(共58张PPT)
第2课时 直线与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直
观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象
2.归纳出直线与平面垂直的性质定理 逻辑推理
3.了解直线与平面、平面与平面的距离 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
【问题】 （1）如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平行，
那么直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由；
（2）如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样
的位置关系？猜测结果并说明理由.
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
平行
a∥b
【想一想】
在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'所在直线与平面ABCD位置
关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？
提示：棱AA'，BB'所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相
平行.
知识点二 线面距与面面距
1. 直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上
到这个平面的距离.
2. 平面与平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内
的 到另一个平面的距离都相等.
任
意一点
任意一点
【想一想】
是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？
提示：不是.只有当直线与平面平行、平面与平面平行时才涉及距
离问题.
1. △ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，
m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 异面
C. 平行 D. 不确定
解析： ∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，
同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
2. 如图，平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝
3，则CE＝（ ）
A. 2 B. 3
解析： 因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE，且
AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以
DE⊥DC. 因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝
＝ ＝ .故选D.
C. D.
3. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C1到平面ABCD的距
离是 .
解析：由正方体的性质可知，B1C1∥平面ABCD，所以直线
B1C1到平面ABCD的距离即为B1到平面ABCD的距离，由正方体
的性质知B1到平面ABCD的距离为1，即直线B1C1到平面ABCD
的距离为1.
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 线面垂直有关性质的理解
【例1】 已知直线m，n和平面α，若n⊥α，则“m α”是
“n⊥m”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 若n⊥α，m α，则n⊥m，故充分性成立，若n⊥m，
n⊥α，则m α或m∥α，故必要性不成立，故“m α”是
“n⊥m”的充分不必要条件.故选A.
通性通法
1. 线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关
系之间的转化.
2. 常用的线面垂直的性质还有：①a⊥α，b∥a b⊥α；②a⊥α，
a⊥β α∥β.
【跟踪训练】
（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是
A1C的中点，MN⊥平面A1DC，则下列选项正确的是（ ）
A. AD1与平面A1DC相交
B. AD1⊥平面A1DC
C. AD1与MN异面
D. AD1∥MN
解析： 因为AD1∩A1D＝O，则点O∈平面A1DC且点A 平面A1DC，A正确；因为AD1⊥A1D，AD1⊥CD，且CD∩A1D＝D，所以AD1⊥平面A1DC，B正确；又因MN⊥平面A1DC，则AD1∥MN即D正确，C错误.故选A、B、D.
题型二 直线与平面垂直的性质的应用
【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC
上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.
证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D， ①
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.
∵四边形A1B1C1D1为正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1 平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.
又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D， ②
由①②可知EF∥BD1.
通性通法
证明线线平行常用的方法
（1）利用线线平行定义：证共面且无公共点；
（2）利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
（5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
【跟踪训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，
AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且
MN⊥AB，MN⊥PC. 证明：AE∥MN.
证明：因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，又
AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
题型三 空间中的距离问题
【例3】 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中求出下列
距离：
（1）点A到平面BB1D1D的距离；
解：连接AC（图略），易证AC⊥平面BB1D1D，
所以点A到平面BB1D1D的距离为面对角线AC的 ，即 a.
（2）点C到平面BDC1的距离.
解：设点C到平面BDC1的距离为h，三棱锥C-BDC1的体积为V，
在△BDC1中，BD＝DC1＝BC1＝ a，则△BDC1的面积为
×（ a）2＝ a2，
由等体积法可得V＝ × ×a×a×a＝ × a2×h，
解得h＝ a.所以点C到平面BDC1的距离为 a.
通性通法
求点到平面的距离的两种方法
（1）构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将
所求线段化归到三角形中求解；
（2）等积变换法：将所求距离看作某个几何体（多为棱锥）的高，
利用体积相等建立方程求解.
无论是求直线与平面的距离还是求平面与平面的距离，最终都
转化为点到平面的距离.
【跟踪训练】
（2024·济南月考）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，
侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，
AD∥BC，求AD到平面PBC的距离.
解：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC，
所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，
因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝
90°，即AB⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2 ，
设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得
PA·S△ABC＝ d·S△PBC，
所以 ×2× ×2×2＝ d× ×2 ×2，得d＝ ，所以AD到平面
PBC的距离为 .
1. 在空间中，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是（ ）
A. 一个点 B. 一条直线
C. 一个平面 D. 一个球面
解析： 过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆
周的各点距离相等，所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一
条直线.故选B.
2. 已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下
面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是（ ）
A. α∥β，且m α B. m∥n，且n⊥β
C. m⊥n，且n β D. m⊥n，且n∥β
解析： A中，由α∥β，且m α，知m∥β，不符合题意；B中，
由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂
直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m β或
m∥β或m与β相交，不符合题意.故选B.
3. 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则
平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为 .
解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且点A1到平面ABCD的距离为
4，所以所求距离为4.
4
证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平
面PAD.
因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因为AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以
AE⊥平面PCD.
因为l⊥平面PCD，所以l∥AE.
4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD. 求证：l∥AE.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知平面α与两条直线l，m，l⊥α，则“m∥l”是“m⊥α”的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 根据线面垂直的性质定理可知，“m∥l”是“m⊥α”
的充要条件.
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2. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足
l⊥m，l⊥n，l α，l β，则（ ）
A. α∥β，且l∥α
B. α⊥β，且l⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于l
D. α与β相交，且交线平行于l
解析： 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平
面α与平面β必相交但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线
l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.
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3. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ，平面AB1D1到平面
BC1D的距离为（ ）
A. B.
解析： 因为两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面
AB1D1的距离h，由等体积法可得 ＝ ，
即h× × ×22× sin 60°＝ × × × × ，解得h＝
，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为 .
C. D.
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4. 已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6
cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离
是（ ）
A. cm B. cm
解析： 如图所示，过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA，在Rt△GBE中，EG＝ BG. 设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB. 在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm.
C. 2 cm D. 2 cm
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5. （多选）（2024·潮州月考）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，
则下列结论中正确的是（ ）
A. PB⊥BC
B. PD⊥CD
C. PD⊥BD
D. PA⊥BD
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解析： ∵PA⊥矩形ABCD，BD 矩形ABCD，∴PA⊥BD，故D正确；若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，故PD⊥BD不正确，故C不正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥BC，又在矩形ABCD中，AB⊥BC，又PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴PB⊥BC，故A正确.故选A、B、D.
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6. （多选）如图，ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到
△A'BD，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正
确的是（ ）
A. A'C⊥BD B. A'D⊥BC
C. A'C⊥BC D. A'D⊥A'B
解析： ∵ABCD是矩形，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，∴A'O⊥平面BCD，又BC 平面BCD，∴BC⊥A'O，又BC⊥CD，且DC∩A'O＝O，∴BC⊥平面A'CD，从而BC⊥A'D，BC⊥A'C. 显然，由矩形ABCD，易知A'B⊥A'D. 故B、C、D正确.
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7. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，
则EF与AA1的位置关系是 .
解析：如图，因为AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面
BB1D1D，所以EF与BB1不相交，所以EF∥BB1，又AA1∥BB1，
所以EF∥AA1.
平行
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8. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.则直线
AB到平面A1B1C1D1的距离为 ；平面ADD1A1与平面BCC1B1
之间的距离为 .
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解析：如图，在长方体中，因为AB∥平面A1B1C1D1，点A到平面A1B1C1D1的距离就是AB到平面A1B1C1D1的距离，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以所求距离为AA1＝2；AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以所求距离为AB＝4.
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9. 一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面α的距离
分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α所成角的大小是 .
解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，
AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB
相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝
6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
30°
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证明：因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因为△ABC为直角三角形，所以
BC⊥AC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
10. 斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC. AE⊥PB，AF⊥PC，
E，F分别为垂足，如图.
（1）求证：EF⊥PB；
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又因为AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
所以AF⊥平面PBC.
又PB 平面PBC，所以AF⊥BP.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
所以PB⊥平面AEF.
又EF 平面AEF，所以EF⊥PB.
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（2）若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
证明：由（1）知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
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11. 如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足
分别为G，H. 为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（ ）
A. EF⊥平面α
B. EF⊥平面β
C. PQ⊥GE
D. PQ⊥FH
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解析： 因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以E，F，H，G四
点共面.又PQ 平面α，所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面β，则由
PQ 平面β，得EF⊥PQ. 又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面
EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
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12. （多选）如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为
AD，沿AD把△ABC折起来，则（ ）
A. 在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C
B. 三棱锥A-DB'C的体积的最大值为
C. 当∠B'DC＝60°时，点A到B'C的距离为
D. 当∠B'DC＝90°时，点C到平面ADB'的距离为
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解析： 因为AD⊥DC，AD⊥DB'，且DC∩DB'＝D，DC，DB' 平面DB'C，所以AD⊥平面DB'C，故A正确；当DB'⊥DC时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥A-DB'C的体积也最大，最大值为 × × × × ＝ ，故B正确；当∠B'DC＝60°时，△DB'C是等边三角形，设B'C的中点为E，连接AE，则AE⊥B'C，即AE为点A到B'C的距离，AE＝ ＝ ，故C正确；当∠B'DC＝90°时，CD⊥DB'，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB'，则CD就是点C到平面ADB'的距离，CD＝ ，故D不正确.
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13. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是 .
（0，1]
解析：连接DM，如图，因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CM. 又PM⊥CM，且PD∩PM＝P，所以CM⊥平面PDM，所以CM⊥DM，所以以DC为直径的圆与AB有交点，所以0＜a≤1.
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14. 如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为 的中点，点
P为圆柱上底面圆O1上一点，PA⊥平面ABC，PA＝AB，过点A
作AE⊥PC，交PC于点E.
（1）求证：AE⊥PB；
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解：证明：因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为 的中点，所以BC⊥AC，
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE，
又因为AE⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC，
因为PB 平面PBC，所以AE⊥PB.
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（2）若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积.
解：因为点C到平面PAB的距离为1且C为 的中点，所以PA＝AB＝2，所以圆柱OO1的表面积为S＝2×π×12＋2π×1×2＝6π.
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15. （2024·杭州月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，
∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动
点，则PM的最小值为（ ）
A. 2 B. 7
C. D.
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解析： 如图所示，因为PC⊥平面ABC，CM
平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角
形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，
CM最小，此时PM也最小.由条件知AC＝4，BC
＝4 ，故CM的最小值为2 ，又PC＝4，则
PM的最小值为 ＝2 .
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16. 如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC
＝ ，AC＝2.
（1）证明：BC⊥平面PAB；
解：证明：由题知AB＝1，BC＝ ，AC＝2.
则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
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（2）在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD？若存在，求出
PD的值，若不存在，请说明理由.
解：在线段PC上存在点D，当PD＝ 时，使得AC⊥BD.
理由如下：如图，在平面ABC内，过点B
作BE⊥AC，垂足为E，在平面PAC内，
过点E作DE∥PA，交PC于点D，连接
BD，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，
所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE，
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又因为BD 平面DBE，
所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝ ＝ ，
所以AE＝ ，CE＝ ，
所以 ＝ ，所以CD＝ ，PD＝ .
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第1课时 直线与平面垂直的判定
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象
2.归纳出直线与平面垂直的判定定理 逻辑推理
3.了解直线与平面所成角 直观想象
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.
【问题】 （1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
（2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
知识点一 直线与平面垂直
1. 定义：如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说
直线l与平面α互相垂直，记作 .
任意一条
l⊥α
2. 相关概念
垂线 直线l叫做平面α的垂线
垂面 平面α叫做直线l的垂面
垂足 直线与平面唯一的公共点
垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的
线段
点到平面的距离 垂线段的长度
3. 性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
【想一想】
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否
与这个平面垂直？
提示：不一定.
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任
取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这
样的直线能作出无数条，显然AB垂直于平面
ABCD内的无数条直线，但AB 平面ABCD，故直线AB与平面ABCD不垂直.不仅如此，因为A1B1∥AB，所以直线A1B1也垂直于平面ABCD内的无数条直线，但是直线A1B1∥平面ABCD.
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，那
么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α， ＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
相交
m∩n
提醒 （1）判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键
性词语；（2）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在
该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是
否与已知直线有交点，这是无关紧要的.
知识点三 直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α ，但不与这个平
面 ，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的 叫做斜足 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引
，过 和 的直线AO叫做
斜线在这个平面上的射影 相交
垂直
交点A
垂线
PO
垂足O
斜足A
有关概念 对应图形
直线
与平
面所
成的
角 定义：平面的一条 和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是
取值
范围 0°≤θ≤90° 斜线
射影
90°
0°
提醒 （1）斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；（2）斜线在
平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
1. 直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直
解析： 因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，又
m α，所以l⊥m，所以直线l与m不可能平行.
2. 如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那
么直线l与直线AC的关系是 .
解析：因为BA⊥α，α∩β＝l，l α，所以BA⊥l.同理BC⊥l，
又BA∩BC＝B，则l⊥平面ABC. 因为AC 平面ABC，l⊥AC.
垂直
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成
的角等于 ；AB1与平面ADD1A1所成的角等于 ；
AB1与平面DCC1D1所成的角等于 .
45°
45°
0°
解析：∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 线面垂直概念的理解
【例1】 下列命题中正确的是 （填序号）.
③④
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于
平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内
也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且
只有一条.
解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①
不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以
②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以
④正确.
通性通法
1. 直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理
解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平
面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如
果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定
不与这个平面垂直.
2. 由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
【跟踪训练】
（2024·南阳月考）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下
列命题正确的是（ ）
A. 若l⊥m，m⊥α，则l∥α
B. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C. 若l∥α，m α，则l∥m
D. 若l∥α，m∥α，则l∥m
解析： 对于A，l∥α或l α，故A错误；对于B，因l⊥α，则l垂
直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平
面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于
C，也有可能是l，m异面，故C错误；对于D，l，m还可能相交或异
面，故D错误.
题型二 直线与平面垂直的判定
【例2】 如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝
SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC.
证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
【母题探究】
（变条件、变设问）在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD
与平面SAC的位置关系是什么？
解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC.
又由例题知SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
通性通法
证明线面垂直的方法
（1）由线线垂直证明线面垂直：①定义法（不常用）；②判定定理
（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作
辅助线），使它们与所给直线垂直.
（2）平行转化法（利用推论）：①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，
a⊥α a⊥β.
【跟踪训练】
如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任
意一点，AN⊥PM，N为垂足.
（1）求证：AN⊥平面PBM；
证明：∵AB为☉O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明：由（1）知AN⊥平面PBM，
又PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
题型三 直线与平面所成的角
【例3】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面
A1DCB1所成的角.
解：连接BC1，设BC1与B1C相交于点O，连接
A1O.
设正方体的棱长为a.
因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝
B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1DCB1，
所以BC1⊥平面A1DCB1，
所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，
∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.
在Rt△A1BO中，A1B＝ a，BO＝ a，
所以BO＝ A1B.
所以∠BA1O＝30°，
所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
通性通法
求直线与平面所成的角的步骤
【跟踪训练】
如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是正三角形，AA'⊥底面
ABC，且AB＝1，AA'＝2，求直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值.
解：如图所示，取A'B'的中点D，连接C'D，BD.
因为底面△A'B'C'是正三角形，所以C'D⊥A'B'.
因为AA'⊥底面A'B'C'，所以AA'⊥C'D.
又AA'∩A'B'＝A'，AA'，A'B' 平面ABB'A'，所以C'D⊥平
面ABB'A'，
所以∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成的角.
因为等边三角形A'B'C'的边长为1，所以C'D＝ .在
Rt△BB'C'中，BC'＝ ＝ ，
所以直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为 ＝ .
1. 已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（ ）
A. m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B. m⊥b，b∥α
C. m∩b＝A，b⊥α
D. m∥b，b⊥α
解析： m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或
m α，故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或
m α，故B错误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或
m α，故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.故
选D.
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（ ）
A. 平面DD1C1C B. 平面A1DCB1
C. 平面A1B1C1D1 D. 平面A1DB
解析： 因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，
A1D，A1B1 平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故选B.
3. （2024·温州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩
形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为 .
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平
面PAB. ∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形.
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4. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，求AC1与平
面ABCD所成角的正弦值.
解：如图，连接AC，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面
ABCD，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，在Rt△C1CA
中， sin ∠C1AC＝ ＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（ ）
A. 平面OAB B. 平面OAC
C. 平面OBC D. 平面ABC
解析： ∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB 平面
OBC，OC 平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
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2. 如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置
关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直相交
C. 垂直但不相交 D. 相交但不垂直
解析： 连接AC（图略）.因为四边形ABCD是菱形，所以
BD⊥AC. 又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC. 因为AC∩MC＝
C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC. 又MA 平面
AMC，所以MA⊥BD. 由题图可得，AM与BD不相交，故选C.
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3. 矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则
PC与平面ABCD所成的角的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
解析： 由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.在
Rt△PAC中，tan∠PCA＝ ＝ ＝ ，∴∠PCA＝30°，即PC
与平面ABCD所成的角为30°.
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4. （2024·济宁月考）已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角为
，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB
在平面α上的射影所形成的图形面积是（ ）
A. 3π B. 2π
C. π D.
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解析： 如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝ ，又AC＝1，所以BC＝ ，故射影形成的图形为半径为 的圆面，其面积为3π.故选A.
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5. （多选）如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面
ABCD，则下列结论中正确的是（ ）
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
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解析： 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；由题意得，AB与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D不正确.
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6. （多选）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（ ）
A. BC⊥平面PAB
B. AD⊥PC
C. AD⊥平面PBC
D. PB⊥平面ADC
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解析： ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确.
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7. 如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边
所在的直线中：
（1）与PC垂直的直线有 ；
解析：因为PC⊥平面ABC，AB，
AC，BC 平面ABC. 所以PC⊥AB，
PC⊥AC，PC⊥BC.
AB，AC，BC
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（2）与AP垂直的直线有 .
解析：∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又
BC⊥PC，AC∩PC＝C，AC，PC 平面
PAC，所以BC⊥平面PAC. 因为AP 平面
PAC，所以BC⊥AP.
BC
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8. （2024·宁德月考）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成角的大小为 .
30°
解析：取BC的中点E，连接DE，AE（图略），则DE⊥平面
ABC，故DE⊥AE，∠DAE即为AD与平面ABC所成的角，设三棱
柱ABC-A1B1C1的棱长为1，则DE＝ ，AE＝ ，所以tan∠DAE
＝ ，所以∠DAE＝30°.
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9. （2024·丽水质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧
面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的
轨迹是 .
线段B1C
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解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与AC交于点C，∴ BD1⊥平面B1AC，又知点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.
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10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA＝PC，判断直线AC与平面PBD是否垂直，并说明理由.
解：AC⊥平面PBD. 理由如下：
设AC∩BD＝O，连接PO，
因为底面ABCD是菱形，
则AC⊥BD，且O为AC的中点，
因为PA＝PC，则PO⊥AC，
又因为PO∩BD＝O，PO，BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD.
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11. 三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形
的（ ）
A. 内心 B. 重心
C. 外心 D. 垂心
解析： 如图，设点P在平面ABC内的射影为
O，连接OA，OB，OC. ∵三棱锥的三条侧棱两
两相等，∴PA＝PB＝PC. ∵PO⊥底面ABC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝
OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心.
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12. （多选）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A. BF∥CD
B. DG⊥BH
C. CH与BG成60°角
D. BE与平面ABCD所成角为45°
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解析： 由正方体的平面展开图还原正方体
如图所示，由正方体的结构特征可知，BF与CD
异面垂直，所以A错误；DG⊥CH，而CH为BH
在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B
正确；连接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得
四边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG，所以∠AHC或其补角为异面直线CH与BG所成的角，连接AC，可得△AHC为等边三角形，得CH与BG成60°角，所以C正确；因为AE⊥平面
ABCD，所以∠EBA为BE与平面ABCD所成角，为45°，所以D正确.故选B、C、D.
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13. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1
满足条件 时，有
AB1⊥BC1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑
所有可能的情况）
∠A1C1B1＝90°（答案不唯一）
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解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为
A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）.
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14. 如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
证明：取PD的中点E，连接NE，
AE，如图.
又∵N是PC的中点，
∴NE∥DC且NE＝ DC.
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝ AB，
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∴AM∥CD且AM＝ CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
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（2）若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面
PCD.
证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，
∵E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
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又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD.
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15. 已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝ ，
Q为棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最大
值为 .
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解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，
PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是
所求直线与平面所成的角.由于tan θ＝ ，其
中PA＝2，当PQ最小时，正切值取得最大
值.当PQ⊥BC时，PQ最小，BC＝
＝ ，在Rt△PBC中，利用等面积得 × ×2＝ × ×PQ，解得PQ＝ .此时tan θ＝ ＝ .
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16. 如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上
一点，且AD＝ DB，点C为圆O上一点，且BC＝ AC. 点P
在圆O所在平面上的射影为点D，PD＝DB.
（1）求证：CD⊥平面PAB；
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解：证明：连接CO，由AD＝ DB知，
点D为AO的中点.
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由 AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形，故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的射影为点D，
所以PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，所以PD⊥CD，
又PD，AO 平面PAB，且PD∩AO＝D，所以CD⊥平面PAB.
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（2）求直线PC与平面PAB所成的角.
解：由（1）知∠CPD是直线PC与平
面PAB所成的角.又△AOC是边长为2的正三角形，
所以CD＝ .
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝ ，
所以tan∠CPD＝ ＝ ，又0°≤∠CPD≤90°，所以∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
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