向量 ， ， ， ，如图所示.
（2）求B地相对于A地的位置.
解：由题意知 ＝ ，∴AD＝BC，AD∥BC，
则四边形ABCD为平行四边形，
∴ ＝ ，
则B地相对于A地的位置为“北偏东60°，距离为6 km”.
题型三 共线向量与相等向量
【例3】　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且 ＝a，在每两点所确定的向量中.
（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
解：与a的长度相等、方向相反的向量有 ， ， ， .
（2）与a共线的向量有哪些？
解：与a共线的向量有 ， ， ， ， ， ，
， ， .
【母题探究】
1. （变设问）若本例条件不变，写出与 共线的向量.
解：与 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， ，
， .
2. （变条件、变设问）在本例中，若｜a｜＝1，求正六边形的边长.
解：因为在正六边形中，相邻两顶点与中心连接成的三角形均为正
三角形，所以△FOA为等边三角形，所以边长AF＝｜a｜＝1，即
正六边形的边长为1.
通性通法
共线向量与相等向量的探求方法
（1）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的
线段，再确定同向与反向的向量；
（2）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的线
段，再确定哪些是同向共线的向量.
提醒　在寻找共线向量时不要漏掉以表示已知向量的有向线段
的终点为起点，起点为终点的向量.
【跟踪训练】
如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC
的中点.
（1）写出与 共线的向量；
解：因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，EF＝ BC.
又因为D是BC的中点，
所以与 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， .
（2）写出与 的模相等的向量；
解：与 的模相等的向量有 ， ， ， ， .
（3）写出与 相等的向量.
解：与 相等的向量有 ， .
1. 如图，在圆O中，向量 ， ， 是（　　）
A. 有相同起点的向量 B. 共线向量
C. 模相等的向量 D. 相等向量
解析：　由题图可知 ， ， 是模相等的向量，其模均等
于圆O的半径.故选C.
2. （2024·洛阳月考）若 ＝ ，则四边形ABCD的形状为（　　）
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 等腰梯形
解析：　因为 ＝ ，ABCD为四边形，所以BA＝CD且
BA∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形.
3. 下列说法正确的是（　　）
A. 共线的两个单位向量相等
B. 相等向量的起点可以不相同
C. 所有的单位向量都相等
D. 若向量 ， 共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
解析：　对于A，共线的两个单位向量的方向可能相反，故错
误；对于B，相等向量的起点和终点都可能不相同，故正确；
对于C，所有的单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故
错误；对于D，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不一定
共线.故选B.
4. 如图，在方格纸中，取两个格子的格点（A，B，C，D，E，
F）为起点和终点作向量，写出满足下列条件的向量：
（1）与 相等的向量；
解：方向相同且模长相等的向量为相等向量，故与 相等的向量为 ， .
（2）与 相反的向量；
解：方向相反且模长相等的向量为相反向量，故与 相反的向量为 ， .
（3）与 的模相等的向量.
解：与 的模相等的向量为 ， ， .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列四个命题中正确的是（　　）
A. 时间、距离都是向量
B. 两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同
C. 向量 与向量 表示同一个向量
D. 平行向量不一定是共线向量
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解析：　对于A，时间和距离只有大小，没有方向，是数量，不
是向量，故A错误；对于B，两个有共同起点且相等的向量，其终
点一定相同，故B正确；对于C，向量 与向量 表示的是模长
相等，方向相反的两个不同的向量，故C错误；对于D，平行向量
也叫做共线向量，故D错误.故选B.
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2. 如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量 与 的关
系是（　　）
A. ＝ B. ｜ ｜＝｜ ｜
C. ＞ D. ＞
解析：　｜ ｜与｜ ｜表示等腰梯形两腰的长度，故B正
确，A错误，又因任意两个向量都不能比较大小，故C、D均错
误，选B.
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3. 在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么
这些向量形成的图形是（　　）
A. 单位圆 B. 一段弧
C. 线段 D. 圆面
解析：　平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以
将所有长度为1的向量固定在同一点，这些向量形成的轨迹是圆
面.故选D.
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4. （2024·厦门月考）“向量 ， 共线”是“直线AB∥CD”的
（　　）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　向量 ， 共线 直线AB，CD平行或重合；直线
AB∥CD 向量 ， 共线.因此“向量 ， 共线”是“直
线AB∥CD”的必要不充分条件.
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5. （多选）下列能使a∥b成立的是（　　）
A. a＝b B. ｜a｜＝｜b｜
C. a与b方向相反 D. ｜a｜＝0或｜b｜＝0
解析：　对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若｜a｜＝｜b｜，则a与b的长度相等，而
方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向
量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零
向量与任意向量平行，所以若｜a｜＝0或｜b｜＝0，则a∥b.
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6. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 若a≠b，则a，b一定不共线
B. 在 ABCD中，一定有 ＝
C. 若a＝b，b＝c，则a＝c
D. 共线向量是在一条直线上的向量
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解析：　对于A，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向
相同或相反，所以a与b有共线的可能，故A不正确.对于B，在
ABCD中，｜ ｜＝｜ ｜， 与 平行且方向相同，所
以 ＝ ，故B正确.对于C，a＝b，则｜a｜＝｜b｜，且a与
b方向相同；b＝c，则｜b｜＝｜c｜，且b与c方向相同，所以a
与c方向相同且模相等，故a＝c，故C正确.对于D，共线向量可以
是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D
不正确.故选B、C.
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7. 如图， 是某人行走的路线，那么 的几何意义是某人从A点沿
西偏南 方向行走了 km.
解析：由已知图形可知， 的几何意义是从A点沿西偏南60°方
向行走了2 km.
60°
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8. （2024·青岛月考）设点O是△ABC所在平面上一点，若｜ ｜
＝｜ ｜＝｜ ｜，则点O是△ABC的 心.
解析：由｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜可得O点到三角形各顶点的
距离相等，所以点O是△ABC的外心.
外
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9. 在四边形ABCD中，若 ＝ 且｜ ｜＝｜ ｜，则四边形
ABCD的形状为 .
解析：∵ ＝ ，∴AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是
平行四边形，∵｜ ｜＝｜ ｜，∴四边形ABCD是菱形.
菱形
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10. 如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，
OCFB都是正方形，在图中所标出的向量中：
（1）分别写出与 ， 相等的向量；
解： ＝ ， ＝ .
（2）写出与 共线的向量；
解：与 共线的向量有 ， ， .
（3）写出与 模相等的向量.
解：与 模相等的向量有 ， ， ， ， ， ， .
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11. （2024·广州月考）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆
心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，｜ ｜＝2，则｜ ｜＝ .
解析：由｜ ｜＝｜ ｜，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又
∠ACB＝90°，则｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×2＝1.
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12. （2024·宁波月考）已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向
量 是平行向量，与 是共线向量，则m＝ .
解析：向量m与向量 是平行向量，则向量m与向量 方向相
同或相反；向量m与 是共线向量，则向量m与向量 方向相
同或相反.由A，B，C是不共线的三点，可知向量 与向量
方向不同且不共线，则m＝0.
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13. 如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有
两个定点A，B. 点C为小正方形的顶点，且｜ ｜＝ .
（1）画出所有的向量 ；
解：画出所有的向量 ，如图所示.
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（2）求｜ ｜的最大值与最小值.
解：由（1）所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，｜ ｜取
得最小值 ＝ ；
②当点C位于点C5或C6时，｜ ｜取
得最大值 ＝ .
所以｜ ｜的最大值为 ，最小值为 .
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