【培优方案】7.2.2　复数的乘、除运算（课件）人教A版数学必修第二册

(共37张PPT)
7.2.2　复数的乘、除运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算 数学抽象
2.理解复数乘法的运算律 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，
b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满
足aman＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正
整数.
【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？
知识点一　复数的乘法
1. 复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋
bi）（c＋di）＝ .
（ac－bd）＋（ad＋bc）i　
2. 复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝
结合律 （z1z2）z3＝
分配律 z1（z2＋z3）＝
z2z1　
z1（z2z3）　
z1z2＋z1z3　
1. 复数的乘法与多项式乘法有何不同？
提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所
得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.
2. 多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？
提示：仍然成立，乘法公式也适用.
【想一想】
知识点二　复数的除法
　复数代数形式的除法法则
（a＋bi）÷（c＋di）＝ ＝ 　 ＋ i　（a，b，
c，d∈R，且c＋di≠0）.
提醒　对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的
共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数
化，这与根式除法的分母“有理化”类似；②代数式：注意最后结果
要将实部、虚部分开.
＋ i　
1. 已知i为虚数单位，复数z＝（3－i）（2＋i），则z的虚部为（　）
A. i B. 1
C. 7i D. 7
解析：　∵z＝（3－i）（2＋i）＝7＋i，∴z的虚部为1.故选B.
2. 复数z＝ －i在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因为z＝ －i＝ －i＝ －i＝－ －
i，所以z在复平面内对应的点为（－ ，－ ），位于第三象限.
故选C.
3. （2024·烟台月考）设复数z满足（1＋i）z＝2－2i（i为虚数单
位），则｜z｜＝ .
解析：由已知可得z＝ ＝ ＝－2i，因此，｜
z｜＝2.
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数代数形式的乘法运算
【例1】　计算下列各题：
（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）；
解：（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i.
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i.
解：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i
＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i
＝（3＋11i）（3－4i）＋2i
＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
通性通法
复数的乘法运算法则的应用
（1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注
意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；
（2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更
简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
【跟踪训练】
1. （2024·安阳月考）复数z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）在复平
面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋
i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.
2. 若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数
a的取值范围是（　　）
A. （－∞，1） B. （－∞，－1）
C. （1，＋∞） D. （－1，＋∞）
解析：　因为（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，所以它在
复平面内对应的点为（a＋1，1－a），又此点在第二象限，所以
解得a＜－1.
题型二 复数代数形式的除法运算
【例2】　计算：
（1）（1－2i）÷（2＋i）；
解：（1－2i）÷（2＋i）＝ ＝ ＝ ＝－i.
（2） ；
解： ＝ ＝ ＝－2＋i.
（3） .
解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.
通性通法
1. 两个复数代数形式的除法运算的步骤
（1）首先将除式写为分式；
（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代
数形式.
2. 常用公式
（1） ＝－i；（2） ＝i；（3） ＝－i.
【跟踪训练】
1. 已知i为虚数单位，则 的实部与虚部之积是（　　）
A. B. －
C. i D. － i
解析：　因为 ＝ ＝ ＋ i，所以 的实部与虚部
之积是 .
2. （2022·北京高考2题）若复数z满足i·z＝3－4i，则｜z｜＝（　　）
A. 1 B. 5
C. 7 D. 25
解析：　依题意可得z＝ ＝ ＝－4－3i，所以｜z｜
＝ ＝5，故选B.
题型三 i幂值的周期性及应用
【例3】　（1）复数z＝i2 025的模是（　D　）
A. i B. －1
C. 0 D. 1
解析：因为z＝i2 025＝i4×506＋1＝i，所以复数z的模是1.故选D.
（2）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是 .
D
解析：由复数的运算法则可知：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝1＋（i
＋i2＋i3＋i4）＋…＋（i97＋i98＋i99＋i100）＝1＋0＋…＋0＝1.
1
通性通法
利用i幂值的周期性解题的技巧
（1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，
3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；
（2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
【跟踪训练】
计算： ＋ .
解：∵ ＝ ＝ ＝i， ＝ ＝－i，而i4＝（－i）4
＝1，
∴ ＋ ＝i2 024＋（－i）2 025＝i2024＋（－i）
2024·（－i）1＝1－i.
题型四 在复数范围内解方程
【例4】　在复数范围内解下列方程：
（1）x2＋5＝0；
解：因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为（ i）2＝（－ i）2＝－5，
所以x＝± i，所以方程x2＋5＝0的根为x＝± i.
（2）x2＋4x＋6＝0.
解：法一　因为x2＋4x＋6＝0，所以（x＋2）2＝－2，
因为（ i）2＝（－ i）2＝－2，
所以x＋2＝ i或x＋2＝－ i，
即x＝－2＋ i或x＝－2－ i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± i.
法二　由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6
＝0无实数根.
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且
b≠0），
则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，
所以
又因为b≠0，所以
解得a＝－2，b＝± .所以x＝－2± i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± i.
通性通法
　　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的
求解方法
（1）求根公式法：
①当Δ≥0时，x＝ ；
②当Δ＜0时，x＝ .
（2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，
n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数
相等的定义求解；
（3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
【跟踪训练】
1. （2024·厦门月考）已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0
（q∈R）的一个根，则该方程的另一个根为（　　）
A. 2i＋3 B. －2i－3
C. 2i－3 D. －2i＋3
解析：根据题意，方程的另一个根为－6－（2i－3）＝－3－2i.故选B.
2. 已知关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根
及实数k的值.
解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（ ＋kx0＋2）＋
（2x0＋k）i＝0.
由复数相等的条件得 ＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，
解得或
∴方程的实根为x＝ 或－ ，相应的k的值为－2 或2 .
1. 已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m＝
（　　）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
解析：　由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－
i，得解得m＝1.
2. （2024·深圳月考）已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4（其中i为虚数单
位），则｜z｜＝（　　）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 10
解析：　依题意，z＝i＋2×（－1）＋3（－i）＋4＝2－2i，所
以｜z｜＝ ＝2 .故选B.
3. （2024·济宁月考）若复数z满足方程 i＝1－i，则z＝ .
解析：由题意可得 ＝ ＝ ＝－i（1－i）＝－1－i，所
以z＝－1＋i.
－1＋i
4. 计算：（1）（1＋i）2 024；
解：原式＝[（1＋i）2]1 012＝（1＋2i＋i2）1 012＝（2i）1 012＝ 21 012·i1 012＝21 012·i4×253＝21 012.
（2）（－2＋3i）÷（1＋2i）.
解：原式＝ ＝
＝ ＝ ＋ i.