【培优方案】8.2　立体图形的直观图（课件）人教A版数学必修第二册

(共57张PPT)
8.2　立体图形的直观图
新课程标准解读 核心素养
能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图 直观想象、数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　图中的国家游泳中心（又称“水立方”）可以抽象成一个几何
体——长方体.
【问题】　你能画出一个长方体吗？
知识点一　水平放置的平面图形的直观图的画法
1. 直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
2. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
提醒　对斜二测画法的再理解：①“斜”：把直角坐标系xOy变为
斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'轴是斜的，反
映投影线是斜的；②“二测”：平行于x轴的线段长度不变，平行
于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”.
知识点二　空间几何体直观图的画法
1. 画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之
对应的是z'轴.
2. 画底面：平面x'O'y'表示水平平面，平面y'O'z'和x'O'z'表示竖直
平面.
3. 画侧棱：已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观
图中平行性和长度都不变.
4. 成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
提醒　画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮
住的线必须用虚线，体现层次性和立体感.
1. 用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若角A的两边分别平行于x
轴，y轴，则在直观图中角A'＝（　　）
A. 45° B. 135°
C. 45°或135° D. 90°
解析：　在画直观图时，角A'的两边依然分别平行于x'轴，y'
轴，则∠x'O'y'＝45°或135°.故选C.
2. 利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是
（　　）
解析：　正方形的直观图应为平行四边形，且相邻两边的边长之
比为2∶1.
3. 水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'＝3，B'C'＝
2，则AB边上的中线的实际长度为 .
解析：由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A'C'＝3，
BC＝2B'C'＝4，计算得AB＝5，所求中线长为 .

典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面图形的直观图的画法
【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解：画法：（1）如图①所示，取AB所在直线为x
轴，AB的垂直平分线OE为y轴，两轴交点O为原
点，建立直角坐标系，在图②中画对应的坐标系
x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°.
（2）在图②中，以O'为中点在x'轴上取A'B'＝
AB，在y轴上取O'E'＝ OE，以E'为中点画
C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD.
（3）连接B'C'，D'A'，并擦去辅助线x'轴和y'轴，所得
的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直
观图，如图③所示.
通性通法
画平面图形的直观图的技巧
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关
键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便
于画点；
（2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不
变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它
的两个端点，然后连接成线段.
【跟踪训练】
　用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形（如图）的
直观图.
解：（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系.
（2）画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°.
在x'轴上截取O'B'＝O'C'＝2 cm，在y'轴上截取O'A'＝ OA.
（3）连接A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为正△ABC的直观图，如图②所示.
题型二 空间几何体的直观图的画法
【例2】　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长
方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
解：（1）画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点
O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在
y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过
点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则
ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
（3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平
行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'.
（4）成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将
被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.
通性通法
画空间图形的直观图的原则
（1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画
成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°
（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面
x'O'y'垂直；
（2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段
并且长度不变；
（3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来
的一半；
（4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变.
【跟踪训练】
画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.
解：（1）画轴.画Ox轴，Oy
轴，Oz轴，使∠xOy＝45°，
∠xOz＝90°，如图.
（2）画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
（3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于四棱锥的高.
（4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住
的部分改为虚线，得四棱锥的直观图.
题型三 直观图的还原与计算
【例3】　如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，
其中O'A'＝6 cm，O'C'＝2 cm，C'D'＝2 cm，则原图形的形状是
，其面积为 cm2.
菱
形
24
解析：如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O'D'＝2×2 ＝4 （cm），CD＝C'D'＝2 cm，所以OC＝ ＝ ＝6（cm），所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形.S四边形OABC＝OA×OD＝6×4 ＝24 （cm2）.
通性通法
1. 直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线
段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原
时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，
顺次连接即可.
2. 直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝ S
或S＝2 S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直
观图面积求原图形面积.
【跟踪训练】
1. 如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'，A'C'所在
直线分别与x'轴，y'轴平行，且A'B'＝A'C'，那么△ABC是（　　）
A. 等腰三角形 B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
解析：　因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x'O'y'＝45°，
A'B'＝A'C'，且A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，
所以△ABC是直角三角形.
2. （2024·金华月考）已知等边△ABC的边长为a，那么△ABC的直观
图△A'B'C'的面积为（　　）
A. a2 B. a2
C. a2 D. a2
解析：　法一　建立如图①
所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示，建立坐标系
x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°，由直
观图画法，知A'B'＝AB＝a，
O'C'＝ OC＝ a.过点C'作C'D'⊥O'x'于点D'，则C'D'＝
O'C'＝ a.所以△A'B'C'的面积是S＝ ·A'B'·C'D'＝ ·a· a＝ a2.
法二　S△ABC＝ a2，又S△A'B'C'＝ S△ABC，所以S△A'B'C'＝ × a2＝
a2.
1. 若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上，则圆柱的高应
画成（　　）
A. 平行于z'轴且长度为10 cm
B. 平行于z'轴且长度为5 cm
C. 与z'轴成45°且长度为10 cm
D. 与z'轴成45°且长度为5 cm
解析：　平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和
长度都与原来保持一致.故选A.
2. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图形是（　　）
解析：　根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相
应线段长度的2倍，故选A.
3. 已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中
B'O'＝C'O'＝1，A'O'＝ ，那么原△ABC是一个（　　）
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 三边中恰有两边相等的等腰三角形
D. 三边互不相等的三角形
解析：　根据斜二测画法的原则，得BO＝OC＝1，BC＝B'C'＝
2，OA＝2A'O'＝2× ＝ ，AO⊥BC，所以由勾股定理可得AB
＝AC＝ ＝2＝BC，所以△ABC是等边三角形.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　）
解析：根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.
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2. 如图，已知等腰三角形ABC，则下图所示的四个图形中，可能是
△ABC的直观图的是（　　）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
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解析：　当∠x'O'y'＝135°时，其直观图是③；当∠x'O'y'＝45°
时，其直观图是④.
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3. 下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的
是（　　）
解析：　由题意知，应看到正方体的上面、前面和右面，由几何
体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知A符合题意.
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4. （2024·中山月考）如图，一个水平放置的平面图形的直观图
A'B'C'D'是边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为
（　　）
A. 4 ＋4 B. 4 ＋4
C. 8 D. 8
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解析：　由题可知O'D'＝A'D'＝2，∠A'O'D'
＝45°，∴O'A'＝2 ，还原直观图可得原平面
图形，如图，则OD＝2O'D'＝4，OA＝O'A'＝
2 ，AB＝DC＝2，∴AD＝ ＝
＝2 ，∴原平面图形的周长为
4 ＋4.故选B.
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5. （多选）已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边
长为4，则此正方形的面积可能为（　　 ）
A. 16 B. 64
C. 32 D. 无法确定
解析：　根据题意，正方形的直观图如图所示.①若直观图中平行四边形的边A'B'＝4，则原正方形的边长为AB＝A'B'＝4，所以该正方形的面积为S＝4×4＝16；②若直观图中平行四边形的边A'D'＝4，则原正方形的边长为AD＝2A'D'＝8，所以该正方形的面积为S＝8×8＝64，故选A、B.
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6. （多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，下列描述
正确的是（　　）
A. 正方形的直观图是平行四边形
B. 梯形的直观图是梯形
C. 用斜二测画法画平面图形的直观图时，线段的中点在直观图中依然是中点
D. 用斜二测画法画平面图形的直观图时，锐角在直观图中依然是锐角
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解析：　根据直观图的画法中平行性保持不变，且平行线段的长度比不变，故A、B、C正确.由斜二测画法知，锐角在直观图中不一定是锐角，故D错误.故选A、B、C.
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7. 在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M（4，4）在直观图中的对应点是M'，则点M'的坐标为 .
解析：由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M'的坐标为（4，2）.
（4，2）
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8. 如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy
中，点B的坐标为（2，2），则用斜二测画法画出的正方形的直观
图中，顶点B'到x'轴的距离为 .

解析：画出直观图（图略），则B'到x'轴的距离为 × OA＝ OA＝ .
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9. 如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D'是△A'B'C'中B'C'
边上的一点，且D'离C'比D'离B'近，又A'D'∥y'轴，则在原
△ABC中，AB，AD，AC这三条线段最长的线段是 ，最短
的线段是 .
解析：由题意得到原△ABC的平面图，如图.其中，AD⊥BC，BD＞DC，所以AB＞AC＞AD，所以△ABC
中，AB，AD，AC这三条线段最长的是AB，最短的是AD.
AB
AD
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10. 如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm.
（1）画出水平放置的△ABC的直观图；
解：①以D为原点，AC所在直线为x
轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
如图（ⅰ），
②画出对应的x'，y'轴，使∠x'D'y'＝45°，
在x'轴上取点A'，C'，使D'A'＝DA，D'C'＝DC，
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在y'轴上取点B'，使D'B'＝ DB，
连接A'B'，C'B'，则△A'B'C'即为△ABC的直观图，如图（ⅱ）.
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（2）求直观图的面积.
解：在图（ⅱ）中，作B'E⊥A'C'，E为垂足，
∵D'B'＝ DB＝6，∠B'D'E＝45°，
∴B'E＝6× ＝3 ，
∴S△A'B'C'＝ ×A'C'×B'E＝ ×12×3 ＝
18 （cm2）.
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11. 如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴
上，A'O'与x'轴垂直，且A'O'＝2，则△AOB的边OB上的高为
（　　）
A. 2 B. 4
C. 2 D. 4
解析：设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝2 S直观图，所以 ×OB×h＝2 × ×2×O'B'.又OB＝O'B'，所以h＝4 .
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12. （多选）（2024·临沂质检）如图所示是水平放置的△ABC在平面
直角坐标系中的直观图，其中D'是A'C'的中点，则在原△ABC
中，与线段BD相等的线段可能有（　　）
A. 0条 B. 1条
C. 2条 D. 3条
解析：将直观图还原，可得△ABC为直角三角形，BD为斜边上的中线，当∠BAC≠30°且∠BAC≠60°时，与BD的长相等的线段有2条；当∠BAC＝30°或60°时，与BD的长相等的线段有3条.
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13. 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长
方体的上底面重合，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5
m，10 m，四棱锥的高为8 m，若利用斜二测画法按1∶500的比例
画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为 cm，宽
为 cm，建筑物的高为 cm.
解析：由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm，1 cm，2
cm，四棱锥的高为1.6 cm，所以长方体的直观图的长、宽、高应
分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱锥的直观图的高为1.6 cm.所以
直观图中建筑物的高为2＋1.6＝3.6（cm）.
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14. 如图，四边形A'B'C'D'是边长为1的正方形，且它是某个四边形按
斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原
图形的面积.
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解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与原点O重
合，在x轴上取点C，使AC＝ ，再在y轴上取点
D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至
点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边
形ABCD为正方形A'B'C'D'的原图形，如图所示.
易知四边形ABCD为平行四边形.
∵AD＝2，AC＝ ，
∴S ABCD＝2× ＝2 ，即原图形的面积为2 .
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15. 若用“斜二测画法”作出边长为2的正三角形ABC的直观图是
△A1B1C1，则△A1B1C1的重心G1到底边A1B1的距离是 .

解析：如图为正三角形ABC的直观图A1B1C1，G1F为重心G1到底边A1B1的距离，则O1C1＝2× × ＝ ，∵G1为△A1B1C1的重心，∴O1G1＝ O1C1＝ ，∴G1F＝O1G1 sin 45°＝ × ＝ .
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16. 泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融
合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建
筑风格与空间特征.为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划
对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南
传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，
该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个
三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸
自定）.
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解：（1）先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD；
（2）以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE-BCF. 直观图如图所示.
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