【培优方案】9.2.4　总体离散程度的估计（课件）人教A版数学必修第二册

(共70张PPT)
9.2.4　总体离散程度的估计
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数
（标准差、方差、极差） 数据分析
2.理解离散程度参数的统计含义 数学运算
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如表所示）检查它
们的抗拉强度（单位：kg/mm2），通过计算发现，两个样本的平均数
均为125 kg/mm2.
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125
乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
【问题】　哪种钢筋的质量较好？
知识点　总体离散程度的估计
1. 平均距离
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用 表示这组数据的平均数.我
们用每个数据与平均数的差的 作为“距离”，即｜xi－
｜（i＝1，2，…，n）作为xi到 的“距离”.可以得到这组数
据x1，x2，…，xn到 的“平均距离”为 ｜xi－ ｜.
绝对值　
2. 方差、标准差
绝对值改用平方来代替，即 （xi－ ）2＝ 　 － 　，
我们称为这组数据的 .取它的算术平方根，即
，我们称为这组数据的 .
－ 　
方差　
标准差　
3. 总体方差、总体标准差
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均
数为 ，则称S2＝ 　 （Yi－ ）2　为总体方差，S＝ 　 　
为总体标准差.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记
为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），
则总体方差为S2＝ .
（Yi－ ）2　
　
fi（Yi－ ）2　
4. 样本方差、样本标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数
为 ，则称s2＝ 　 （yi－ ）2　为样本方差，s＝ 　 　为
样本标准差.
（yi－ ）2　
　
提醒　标准差、方差的意义：①标准差、方差描述了一组数据围绕
平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标
准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极
差；②标准差、方差的取值范围是[0，＋∞）.标准差、方差为0
时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性；
③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程
度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样
的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
1. 下列数字特征不能反映样本数据的离散程度、波动情况的是（　）
A. 极差 B. 平均数
C. 方差 D. 标准差
解析：　平均数描述数据的集中趋势，极差、方差、标准差描述
数据的离散程度.故选B.
2. 已知有样本数据2，4，5，6，8，则该样本的方差为（　　）
A. 5 B. 4
C. 2 D. 0
解析：　平均数为 ＝5.该样本的方差为
＝4.故选B.
3. （2024·济南月考）国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选
出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
则应派 参赛最为合适.
解析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去
参赛最合适.
丙
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 标准差、方差的计算与应用
【例1】　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质
量，从中各抽取6件测量，数据如下：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
（1）分别计算两组数据的平均数及方差；
解： ＝ ×（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100，
＝ ×（99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100.
＝ ×[（99－100）2＋（100－100）2＋（98－100）2＋
（100－100）2＋（100－100）2＋（103－100）2]＝ ，
＝ ×[（99－100）2＋（100－100）2＋（102－100）2＋
（99－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2]＝1.
（2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
解：两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 ＞ ，所
以乙机床加工零件的质量更稳定.
通性通法
1. 计算方差常用公式
（1）定义法：s2＝ [（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2]；
（2）简化法：s2＝ [（ ＋ ＋…＋ ）－n ].
2. 具有线性关系的数据的平均数和方差
若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋
b，且数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为 和s2，那么
y1，y2，…，yn的平均数为a ＋b，方差为a2s2，标准差为｜
as｜.
特别地，若yi＝xi±b，则y1，y2，…，yn的平均数为 ±b，方差
为s2，标准差为s；若yi＝kxi，则y1，y2，…，yn的平均数为k ，
方差为k2s2，标准差为｜ks｜.
【跟踪训练】
1. 现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组
数据的标准差是（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　由s2＝ － ，得s2＝ ×100－32＝1，∴s＝1.
2. （2024·开封月考）一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得
一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，求原来数
据的平均数和方差.
解：法一　设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，则新数据为2x1
－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80，所以
＝1.2，所以
＝1.2，
则原来数据的平均数为 ＝40.6. [（2x1－80－1.2）2
＋（2x2－80－1.2）2＋…＋（2xn－80－1.2）2]＝4.4，即 [（2x1－
81.2）2＋（2x2－81.2）2＋…＋（2xn－81.2）2]＝4.4，则原来数据
的方差为 [（x1－40.6）2＋（x2－40.6）2＋…＋（xn－40.6）2]＝
[（2x1－81.2）2＋（2x2－81.2）2＋…＋（2xn－81.2）2]＝
×4.4＝1.1.
法二　设原数据的平均数为 ，方差为s2，则数据中的每一个数都乘
2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2 －80，方差为
22s2，由题意得解得
题型二 分层随机抽样的方差
【例2】　甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60
kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、
乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重
和方差分别是多少？
解：由题意可知 ＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝
＝ ，
＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝ ＝ ，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为
＝w甲 ＋w乙 ＝ ×60＋ ×70＝68（kg），
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝w甲[＋（ － ）2]＋w乙[＋（ － ）2]
＝ [200＋（60－68）2]＋ [300＋（70－68）2]＝296.
通性通法
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
（1）确定 ， ， ， ；
（2）确定 ；
（3）应用公式s2＝ [＋（ － ）2]＋ [＋（ － ）2]，计
算s2.
【跟踪训练】
（2024·温州月考）在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩
统计如表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 30 2
乙 20 3
其中 ＝ ，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（　　）
A. 2.2 B. 2.6
C. 2.5 D. 2.4
解析：　由题意知，甲、乙两个班数学成绩的平均数为 ＝ ＝
，则两个班数学成绩的方差为s2＝ [2＋（ － ）2]＋
[3＋（ － ）2]＝ ＋ ＝2.4.故选D.
题型三 方差、标准差与统计图表的综合应用
【例3】　（2024·周口月考）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学
测试中的成绩统计如图，则下列说法错误的是（　　）
C. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D. 甲成绩比乙成绩稳定
解析：　对于A，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的
平均成绩，A正确；对于B，由折线图可知，甲同学的成绩较乙同学
的成绩更稳定，所以 ＜ ，B错误；对于C，由折线图可知，甲成
绩的极差小于乙成绩的极差，C正确；对于D，甲成绩比乙成绩稳
定，D正确.
通性通法
统计图中数字特征的求解技巧
　　根据统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意
义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性
小的方差小.
【跟踪训练】
　甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）的频数条形统计图如图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差 ， ， 的大小关系是（　　）
解析：　方差表示数据稳定程度，越稳定方差越小，丙的成绩集中
在6环，乙的成绩平均分散，甲的成绩分散在两边，所以丙的成绩最
稳定，方差最小；甲的成绩最不稳定，方差最大，所以 ＜ ＜
.
1. 已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为
（　　）
A. 1 D. 2
解析：　∵ ＝ ×（1＋2＋3＋4＋5）＝3，∴s＝
＝ .
2. 若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方
差为（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析：　数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，则数据2x1，
2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.故选D.
3. 样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平
均值为1，则其方差为（　　）
D. 2
解析：依题意得m＝5×1－（0＋1＋2＋3）＝－1，样本方差s2＝ ×[（－1）2＋02＋12＋22＋（－2）2]＝2，即所求的样本方差为2.
4. 在某次考试中，要对甲、乙两名同学的学习成绩进行比较，甲同学
的平均分 ＝76，方差 ＝4，乙同学的平均分 ＝77，方差
＝10，根据以上数据，你认为哪位同学的平均成绩好？哪位同
学的各科发展均衡？
解： 代表平均水平，因为 ＜ ，所以乙同学的平均成绩好.
s2表示相对于平均成绩的集中与分散、稳定与波动的大小，因为
＜ ，所以甲同学的各科发展均衡.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得
分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次
篮球比赛中，发挥更稳定的是（　　）
A. 甲 B. 乙
C. 甲、乙相同 D. 不能确定
解析：　因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差
3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲
发挥更稳定.故选A.
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2. （2024·莆田月考）有一农场在同一块稻田中种植一种水稻，连续8
年的亩产量（单位：kg）如下：450，430，460，440，450，440，
470，460，则其方差为（　　）
A. 120 B. 80
C. 15 D. 150
解析：　因为连续8年的亩产量的平均数为 ×（450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460）＝450，所以其方差为 ×[（450－450）2＋（430－450）2＋（460－450）2＋（440－450）2＋（450－450）2＋（440－450）2＋（470－450）2＋（460－450）2]＝150.
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3. 已知样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如
图所示，则标准差最大的是（　　）
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解析：　选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选
项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，
样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据
为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D. 也可由
样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D
中的数据波动最大.
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4. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入
新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为 ，方差为
s2，则（　　）
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解析：　设这10个数据分别为：x1，x2，…，x7，x8＝4，x9＝
5，x10＝6，根据题意 ＝5 x1＋x2＋…＋x7＝35，
＝2 （x1－5）2＋（x2－5）
2＋…＋（x7－5）2＝14，所以 ＝ ＝ ＝
5，s2＝ ＝
＝1.6.故选B.
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5. （多选）高一某班的同学在学习了“统计”后，进行了交流讨论.
甲同学说：“平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标.”
乙同学说：“众数刻画了总体中个体的稳定或波动程度.”
丙同学说“方差越小，表明个体越整齐，波动越小.”
丁同学说：“两组样本数据对比分析时，极差较大的一组数据其方
差也较大.”
其中说法正确的是（　　）
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
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解析：　平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标，甲的说法正确；方差刻画了总体中个体的稳定或波动程度，乙的说法错误；方差越小，表明个体越整齐，波动越小，丙的说法正确；两组样本数据对比分析时，一组数据极差较大不能说明其方差也较大，丁的说法错误.故选A、C.
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6. （多选）（2024·金华月考）一组数据x1，x2，…，xn的平均数为
6，方差为1，则关于新数据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列说
法正确的是（　　）
A. 这组新数据的平均数为6
B. 这组新数据的平均数为9
C. 这组新数据的方差为1
D. 这组新数据的方差为4
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解析：　由题意得：x1＋x2＋…＋xn＝6n，（x1－6）2＋（x2
－6）2＋…＋（xn－6）2＝n，则
＝ ＝
9， ＝
＝4，所以这组新数据的平
均数为9，方差为4.故选B、D.
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7. 为了考查某种小麦的长势，从中抽取10株麦苗，测得苗高（单位：
cm）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的
极差是 .
解析：苗高数据中最大的为19，最小的为8，所以极差为19－8＝11.
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8. （2024·广州月考）若一组10个数据a1，a2，…，a10的平均数为3，
方差为6，则 ＋ ＋…＋ ＝ .
解析：由题意可知，这10个数据的平均数为 ＝ ai＝3，方差
为s2＝ （ai－ ）2＝ （ －10 ）＝ （ －90）
＝6，解得 ＋ ＋…＋ ＝ ＝150.
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9. 某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过
一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为
130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这
次测试中全班学生方差为 .
解析：依题意 ＝130， ＝115， ＝110， ＝215，∴ ＝
×130＋ ×110＝115（分），∴全班学生成绩的方差为
s2＝ [＋（ － ）2]＋ ·[＋（ － ）2]＝
×（115＋225）＋ ×（215＋25）＝85＋180＝265.
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10. 某教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名
学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测
评（满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度
越高，分数越低说明人民满意度越低）.去年测评的数据如下：
甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；
乙校：108，101，94，105，96，93，97，106.
（1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均
数、中位数；
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解：甲学校人民满意度测评数据的平均数为 ＝ ×
（96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98）＝100，
中位数为 ＝99，
乙学校人民满意度测评数据的平均数为 ＝ ×（108＋
101＋94＋105＋96＋93＋97＋106）＝100，
中位数为 ＝99.
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（2）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差；
解：甲学校人民满意度测评数据的方差为 ＝ ×[（96－100）2＋（112－100）2＋…＋（98－100）2]＝55.25，
乙学校人民满意度测评数据的方差为 ＝ ×[（108－
100）2＋（101－100）2＋…＋（106－100）2]＝29.5.
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（3）根据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满意度比较好？
解：由（1）（2）可知甲、乙两学校人民满意度测评数据的平均数相同，中位数相同，而乙学校人民满意度测评数据的方差小于甲学校的方差，故乙学校人民满意度比较好.
甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；
乙校：108，101，94，105，96，93，97，106.
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11. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的
点数，四名同学各自的五次点数统计结果如下：
甲：平均数为3，中位数为2；
乙：中位数为3，众数为2；
丙：中位数为3，极差为4；
丁：平均数为2，方差为2.4.
通过以上数据可以判断一定没出现6点的是（　　）
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
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解析：　若甲5次出现的点数为：1，1，2，5，6，显然平均数
为3，中位数为2，会出现6点；若乙5次出现的点数为：2，2，3，
5，6，显然中位数为3，众数为2，会出现6点；若丙5次出现的点
数为：2，2，3，5，6，显然中位数为3，极差为4，会出现6点；
丁的平均数为2，方差为2.4，当有6点时， ＝3.2＞2.4，
显然不可能，故选D.
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12. 在某市高三第一次诊断性考试后，各班级都有外出学习艺体的同
学回归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学
成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确
的是（　　）
A. 平均分变大，方差不变
B. 平均分变小，方差不变
C. 平均分不变，方差变大
D. 平均分不变，方差变小
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解析：　设该班原有n位同学，数学成绩记为a1，a2，a3，…，
an，原平均分 ＝ ，原方差 ＝
，该同学回归校园后新
平均分 ＝ ＝ ＝ ，即平均分不
变.该同学回归校园后新方差 ＝

＝ ＝ ＜
，即方差变小.故选D.
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13. （多选）春节7天假期期间，高速公路免费通行.如图是某部门统计的甲、乙两个收费站在第n天的通行车辆数量统计图，则下列结论正确的是（　　）
A. 甲收费站的平均通行车辆数多于乙收费站的平均通行车辆数
B. 甲收费站通行车辆数的极差大于乙收费站通行车辆数的极差
C. 甲收费站通行车辆数的中位数大于乙收费站通行车辆数的中位数
D. 甲收费站通行车辆数的方差大于乙收费站通行车辆数的方差
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解析：　对于A，甲收费站的平均通行车辆数为 ≈1 371，乙收费站的平均通
行车辆数为 ≈1 343，故甲收费
站的平均通行车辆数多于乙收费站的平均通行车辆数，故A正
确；对于B，甲收费站通行车辆数的极差为2 000－800＝1 200，
乙收费站通行车辆数的极差为1 800－800＝1 000，故B正确；
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对于C，甲收费站通行车辆数为800，1 200，1 200，1 200，1 600，1
600，2 000，中位数为1 200，乙收费站通行车辆数为800，800，1 200，
1 600，1 600，1 600，1 800，中位数为1 600，故C错误；对于D，通
过方差公式计算甲、乙收费站通行车辆数的方差，可以判断甲收费站
通行车辆数的方差小于乙收费站通行车辆数的方差，故D错误.
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14. 某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均
年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，
2人38岁，则该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差分
别为 .
39.2，20.64
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解析：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为 ＝
＝45（岁），年龄的方差为 ＝ [3×（58－
45）2＋5×（40－45）2＋2×（38－45）2]＝73，所以该校中级职
称和高级职称教师的平均年龄为 ＝ ×38＋ ×45≈39.2
（岁），该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s2＝
[2＋（38－39.2）2]＋ ·[73＋（45－39.2）2]＝20.64.
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住户编号 1 2 3 4 5 6
A小区（分钟） 220 180 210 220 200 230
B小区（分钟） 200 190 240 230 220 210
15. 某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分
类调研工作，依据住户情况对近一周（7天）进行生活垃圾分类占
用时间统计如下：
（1）分别计算A、B两个小区每周进行生活垃圾分类所用时间的
平均值和方差；
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解： ＝ ×（220＋180＋210＋220＋200＋230）＝210（分钟），
＝ ×（200＋190＋240＋230＋220＋210）＝215（分钟），
＝ ×[（220－210）2＋（180－210）2＋（210－210）2
＋（220－210）2＋（200－210）2＋（230－210）2]＝ ，
＝ ×[（200－215）2＋（190－215）2＋（240－215）2＋（230－
215）2＋（220－215）2＋（210－215）2]＝ .
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（2）假设A小区有1 000户，为更好地进行生活垃圾分类，市环
卫局与A小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
方案一：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利
民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错，每位工作人员的月工资按照3 000元（按照28天计算标准）计算；
方案二：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，
物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职人员对生活垃
圾分类的效果相当于4位普通居民对生活垃圾分类的效果，
每位专职人员（每天工作8小时）的月工资按照4 000元（按
照28天计算标准）计算.
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①若选择方案一，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
②若选择方案二，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
③试分析哪个方案的惠民力度大，更值得推广.
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解：①A小区一个月至少需要1 000÷200＝5位工作人员进行检查和纠错，其费用是5×3 000＝15 000（元），
每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为 ＝15（元）.
②由（1）知，A小区平均每位住户每周需要210分钟进行生活垃圾分类，
则A小区全部住户一个月平均需要210×4×1 000＝840 000（分钟）进行生活垃圾分类，
则A小区一个月至少需要专职人员 ≈16（位），
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则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为 ＝64（元）.
③按照每位住户每个月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择方案一惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；对于高档小区的居民，可以选择方案二，这只是方便个别高收入住户.
综上，方案一的惠民力度大，更值得推广.
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