【培优方案】8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系（课件）人教A版数学必修第二册

(共57张PPT)
8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
新课程标准解读 核心素养
借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的
位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面
的位置关系的定义 逻辑推理、直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种.在空间
中，情况就不同了.例如，如图所示，教室中日光灯管所在直线与黑
板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交
也不平行.
【问题】　你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗？
知识点一　空间中直线与直线的位置关系
1. 异面直线
（1）定义：不同在 平面内的两条直线；
（2）异面直线的画法：
任何一个　
2. 空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交直线 在同一平面内， 公共点
平行直线 在同一平面内， 公共点
异面直线 不同在任何一个平面内， 公共点
【想一想】
分别在不同平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示：不一定.分别在两个平面内的直线，既可能是平行直线，也
可能是相交直线，还可能是异面直线.
有且只有一个　
没有　
没有　
知识点二　直线与平面、平面与平面的位置关系
1. 直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相
交 直线a与平面α平
行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
2. 两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点（在一条直
线上）
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点，正确吗？
提示：不正确，当直线a与平面α相交时，有一个公共点，也称为
直线a在平面α外.
【想一想】
1. 一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条（　　）
A. 相交 B. 异面
C. 相交或异面 D. 平行
2. 已知直线a∥平面α，直线b 平面α，则（　　）
A. a∥b B. a与b异面
C. a与b相交 D. a与b无公共点
解析：　因为直线a∥平面α，所以直线a与平面α无公共点，
而直线b 平面α，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点.故
选D.
3. 若平面α∥平面β，a α，b β，则直线a和b的位置关系是
.
解析：因为平面α∥平面β，则平面α与平面β没有公共点，而
a α，b β，于是得直线a和b没有公共点，所以直线a和b是异
面直线或是平行直线.
平行
或异面
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与直线位置关系的判断
【例1】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中：
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝
BC. ∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
解析：直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
解析：直线D1D与直线D1C相交于点D1.
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是 .
解析：直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
平行
异面
相交
异面
通性通法
1. 判断空间中两条直线位置关系的诀窍
（1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位
置关系，特别关注异面直线；
（2）重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线
的位置关系.
2. 判定两条直线是异面直线的方法
（1）定义法：证明两条直线既不平行又不相交；
（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平
面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为
l α，A α，B∈α，B l AB与l是异面直线（如图）.
【跟踪训练】
1. 已知空间中两条不重合的直线a，b，则“a与b没有公共点”是
“a∥b”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　“直线a与b没有公共点”表示两条直线a∥b或者a与
b是异面直线，所以“a与b没有公共点”是“a∥b”的必要不充
分条件.故选B.
2. （2024·南阳质检）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a
和c的位置关系可能是 .
解析：如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'
所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是
异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方
体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'，故a和
c可以平行、相交或异面.
平行、相交或异面
题型二 直线与平面位置关系的判断
【例2】　（1）已知a，b是两条平行直线，且a∥平面β，则b与β的
位置关系是（　D　）
A. 平行 B. 相交
C. b在平面β内 D. 平行或b在平面β内
D
解析：借助长方体判断.如图所示.A'B'∥C'D'，
A'B'∥平面ABCD，C'D'∥平面ABCD，即有b∥β的
可能；A'B'∥AB，A'B'∥平面ABCD，AB 平面
ABCD，即也有b β的可能.故选D.
①若直线a在平面α外，则a∥α；
②若直线a∥b，b 平面α，则a∥α；
③若直线a平行于平面α内的无数条直线，则a∥α.
（2）给出下列说法：
其中说法正确的个数为（　A　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
A
解析：对于①，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与
α相交，∴a和α不一定平行，故①说法错误；对于②，∵直线
a∥b，b 平面α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α
内，∴a不一定平行于α，故②说法错误；对于③，当a α时，
α内也存在无数条直线与直线a平行，故③说法错误.
通性通法
直线与平面位置关系的判断
（1）空间直线与平面位置关系的判断是解决问题的突破口，这类问
题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型（如正方体、长
方体等）也是解决这类问题的有效方法；
（2）要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内，要证明
直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证
明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
【跟踪训练】
　若a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是
（　　）
A. b∥α B. b与α相交
C. b α D. 以上三种情况都有可能
解析：　若a，b是异面直线，且a∥平面α，则根据空间中线面的
位置关系可得，b∥α，或b α，或b与α相交.
题型三 平面与平面位置关系的判断
【例3】　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平
行，那么两个平面的位置关系一定是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 不能确定
解析：　如图所示，a α，
b β，a∥b.由图形可知，这两
个平面可能相交，也可能平行.
【母题探究】
（变条件）本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线
是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
解：如图，a α，b β，a，b异面.由图知这两个平面可能平行，也可能相交.
通性通法
1. 平面与平面位置关系的判断方法
（1）平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个
交点；
（2）平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点.
2. 常见的平面与平面平行的模型
（1）棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
（2）长方体的六个面中，三组相对面平行.
【跟踪训练】
1. （多选）以下四个命题中正确的有（　　）
A. 在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B. 在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行
C. 平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等
且不为0，那么这两个平面平行
D. 平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面
平行或相交
解析：　当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于
它们的交线，即平行另一个平面，所以A、B错误.
2. （2024·梅州月考）已知直线a，平面α，β，且a∥α，a∥β，则平
面α与β的位置关系是 .
解析：因为a∥α，a∥β，所以平面α与β相交（如图①）或平行
（如图②）.
相交或平行
1. 异面直线是指（　　）
A. 空间中两条不相交的直线
B. 分别位于两个不同平面内的两条直线
C. 平面内的一条直线与平面外的一条直线
D. 不同在任何一个平面内的两条直线
解析：　对于A，空间中两条不相交的直线有两
种可能，一个是平行（共面），另一个是异面，
所以A应排除；对于B，分别位于两个不同平面内
的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异
面，如图，就是相交的情况，所以B应排除；对于
C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a
与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，
所以C应排除；只有D符合定义.
2. 若平面α∥平面β，l α，则l与β的位置关系是（　　）
A. l与β相交 B. l与β平行
C. l在β内 D. 无法判定
解析：　∵α∥β，l α，可得l∥β.故选B.
3. “直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　若直线l与平面α没有公共点，那直线l与平面α只能平
行，故充分性成立；若直线l与平面α平行，则直线l与平面α没有
公共点，故必要性也成立，所以“直线l与平面α没有公共点”是
“直线l与平面α平行”的充要条件.故选C.
4. 已知不重合的直线a，b与平面α，满足a∥α，b∥α，则a与b的
位置关系是 .
解析：如图，在长方体中，a∥α，b∥α，a与b相交，b'∥α，a与b'异面，b″∥α，a与b″平行，故a与b的位置关系有：平行、异面或相交.
平行、异面或相交
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系
是（　　）
A. 平行或异面 B. 相交或异面
C. 异面 D. 相交
解析：　可借助长方体来判断.如图，在长方体
ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又
AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1
与BC是异面直线，故B正确.
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2. 已知点P，Q，R，S分别是正方体的四条棱的中点，则下列图形
中直线PQ与RS是异面直线的是（　　）
解析：　A，B中PQ与RS平行，D中PQ与RS相交.
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3. 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1与平面DCC1D1的位置
关系是（　　）
A. 相交 B. 平行
C. 不确定 D. 异面
解析　由棱台的定义可知，平面ABB1A1与平面DCC1D1一定相
交.故选A.
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4. 在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面（面
AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面
A1B1CD）所在的平面内，与棱AA1平行的平面共有（　　）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
解析：　如图所示，结合图形可知AA1∥平面
BCC1B1，AA1∥平面DCC1D1，AA1∥平面
BB1D1D.
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5. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 若直线l与平面α不平行，则l与α相交
B. 直线l在平面α外是指直线l和平面α平行
C. 如果直线l经过平面α内一点P，又经过平面α外一点Q，那么直线
l与平面α相交
D. 如果直线a∥b，且a与平面α相交于点P，那么直线b必与平面α
相交
解析：　若直线l与平面α不平行，则l与α相交或l α，所以A不正确；若l α，则l∥α或l与α相交，所以B不正确；由平面和直线的位置关系可知，C、D正确.故选C、D.
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6. （多选）下列结论正确的是（　　）
A. 直线a∥平面α，直线b α，则a∥b
B. 若a α，b α，则a，b无公共点
C. 若a α，则a∥α或a与α相交
D. 若a∩α＝A，则a α
解析：　a和b可以异面，故A错误；若b α则b和α可以相交，
故B错误；若直线在平面外，则直线和平面相交或平行，故C正
确；若a∩α＝A，说明直线和平面只有一个交点，故D正确.故选
C、D.
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7. 若点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的位置关系是
.
解析：因为点A∈α，B α，C α，所以平面ABC与平面α有公共
点，且不重合，所以平面ABC与平面α的位置关系是相交.
相
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8. 直线a与直线b相交，直线c与直线b相交，则直线a与直线c的位
置关系是 .
解析：如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；又
AD与AA1相交，AB与AD相交；又A1D1与AA1相
交，AB与A1D1异面.
相交、平行或异面
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9. 过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面
ABB1A1平行的直线共有 条.
解析：如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，
ED，DD1，D1E，DE1.
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10. 如图，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系：
（1）点P与直线AB；
解：点P∈直线AB.
（2）点C与直线AB；
解：点C 直线AB.
（3）点A1与平面AC；
解：点A1 平面AC.
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（4）直线AB与直线BC；
解：直线AB∩直线BC＝点B.
（5）直线AB与平面AC；
解：直线AB 平面AC.
（6）平面A1B与平面AC.
解：平面A1B∩平面AC＝直线AB.
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11. 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α
与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）
A. l与l1，l2都相交
B. l与l1，l2都不相交
C. l至少与l1，l2中的一条相交
D. l至多与l1，l2中的一条相交
解析：由图①可知，A、B错误；
由图②可知，D错误.
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12. （2024·开封月考）三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是
（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析：按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图①，可将空间分
成4个部分；
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（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图②，可将空间分成6个部分；
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综上所述，可以为4，6，7，8个部分，不能为5个部分.
（3）三个平面中没有平行的平面：（ⅰ）三个平面两两相交且交
线互相平行，如图③，可将空间分成7个部分；（ⅱ）三个平面两
两相交且三条交线交于一点，如图④，可将空间分成8个部分；
（ⅲ）三个平面两两相交且交线重合，如图⑤，可将空间分成6个
部分；
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13. 已知点A，B是平面α外的两点，则过点A，B与平面α平行的平面
有 个.
解析：当A，B两点在平面α两侧时，不存在这样的平面与α平
行；当A，B两点在平面α同侧时，若直线AB∥平面α，则存在一
个平面与平面α平行，若直线AB与平面α不平行，则不存在与平面
α平行的平面.故过点A，B与α平行的平面有0或1个.
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14. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，E是PC的中点，连接AE. 求
证：AE与PB是异面直线.
证明：假设AE与PB共面于平面α，连接BE（图略）.
因为A∈α，B∈α，E∈α，
所以平面ABE即为平面α，所以P∈平面ABE，
这与P 平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线.
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15. （多选）（2024·泉州月考）以下结论中正确的是（　　）
A. 过平面α外一点P，有且仅有一条直线与α平行
B. 过平面α外一点P，有且仅有一个平面与α平行
C. 过直线l外一点P，有且仅有一条直线与l平行
D. 过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l平行
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解析：　如图①所示，过点P有无数条直线与α平行，这无数条直线都在平面β内，过点P有且只有一个平面与α平行，故A错误，B正确；如图②所示，过点P只有一条直线与l平行，但
有无数个平面与l平行，故C正确，D错误.
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16. 如图，已知平面α和β相交于直线l，A∈α，B∈α，C∈β，且
A l，B l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线和
l有什么关系？证明你的结论.
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解：平面ABC与平面β的交线和l相交，证明如下：
∵AB与l不平行，AB α，l α，∴AB与l是相交直线.
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.
又∵AB 平面ABC，l β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，
即点P是平面ABC与平面β的一个公共点.
又∵点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，且P，C不重合，
∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝
直线PC.
∵直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线和l相交.
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