【培优方案】8.4.1　平面（课件）人教A版数学必修第二册

(共58张PPT)
8.4.1　平面
新课程标准解读 核心素养
1.借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直
线、平面的基础上，抽象出空间点、直线、平面的概念 数学抽象、直观想象
2.了解基本事实和确定平面的推论 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直
尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整.
【问题】　你知道如此做的原理吗？
知识点一　平面的画法与表示
1. 平面的画法
画
法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平
行四边形的一边画成竖向
图示
2. 平面的表示方法
（1）用希腊字母表示，如平面α、平面β、平面γ等；
（2）用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，
如平面ABCD；
（3）用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母
表示，如平面AC，平面BD.
提醒　（1）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原
始概念，不能进行度量；（2）平面无厚薄、无大小，类似于
直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的，一个平面
可以将空间分成两部分.
知识点二　点、直线、平面之间的基本关系的符号表示
文字语言 符号语言
点A在直线l上 A l
点A在直线l外 A l
点A在平面α内 A α
点A在平面α外 A α
直线l在平面α内 l α
直线l在平面α外 l α
平面α，β相交于l α β＝l
∈　
　
∈　
　
　
　
∩　
提醒　（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系
是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；（2）平面也可以看成
点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”
表示；（3）直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集
合的关系，故用“ ”或“ ”表示.
知识点三　平面的基本事实及推论
1. 与平面有关的三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实
1 过
的三个
点，有且只有一
个平面 A，B，C三点不共线
存在唯一的α使A，
B，C∈α
不在一条直
线上　
基本事实 内容 图形 符号
基本事实
2 如果一条直线上
的 在
一个平面内，那
么这条直线在这
个平面内 A∈l，B∈l，且
A∈α，B∈α l α
两个点　
基本事实 内容 图形 符号
基本事实
3 如果两个不重合
的平面有一个公
共点，那么它们
有且只有一
条
，
且 α∩β＝
l，且P∈l
过该点的公
共直线　
P∈α　
P∈β　
2. 基本事实1、2的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一
点，有且只有一个平面 确定平
面的依
据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一
个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一
个平面 1. 如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？
提示：这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，
基本事实1强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一
个”，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替“有且只有
一个”，否则就没有表达存在性.
2. 如果两个不重合的平面有无数个公共点，那么这些公共点有什
么特点？
提示：这些公共点落在同一条直线上.
【想一想】
1. 用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是
（　　）
A. A m，m α B. A m，m∈α
C. A m，m α D. A m，m∈α
解析：　由题意用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α
内”，即A m，m α，故选A.
2. 下列几何元素可以确定唯一平面的是（　　）
A. 三个点 B. 圆心和圆上两点
C. 梯形的两条边 D. 一个点和一条直线
解析：　对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误；对
B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错
误；对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定
的平面唯一，C正确；对D，当点在直线上时，这个点和直线不能
确定唯一平面，D错误，故选C.
3. （2024·宁德月考）生活经验：“两个轮子的自行车在停止运动后
要加上一个支撑脚才稳定”，可以解释该经验的数学公理是
.
解析：类比三脚架知，支撑点形成一个平面才会保持稳定，因此加
上一个支撑脚后，两个轮子加支撑脚与地面接触点形成了不共线的
三点，确定了一个平面.
不共
线的三点确定一个平面
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 立体几何三种语言的相互转化
【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形：
（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
解：用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线
AB上.
解：用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图.
通性通法
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有
几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字
语言表示，再用符号语言表示；
（2）要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”
或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
提醒　根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线
和虚线的区别.
【跟踪训练】
画图表示下列语句（其中P，M表示点，l，m表示直线，α，β表
示平面）：
（1）P∈l，P α，l∩α＝M；
（2）α∩β＝m，P∈α，P m；
（3）P∈α，P∈β，α∩β＝m.
解：如图所示.
题型二 点、线共面问题
【例2】　如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c
＝C. 求证：直线a，b，c和l共面.
证明：法一（辅助平面法）　因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
因为C∈l，所以C∈α，所以直线a与点C同在平面α内.
因为a∥c，所以直线a，c确定一个平面β.
因为C∈c，c β，所以C∈β，即直线a与点C同在平面β内.
由推论1，可得平面α和平面β重合，则c α.
所以a，b，c，l共面.
法二（纳入平面法）　因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内.
同理可证c在a，l确定的平面内.
因为过a与l只能确定一个平面，
所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面.
通性通法
证明点、线共面的方法
　　证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，
常用的方法有：
（1）辅助平面法，先证明有关点、线确定平面α，再证明其余点、线
确定平面β，最后证明平面α，β重合；
（2）纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在
此平面内.
【跟踪训练】
已知A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图.求证：直线AD，BD，CD
共面.
证明：因为D l，所以l与D可以确定平面α.
因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD α.
同理，BD α，CD α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它
们共面.
题型三 点共线、线共点问题
【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，
AA1上的点，且D1F∩CE＝M. 求证：点D，A，M三点共线.
证明：因为D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA.
同理M∈平面ABCD，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以M∈AD成立.
所以点D，A，M三点共线.
通性通法
1. 证明三点共线的方法
2. 证明三线共点的步骤
【跟踪训练】
已知三个平面α，β，γ两两相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝
b，若直线a，b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点.
证明：因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a γ，b γ.
因为直线a与直线b不平行，
所以a，b必相交.
如图所示，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
因为a β，b α，所以P∈β，P∈α.
又因为α∩β＝c，所以P∈c，即交线c也经过点P，
所以，a，b，c三条直线必过同一点.
1. 若一直线a在平面α内，则正确的作图是（　　）
解析：　B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D
中直线a与平面α相交.
2. 如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，
N∈l，则（　　）
A. l α B. l α
C. l∩α＝M D. l∩α＝N
解析：　∵M∈a，a α，∴M∈α，又∵N∈b，b α，
∴N∈α，又M，N∈l，∴l α.
3. 若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记
作 .
解析：因为点Q（元素）在直线b（集合）上，所以Q∈b.又因为
直线b（集合）在平面α（集合）内，所以b α.所以Q∈b α.
Q∈b α
4. （2024·洛阳质检）如图所示，△ABC的三个顶点在平面α外，其三
边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所
示.求证：P，Q，R三点共线.
证明：因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又因为AB∩α＝P，AC∩α＝R，
所以平面APR∩平面α＝PR.
因为B∈平面APR，C∈平面APR，
所以BC 平面APR.
因为Q∈BC，所以Q∈平面APR，又Q∈α，
所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列图形中不一定是平面图形的是（　　）
A. 三角形 B. 菱形
C. 圆 D. 四边相等的四边形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 如图所示，用符号语言可表示为（　　）
A. α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B. α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C. α∩β＝m，n α，A m，A n
D. α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
解析：　由图可知平面α，β相交于直线m，直线n在平面α内，两
直线m，n交于点A，所以用符号语言可表示为α∩β＝m，n α，
m∩n＝A，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 若直线l上有两个点在平面α外，则下列说法正确的是（　　）
A. 直线l上至少有一个点在平面α内
B. 直线l上有无穷多个点在平面α内
C. 直线l上所有点都在平面α外
D. 直线l上至多有一个点在平面α内
解析：由已知得直线l α，故直线l上至多有一个点在平面α内.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线
外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面，前者可以推出后
者；当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者；
所以空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）下列命题中正确的有（　　）
A. 一条直线和一个点可以确定一个平面
B. 经过两条相交直线，有且只有一个平面
C. 经过两条平行直线，有且只有一个平面
D. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点一定在两个
平面的交线上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　对于A选项，当这个点在直线上时，无法确定一个平面，故A错误；对于B、C选项，均为基本事实1的推论，故B、C正确；对于D选项，交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，必然在交线上，故D正确.故选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列
推理正确的是（　　）
A. A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B. M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C. A∈α，A∈β α∩β＝A
D. A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　对于A，由基本事实2可知，a β，A正确；对于B，
∵M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事实2可知，直线
MN α，MN β，∴α∩β＝MN，B正确；对于C，∵A∈α，
A∈β，∴A∈（α∩β）.由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线
而不是点A. 故C错误；对于D，∵A，B，M不共线，由基本事实
1可知，过A，B，M有且只有一个平面，故α，β重合.故选A、
B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中回答下列问题：
（1）平面AB1∩平面A1C1＝ ；
（2）平面A1C1CA∩平面AC＝ .
A1B1
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. （2024·郑州月考）互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，
最多可确定 个平面.
解析：当四条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平
面，平面最多，如正方体的四条侧棱，所以最多可确定6个平面.
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 若直线l与平面α交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，
求证：O，C，D三点共线.
证明：如图，∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB，AB β，
∴O∈β，
∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点.
证明：不妨设AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形，
∴AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1.
∵BB1 平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1.
同理可证，S∈平面ACC1A1，
∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上，
即S∈CC1，
∴AA1，BB1，CC1三线共点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中（　　）
A. 必有三点共线 B. 必有三点不共线
C. 至少有三点共线 D. 不可能有三点共线
解析：　如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中
点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（　　）
A. C1，M，O三点共线
B. C1，M，O，C四点共面
C. C1，O，A，M四点共面
D. D1，D，O，M四点共面
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　在题图中，连接A1C1，AC（图略），则AC∩BD
＝O，又A1C∩平面C1BD＝M. ∴三点C1，M，O在平面C1BD
与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A、B、C
均正确，D不正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （2024·莱芜质检）一个正三棱柱各面所在的平面将空间分
成 部分.
解析：三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面
又在这个基础上将空间分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将
空间分成3×7＝21部分.
21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.
解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在平面SBD和平面SAC的交线上.
由于AB＞CD，则分别延长AC和BD交于点E，
如图所示，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵E∈AC，AC 平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE就是
平面SBD和平面SAC的交线.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 如图，空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重
心，若BD＝m，则MN＝ .
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：如图，连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于
F，连接MN，EF，∴BE＝EC，CF＝FD，∴EF＝ BD＝
m，又∵AM＝ AE，AN＝ AF，∴MN＝ EF＝ m.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外
一点，P 直线AB，P α，若直线AP，BP与平面α分别相交于
A'，B'.试问，如果点P任意移动，直线A'B'是否恒过一定点？请
说明理由.
解：随着点P移动，直线A'B'恒过定点O. 理由如下：
由直线AB和直线外一点P可确定平面β，
因为AP∩α＝A'，BP∩α＝B'，
所以α∩β＝A'B'，而AB∩α＝O，所以O一定在交线A'B'上，即
直线A'B'恒过定点O.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16