(共62张PPT)
第2课时 平面与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过
直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 直观想象
2.归纳出平面与平面垂直的性质定理 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
1. 在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也
与地面垂直.
2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.
【问题】 通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？
知识点 平面与平面垂直的性质定理
文字
语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面
的 ，那么这条直线与另一个平面
符号
语言 α⊥β，α∩β＝l， ， a⊥β
图形
语言
交线
垂直
a α
a⊥l
提醒 （1）定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线
在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直；（2）定理的实质
是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；（3）已知面面
垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
【想一想】
如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？
提示：正确.
1. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）
A. α∥γ
B. α⊥γ
C. α与γ相交但不垂直
D. 以上都有可能
解析： 在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面
都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
2. 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，
作ME⊥AB于E，则（ ）
A. ME⊥平面ABCD
B. ME 平面ABCD
C. ME∥平面ABCD
D. 以上都有可能
解析： ∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME 平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD. 故选A.
3. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与
n的位置关系是 .
解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，
所以m∥n.
平行
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 垂直关系的相互转化
【例1】 已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个
命题：
①若α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
其中正确的命题为（ ）
A. ①② B. ③
C. ②③ D. ①②③
解析： 对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直
线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直
线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不
能得到n⊥β，故①不正确；对于②，如图所示，在长
方体ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'与平面DCC'D'的交线为C'D'，与平面ABCD的交线为AB，但C'D'∥AB，故②不正确；对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直
线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确.
通性通法
垂直关系的转化
空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关
系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：
【跟踪训练】
（多选）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则
下列命题中正确的是（ ）
A. 若m β，α⊥β，则m⊥α
B. 若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C. 若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D. 若α⊥γ，α∥β，则β⊥γ
解析： 由线面平行、垂直的有关知识可排除A、B；对于C，因
为m∥α，过m作平面γ交α于m'，则m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又
m' α，则α⊥β，所以C正确，对于D显然正确，故选C、D.
题型二 平面与平面垂直的性质及应用
【例2】 （2024·信阳月考）如图，点P为四边形ABCD所在平面外
一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点.
求证：（1）PE⊥平面ABCD；
证明：因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD.
（2）平面PBE⊥平面ABCD.
证明：由（1）知PE⊥平面ABCD，
又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.
通性通法
1. 面面垂直 线面垂直 线线垂直.
由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：①直线必须在其中一个
平面内；②直线必须垂直两平面交线.
2. 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平
面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，
作交线的垂线.
【跟踪训练】
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，
因为BC＝CC1，所以四边形BCC1B1为菱形，
所以B1C⊥BC1，
又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，
B1C 平面BCC1B1，
所以B1C⊥平面A1BC1，
因为B1C 平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
题型三 空间垂直关系的综合应用
【例3】 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，点E，F分别是CD，PC的中点.
求证：（1）PA⊥平面ABCD；
证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线
AD，所以PA⊥平面ABCD.
（2）BE∥平面PAD；
证明：因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边
形，所以BE∥AD.
又BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
（3）平面BEF⊥平面PCD.
证明：由（2）知四边形ABED为平行四边形，因为AB⊥AD，
所以四边形ABED为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.
因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因为点E，F分别是CD，PC的中点，所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.
因为CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
通性通法
1. 熟练掌握垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的
相互转化是解题的常规思路.
2. 垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，
再利用线线垂直证明.
【跟踪训练】
如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE
的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
（1）求证：AM⊥平面EBC；
解：证明：因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面
ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，所以BC⊥AM.
因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE. 又BC∩CE＝
C，所以AM⊥平面EBC.
（2）求直线EC与平面ABE所成角的正切值.
解：取AB的中点F，连接CF，EF.
因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，
所以EA⊥平面ABC，
因为CF 平面ABC，
所以EA⊥CF.
又AC＝BC，所以CF⊥AB.
因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，
所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.
在Rt△CFE中，CF＝ ，FE＝ ，
tan∠CEF＝ ＝ ＝ .
1. 下列命题中错误的是（ ）
A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平
面β
C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析： 如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都
垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D中
命题错误.
2. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（ ）
A. 平行 B. 共面
C. 垂直 D. 不垂直
解析： 如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝
BC，AD＝CD，∴BD⊥AC. ∵平面AA1C1C⊥平
面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD
平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C. 又CC1 平面
AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C.
3. 如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是 .
45°
解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD. ∴∠ADO＝45°.
4. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，
∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥
平面ABC. 求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：因为平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
PA 平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC. 又BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A，
AB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB. 又BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： ①当l∥β时，又∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β”
是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，又∵l⊥α，则
l∥β或l β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要
条件.故选A.
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2. 设α-l-β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，
b与l均不垂直，则（ ）
A. a与b可能垂直，但不可能平行
B. a与b可能垂直也可能平行
C. a与b不可能垂直，但可能平行
D. a与b不可能垂直，也不可能平行
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解析： ∵α-l-β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β
内，且a，b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得
a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面
角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，但可
能平行.故选C.
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3. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，
则点C1在底面ABC上的射影点H必在（ ）
A. 直线AB上 B. 直线BC上
C. 直线AC上 D. △ABC内部
解析： 连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1
＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平
面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面
ABC的交线AB上，故选A.
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4. 已知在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3
的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体ABCD的体积为
（ ）
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解析： ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝
BD，BD⊥CD，CD 平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又等边
△ABD边长为3，则S△ABD＝ AB·AD· sin 60°＝ ，又BD＝CD
＝3，故V四面体ABCD＝ CD·S△ABD＝ .故选C.
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5. （多选）已知平面α，β，γ和直线l，下列命题中正确的是（ ）
A. 若α⊥β，β∥γ，则α⊥γ
B. 若α⊥β，则存在l α，使得l∥β
C. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ
D. 若α⊥β，l∥α，则l⊥β
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解析： 对选项A，因为α⊥β，所以存在直线a α，使得a⊥β，又因为β∥γ，所以a⊥γ，又因为a α，所以α⊥γ，故A正确；对选项B，如图①所示：在长方体中，满足α⊥β，存在这样的直线l α，使得l∥β，故B正确；对选项C，过直线l上任意一点作直线m⊥γ，根据面面垂直的性质可知：m α，m β，所以m与直线l重合，所以l⊥γ，故C正确；对选项D，如图②所示：在长方体中，满足α⊥β，l∥α，此时l∥β，故D错误.故选A、B、C.
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6. （多选）（2024·温州月考）如图，在四面体P-ABC中，AB＝
AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下
列结论中一定成立的是（ ）
A. BC∥平面PDF
B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面PAE
D. 平面PDF⊥平面ABC
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解析： 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE. 因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF 平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立.故选A、B、C.
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7. 已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则直线a与平面α的位置关系
是 .
解析：因为平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，又a⊥β，所
以a∥b，即a α或a∥α.
a α或a∥α
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8. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC
＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝ .
解析：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
∠PAC＝90°，即PA⊥AC，PA 平面PAC，所以PA⊥平面
ABC. 又AB 平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝
＝ .
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9. 如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角
分别为 和 .过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，
则 ＝ .
2
解析：由已知条件可知∠BAB'＝ ，∠ABA'＝ ，设AB＝2a，则BB'＝2a sin ＝ a，A'B＝2a cos ＝ a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2.
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10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，
侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ AD. 求证：平面PAB⊥
平面PBD.
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证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝
AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以PD⊥AB.
因为PA＝PD＝ AD，所以PA2＋PD2＝AD2，
所以PA⊥PD.
又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.
因为PD 平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.
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11. 如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面
PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（ ）
A. 一条线段
B. 一条直线
C. 一个圆
D. 一个圆，但要去掉两个点
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解析： 因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平
面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC. 又因为
BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C
的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.故选D.
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12. （多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面
PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是（ ）
A. 平面PAB⊥平面PAD
B. 平面PAD⊥平面PDC
C. AB⊥PD
D. 平面PAD⊥平面PBC
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解析： ∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB. ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，∴AB⊥平面PAD. ∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD，故C中说法正确；又AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A中说法正确；同理可证平面PAD⊥平面PDC，故B中说法正确；假设平面PAD⊥平面PBC，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥AD，与BC∥AD矛盾，故D中说法错误.故选A、B、C.
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13. （2024·泉州月考）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，M
是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC.
则M点的轨迹的长度为 .
π
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解析：因为DM 平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可.又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆（不包含D，C）.又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为 ＝π.
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14. 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD
是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所
在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证：
（1）BG⊥平面PAD；
证明：因为四边形ABCD是菱形且
∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，因为G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
又平面PAD∩平面ABD＝AD，
平面PAD⊥平面ABD，BG 平面ABD，
所以BG⊥平面PAD.
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（2）AD⊥PB.
证明：由（1）可知BG⊥AD，又
△PAD为正三角形，
所以PG⊥AD.
因为BG∩PG＝G，BG，PG 平面
PBG，
所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
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15. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，
AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC（0
＜k＜1），则（ ）
C. 对任意k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直
D. 存在k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直
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解析： 当k＝ 时，取PB，PC的中点，分别为M，N，连接
MN，AM，DN（图略）.由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，
可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM. 又M为PB的中点，PA＝
AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝
BC，MN∥BC且MN＝ BC，∴AD∥MN且AD＝MN，则四边
形ADNM为平行四边形，可得AM∥DN，则DN⊥平面BPC. 又
DN 平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD. 故选A.
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16. 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝
2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的
中点.
（1）求证：EF⊥平面BCG；
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解：证明：∵AB＝BC＝BD＝2，
∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC.
∵G为AD的中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD.
∵CG∩BG＝G，CG，BG 平面
BGC，∴AD⊥平面BGC.
又E，F分别是AC，CD的中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.
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（2）求三棱锥D-BCG的体积.
解：在平面ABC内，作AO⊥CB，
交CB的延长线于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，
平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO 平
面ABC，
∴AO⊥平面BCD.
∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距
离h是AO长度的一半.
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在△AOB中，AO＝AB· sin 60°＝ ，
∴h＝ .
在△BCD中，BF＝BD· cos 60°＝2× ＝1，
DF＝BD· sin 60°＝ ，∴DC＝2 ，
故S△DCB＝ BF·DC＝ ×1×2 ＝ ，
∴VD-BCG＝VG-BCD＝ S△DCB·h＝ × × ＝ .
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第1课时 平面与平面垂直的判定
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直
观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 数学抽象
2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义 逻辑推理
3.归纳出平面与平面垂直的判定定理 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”
变大的感觉.
【问题】 你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？
知识点一 二面角
1. 定义：从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二
面角.
半平面
2. 相关概念
二面角的棱 二面角的面 记法
AB（l） α，β 二面角α-AB-β；
二面角α-l-β；
二面角P-l-Q；
二面角P-AB-Q
3. 二面角的平面角
（1）定义：在二面角α-l-β的棱l上 ，以点O为垂
足，在半平面α和β内分别作 于棱l的射线OA和
OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；
（2）范围： ；
任取一点O
垂直
0°≤∠AOB≤180°
（3）直二面角：平面角是直角的二面角.
【想一想】
二面角与平面几何中的角有什么区别？
提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图
形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
知识点二 平面与平面垂直
1. 平面与平面垂直的定义
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角
是 ，就说这两个平面互相垂直；
（2）画法：
（3）记作： .
直二面角
α⊥β
2. 平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两
个平面垂直
符号语言 a α，a⊥β α⊥β
图形语言
提醒 判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的
关键是在平面内寻找另一个面的垂线.
垂线
【想一想】
“过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？
提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一
条垂线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定
定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作
无数个与已知平面垂直的平面.
1. 如图所示的二面角可记为（ ）
A. α-β-l B. M-l-N
C. l-M-N D. l-β-α
解析： 根据二面角的记法规则可知B正确.故选B.
2. 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平
面角，则必须具有的条件是（ ）
A. AO⊥BO，AO α，BO β
B. AO⊥l，BO⊥l
C. AB⊥l，AO α，BO β
D. AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1所有经过四个顶点的平面中，垂
直于平面ABC1D1的平面有
.
平面A1B1CD，平面BCC1B1，平面
ADD1A1
解析：连接B1C，A1D（图略），在正方体ABCD-A1B1C1D1中有
AB⊥平面BCC1B1，又AB 平面ABC1D1，所以平面ABC1D1⊥平
面BCC1B1，同理有平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，又BC1⊥B1C，
BC1 平面ABC1D1，B1C 平面A1B1CD，所以平面ABC1D1⊥平
面A1B1CD.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二面角的计算
【例1】 如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝
AB.
（1）求二面角A-PD-C的大小；
解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的大小为90°.
（2）求二面角B-PA-C的大小.
解：∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小为45°.
通性通法
求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
提醒 作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位
置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点.
【跟踪训练】
（2024·宁波质检）在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角
的余弦值为（ ）
解析： 由A-BCD为正四面体，取CD的中点
E，连接AE，BE（如图），则AE⊥CD，
BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，
∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设正四面体
的棱长为1，则AE＝BE＝ ，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，则 cos ∠AEB＝ ，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝ ，∴ cos ∠AEB＝ .故选B.
题型二 平面与平面垂直的证明
【例2】 如图所示，在四面体A-BCS 中，已知∠BSC＝90°，
∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面
SBC.
证明：法一（定义法） 因为∠BSA＝∠CSA＝
60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示，则
AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝ a，BD＝ ＝ a.
在Rt△ABD中，AD＝ a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二（判定定理法） 因为SA＝SB＝SC，且∠BSA
＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
通性通法
证明面面垂直常用的方法
（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂
直，即把问题转化为“线面垂直”；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个
也垂直于此平面.
【跟踪训练】
1. 如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面
ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
证明：∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.
2. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝3 ，M，N
分别是棱A1C1，AC的中点，E在侧棱AA1上，且A1E＝2EA，求
证：平面MEB⊥平面BEN.
证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN 平面
ABC，则AA1⊥BN.
因为N是棱AC的中点，△ABC为正三角形，则BN⊥AC.
因为AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA1C1C，ME 平面
AA1C1C，BN⊥ME.
又AB＝4，AA1＝3 ，A1E＝2EA，所以EA＝ ，A1E＝2 ，
因为 ＝ ＝ ，∠NAE＝∠EA1M＝90°，
所以Rt△A1EM∽Rt△ANE，故∠A1EM＝∠ANE，∠A1EM＋
∠AEN＝∠ANE＋∠AEN＝90°，则有∠MEN＝90°，故
EN⊥ME.
因为EN∩BN＝N，所以ME⊥平面BEN，又ME 平面MEB，所
以平面MEB⊥平面BEN.
1. 下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的
平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二
面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个
数是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的
图形叫做二面角，故错误；②二面角的平面角是从棱上一点出
发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；③二面角
的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误.所以①②
③都不正确.故选A.
2. 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平
面，那么这两个二面角（ ）
A. 相等 B. 互补
C. 相等或互补 D. 关系无法确定
解析： 如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当
平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面
BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，
所以两个二面角的大小关系不确定.
3. （2024·江门月考）如图所示，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所
在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的
大小为 .
45°
解析：∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC. ∵AB是
☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，
PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而PC 平面PAC，
∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角
P-BC-A的平面角.由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，故二面角P-BC-A的大小是45°.
4. 如图①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高.以AD为折
痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，如图②所示，求证：平面
ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
证明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD，DC 平面BDC，且BD∩DC＝D，
所以AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，AD 平面ACD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角
的平面角.其中可能为钝角的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解析： 异面直线所成的角α的范围为0°＜α≤90°，直线和平
面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为
0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角.
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2. 下列命题中正确的是（ ）
A. 平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
解析： 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面
α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、
D错，C正确.
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3. 如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则
BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面
ABC，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC为等
边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C.
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4. 如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该几何体的表面中
相互垂直的面有（ ）
A. 2对 B. 3对
C. 4对 D. 5对
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解析： 由PA⊥平面ABCD，知平面PAD⊥平面ABCD，平面
PAB⊥平面ABCD；因为PA⊥AB，AD⊥AB，PA∩AD＝A，所
以AB⊥平面PAD，则平面PAB⊥平面PAD；因为PA⊥BC，
AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，则平面PBC⊥平
面PAB；因为PA⊥DC，AD⊥DC，PA∩AD＝A，所以DC⊥平
面PAD，则平面PDC⊥平面PAD. 所以题图中相互垂直的面共有5
对，选D.
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5. （多选）已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题
中正确的是（ ）
A. 若α∥β，l∥β，则l∥α
B. 若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C. 若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D. 若α⊥β，l∥β，则l⊥α
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解析： 对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或
l α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则
α∥β，故B正确；对于C，如图，若l⊥α，
l∥β，过l的平面γ与β相交，设交线为m，
∵l∥β，l γ，β∩γ＝m，则l∥m，∵l⊥α，
则m⊥α，∵m β，故α⊥β，故C正确；对于
D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不
正确.故选B、C.
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6. （多选）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，
∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A'
的位置，此时A'C＝ ，构成三棱锥A'-BCD，则（ ）
A. 平面A'BD⊥平面BDC
B. 平面A'BD⊥平面A'BC
C. 平面A'DC⊥平面BDC
D. 平面A'DC⊥平面A'BC
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解析： 在三棱锥A'-BDC中，A'D＝A'B＝1，∠BA'D＝90°，故BD＝ ，易知DC＝ ，又A'C＝ ，故A'C2＝A'D2＋DC2，则CD⊥A'D，又CD⊥BD，A'D∩BD＝D，所以CD⊥平面A'BD，故平面A'BD⊥平面BDC. 又CD⊥平面A'BD，所以CD⊥A'B，又A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC，故平面A'DC⊥平面A'BC.
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7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平
面AA1C1C的位置关系是 .（填“垂直”或“不垂直”）
解析：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD. 又
AC⊥BD，CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面AA1C1C. 又BD 平面
EBD，所以平面EBD⊥平面AA1C1C.
垂直
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8. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则
折叠后BC＝ .
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解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B-
AD-C的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝
90°，连接BC（图略），则BC＝ ＝
＝1.
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9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 ，CC1＝
，则二面角C1-BD-C的大小为 .
30°
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解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，因为AB＝AD＝2
，所以CO⊥BD，CO＝ .因为CD＝BC，所以C1D＝
C1B，所以C1O⊥BD. 所以∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角.
因为tan∠C1OC＝ ＝ ＝ ，所以∠C1OC＝30°，即二面角
C1-BD-C的大小为30°.
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10. 如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2 ，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小.
解：如图，取AB的中点E，连接VE，CE.
因为VA＝VB＝AC＝BC＝2，
所以由等腰三角形的性质，可得VE⊥AB，CE⊥AB，
所以∠VEC就是二面角V-AB-C的平面角.
由AB＝2 ，
可知EB＝ AB＝ .
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又VB＝2，所以在Rt△VEB中，VE＝ ＝1，同理
EC＝1，
所以VE＝EC＝VC＝1，
所以△VEC为正三角形，
所以∠VEC＝60°.
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11. （2024·焦作月考）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧
棱AA1＝ ，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B1-
AD-B的大小为（ ）
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解析： 由题意知：AB＝DB＝3，BB1＝AA1＝ 且∠ABD＝ ，过B作BE⊥AD于E，连接B1E，则BE＝ ，而BB1⊥平面ABD，AD 平面ABD，∴AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，即
AD⊥平面BEB1，故二面角B1-AD-B的平面角为∠BEB1，∴tan∠BEB1＝ ＝ ，而∠BEB1∈[0，π]，即∠BEB1＝ .
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12. （多选）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，
点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（ ）
A. 平面EFG∥平面PBC
B. 平面EFG⊥平面ABC
C. ∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D. ∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
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解析： 对于A，因为点E，F分别是AB，AP的中点，所以EF∥PB，又EF 平面PBC，PB 平面PBC，所以EF∥平面
PBC. 同理，EG∥平面PBC. 又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥
平面PBC，因此A中结论正确；对于B，因为PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG 平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中结论正确；对于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC为直线BC与直线PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，因此C中结论正确；对于D，由于FE，GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D中结论不正确.
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13. （2024·珠海月考）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底
面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足
时，平面MBD⊥平面PCD.
解析：易证△PAB ≌ △PAD，∴PB＝PD，易证△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM ＝M，∴PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
BM⊥PC
（或DM⊥PC）
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14. 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝
CA＝2BD，M是EA的中点.
求证：（1）DE＝DA；
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证明：设BD＝a，则CE＝CA＝2a.如图，
作DF∥BC交CE于点F，则CF＝DB＝a.
因为CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC.
因为EF＝a，BC＝2a，
所以DE＝ ＝ a.
又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，
DB⊥AB，所以DA＝ ＝ a，
所以DE＝DA.
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（2）平面BDM⊥平面ECA；
证明：如图所示，取CA的中点N，连
接MN，BN，则MN∥CE∥DB，且MN＝
CE＝DB，
所以四边形MNBD为平行四边形，所以
MD∥BN.
因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，
EC⊥MD.
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由（1）知DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
因为EC∩AE＝E，EC 平面AEC，AE 平面AEC，
所以DM⊥平面AEC，又DM 平面BDM，所以平面
BDM⊥平面ECA.
（3）平面DEA⊥平面ECA.
证明：由（2）知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.
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15. 在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是
10，则该点到另一个面的距离是 .
解析：如图所示，P为二面角α-l-β的一个面α内一
点，PO是它到另一个面β的距离，PH是它到棱的距
离为10，∵PO⊥β，∴PO⊥l，又PH⊥l， ∴l⊥平
面POH，得出l⊥OH，∴∠PHO为二面角α-l-β的平
面角，∠PHO＝60°，在Rt△PHO中，PO＝PH· sin
60°＝10× ＝5 .
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16. （2024·宁德月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角
梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和
四边形ADD1A1均为正方形.
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
解：证明：因为四边形ABB1A1和四
边形ADD1A1均为正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，所以AA1⊥平面ABCD.
因为AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
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（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
解：过点B作BH⊥CD于点H，连
接B1H（图略）.
由（1）知BB1⊥平面ABCD，则
BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，
所以CD⊥平面BB1H，所以B1H⊥CD，
所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角.
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由等面积法可得 BH＝1×2，即BH＝ ，
所以B1H＝ ＝ ，
故 cos ∠BHB1＝ ＝ .
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