(共57张PPT)
第2课时 向量数量积的运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合
律，向量的数乘运算满足结合律即λ（μa）＝（λμ）a，分配律即
（λ＋μ）a＝λa＋μa（λ，μ∈R）.
【问题】 （1）向量的数量积是否也满足交换律，数乘结合律及数
量积对向量加法分配律？
（2）平方差公式、完全平方公式在向量运算中是否成立？
（3）向量的模、两向量的夹角如何计算？
知识点 向量数量积的运算律
1. 向量数量积的运算律
（1）a·b＝ （交换律）；
（2）（λa）·b＝ ＝ （结合律）；
（3）（a＋b）·c＝ （分配律）.
b·a
λ（a·b）
a· （λb）
a·c＋b·c
2. 向量数量积的常用结论
（1）（a±b）2＝｜a±b｜2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2＝
a2±2a·b＋b2；
（2）a2－b2＝（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2；
（3）（a＋b）2＋（a－b）2＝2（｜a｜2＋｜b｜2）；
（4）a2＋b2＝0 a＝b＝0.
提醒 （1）向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；（2）a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与向量a共线，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不成立.
1. 向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？
提示：不相同，向量的数量积运算结果是一个实数，向量的数乘运
算结果是向量.
2. 已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角对
吗？
提示：不对.若θ＝π时，a·b＜0.
【想一想】
1. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，则（2a－3b）·（2a＋3b）＝ .
解析：（2a－3b）·（2a＋3b）＝4a2－9b2＝4×4－9×9＝－65.
－65
2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝ ，且（a＋b）与a 垂直，则a与b的
夹角是 .
解析：∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0.∴a·b＝－a2＝－1.设a与b
的夹角为θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝－ ，又θ∈[0，π]，∴θ
＝ .
3. 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则｜a＋2b｜＝ .
解析：因为两个单位向量a，b的夹角是60°，所以｜a＋2b｜＝
＝ ＝
＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量数量积的计算
角度1 求两个或两个以上向量线性表达式的数量积
【例1】 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，｜c｜＝5，向量a，b的夹角
是120°，a，c的夹角是45°.求：
（1）（a－2b）·（3a＋b）；
解：（a－2b）·（3a＋b）＝3a2＋a·b－6a·b－2b2＝3｜a｜
2－5a·b－2｜b｜2＝3×32－5×3×4× cos 120°－2×42＝25.
（2）a·（a－4b＋ c）.
解：a·（a－4b＋ c）＝a2－4a·b＋ a·c＝｜a｜2－4｜
a｜｜b｜ cos 120°＋ ｜a｜｜c｜ cos 45°＝32－4×3×4×
（－ ）＋ ×3×5× ＝48.
通性通法
求向量的数量积的一般思路
求向量的数量积时，需明确两个关键量：相关向量的模和夹角.
若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量
积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.
角度2 求与几何图形有关的向量的数量积
【例2】 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2 ，AD＝5，∠A
＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则 · ＝ .
－1
解析：如图，由AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝∠EAB＝
30°.又AB＝2 ，所以AE＝BE＝2.因为 ＝ － ，所以
· ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝2×5× cos 60°－
2×2 × cos 30°＝－1.
通性通法
求与几何图形有关向量数量积的一般思路
（1）可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律，将所求数量积
转化为已知模和夹角的向量的数量积后再运算；
（2）充分利用图形特点，观察向量的夹角与平面几何图形中的角的
关系是相等还是互补.
【跟踪训练】
1. 已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，a与b的夹角为60°，则（a＋
2b）·（a＋3b）＝ .
解析：（a＋2b）·（a＋3b）＝a·a＋5a·b＋6b·b＝｜a｜2＋
5a·b＋6｜b｜2＝｜a｜2＋5｜a｜｜b｜ cos 60°＋6｜b｜2＝62
＋5×6×4× ＋6×42＝192.
192
2. （2024·青岛月考）如图，在 ABCD中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝
3，∠DAB＝60°，则 · ＝ .
解析：因为 ＝ ＋ ， ＝ － ，所以 · ＝
（ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝9－16＝－7.
－7
题型二 向量模的计算
【例3】 （1）（2024·新乡月考）已知平面向量a与b的夹角为
60°，｜a｜＝2，｜b｜＝1，则｜a＋2b｜＝（ B ）
C. 4 D. 12
B
解析：法一 ｜a＋2b｜＝ ＝
＝
＝ ＝2 .
法二（数形结合法） 由｜a｜＝｜2b｜＝2知，
以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如
图，则｜a＋2b｜＝｜ ｜.又∠AOB＝60°，所
以｜a＋2b｜＝2 .
（2）向量a，b满足｜a｜＝1，｜a－b｜＝ ，a与b的夹角为
60°，则｜b｜＝（ B ）
解析：由题意得｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2－2｜a｜｜b｜
cos 60°＝ ，即1＋｜b｜2－｜b｜＝ ，解得｜b｜＝ .
B
通性通法
求向量的模的基本思路
a·a＝a2＝｜a｜2或｜a｜＝ 是求向量的模及用向量求解图
形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解
决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，
要注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.
【跟踪训练】
已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·（a－2b）＝0，则｜
a＋b｜＝（ ）
A. 6 B. 4
解析： ∵a·（a－2b）＝0，∴a2－2a·b＝0.∵｜a｜＝1，｜
b｜＝2，∴a·b＝ ，∴｜a＋b｜＝ ＝
＝ .
题型三 向量的夹角与垂直
角度1 求两向量的夹角
【例4】 已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1及｜3a－2b｜＝
，求a，b的夹角.
解：设a与b的夹角为θ，由题意得（3a－2b）2＝7，
∴9｜a｜2＋4｜b｜2－12a·b＝7，
又｜a｜＝｜b｜＝1，∴a·b＝ ，
∴｜a｜｜b｜ cos θ＝ ，
即 cos θ＝ .
又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为 .
通性通法
求向量夹角θ的基本步骤
角度2 利用数量积解决向量的垂直问题
【例5】 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，向量a，b的夹角为60°，c
＝a＋5b，d＝ma－2b.求实数m为何值时，c与d垂直.
解：由已知得a·b＝2×1× cos 60°＝1.
若c⊥d，则c·d＝0.
∴c·d＝（a＋5b）·（ma－2b）＝ma2＋（5m－2）a·b－10b2＝
4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，
∴m＝ .
故当m＝ 时，c与d垂直.
通性通法
求解向量垂直问题的一般思路
对于非零向量a，b，a⊥b a·b＝0是向量中非常重要的性
质，其作用主要有：（1）证明两向量垂直；（2）利用a·b＝0列方
程求未知数的值；（3）解决平面几何图形中有关垂直的问题.
【跟踪训练】
1. （2024·龙岩月考）已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6，
a·b＝－6，则 cos ＜a，a＋b＞＝（ ）
解析： a·（a＋b）＝｜a｜2＋a·b＝25－6＝19，｜a＋b｜
＝ ＝ ＝ ＝7，
故 cos ＜a，a＋b＞＝ ＝ ＝ .故选D.
2. （2024·金华质检）已知a⊥b，｜a｜＝2，｜b｜＝3且向量3a＋
2b与ka－b互相垂直，则k的值为（ ）
D. 1
解析： 因为向量3a＋2b与ka－b互相垂直，所以（3a＋
2b）·（ka－b）＝0.所以3ka2＋（2k－3）a·b－2b2＝0，因为
a⊥b，｜a｜＝2，｜b｜＝3，所以a·b＝0，所以12k－18＝0，
解得k＝ ，故选B.
1. 已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝
（ ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 0
解析： a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2－（－1）＝3.
2. 若两个单位向量a，b的夹角为 ，则｜4a＋5b｜＝（ ）
A. 1
D. 7
解析： 因为（4a＋5b）2＝16a2＋40a·b＋25b2＝16×12＋
40×1×1× cos ＋25×12＝21，所以｜4a＋5b｜＝ .故选C.
3. 已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，m与n夹角的余弦值
为 ，若n⊥（t m＋n），则实数t＝ .
解析：由题意知， ＝ ＝ ，所以m·n＝ ｜n｜2
＝ n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以t m·n＋n2＝0，即 t n2＋n2
＝0，所以t＝－4.
－4
4. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝ .
（1）若a，b的夹角为60°，求｜a＋b｜；
解：因为｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝3＋ ，
所以｜a＋b｜＝ .
（2）若a－b与a垂直，求a与b的夹角.
解：（2）由（a－b）·a＝0，得a2＝a·b，
设a与b的夹角为θ，
所以 cos θ＝ ＝ ，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知单位向量a，b，则（2a＋b）·（2a－b）＝（ ）
C. 3 D. 5
解析： 由题意得（2a＋b）·（2a－b）＝4a2－b2＝4－1＝3.
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2. 已知a，b是非零向量，且a，b不共线，｜a｜＝3，｜b｜＝4，
若向量a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k的值为（ ）
A. ±2
解析：因为向量a＋kb与a－kb互相垂直，所以有（a＋kb）·（a－kb）＝0 a2－k2b2＝0 9－16k2＝0 k＝± ，故选D.
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3. 若向量a，b满足｜a｜＝ ，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，
则｜a＋b｜＝（ ）
A. 3
C. 10
解析： ∵（a－b）⊥a，∴（a－b）·a＝｜a｜2－a·b＝0，
∴a·b＝｜a｜2＝2，∴｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，∴｜a
＋b｜＝ .
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4. 设非零向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，则
a与b的夹角θ＝（ ）
A. 150° B. 120°
C. 60° D. 30°
解析： 由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜
＝｜b｜，两边平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b
＝－｜a｜2，则2｜a｜｜b｜ cos θ＝－｜a｜2，∴ cos θ＝－ .又
0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
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5. （多选）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给
出下列结论中正确的有（ ）
A. a·c－b·c＝（a－b）·c
B. （b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直
C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
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解析： 根据数量积的分配律知A正确；∵[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，
∴（b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，B错误；∵a，b不共线，
∴｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形，∴｜a｜－｜b｜＜｜
a－b｜成立，C正确；显然D正确.故正确结论的选项是A、C、D.
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6. （多选）已知正三角形ABC的边长为2，设 ＝2a， ＝b，则
下列结论正确的是（ ）
A. ｜a＋b｜＝1 B. a⊥b
C. （4a＋b）⊥b D. a·b＝－1
解析： 分析知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，
故B错误；∵（a＋b）2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝3，∴｜a＋
b｜＝ ，故A错误；∵（4a＋b）·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×
cos 120°＋4＝0，∴（4a＋b）⊥b，故C正确；a·b＝1×2× cos
120°＝－1，故D正确.
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7. 设单位向量a，b的夹角的余弦值为－ ，则（2a－b）·（a＋b）
＝
解析：因为 cos ＜a，b＞＝－ ，所以a·b＝｜a｜｜b｜· cos ＜
a，b＞＝－ ，则（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－
－1＝ .
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8. （2024·聊城月考）已知向量a，b的夹角为 ，且｜a｜＝2，｜
b｜＝1，则｜a＋ b｜＝ .
解析：｜a＋ b｜＝ ＝ ＝
＝ .
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9. 已知两个单位向量a，b满足｜4a＋b｜＝ ，则a，b的夹角
为 .
解析：｜4a＋b｜＝ 两边平方得16a2＋8a·b＋b2＝13，设
a，b的夹角为θ，即16｜a｜2＋8｜a｜·｜b｜ cos θ＋｜b｜2＝
13，因为a，b为单位向量，所以16＋8 cos θ＋1＝13，解得 cos θ
＝－ ，因为θ∈[0，π]，所以θ＝ .
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10. 已知平面向量a，b，若｜a｜＝1，｜b｜＝2，且｜a－b｜＝ .
（1）求a与b的夹角θ；
解：由｜a－b｜＝ ，得a2－2a·b＋b2＝7，
∴1－2×1×2× cos θ＋4＝7，
∴ cos θ＝－ .
又θ∈[0，π]，∴θ＝ .
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（2）若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及｜c｜.
解：∵a⊥c，∴a·（ta＋b）＝0，
∴ta2＋a·b＝0，∴t＋1×2×（－ ）＝0，
∴t＝1，
∴c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×（－ ）＋
4＝3，∴｜c｜＝ .
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11. （2024·宁德月考）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足
（ － ）·（ ＋ －2 ）＝0，则△ABC的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 因为（ － ）·（ ＋ －2 ）＝0，即
·（ ＋ ）＝0，又因为 － ＝ ，所以（ －
）·（ ＋ ）＝0，即｜ ｜＝｜ ｜，所以△ABC是等
腰三角形.
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12. 已知向量a≠b，｜b｜≠0，若对任意的t∈R，｜a－tb｜≥｜a
－b｜恒成立，则必有（ ）
A. a⊥b B. a⊥（a－b）
C. b⊥（a－b） D. （a＋b）⊥（a－b）
解析： 因为｜a－tb｜≥｜a－b｜恒成立，两边平方，化简
得b2t2－2a·bt＋2a·b－b2≥0对任意的t∈R恒成立，又｜b｜
≠0，则Δ＝4（a·b）2－4b2（2a·b－b2）≤0，即（a·b－b2）
2≤0，所以a·b－b2＝0，所以b·（a－b）＝0，即b⊥（a－b）.
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13. （2024·绍兴质检）已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝3，且
b⊥（a－b），则a，b夹角的余弦值为 ，设a在b方向上
的投影向量为λb，则λ＝ .
解析：∵b⊥（a－b），∴b·（a－b）＝0 b·a－b2＝0 b·a
＝b2，∴ cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ＝ ，∴a
在b方向上的投影向量为｜a｜· cos ＜a，b＞ ＝
5× · ＝b，即b＝λb，解得λ＝1.
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14. 已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，（a－3b）·（a＋
b）＝3.
（1）求｜a＋b｜的值；
解：∵（a－3b）·（a＋b）＝3，
∴｜a｜2＋a·b－3a·b－3｜b｜2＝3，
∴4－2a·b－3＝3，即a·b＝－1，
故｜a＋b｜＝ ＝ ＝
＝ .
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（2）求向量a与a－2b的夹角.
解：设向量a与a－2b的夹角为θ，
则 cos θ＝ ＝ ，
∵｜a－2b｜＝ ＝
＝ ＝2 ，∴ cos θ
＝ ＝ ，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝ ，即a与a－2b的夹角为 .
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15. 已知a，b是夹角为90°的两个单位向量，若非零向量c满足（c
－a）·（c－b）＝0，则｜c｜的最大值为（ ）
A. 1
解析： 设a＋b与c的夹角为θ，由题意知，a·b＝0，则（c－
a）·（c－b）＝c2－（a＋b）·c＋a·b＝c2－（a＋b）·c＝｜
c｜2－｜a＋b｜｜c｜ cos θ＝0，因为c为非零向量，所以｜c｜
＝｜a＋b｜ cos θ≤｜a＋b｜，易得｜a＋b｜＝ ，因此｜
c｜的最大值为 .
D. 2
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16. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动
（含C，D点）.
（1）若点F是CD上靠近点C的三等分点，设 ＝λ ＋
μ ，求λ＋μ的值；
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解：∵E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点，
∴ ＝ ＝ ， ＝－ ＝－ ，
∴ ＝ ＋ ＝－ ＋ ，
又 ＝λ ＋μ ，
∴λ＝－ ，μ＝ ，故λ＋μ＝－ ＋ ＝ .
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（2）若AB＝2，当 · ＝1时，求 cos ∠EAF的值.
解：设 ＝m （0≤m≤1），
则 ＝ ＋ ＝ －m ，
又 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ·
＝0，
∴ · ＝（ ＋ ）·（ －
m ）＝－m ＋ ＝－4m＋2＝1，
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故m＝ .
∴ · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＋
＝3＋2＝5，
易得｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，
∴ cos ∠EAF＝ ＝ ＝ .
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6.2.4 向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概
念及其物理意义，会计算平面向量的数量积 数学抽象
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影
向量的意义 数学运算
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理
第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积
称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大
小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向
与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜
F｜｜s｜ cos θ.
【问题】 （1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之
间有什么关系？
（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似功的标量吗？
知识点一 向量的夹角
1. 夹角：
已知两个 a，b（如图），O是平面上的任意一点，
作 ＝a， ＝b，则 叫做向量a与b的夹角，夹
角θ的取值范围是 .
当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .
非零向量
∠AOB＝θ
0≤θ≤π
同向
反向
2. 垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记
作 .
提醒 两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围
是[0，π]，而两直线夹角的范围为 .
a⊥b
知识点二 两个向量的数量积
1. 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数
量 叫做向量a与b的数量积（或内积），记
作 ，即 .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
提醒 （1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省
略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可
正、可负、可为0.
｜a｜｜b｜ cos θ
a·b
a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ
2. 性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的
单位向量，则：
（1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ；
（2）a⊥b ；
（3）当a∥b时，a·b＝特别地，a2＝a·a
＝｜a｜2或｜a｜＝ ；
（4）a·b ｜a｜｜b｜；
（5） cos θ＝ .
a·b＝0
≤
知识点三 投影向量
1. 如图，设a，b是两个非零向量， ＝a， ＝b，我们考虑如
下的变换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，
垂足分别为A1，B1，得到 ，我们称上述变换为向量a向向量
b ， 叫做向量a在向量b上的 向量.
投影
投影
2. 如图，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b.过点M作直线
ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b
上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与
b的夹角为θ，则 与e，a，θ之间的关系为
＝｜a｜ cos θ e.
提醒 （1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量；
（2）如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于
a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0；（3）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不是同一个向量.
1. 向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，则a·b＝（ ）
A. 4 B. 2
C. －2 D. 1
解析： 因为向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝1，｜b｜＝2，
所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos 60°＝1×2× ＝1.故选D.
2. 两个向量的夹角的取值范围是 .当a与b同向时，夹角
为 .当a与b反向时，夹角为 .
解析：根据向量夹角的定义可知，两个向量的夹角的取值范围是
[0，π]，当a与b同向时，夹角为0，当a与b反向时，夹角为π.
3. 已知平面上两单位向量a，b，a与b的夹角为 ，则a在b上的投
影向量为 .
解析：根据题意，a，b为两单位向量，且a与b的夹角为 ，所
以a在b上的投影向量为｜a｜ cos ·b＝－ b.
[0，π]
0
π
－ b
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两向量的夹角
【例1】 已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b
与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
解：如图所示，作 ＝a， ＝b，且∠AOB＝60°.
以 ， 为邻边作平行四边形OACB，
则 ＝a＋b， ＝a－b.
因为｜a｜＝｜b｜＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以 与 的夹角为30°， 与 的夹角为60°.即a＋b与a的
夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
通性通法
求两个向量夹角的方法
（1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重
合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出；
（2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹
角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
【跟踪训练】
在△ABC中，C＝90°，BC＝ AB，则 与 的夹角是（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 如图，作向量 ＝ ，则∠BAD是 与
的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝ AB，
所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即 与 的
夹角是120°.
题型二 直接用数量积公式求数量积
【例2】 （1）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝4，｜b｜
＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b；
解：①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜· cos θ＝4×2× cos 120°＝－4.
②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）－2×4
＝12.
（2）已知正三角形ABC的边长为1，求：① · ；② · ；③
· .
解：①∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜
cos 60°＝1×1× ＝ .
②∵ 与 的夹角为120°，∴ · ＝｜ ｜·｜ ｜
cos 120°＝1×1×（－ ）＝－ .
③∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos
60°＝1×1× ＝ .
通性通法
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜
b｜ cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条
件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以
上条件.
【跟踪训练】
1. 设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（ ）
D. π
解析： 设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，∵θ∈[0，
π]，∴θ＝ .
2. （2024·焦作月考）已知平面上三点A，B，C满足｜ ｜＝
3，｜ ｜＝4，｜ ｜＝5，则 · ＋ · ＋ · ＝
（ ）
A. －7 B. 7
C. 25 D. －25
解析： 由题得｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，所以∠ABC＝
90°，所以原式＝0＋4×5 cos （180°－C）＋5×3 cos （180°
－A）＝－20 cos C－15 cos A＝－20× －15× ＝－16－9＝－
25.故选D.
题型三 投影向量
【例3】 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同
向的单位向量为e.
（1）求a·b；
解： a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ
＝5×4× cos 120°＝－10.
（2）求a在b上的投影向量.
解：a在b上的投影向量为｜a｜ cos θe＝－ e.
通性通法
投影向量的求解方法
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜ cos
θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜
cos θ也称为a在b上投影向量的数量，即当0≤θ≤ 时，｜a｜ cos θ
为a在b上投影向量的模，当 ＜θ≤π时，｜a｜ cos θ为a在b上投影
向量模的相反数.
【跟踪训练】
1. 已知向量a，b满足｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的
投影向量的模是 .
解析：已知向量a，b的夹角θ＝60°，故b在a上的投影向量的模
为｜b｜ cos θ＝2 cos 60°＝2× ＝1.
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2. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，
则向量a在向量b上的投影向量为 .
解析：∵ cos θ＝ ＝ （θ为a与b的夹角），∴向量a在向
量b上的投影向量为｜a｜ cos θ e＝ e.
e
1. 已知在 ABCD中，∠DAB＝60°，则 与 的夹角为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：如图，∠DAB＝60°，则 与 的夹角为∠ABC＝120°.
2. 已知｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，a与b的夹角是120°，则a·b＝
（ ）
A. 3 B. －3
解析： 由数量积的定义，得a·b＝｜a｜｜b｜ cos 120°＝
×2 ×（－ ）＝－3.
3. 在等腰直角三角形ABC中，若C＝90°，AC＝ ，则 · ＝
（ ）
A. －2 B. 2
解析： 由题意得 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠ABC＝2×
× cos 45°＝2.
4. 已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，
向量a在向量e上的投影向量是 .
解析：因为向量a，e的夹角等于45°，所以向量a在向量e上的投
影向量是｜a｜· cos 45°·e＝3 e.
3 e
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 等边△ABC中， 与 的夹角为（ ）
A. 60° B. －60°
C. 120° D. 150°
解析： 延长AC到D，延长BC到E，则 与 的夹角为∠DCE，又因∠ACB＝∠DCE，所以 与 的夹角为60°.故选A.
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2. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水
平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（ ）
A. 100 J B. 50 J
D. 200 J
解析： 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W
＝F·s＝10×10× cos 60°＝50（J）.
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3. 对于非零向量a与b，下列不等式中恒成立的是（ ）
A. a·b≥｜a｜·｜b｜ B. a·b≤｜a｜·｜b｜
C. a·b＞｜a｜·｜b｜ D. a·b＜｜a｜·｜b｜
解析： 设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]， cos θ∈[－
1，1]，则a·b＝｜a｜·｜b｜· cos θ≤｜a｜·｜b｜，故选B.
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4. 若｜a｜＝2，｜b｜＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量
a在向量b上的投影向量为（ ）
解析： 向量a在向量b上的投影向量是｜a｜ cos ＜a，b＞
＝2× cos 120°× ＝－ b.故选D.
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5. （2024·惠州月考）在边长为1的等边△ABC中，设 ＝a， ＝
b， ＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝（ ）
解析：a·b＝ · ＝－ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos 60°＝－ .同理b·c＝－ ，c·a＝－ ，∴a·b＋b·c＋c·a＝－ .
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6. （多选）对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B. 非零向量a，b共线时其夹角为0
C. 若a⊥b，则a·b＝0
解析： a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；非零向量a，b共线时其夹角为0或π，所以B错误；由数量积的定义知，C正确；因为a·a＝｜a｜｜a｜ cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝ ，所以D正确.
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7. 在四边形ABCD中， · ＝0， ＝ ，则四边形ABCD的形
状是 （填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方
形”）.
解析：由 · ＝0，知AB⊥BC. 由 ＝ ，知BC AD，
所以四边形ABCD是矩形.
矩形
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8. 已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为
4e，则｜b｜＝ .
解析：设a与b的夹角为θ，且a·b＝16，∴｜a｜·｜b｜· cos θ＝
16，又∵a在b上的投影向量为4e，∴｜a｜· cos θ e＝4e，∴｜
a｜ cos θ＝4，∴｜b｜＝4.
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9. 如图所示，在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝1，则 · ＝ .
解析： · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos （180°－B）＝－｜ ｜·｜ ｜· cos B＝－｜ ｜·｜ ｜· ＝－｜ ｜2＝－1.
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10. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向
量.
（1）求a与b的夹角θ；
解：由a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，
得 cos θ＝ ＝ ＝－ .
∴θ＝120°.
（2）求a在b上的投影向量.
解：a在b上的投影向量为｜a｜ cos θe＝－ e.
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11. （2024·丽水月考）定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜ sin θ，其中θ
为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜
a×b｜＝（ ）
A. 8 B. －8
C. 8或－8 D. 6
解析： cos θ＝ ＝ ＝－ ，∵θ∈[0，π]，∴ sin θ
＝ .∴｜a×b｜＝2×5× ＝8.
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12. （多选）下列说法正确的是（ ）
D. 若两非零向量a与b的夹角为θ，当a·b＝｜a｜｜b｜｜ cos θ｜
时，θ必为锐角
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解析： 对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，∵a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＜0，则 cos θ＜0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈（ ，π］，故B正确；对于选项C，a在e上
的投影向量为｜a｜ cos e＝6×0e＝0，故C正确；对于选项
D，由题意知，a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝｜a｜｜b｜｜ cos
θ｜，所以 cos θ＝｜ cos θ｜，则θ可能为锐角，也可能θ＝
或θ＝0，故D错误.
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13. （2024·安阳月考）已知在△ABC中，AB＝AC＝4， · ＝
8，则△ABC的形状是 ， · ＝ .
解析： · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠BAC，即8＝4×4 cos
∠BAC，于是 cos ∠BAC＝ ，因为0°＜∠BAC＜180°，所以
∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.此时 ·
＝｜ ｜｜ ｜ cos 120°＝－8.
等边三角形
－8
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14. 如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且 ＝x ＋y .
（1）若 ＝ ，求x，y的值；
解：若 ＝ ，则 ＝ ＋ ，
故x＝y＝ .
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（2）若 ＝3 ，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，且 与 的夹
角为60°，求 · 的值.
解：因为｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，
∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以｜ ｜＝2 .
又因为 ＝3 ，所以｜ ｜＝ .
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所以｜ ｜＝ ＝ ， cos ∠OPB＝ .
设 与 的夹角为θ，所以 与 的夹角θ的余弦值为－ .
所以 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos θ＝－3.
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15. 如图所示，已知AB是圆O的直径，且AB＝4，点C，D是 的
两个三等分点，则 · ＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 6
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解析： 连接BD，BC（图略）.∵C，D是 的两个三等分
点.∴∠DBA＝60°，∠ABC＝30°，∠DAC＝30°.在Rt△ABD
中，AD＝AB· sin 60°＝4× ＝2 .在Rt△ABC中，AC＝
AB· sin 30°＝4× ＝2，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos 30°
＝2 ×2× ＝6.
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16. 如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB
上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
（1）若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用 ， 表示向
量 ；
解：由已知可得 ＝ ，连接
AM，BM（图略），则四边形OAMB是菱
形，则 ＝ ＋ ，
所以 ＝ － ＝ －（ ＋
）＝－ － .
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（2）求 · 的取值范围.
解：易知∠DMC＝60°，且｜ ｜
＝｜ ｜，那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝ ，
则 · ＝ × × cos 60°＝ .
当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，
则 · ＝ cos 60°＝ .
所以 · 的取值范围为［ ， ］.
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