【培优方案】10.3　频率与概率（课件）人教A版数学必修第二册

(共63张PPT)
10.3　频率与概率
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，会用频率估计概率 数学抽象、数据
分析
2.了解随机数的意义，会用模拟法估计概率，理
解用模拟法估计概率的实质 数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是
一样的，都是 .很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样
的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有
更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型
的对称性，体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地.为
了解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结
果可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近 ，
我们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将
固定在 处，即正面和反面出现的概率都为 .
【问题】　你认为频率与概率之间有什么关系？
知识点一　频率的稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生
的频率具有 .一般地，随着试验次数n的 ，频率偏
离概率的幅度会 ，即事件A发生的 会逐渐
稳定于事件A发生的 .我们称频率的这个性质为频率
的 .因此，我们可以用频率fn（A）估计 .
随机性　
增大　
缩小　
频率fn（A）　
概率P（A）　
稳定性　
概率P（A）　
频率和概率可以相等吗？
提示：可以相等.但因为每次试验的频率为多少是不固定的，而概率
是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的.
【想一想】
知识点二　随机模拟
1. 产生随机数的方法
（1）利用计算器或计算机软件产生随机数；
（2）构建模拟试验产生随机数.
2. 蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
提醒　随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，
用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思
想是用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.
1. 气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是
（　　）
A. 本市明天将有90%的地区降雨
B. 本市明天将有90%的时间降雨
C. 明天出行不带雨具肯定会淋雨
D. 明天出行不带雨具可能会淋雨
解析：　“本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨
的可能性为90%”.故选D.
2. 从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100
次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9
则取到号码为奇数的频率是（　　）
A. 0.53 B. 0.51
C. 0.49 D. 0.47
解析：　由题意知，取到号码为奇数的频率为 ＝
0.51，故选B.
3. （2024·宁德月考）某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人
员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有
2套次品，则该厂所生产的2 500套座椅中大约有 套次品.
解析：设有n套次品，由概率的统计定义，知 ＝ ，解得n
＝50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品.
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 用频率估计概率
【例1】　某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
解：表中从左到右依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，
0.92，0.89，0.91.
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解：由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击
中靶心的概率约是0.9.
通性通法
1. 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.频率本身是随
机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定
值就是概率.
2. 解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用
频率估计概率.
【跟踪训练】
下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
（1）计算各组优等品频率，填入上表；
解：根据优等品频率＝ ，可得优等品的频率从左到右
依次为：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.
（2）根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
解：由（1）可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附
近，故估计“抽取的是优等品”的概率是0.95.
题型二 游戏的公平性
【例2】　（2024·汕头月考）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有
4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.
（1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个
球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平
局），求甲获胜的概率；
解：记甲、乙摸出的数字为（x，y），则共有16种情况，
则x＞y的有（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），
（3，1），（2，1），共6种情况，故甲获胜的概率为 ＝ .
（2）摸球方法与（1）相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同
甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明
理由.
解：不公平.理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有
（4，4），（3，3），（2，2），（1，1），共4种情况，
故甲获胜的概率为 ＝ ，乙获胜的概率为 ＝ ，故不公平.
通性通法
游戏公平性的标准及判断方法
（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或
概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平的；
（2）具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行
比较.
【跟踪训练】
某校高一年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛
热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始
时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一
个节目.（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7
的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一
个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数
时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜.
该方案对双方是否公平？为什么？
解：该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数
的有6种，为奇数的也有6种，
所以（1）班代表获胜的概率P1＝ ＝ ，
（2）班代表获胜的概率P2＝ ＝ ，
即P1＝P2，机会是均等的，
所以该方案对双方是公平的.
题型三 用随机模拟估计概率
【例3】　（1）通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰有三次击中目标，那
么四次射击中恰有三次击中目标的概率约为 ；

解析：表示三次击中目标的随机数分别是3013，2604，5725，6576，
6754，共5组，而随机数总共20组，所以所求的概率约为 ＝ .
（2）在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小
球，分别标有数字1，2，3，4.现有放回地每次从中任意取出一
个小球，若标有偶数的球都取到过，则停止摸球.小明用随机模
拟的方法估计恰好在第3次停止摸球的概率，利用计算机软件产
生1～4之间（包括1和4）取整数值的随机数，每1组中有3个数
字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随
机数：
131 432 123 233 234 122 332 141 312
241 122 214 431 241 141 433 223 442
由此估计恰好在第3次停止摸球的概率.
解：在18组随机数中，表示恰好在第3次停止摸球的是432，
234，214，442，共4组，则估计恰好在第3次停止摸球的概率为
P＝ ＝ .
通性通法
1. 利用随机模拟试验估计概率可适用的事件类型特点
（1）对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题；
（2）对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重
复、不遗漏的概率问题，或对于基本事件的等可能性难以验
证的概率问题.
2. 利用随机模拟试验估计概率的两个关注点
（1）当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范
围，每个随机数代表一个样本点；
（2）当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为
一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
【跟踪训练】
（2024·安阳月考）天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均
为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先
由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下
雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机
数：907 966 195 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989.据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（　　）
A. 0.40 B. 0.30
C. 0.25 D. 0.20
解析：　由题意知，在20组随机数中恰有两天下雨的可以通过列
举得到：271 932 812 393 共4组随机数，∴所求概率为 ＝
0.20，故选D.
1. 在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为 ，当n很大时，事
件A发生的概率P（A）与 的关系是（　　）
解析：　在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为 ，当n很
大时， 越来越接近于P（A），所以可以用 近似的代替P
（A），即P（A）≈ ，故选A.
2. 用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于（　　）
A. 产生的随机数的大小 B. 产生的随机数的个数
C. 随机数对应的结果 D. 产生随机数的方法
解析：　随机数容量越大，所估计的概率越接近实际值.
3. 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000
次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和
概率分别为（　　）
A. 0.56，0.56 B. 0.56，0.5
C. 0.5，0.5 D. 0.5，0.56
解析：　某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正
面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率为 ＝0.56；由
于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5，故
出现正面朝上的概率为0.5.
4. 已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进
行了 次试验.
解析：设进行了n次试验，则有 ＝0.02，得n＝500，故进行了
500次试验.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列说法中正确的有（　　）
A. 任何事件发生的概率总是在（0，1）之间
B. 概率是随机的，在试验前不能确定
C. 频率是客观存在的，与试验次数无关
D. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
解析：　概率的取值范围为[0，1]，故A错误；频率是不能脱离
试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理
论值，故B、C错误；D显然正确.
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2. 某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用A表示
“投进球”这一事件，则事件A发生的（　　）
C. 频率为8 D. 概率接近0.8
解析：　投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事
件A发生的频数为8，所以事件A发生的频率为 ＝ .
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3. 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的频率如
下表：
最高水位范围（米） ＜10 [10，12） [12，14） [14，16） ≥16
频率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
若当最高水位低于14米时为“安全水位”，则出现“安全水位”的
频率是（　　）
A. 0.28 B. 0.38
C. 0.66 D. 0.76
解析：　由表格得，出现“安全水位”的频率是0.1＋0.28＋
0.38＝0.76.
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4. （2024·泰安月考）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟
的方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计
算机产生0～9之间的整数随机数，由于成功率是0.6，我们用0，
1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以
每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10
组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，
907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（　　）
A. 0.2 B. 0.3
C. 0.4 D. 0.5
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解析：　由题意，10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，表示“3例心脏手术全部成功”的有569，989，共2个，估计“3例心脏手术全部成功”的概率为 ＝0.2.
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5. （多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了10次，每次
朝上的点数都是6，则下列说法正确的是（　　）
A. 朝上的点数是6的概率和频率均为1
C. 抛掷第11次，朝上的点数一定不是6
D. 抛掷6 000次，朝上的点数为6的次数大约为1 000次
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解析：　对A，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点
数是6的概率为 ，故A错误；对B，因为频率随着实验的次数的
不同而不同，随着试验次数的增大，频率逐渐趋向于概率的
值，而抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率
为 ，故B正确；对C，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上
的点数是6的概率为 ，所以抛掷第11次，朝上点数可能是6，也
可能不是6，故C错误；对D，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为 ，抛掷6 000次，频率接近 ，频数大约为1 000次，故D正确.
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6. （多选）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（　　）
A. 抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙
胜
B. 同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C. 从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，
是黑色则乙胜
D. 甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
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解析：　A项，P（点数为奇数）＝P（点数为偶数）＝ ；B
项，P（点数之和大于7）＝ ＝ ，P（点数之和小于等于7）＝
＝ ；C项，P（牌色为红）＝P（牌色为黑）＝ ；D项，P
（同奇或同偶）＝P（奇偶不同）＝ .故选A、C、D.
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7. 在用随机数（整数）模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，
被抽选的4个中有2个男生、2个女生”的概率时，可让计算机产生
1～9的随机整数，并且1～4代表男生，用5～9代表女生.因为是选
出4个，所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为
“4678”，则它代表的含义是 .
解析：用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示选出的4人中
有1个男生、3个女生.
选出的4人中有1个男生、3个女生
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8. 某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为
80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命
中率为 .
解析：该同学这两场投篮的命中率为 ＝74%.
74%
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9. 一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明
将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得
其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目
为 颗.
解析：设白色围棋子的数目为n，则由已知可得 ＝ ，解得
n＝300，即白色围棋子的数目大约有300颗.
300
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10. 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000根，该公司对这些
灯管的使用寿命（单位：h）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [700，
900） [900，
1 100） [1
100，1
300） [1
300，1
500） [1
500，1
700） [1
700，1
900） [1
900，2
100]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
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（1）将各组的频率填入表中；
解：填表如下：
分组 [700，
900） [900，
1 100） [1
100，1
300） [1
300，1
500） [1
500，1
700） [1
700，1
900） [1
900，2
100]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
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（2）用频率估计概率，根据上述统计结果，估计该种型号的灯管
的使用寿命不足1 500 h的概率.
解：样本中使用寿命不足1 500 h的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中使用寿命不足1 500 h 的频率是 ＝0.6，即估计该种型号灯管的使用寿命不足1 500 h的概率为0.6.
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11. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的
频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
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解析：　由折线图可知，频率在0.3到0.4之间.抛一枚硬币，出
现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错误；掷一个正六面体的
骰子，出现3点朝上的概率为 ，不符合，故B错误；一副去掉大
小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为
，不符合，故C错误；从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任
取一球，取到的是黑球的概率为 ，在0.3到0.4之间，符合题
意，故D正确.故选D.
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12. （多选）（2024·绍兴月考）某评分网站将用户评价的一到五星转
化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，依此类推），
以得分总和除以评分的用户人数所得的分值作为最终评分.某影片
的评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于
二星，则下列说法正确的是（　　）
A. m的值是32.0%
B. 随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C. 随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D. 若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五
星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
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解析：　对于A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则24.0%＋32.9%＋m＋8.7%＝97.6%，所以m＝32.0%，故A正确；对于B选项，随机抽取100名观众，可能有100×24.0%＝24（人）评价五星，但不是一定的，故B错误；对于C选项，由A选项知，评价是三星或五星的概率约为32.0%＋24.0%＝56.0%，故C正确；对于D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确.
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13. 某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约
一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如
下：（1）摇号的初始中签率为0.19；（2）当中签率不超过1时，
可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与
“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，
则至少需要邀请 位好友参与“好友助力”活动.
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解析：因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，
需要增加的中签率大于0.9－0.19＝0.71，因为每邀请到一位好友
参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，且 ＝14.2，所
以至少需要邀请15位好友参与“好友助力”活动.
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14. 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转
盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如
下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出
的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲
获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种：
A. 猜“是奇数”或“是偶数”；
B. 猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C. 猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
请回答下列问题：
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（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并
且怎样猜？为什么？
解：如题图，方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为 ＝0.5；
方案B中“不是4的整数倍数”的概率为 ＝0.8，“是4的
整数倍数”的概率为 ＝0.2；
方案C中“是大于4的数”的概率为 ＝0.6，“不是大于4
的数”的概率为 ＝0.4.乙为了尽可能获胜，应选方案B，
猜“不是4的整数倍数”.
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（2）为了保证游戏的公平性，你认为应制定哪种猜数方案？
为什么？
解：为了保证游戏的公平性，应当选择方案A. 因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的.
（3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性.
解：可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，此方案也可以保证游戏的公平性.
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15. 独立地重复一个随机试验n（n∈N，n≥1）次，设随机事件A发
生的频率为f（n），随机事件A发生的概率为P，有如下两个判
断：①如果集合{f（n）｜n∈N，n≥1}中只含有一个元素，则
P＝1；②集合{f（n）｜n∈N，n≥1}不可能只含有两个元素，
其中（　　）
A. ①正确，②正确 B. ①错误，②正确
C. ①正确，②错误 D. ①错误，②错误
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解析：　①如果集合{f（n）｜n∈N，n≥1}中只含有一个元
素，而试验的频率只有一个值，事件A为必然事件或不可能事
件，P＝0或P＝1，故①错误；②频率随着试验次数的变化而变
化，则集合{f（n）｜n∈N，n≥1}不可能只含有两个元素，故
②正确.
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16. （2024·广州月考）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车
辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数 500 130 100 150 120
（1）若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保
金额的概率；
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解：设A表示事件“赔付金额为3 000元”，
B表示事件“赔付金额为4 000元”，
以频率估计概率得P（A）＝ ＝0.15，
P（B）＝ ＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是3
000元和4 000元，
所以其概率约为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
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（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4
000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投
保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.
解：设C表示事件“投保车辆中新司机获赔金额为4 000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100（辆），而赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24（辆）.
所以样本车辆中新司机获赔金额为4 000元的频率为 ＝
0.24，由频率估计概率得P（C）＝0.24.
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