(共51张PPT)
第1课时 直线与平面平行的判定
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面
平行的判定定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用直线与平面平行的判定定理证明直线与平
面平行 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的
上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将
乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直
线l与直线m具有怎样的位置关系？
【问题】 你能给出判定的依据吗？
知识点 直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果 一条直线与此 的一条直线 ，那么该直线与此平面平行
符号语言 a∥α
图形语言
平面外
平面内
平行
a α，b α，且a∥b
提醒 线面平行判定定理的实质是线线平行 线面平行.
1. 能保证直线a与平面α平行的条件是（ ）
A. b α，a∥b
B. b α，c∥α，a∥b，a∥c
C. b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D. a α，b α，a∥b
解析： 由线面平行的判定定理可知，D正确.
2. （2024·泉州质检）棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的
侧面所在的平面的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 不相交
解析： 因为棱柱的侧棱是互相平行的，所以由直线与平面平行
的判定定理可知，侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平
面平行.故选A.
3. （2024·三明月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B
与平面ACD1的位置关系是 .
解析：∵A1B∥D1C，A1B 平面ACD1，D1C 平面ACD1，
∴A1B∥平面ACD1.
平行
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 线面平行判定定理的理解
【例1】 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是（ ）
A. 相交 B. b∥α
C. b α D. b∥α或b α
解析： 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
通性通法
线面平行的判定定理必须具备三个条件
（1）直线a在平面α外，即a α；
（2）直线b在平面α内，即b α；
（3）两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.
【跟踪训练】
（2024·佛山月考）如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，
把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α
的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 在平面α内 D. 平行或在平面α内
解析： 在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD α.故选D.
题型二 直线与平面平行的判定
【例2】 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别
是AB，B1C的中点.求证：DE∥平面ACC1A1.
证明：连接BC1，AC1，因为ABC-A1B1C1是斜三棱
柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形
性质得点E也是BC1的中点.
因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1.
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1.
所以DE∥平面ACC1A1.
通性通法
应用判定定理证明线面平行的步骤
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法.
提醒 线面平行判定定理应用的误区：①条件罗列不全，最易忘
记的条件是“直线在平面外”；②不能利用题目条件顺利地找到
两平行直线.
第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
【跟踪训练】
如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，M为PD的中点.
证明：CM∥平面PAB.
证明：取PA的中点N，连接BN，MN，
∵M，N分别为PD，PA的中点，则MN∥AD且
MN＝ AD，
又BC∥AD且BC＝ AD，
∴BC∥MN且BC＝MN，
故四边形BCMN为平行四边形，即CM∥BN，
∵CM 平面PAB，BN 平面PAB，
∴CM∥平面PAB.
1. 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 在平面内 D. 不确定
解析： 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则
它们平行.故选A.
2. 如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为线段
A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有
（ ）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 无数条
解析： 如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交AB于点H，过点H作HG∥AC交BC于点G，过点G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无
数条.故选D.
3. 已知l，m是两条不同的直线，α是平面，若要得到l∥α，则需要
在条件m α，l∥m中另外添加的一个条件是 .
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件
是l α.
l α
4. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，M，N分别
是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系为 .
解析：因为M，N分别是BF，BC的中点，所以MN∥CF. 又因为
四边形CDEF为矩形，所以CF∥DE. 所以MN∥DE. 又MN 平
面ADE，DE 平面ADE，所以MN∥平面ADE.
平行
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若直线l不平行于平面α，且l α，则（ ）
A. α内的所有直线与l异面
B. α内不存在与l平行的直线
C. α内存在唯一的直线与l平行
D. α内的直线与l都相交
解析： 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因为l α，故
l∥α，这与题意矛盾.
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2. 若M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，则MN与过直线BC
的平面β的位置关系是（ ）
A. MN∥β
B. MN与β相交或MN β
C. MN∥β或MN β
D. MN∥β或MN与β相交或MN β
解析： 若平面β是△ABC所在的平面，则MN β.若MN β，则
MN∥β.故选C.
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3. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为底面ABCD和底
面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
解析： 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB'、平
面BC'、平面CD'、平面AD'均平行.故与EF平行的平面有4个.
故选D.
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4. 在空间四边形ABCD中，E，F分别在AD，CD上，且满足 ＝
，则直线EF与平面ABC的位置关系是（ ）
A. EF∥平面ABC B. EF 平面ABC
C. EF与平面ABC相交 D. 以上都有可能
解析： ∵ ＝ ，∴EF∥AC，又∵AC 平面ABC，EF
平面ABC. ∴EF∥平面ABC，故选A.
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5. （多选）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线
的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（ ）
A. OM∥PD B. OM∥平面PCD
C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA
解析： 由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA相交，故D不正确.故选A、B、C.
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6. （多选）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，AD的中
点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
给出下列四个命题中正确的为（ ）
A. BD∥平面EGHF
B. FH∥平面ABC
C. AC∥平面EGHF
D. 直线GE，HF，AC交于一点
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解析： 因为BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD且
HG＝ BD，又E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD且EF
＝ BD，所以EFHG为梯形，且EF∥GH，又BD 平面EGHF，
GH 平面EGHF，所以BD∥平面EGHF，A正确；因为F为AD
的中点，H为CD的一个三等分点，所以FH与AC为相交直线，故
FH与平面ABC必不平行，AC也不平行平面EGHF，B、C不正确；
因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，又EG 平
面ABC，FH 平面ACD，则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，
又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即直线GE，HF，AC
交于一点，D正确.故选A、D.
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7. （2024·焦作月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1
的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为 .
解析：连接BD，设AC∩BD＝O，连接OE（图略），则OE∥BD1，OE 平面ACE，BD1 平面ACE，∴BD1∥平面
ACE.
平行
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8. 以下命题中为真命题的是 .（填序号）
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b α，则a平行于平面α内的无数条直线.
解析：对于①，当直线l平行于平面α内的无数条直线时，l∥α或l
在平面α内，所以①错误；对于②，直线a在平面α外，则a∥α或a
与平面α相交，所以②错误；对于③，若直线a∥b，b α，则
a∥α或a在平面α内，可得a平行于平面α内的无数条直线，所以③
正确.
③
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9. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上一点，当点E满足条件： 时，PC∥平面EBD.
解析：如图，取PA的中点E，连接EB，ED，
AC，设AC与BD交于点O，连接EO，易知
EO∥PC. ∵EO 平面EBD，PC 平面EBD，
∴PC∥平面EBD. 即当E为PA中点时，PC∥平
面EBD.
E为PA的中点
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10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，取PA的中点M，BC的
中点N，求证：MN∥平面PDC.
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证明：如图，连接AN并延长，交DC的延长
线于点E，连接PE.
因为CD∥AB，N为BC的中点，
所以N为AE的中点.
因为M为PA的中点，
所以MN∥PE.
因为MN 平面PDC，PE 平面PDC，
所以MN∥平面PDC.
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11. 如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为
AD，CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平
面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数
是（ ）
①AF∥平面BCD；
②BE∥平面CDF；
③CD∥平面BEF.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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解析： 对于①，由题意得AB CF，∴四边形ABCF是平行
四边形，∴AF∥BC，∵AF 平面BCD，BC 平面BCD，
∴AF∥平面BCD，故①正确；对于②，取DF的中点G，连接
EG，GC（图略），∵E是AD的中点，∴EG∥AF，EG＝
AF，又AF BC，∴EG∥BC，EG＝ BC，∴BE与CG相交，
∴BE与平面CDF相交，故②错误；对于③，连接AC，交BF于
点O，连接OE（图略），∵四边形ABCF是平行四边形，∴O是
AC的中点，∴OE∥CD，又OE 平面BEF，CD 平面BEF，
∴CD∥平面BEF，故③正确.故选C.
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12. （多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶
点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB
与平面MNQ平行的是（ ）
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解析： 对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可
证，C、D项中均有AB∥平面MNQ，只有A项中AB与平面MNQ不平行.
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13. （多选）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是棱
A1C1，BC的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. CC1∥平面A1ABB1
B. AF∥平面A1B1C1
C. EF∥平面A1ABB1
D. AE∥平面B1BCC1
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解析： 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，CC1 平面A1ABB1，AA1 平面A1ABB1，∴CC1∥平面A1ABB1，A中结论正确；取B1C1的中点D，连接A1D，DF，由题意及基本事实4可知AA1 DF，∴四边形AFDA1是平行四边形，∴A1D∥AF，∵A1D 平面A1B1C1，AF 平面A1B1C1，∴AF∥平面A1B1C1，B中结论正确；
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取AB的中点G，连接A1G，GF，∵G，F分别是棱AB，BC的中点，
∴GF∥AC，GF＝ AC，易知A1E∥AC，且A1E＝ AC，
∴GF A1E，∴四边形GFEA1为平行四边形，∴EF∥A1G，又
A1G 平面A1ABB1，EF 平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1，C中结
论正确；取AC的中点H，连接C1H，易证四边形AHC1E为平行四边
形，∴EA∥C1H，C1H与平面B1BCC1相交，∴AE与平面B1BCC1相
交，D中结论不正确.
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14. 如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三
角形，C为底面圆周上一点.
（1）若 的中点为D. 求证：AC∥平面POD；
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解：证明：设BC∩OD＝E，
∵D是 的中点，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，
∴AC∥OE，
又∵AC 平面POD，OE 平面POD，
∴AC∥平面POD.
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（2）如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.
解：设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴h＝r，l＝ r，
∵S△PAB＝ ×2r×h＝r2＝9，∴r＝3，
∴S表＝πrl＋πr2＝πr× r＋πr2＝9（1
＋ ）π.
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15. （多选）一几何体的平面展开图如图所示（顶点P在展开图中分
别为P1，P2，P3，P4），其中四边形ABCD为正方形，E，F分
别为P4B，P1C的中点，关于这个几何体，下列结论正确的是
（ ）
A. 直线AE与直线BF异面
B. 直线AE与直线DF异面
C. 直线EF∥平面PAD
D. 直线EF∥平面ABCD
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解析： 如图，将平面展开图还原，显然AE，BF异面，故A正确；易得EF∥BC，又BC∥AD，∴EF∥AD，又EF 平面PAD，AD 平面PAD，∴EF∥平面PAD，故C正确；易知四边形AEFD为梯形，故B错误；∵EF∥BC，BC 平面ABCD，EF 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故D正确.故选A、C、D.
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16. 如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝
AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得
PM∥平面BCE？若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.若
不存在，请说明理由.
解：存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.
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证明如下：
如图，取BE的中点N，连接CN，MN，则
MN∥AB且MN＝ AB.
又PC∥AB且PC＝ AB，
所以MN PC，即四边形MNCP为平行四边形，
所以PM∥CN.
因为PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
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16(共53张PPT)
第2课时 直线与平面平行的性质
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面
平行的性质定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间
的简单线面关系 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
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知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
当直线l∥平面α时，l与α没有公共点.此时，若m α，这时可以
判定，l与m的位置关系是平行或异面.
【问题】 那么在什么情况下l与m平行呢？
知识点 直线与平面平行的性质定理
文字
语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平
面相交，那么该直线与 平行
符号
语言 a∥α， a∥b
图形
语言
平行
交线
a β，α∩β＝b
提醒 （1）线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平
行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在
平面β内，即a β.三个条件缺一不可；（2）定理的作用：①线面平
行 线线平行；②画一条直线与已知直线平行.
1. 已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（ ）
A. b∥α B. b与α相交
C. b α D. b∥α或b与α相交
解析： 由题意得b∥α和b与α相交都有可能.故选D.
2. 如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且
EF∥平面ABC，则（ ）
A. EF与BC相交
B. EF∥BC
C. EF与BC异面
D. 以上均有可能
解析： ∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又
EF∥平面ABC，∴EF∥BC. 故选B.
3. 如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF
的位置关系为 .
解析：∵AB∥α，AB β，α∩β＝CD，∴AB∥CD，又AB γ，
CD γ，∴CD∥γ，又CD α，α∩γ＝EF，∴CD∥EF.
CD∥EF
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与平面平行性质定理的应用
【例1】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边
形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G
和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明：如图，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边
形，
∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝
GH，∴AP∥GH.
通性通法
1. 利用线面平行性质定理解题的步骤
2. 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直
线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.
【跟踪训练】
如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面
体.求证：截面MNPQ是平行四边形.
证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB 平面ABC，所以AB∥MN，同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ，同理MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
题型二 与线面平行性质定理有关的计算问题
【例2】 如图，在四面体A-BCD中，已知△ABD是边长为2的等边
三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段
AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点.若AG∥平面
CEF，求线段CF的长.
解：因为AG∥平面CEF，AG 平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝
EF，
所以AG∥EF.
又因为E为线段AB的中点，所以F为线段BG的中点，
因为G为线段BD的中点，且BD＝2，所以GF＝ .
连接CG（图略），因为△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角
形，所以CG＝ BD＝1，且CG⊥GF.
在Rt△CGF中，CF＝ ＝ .
通性通法
利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
（1）根据已知线面平行关系推出线线平行关系；
（2）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理
推出有关线段的关系；
（3）利用所得关系计算求值.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点
F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度.
解：∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF 平面ADC，
∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴F为CD的中点.
∴EF＝ AC＝ ×2 ＝ .
题型三 线面平行关系的综合应用
【例3】 如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A'C'.
（1）要经过平面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
解：如图，在平面A'C'内，过点P作直
线EF，使EF∥B'C'，并分别交棱
A'B'，D'C'于点E，F. 连接BE，
CF，则EF，BE，CF就是应画的线.
（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
解：因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C'相交于
B'C'，所以BC∥B'C'.由（1）知，EF∥B'C'，所以
EF∥BC. 而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平
面AC. 显然，BE，CF都与平面AC相交.
通性通法
关于线面平行关系的综合应用
判定和性质之间的推理关系是由线线平行 线面平行 线线平行
得来的，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空
间和平面之间的相互转化.
【跟踪训练】
如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面
ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC
的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.
解：直线l∥平面PAC. 证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC.
所以EF∥平面ABC，
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，所以l∥平面PAC.
1. 若A是直线m外一点，过点A且与m平行的平面（ ）
A. 存在无数个 B. 不存在
C. 存在但只有一个 D. 只存在两个
解析： 过点A作直线m的平行线l，则经过l且不经过m的所有
平面均与m平行，有无数个.故选A.
2. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结
论中正确的是（ ）
A. m∥α，m∥n n∥α
B. m∥α，n∥α m∥n
C. m∥α，m β，α∩β＝n m∥n
D. m∥α，n α m∥n
解析： A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、平
行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可能
异面.
3. 如图，四棱锥P-ABCD中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH. 求证：GH∥EF.
证明：因为BC∥平面GEFH，BC 平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC，
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若l∥平面α，m α，则l与m的关系一定存在的是（ ）
A. l∥m B. l与m异面
C. l与m可能相交 D. l∩m＝
解析： l与m可以异面或平行，即l∩m＝ .
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2. 若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别
为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为（ ）
A. 都平行
B. 都相交且一定交于同一点
C. 都相交但不一定交于同一点
D. 都平行或交于同一点
解析： 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定
理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
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3. （2024·商丘月考）已知直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一
点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（ ）
A. 0条 B. 1条
C. 0条或1条 D. 无数条
解析： 过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直
线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与直线b重合的，则此直
线与直线a平行；若没有与直线b重合的，则与直线a平行的直线
有0条.
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4. 如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过
C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为
（ ）
A. 2＋ B. 3＋
C. 3＋2 D. 2＋2
解析： 由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝
EF，∴AB∥EF. ∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝
.∴四边形DEFC的周长为3＋2 .
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5. （多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上
的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A. MN∥PD
B. MN∥平面PAB
C. MN∥AD
D. MN∥PA
解析： ∵MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAC∩平
面PAD＝PA，∴MN∥PA，∵PA 平面PAB，MN 平面PAB，
∴MN∥平面PAB. 故选B、D.
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6. （多选）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，
BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的
是（ ）
A. E，F，G，H一定是各边的中点
B. G，H一定是CD，DA的中点
C. AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D. 四边形EFGH是平行四边形或梯形
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解析： 因为BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，
得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝
DG∶GC，且EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.
故选C、D.
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7. 平面α外的两条直线a，b，且a∥α，则a∥b是b∥α的
条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充
分也不必要”）.
解析：平面α外的两条直线a，b，若a∥α且a∥b，则根据直线与
平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，则不一定有
a∥b.
充分不
必要
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8. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交于BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是 （填平行、相交、异面其中之一）.
平行
解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∵E，F分别是棱AA1，BB1
的中点，∴AE BF，∴四边形ABFE为平行四边形，
∴EF∥AB，又∵EF 平面ABCD，AB 平面ABCD，∴EF∥平
面ABCD. 又∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝
GH，∴EF∥GH. 又EF∥AB，∴GH∥AB.
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9. （2024·福州质检）如图所示，直线a∥平面α，点A 平面α，并且
直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD
分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG
＝ .
解析：因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，所以 ＝ ＝ ，所以EG＝ ·BD＝ ×4＝ .
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10. 一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点.
（1）过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？
解：取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE，则PD，PF，EF，DE即为在木块表面应画的线.
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（2）在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
解：在平面ABC中所画的线EF与棱AC平
行，证明如下：
因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，
且AC∥平面PDEF，
因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，
所以AC∥EF.
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11. 如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平
面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形
EFBC是（ ）
A. 空间四边形 B. 矩形
C. 梯形 D. 平行四边形
解析： 因为BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，所
以BC∥平面PAD. 因为BC 平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD
＝EF，所以BC∥EF. 因为BC＝AD，EF＜AD，所以EF＜
BC，所以四边形EFBC为梯形，故选C.
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12. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点
O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则
λ的值为（ ）
A. 1 B.
C. 2 D. 3
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解析： 如图，设AO交BE于点G，连接FG.
∵E为AD的中点，∴AE＝ AD＝ BC. ∵四边
形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴△AEG∽△CBG，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝
.∵PC∥平面BEF，PC 平面PAC，平面
BEF∩平面PAC＝GF，∴GF∥PC，∴λ＝
＝ ＝3.故选D.
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13. 如图，在底面边长为8 cm，高为6 cm的正三棱柱ABC-A1B1C1
中，若D为棱A1B1的中点，则过BC和D的截面面积等
于 cm2.
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解析：过点D作DE∥B1C1，交A1C1于点E，连
接CE，B1C1∥BC，则DE∥BC，即D，E，
B，C四点共面，四边形BCED即为过BC和点D
的截面，
因为D为棱A1B1的中点，所以DE是△A1B1C1的中位线，所以DE＝ B1C1＝4 cm，又因为DE∥BC，所以四边形BCED是梯形；过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝ ＝4 （cm），所以截面 BCED的面积为S＝ ×（4＋8）×4 ＝24 （cm2）.
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14. 如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，M，N分别为线段A1B，AC1
的中点.
（1）求证：MN∥平面BB1C1C；
解：证明：连接A1C（图略），在直三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C为矩形，
因为N为AC1的中点，所以N为A1C的中点.
又M为A1B的中点，所以MN∥BC，又
MN 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
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（2）若点D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求 的值.
解：因为DN∥平面ABB1A1，DN 平
面A1BC，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，
所以DN∥A1B，所以 ＝ ＝1.
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15. （多选）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且
AB∥CD，AC，BD的交点为O，CD＝3AB，在PC上取一点
N，使得PA∥平面NBD，四棱锥P-ABCD的体积为V1，三棱锥
N-BDC的体积为V2，则下面结论正确的为（ ）
A. ＝ B. PA∥ON
C. VP-ADC＝VP-ABC D. ＝
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解析： 因为AB∥CD，所以△AOB与△COD
相似，所以 ＝ ＝ ，因为PA∥平面NBD，
PA 平面PAC，平面PAC∩平面NBD＝ON，
所以PA∥ON，所以 ＝ ＝ ，故A、B正
确；因为CD＝3AB，AB∥CD，所以S△ADC＝3S△ABC，所以VP-ADC＝3VP-ABC，故C不正确；因为 ＝ ，所以 ＝ ，因为 ＝ ＝3，所以 ＝ ，所以 ＝ × ＝ ，故D正确.故选A、B、D.
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16. 如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形
EFGH为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
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解：证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥
平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
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（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
解：同（1）可证EH∥CD，设EF＝x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1，
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又AB＝4，CD＝6，∴ ＋ ＝1，
∴y＝6（1－ ），且0＜x＜4，
∴四边形EFGH的周长为l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－ ）］＝12－x，
∵8＜12－x＜12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.
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