【培优方案】8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（课件）人教A版数学必修第二册

(共34张PPT)
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
新课程标准解读 核心素养
1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式 直观想象
2.能用公式解决简单的实际问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体.
　　这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立
体几何中的旋转体.
【问题】　你会求上述几何体的表面积及体积吗？
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
图形 表面积和体积
圆
柱
S圆柱＝ （r是底面半径，l是母线
长）；
V圆柱＝ （r是底面半径，h是高）
2πr（r＋l）　
πr2h　
图形 表面积和体积
圆
锥 S圆锥＝ （r是底面半径，l是母线长）；
V圆锥＝ （r是底面半径，h是高）
圆
台
S圆台＝ （r'，r分别是上、下底面半径，l是母线长）；
V圆台＝ （r'，r分别是上、下底面半径，h是高）
πr（r＋l）　
πr2h　
π（r'2＋r2＋r'l＋rl）　
πh（r'2＋r'r＋r2）　　
提醒　圆柱、圆锥、圆台的关系：
①侧面积公式间的关系，S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π（r＋r'）l S圆锥侧＝
πrl；
②体积公式间的关系
V＝Sh V＝ （S'＋ ＋S）h V＝ Sh.
知识点二　球的表面积和体积公式
1. 球的表面积公式S＝ （R为球的半径）.
2. 球的体积公式V＝ .
4πR2　
πR3　
1. 若圆锥的底面半径为 ，高为1，则圆锥的体积为 ，表面积
为 .
解析：V＝ Sh＝ ×π×3×1＝π.S＝πr（r＋l）＝ π（ ＋
2）＝（3＋2 ）π.
π
（3＋2 ）π
2. 已知两个球的半径之比为2∶3，则它们的表面积之比为 ，体
积之比为 .
解析：设两个球的半径为R，r，由题意可得R∶r＝2∶3，所以表
面积之比为 ＝ ＝ ＝ ，体积之比为 ＝ ＝ ＝ .


3. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面
积为 .
解析：圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，则圆台的母线
长l＝ ＝ ，所以该圆台的侧面积S＝π（1＋
2）l＝3 π.
3 π
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
【例1】　（1）若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为
（　B　）
A. 40π B. 36π
C. 26π D. 20π
解析：圆锥的母线长l＝ ＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋
π×4×5＝36π.
B
（2）圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图
是扇环，其圆心角为π，则圆台的表面积为 cm2.（结
果中保留π）
1 100π
解析：如图所示，设圆台的上底面周长为l cm，因为扇环的圆心角是π，所以l＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以表面积S＝π（10＋20）×20＋π×102＋π×202＝1 100π（cm2）.
通性通法
　　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面
及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式
求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图；
（2）依次求出各个平面图形的面积；
（3）将各平面图形的面积相加.
【跟踪训练】
1. （多选）如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一
条母线，已知AB＝4，AC＝2 ，AA1＝3，则下列说法正确的是
（　　）
A. 圆柱的侧面积为2 π
B. 圆柱的侧面积为6 π
C. 圆柱的表面积为6 π＋12π
D. 圆柱的表面积为2 π＋6π
解析：　因为AB＝4，AC＝2 ，所以BC＝ ＝
2 ，即r＝ ，又因为AA1＝3，所以圆柱的侧面积是2πrl＝
2π× ×3＝6 π，圆柱的表面积是2πrl＋2πr2＝6 π＋12π.故
选B、C.
2. （2024·枣庄质检）若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面
面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为 ，表面积
为 .
解析：设圆台的母线长为l，则由题意得π（2＋6）l＝π×22＋
π×62，所以8πl＝40π，所以l＝5，所以该圆台的母线长为5.圆台
的表面积为S＝π×（2＋6）×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝
80π.
5
80π
题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积
【例2】　（1）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是
16 π，则圆锥的体积是（　A　）
A. B.
C. 64π D. 128 π
A
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的轴截面是等腰直
角三角形，∴2r＝ ，即l＝ r，由题意得，侧面积S侧＝
πr·l＝ πr2＝16 π，∴r＝4.∴l＝4 ，高h＝ ＝4.
∴圆锥的体积V＝ Sh＝ π×42×4＝ π，故选A.
（2）已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，
则圆台的体积为 .
解析：设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如
图.∵母线长为10，∴102＝（4r）2＋（4r－r）2，解得r＝
2.∴下底面半径R＝8，高h＝8，∴V圆台＝ π（r2＋rR＋R2）h
＝224π.
224π
通性通法
圆柱、圆锥、圆台体积的求法
　　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高
一般利用几何体的轴截面求得，即由母线、高、半径组成的直角三角
形中列出方程并求解.
【跟踪训练】
1. 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最
短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（　　）
A. 5π B. 6π C. 20π D. 10π
解析：　 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
2. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的
体积为（　　）
A. 2 π B. π
C. π D. π
解析：　设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径r＝1，则由
2π×1＝πl得l＝2，所以h＝ ＝ ，所以V＝ πr2h＝
π×12× ＝ π.故选D.
题型三 球的表面积与体积
【例3】　（1）一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个
平面的距离是2 cm，则该球的体积是（　B　）
A. 12π cm3 B. 36π cm3
C. 64 π cm3 D. 108π cm3
B
解析：设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图
所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，
∴球的半径R＝OA＝ ＝3 cm，∴球的
体积V＝ π×33＝36π cm3.故选B.
（2）半径为2的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如
果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（　D　）
A. 100 B. 400
C. 100π D. 400π
解析：设大金属球的半径为r，则 ×23×125＝ ×r3 r＝
10，∴其表面积为4πr2＝400π.故选D.
D
通性通法
　　因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问
题时，设法求出球的半径是解题的关键.
【跟踪训练】
1. 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之
差的绝对值为 .
解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得
即整理，得
解得故两球的体积之差的绝对值为 π×43－
π×23＝ π（43－23）＝ π.
π
2. （2024·湖州月考）长、宽、高分别为2， ， 的长方体的外接
球的表面积为 .
解析：该长方体的体对角线长为 ＝
2 ，设外接球的半径为R，∴2R＝2 ，∴R＝ ，∴S球＝
4πR2＝12π.
12π
1. 球的体积是 ，则此球的表面积是（　　）
A. 12π B. 16π C. D.
解析：　设球的半径为R，∴ πR3＝ π，∴R＝2，∴S球＝
4πR2＝16π.
2. 若圆锥的底面半径为1，高为 ，则圆锥的表面积为（　　）
A. π B. 2π
C. 3π D. 4π
解析：　设圆锥的母线长为l，则l＝ ＝2，所以圆锥的表
面积为S＝π×1×（1＋2）＝3π.
3. 已知圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高
为（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析：　设圆台的高为h，由题意知V＝ π（12＋1×2＋22）h＝
7π，故h＝3.
4. 一个底面半径与高都为R的圆柱内挖掉一个等高、等底的圆锥的几
何体（如图所示），则该几何体的体积为 .
解析：圆柱的体积V1＝πR2·R＝πR3，圆锥的体积V2＝ πR3，所以
所求的几何体的体积为V1－V2＝πR3－ πR3＝ πR3.
πR3