(共62张PPT)
第2课时 相互独立事件概率的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 相互独立事件乘法公式的应用
【例1】 （2024·淄博月考）在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、
丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率
是 ，甲、乙两人都回答错误的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的
概率是 .设每人回答问题正确与否相互独立.
（1）求乙答对这道题的概率；
解：记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C，
设乙答对这道题的概率P（B）＝x，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相
互独立事件.
由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得P（ ）＝P（ ）P（ ）＝（ 1－ ）×（1－x）＝ ，
解得x＝ ，
所以乙答对这道题的概率为P（B）＝ .
（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
解：设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件
M，设丙答对这道题的概率P（C）＝y.
由（1），并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得P（BC）＝P（B）P（C）＝ ×y＝ ，
解得y＝ .
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P（ ）＝P（ ）P
（ ）P（ ）＝（ 1－ ）×（ 1－ ）×（ 1－ ）＝ .
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
所以所求事件概率为P（M）＝1－ ＝ .
通性通法
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
（1）用恰当的字母表示题中有关事件；
（2）根据题设条件，分析事件间的关系；
（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的
乘积之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）；
（4）利用乘法公式计算概率.
【跟踪训练】
甲、乙、丙三人打靶，他们的命中率分别为p1，p2， ，若三人同时
射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为 ，乙击
中目标而丙没有击中目标的概率为 .设事件A表示“甲击中目标”，
事件B表示“乙击中目标”，事件C表示“丙击中目标”.已知A，
B，C是相互独立事件.
（1）求p1，p2；
解：由题意知P（A）＝p1，P（B）＝p2，P（C）＝ ，
A，B，C为相互独立事件，
所以甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率P（A C）＝P
（A）P（ ）P（C）＝ p1（1－p2）＝ ，
乙击中目标而丙没有击中目标的概率P（B ）＝P（B）P
（ ）＝ p2＝ ，
解得p1＝ ，p2＝ .
（2）写出事件A∪B∪C包含的所有互斥事件，并求事件A∪B∪C
发生的概率.
解：事件A∪B∪C包含的互斥事件有：ABC， BC，A C，
AB ， C， B ，A ，
P（A∪B∪C）＝1－P（ ）＝1－ × × ＝1－ ＝ .
题型二 相互独立事件的综合应用
【例2】 一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对
得5分，否则得0分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全
答对，后三道题能答对的概率分别为p， ， ，且每道题答对与否
相互独立.
（1）当p＝ 时，求考生填空题得20分的概率；
解：设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，C.
考生填空题得20分的概率P（A）＝ × × ＝ .
（2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值.
解：P（B）＝p× ×（1－ ）＋p×（1－ ）× ＋（1－
p）× × ＝ p＋ ，
P（C）＝p×（1－ ）×（1－ ）＋（1－p）× ×（1－
）＋（1－p）×（1－ ）× ＝ － p.
由P（B）＝P（C），解得p＝ .
通性通法
求较复杂事件的概率的一般步骤
（1）列出题中所涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；
（2）厘清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互
独立），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算
其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
【跟踪训练】
（2024·开封月考）11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成
10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结
束.已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，
甲先发球，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概
率为0.4，各球的结果相互独立.
（1）求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率；
解：设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，
3，…），又打了X个球比赛结束，
则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（ ）＝P（A1）·P（A2）
＋P（ ）P（ ）＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
（2）求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率.
解：P（X＝4且甲获胜）＝P（A1 A3A4）＋P（ A2A3A4）
＝P（A1）P（ ）P（A3）P（A4）＋P（ ）P（A2）·P
（A3）P（A4）
＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1.
题型三 统计与事件相互独立性的综合应用
【例3】 2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在
北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民
人均可支配收入明显增长，某地为了解居民可支配收入情况，随机抽
取100人，经统计，这100人去年可支配收
入（单位：万元）均在区间[4.5，10.5]内，
按[4.5，5.5），[5.5，6.5），
[6.5，7.5），[7.5，8.5），[8.5，9.5），
[9.5，10.5]分成6组，所得频率分布直方图
如图所示，若上述居民可支配收入数据的第
60百分位数为8.1.
（1）求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值（同一
组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
解：由频率分布直方图，可得
0.05＋0.12＋a＋b＋0.2＋0.08＝1，
则a＋b＝0.55， ①
因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，
所以0.05＋0.12＋a＋（8.1－7.5）×b＝0.6，
则a＋0.6b＝0.43， ②
将①与②联立，解得
所以平均值为0.05×5＋0.12×6＋0.25×7＋0.3×8＋0.2×9＋
0.08×10＝7.72.
（2）在100位居民中随机抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互
不影响，求抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5，
8.5）内的概率.
解：根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，
8.5）内，则P（A）＝P（B）＝P（C）＝0.3.
①“抽取的3人中有2人在[7.5，8.5）内”为事件AB ∪A
C∪ BC，且AB 与A C与 BC两两互斥，根据概率的加法
公式和相互独立的定义，得
P1＝P（AB ∪A C∪ BC）
＝0.3×0.3×（1－0.3）＋0.3×（1－0.3）×0.3＋（1－
0.3）×0.3×0.3
＝0.189.
②“抽取的3人中有3人在[7.5，8.5）内”为事件ABC，由相互
独立的定义，得
P2＝P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝0.3×0.3×0.3＝
0.027.
所以抽取的3人中至少有2人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的
概率为
P1＋P2＝0.189＋0.027＝0.216.
通性通法
求统计与事件相互独立性综合问题的步骤
（1）由统计图表及文字叙述厘清问题中所涉及的事件，对应该事件
的数据，并用字母表示；
（2）研析各事件的相互关系（互斥、对立、相互独立）以及和事
件、积事件等；
（3）利用事件间的关系及相应的概率公式求解.
提醒 （1）注意公式的正用和逆用；（2）只有明确了两事件
具有的关系后，才能使用相应的概率公式.
【跟踪训练】
某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试.
现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据按照《国家学生
体质健康标准》整理成下表.规定：总分≥60体质健康为合格.
等级 总分 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分
优秀 [90，100] 5 91.3 2 91
良好 [80，89.9] 4 83.9 4 84.1
及格 [60，79.9] 8 70 11 70.2
不及格 60以下 3 49.6 3 49.1
总计 — 20 — 20 —
（1）从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康等级是合格
的概率；
解：样本中体质健康等级是合格的学生人数为5＋2＋4＋4＋8＋
11＝34，
样本总数为20＋20＝40，
所以这名学生体质健康等级是合格的概率为 ＝ .
（2）从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质
健康等级是优秀的概率.
解：设事件A为“从男生样本中随机选出一人，其体质健康等
级是优秀”，事件B为“从女生样本中随机选出一人，其体质
健康等级是优秀”，
则P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ .
因为A，B为相互独立事件，所以所求概率为
P（A ＋ B）＝P（A ）＋P（ B）＝P（A）[1－P
（B）]＋[1－P（A）]P（B）＝ ×（ 1－ ）＋（ 1－ ）
× ＝ .
1. 从高中应届生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为 ，视
力合格的概率为 ，其他综合标准合格的概率为 ，三项标准互不
影响，从中任选一学生，则三项均合格的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由题意知三项标准互不影响，∴P＝ × × ＝ .
2. 某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽
到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小
王答对每道题目的概率都是0.7，则他最终通过面试的概率为（ ）
A. 0.7 B. 0.91
C. 0.973 D. 0.981
解析： 由题意知，小王最终通过面试的概率为P＝0.7＋
0.3×0.7＋0.3×0.3×0.7＝0.973.
3. （多选）将两个质地均匀且四面分别标有1，2，3，4的正四面体各
掷一次，记事件A＝“第一个四面体向下的一面为偶数”；事件 B
＝“第二个四面体向下的一面为奇数”；事件C＝“两个四面体向
下的一面均为奇数或者均为偶数”.则下列结论正确的是（ ）
A. P（A）＝ B. P（AB）＝
C. P（ABC）＝ D. P（B）＝
解析： 由题意知P（A）＝ ＝ ，故A正确；∵P（B）＝
＝ ，事件A与B相互独立，∴P（AB）＝ × ＝ ，故B正确，
D错误；∵事件AB与事件C为互斥事件，∴P（ABC）＝0，故C
错误.
4. 某农户要种植甲、乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行
移栽.已知甲、乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5，0.6，移栽
后成活的概率分别为0.6，0.8，则恰好有一种蔬菜能培育成苗且移
栽成活的概率为 .
0.492
解析：记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A，“乙种蔬
菜能培育成苗且移栽成活”为事件B，则P（A）＝0.5×0.6＝
0.3，P（B）＝0.6×0.8＝0.48，P（ ）＝0.7，P（ ）＝
0.52，故恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为P
（A ）＋P（ B）＝P（A）P（ ）＋P（ ）P（B）＝
0.3×0.52＋0.7×0.48＝0.492.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·济宁月考）某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关
率分别为0.8，0.6，0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且每
关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为
（ ）
A. 0.48 B. 0.4
C. 0.32 D. 0.24
解析：由题意可知该选手只闯过前两关，第三关没闯过，由相互独立事件的概率可知P＝0.8×0.6×（1－0.5）＝0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24.
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2. （2024·杭州月考）甲射击命中目标的概率是 ，乙命中目标的概率
是 ，丙命中目标的概率是 ，现在三人同时射击目标，则目标被
击中的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 若三人均未击中目标，则概率为 × × ＝ ，∴目标
被击中的概率为P＝1－ ＝ .故选D.
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3. （2024·舟山月考）某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在
这三处因遇绿灯而通行的概率分别为 ， ， ，则汽车在这三处因
遇红灯而停车一次的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，
则P（A）＝ ，P（B）＝ ，P（C）＝ .因遇红灯停车一次即
为事件 BC＋A C＋AB ，故概率P＝（1－ ）× × ＋ ×
（1－ ）× ＋ × ×（1－ ）＝ .
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4. （2024·南京月考）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是
否加工出精品互不影响.已知师傅加工一个零件是精品的概率为
，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为 ，则徒弟加工2个
零件都是精品的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 记师傅加工2个零件都是精品的概率为P（A），则P
（A）＝ × ＝ ，徒弟加工2个零件都是精品的概率为P
（B），则师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为P（AB）＝
P（A）·P（B）＝ ，求得P（B）＝ ，故徒弟加工2个零件都
是精品的概率为 .
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5. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小
球除颜色外完全相同.从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为
（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事
件 为“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件B为“取得白
球”，则事件 为“取得红球”.∵事件A与B相互独立，∴事件
与 相互独立，∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P
（AB∪ ）＝P（AB）＋P（ ）＝P（A）P（B）＋P
（ ）P（ ）＝ × ＋ × ＝ .
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6. 某校组织《最强大脑》竞赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由
三名选手组成，每局两队各派一名选手比赛，除第三局胜者得2分
外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获
胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得
分高于B队的得分的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况：
①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B
胜，第二局A胜，第三局A胜.所以比赛结束时A队的得分高于B队
的得分的概率P＝（ ）3＋ × × ＋ × × ＝ .故选C.
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7. （2024·南平月考）某学校举行乒乓球比赛，采取五局三胜制，
甲、乙两位同学角逐冠亚军.若甲发球甲获胜的概率为 ，乙发球
甲获胜的概率为 ，要求甲先发球后交替进行，则打满3局甲一举
夺冠的概率为 .
解析：发球顺序是：甲、乙、甲，所以打满3局甲一举夺冠的概率
为 × × ＝ .
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8. 小明去参加法制知识答题比赛，比赛共有A，B，C三道题且每个
问题的回答结果相互独立.已知三道题的分值和小明答对每道题的
概率如表：
A题分值：3分 B题分值：3分 C题分值：4分
答对的概率 0.6 0.5 0.4
记小明所得总分为X（分），则 ＝ .
解析：由已知得P（X＝3）＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＝
0.3，P（X＝10）＝0.6×0.5×0.4＝0.12，所以 ＝ .
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9. 国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够
准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软
件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是 ， ， ， ，且各轮
考核能否通过互不影响.则该软件至多进入第三轮考核的概率
为 .
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解析：设事件Ai（i＝1，2，3，4）表示“该软件能通过第i轮考
核”，由已知得P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（A3）＝ ，P
（A4）＝ ，设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P
（C）＝P（ ＋A1 ＋A1A2 ）＝P（ ）＋P（A1 ）＋
P（A1A2 ）＝ ＋ × ＋ × × ＝ .
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10. 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是 ，三人都
做对的概率是 ，三人都做错的概率是 .
（1）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
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解：设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件
A，B，C，
则P（A）＝ ，由题意得
解得或
所以乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为 和 或 和 .
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（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率.
解：设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D，
则P（D）＝P（A）P（ ）P（ ）＋P（ ）P（B）
P（ ）＋P（ ）P（ ）P（ C ）
＝ ＋ ＋ ＝ .
所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 .
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11. 专家甲独立地破译一个密码成功的概率为 ，为提高破译概率需
增加专家数量，若要达到译出密码的概率为99%（各专家相互独
立互不交流），至少需要像甲这样的专家的个数为（参考数据：
lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1）（ ）
A. 15 B. 16
C. 17 D. 18
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解析： 设需要像甲这样的专家x个， 要达到译出密码的概率
为99%，则 ≤ ，则xlg ≤lg ，即x≥ ＝
≈16.01，故至少需要17个像甲这样的专家.
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12. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 ，且每个开关是否闭
合是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D
开关闭合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条
线路同时断开的概率为P（ ）P（ ）[1－P（AB）]＝ ×
×（1－ × ）＝ ，所以灯亮的概率为1－ ＝ .故选C.
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13. （2024·湛江月考）在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷
叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片跳到另一片），而且逆时
针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现
在青蛙在A片荷叶上，则跳三次之后停在A片荷叶上的概率是 .
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解析：由题意知逆时针方向跳的概率为 ，顺时针方向跳的概率
为 ，青蛙跳三次要回到A片荷叶只有两条途径：第一条：
A→B→C→A，P1＝ × × ＝ ；第二条：A→C→B→A，
P2＝ × × ＝ ，所以跳三次之后停在A片荷叶上的概率P＝
P1＋P2＝ ＋ ＝ .
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14. 为刺激消费，逐渐形成以国内大循环为主体，国内、国际双循环
相互促进的新发展格局，某市给市民发放面额为100元的旅游消费
券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅
游景点的消费额及其概率如表：
200元 300元 400元 500元
老年 0.4 0.3 0.2 0.1
中年 0.3 0.4 0.2 0.1
青年 0.3 0.3 0.2 0.2
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到
该旅游景点.
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（1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；
解：设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1，
则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.
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（2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率.
解：消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，
消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）
2×0.1＝0.01，
消费总额为1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋
0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋（0.2）3＋2×（0.2）
2×0.1＝0.033，
0.002＋0.01＋0.033＝0.045，
所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.
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15. （2024·宁波质检）某单位举办闯关答题比赛，共分两轮，每轮共
有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘
汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行下一轮答题，
两轮都通过就可以获得奖金.选手在第一轮闯关获得的复活币，系
统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，
在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型.若
某选手每轮的4类题型的通过率均分别为 ， ， ， ，则该选
手进入第二轮答题的概率为 ；该选手最终获得奖金的概率
为 .
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解析：选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，概率为
× × × ＝ ，第二轮通过的概率为 ＋ × × × ＋
× × × ＋ × × × ＋ × × × ＝ ＋ ＋ ＋ ＋
＝ ，该选手最终获得奖金的概率为 × ＝ .
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16. 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为
0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立.
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设
备，i＝0，1，2.
B表示事件：甲需使用设备.
C表示事件：丁需使用设备.
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.
E表示事件：同一工作日4人需使用设备.
F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.
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（1）D＝A1BC＋A2B＋A2 C，P（B）＝0.6，P（C）
＝0.4，P（A1）＝2×0.5×0.5＝0.5，
P（A2）＝0.5×0.5＝0.25，
所以P（D）＝P（A1BC＋A2B＋A2 C）＝P（A1BC）
＋P（A2B）＋P（A2 C）＝P（A1）P（B）·P（C）
＋P（A2）P（B）＋P（A2）P（ ）P（C）＝0.31.
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（2）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.
解： 由（1）知，若k＝2，
则P（F）＝0.31＞0.1.
又E＝BCA2，
所以P（E）＝P（BCA2）＝P（B）P（C）P（A2）＝0.06.
若k＝3，则P（F）＝0.06＜0.1.
所以k的最小值为3.
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拓 视 野 互斥与独立事件关系的判断
1. 互斥事件与独立事件的区别与联系
从互斥事件和独立事件的概念我们可以看出，互斥事件即互不相
容，是不可能同时发生的事件，交集为空，但会产生相互影响（比
如A发生，B就一定不发生了）；独立事件A和B的发生互不影
响，可能会同时发生.简单的说就是互斥必相互影响，独立必相容.
2. 互斥事件与独立事件的运算性质
已知事件A，B发生的概率分别为P（A），P（B），则有
事件 表示 概率（A，B互
斥） 概率（A，B相
互独立）
A，B中至少有
一个发生 P（A∪B） P（A）＋P
（B） 1－P（ ）P
（ ）或P
（A）＋P
（B）－P
（AB）
A，B都发生 P（AB） 0 P（A）P
（B）
事件 表示 概率（A，B互
斥） 概率（A，B相
互独立）
A，B都不发生 P（ ） 1－[P（A）＋
P（B）] P（ ）P
（ ）
A，B恰有一个
发生 P（A ∪ B） P（A）＋P
（B） P（A）P
（ ）＋P
（ ）P（B）
A，B中至多有
一个发生 P（ ∪A
∪ B） 1 1－P（A）P
（B）
【例1】 （2024·南阳月考）某社区举办“环保我参与”有奖问答
比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环
保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两
个家庭都回答错误的概率是 ，乙、丙两个家庭都回答正确的概
率是 .若各家庭回答是否正确互不影响.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
解：记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道
题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P
（A）＝ ，且有
即
所以P（B）＝ ，P（C）＝ .
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题
的概率.
解：有0个家庭回答正确的概率为P0＝P（ ）＝P（ ）
P（ ）P（ ）＝ × × ＝ ，
有1个家庭回答正确的概率为P1＝P（A ＋ B ＋ C）
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P0－P1
＝1－ － ＝ .
【例2】 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响
第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时
被接的概率是0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
解：设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N），
那么事件Ak彼此互斥，
设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，
根据互斥事件概率加法公式，得：
P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）
＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4）
＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
解：事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A的对立事件，
记为 ，
根据对立事件的概率公式，得P（ ）＝1－P（A）＝1－0.95
＝0.05.
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一
粒，则两粒种子都发芽的概率是（ ）
A. 0.26 B. 0.08
C. 0.18 D. 0.72
解析： 由题设，P＝0.8×0.9＝0.72.故选D.
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2. 设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独
立，则下列命题一定成立的是（ ）
A. A与B相互独立 B. A与C互斥
C. B与C互斥 D. 与 相互独立
解析： 注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指
的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件
是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独
立，由两事件相互独立的性质易知D正确.
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3. 下列各对事件中，是相互独立事件的为（ ）
A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙
都没有射中目标”
D. 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中
目标但乙未射中目标”
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解析： 在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个
事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在B中，
甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的
概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一
次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同
时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在D中，设“至少有1人
射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，
则AB＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P（A）P
（B），故事件A，B不相互独立.
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4. （2024·徐州月考）端午节是我国传统节日，甲、乙、丙3人端午节
来徐州旅游的概率分别是 ， ， ，假定3人的行动相互之间没有
影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为（1－ ）
×（1－ ）×（1－ ）＝ × × ＝ ，所以这段时间内至少有1
人来徐州旅游的概率为1－ ＝ .
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5. （多选）已知事件A，B相互独立，且P（A）＝ ，P（B）＝
，则（ ）
A. P（ ）＝ B. P（A ）＝
C. P（A＋B）＝ D. P（A ＋ B）＝
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解析： 根据事件A，B相互独立，且P（A）＝ ，P（B）
＝ ，可得P（ ）＝1－P（A）＝1－ ＝ ，故A正确；而P
（ ）＝1－P（B）＝1－ ＝ ，所以P（A ）＝P（A）P
（ ）＝ × ＝ ，故B错误；P（AB）＝P（A）P（B）＝
× ＝ ，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝
＋ － ＝ ，故C正确；由概率加法公式可得P（A ＋ B）＝P
（A ）＋P（ B）＝ × ＋ × ＝ ，故D错误.
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6. （多选）甲、乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为 ，乙
成功的概率为 ，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为 .则
（ ）
A. 甲、乙都研发成功的概率为
B. 疫苗A研发成功的概率为
C. 疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为
D. 仅有一款疫苗研发成功的概率为
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解析： 用A，B，C分别表示事件“甲成功”“乙成功”“丙成功”，则：A. 根据概率公式有：P（AB）＝P（A）P（B）＝ ；B. 由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率P1＝1－P（ ）＝ ；C. 两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为P2＝P1·P（C）＝ ；D. 所求概率为P＝（1－P1）P（C）＋（1－P（C））P1＝ .故选A、C、D.
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7. 设P（A）＝0.7，P（B）＝0.8，且A与B相互独立，则P
（AB）＝ ，P（A∪B）＝ .
解析：P（AB）＝P（A）P（B）＝0.7×0.8＝0.56.P
（A∪B）＝1－P（ ）P（ ）＝1－0.3×0.2＝0.94.
0.56
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8. 甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都
是 ，则这道数学题被解出的概率是 .
解析：由题意知，这道数学题解不出的概率为P＝ ×
＝ ，∴这道数学题被解出的概率为1－P＝ .
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9. 甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售
A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口
罩的概率分别如表：
购买A种医用外
科口罩 购买B种医用外
科口罩 购买C种医用外
科口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
则甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为 .
解析：由表知，甲购买A种口罩的概率为0.5，乙购买B种口罩的
概率为0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋
0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28.
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10. 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为 ，
乙投篮命中的概率为 ，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相
互没有影响.
（1）求甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；
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解：记“甲投篮命中”为事件A，“乙投篮命中”为事件B， 则P（A）＝ ，P（B）＝ ，
因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B相互独立，
那么恰好有1人命中的概率P＝P（A ）＋P（ B）＝ × ＋ × ＝ .
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（2）求甲、乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.
解：由（1）知，两人都没有命中的概率为P（ ）
＝ × ＝ ，
所以至少有1人命中的概率为P1＝1－P（ ）＝ .
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11. 如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工
作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，A1，
A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率
为（ ）
A. 0.960 B. 0.864
C. 0.720 D. 0.576
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解析： 根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，
C，则P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.8，A1，A2
至少有一个正常工作的概率为1－P（ ）P（ ）＝1－（1－
0.8）×（1－0.8）＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96
＝0.864.故选B.
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12. 已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概
率分别是 ， ， ，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们
三人中恰有两人被录取的概率为（ ）
A. B. C. D.
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解析： 因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是 ，
， ，且三人录取结果相互之间没有影响，仅甲和乙被录取的概
率为 × × ＝ ，仅甲和丙被录取的概率为 ×
× ＝ ，仅乙和丙被录取的概率为 × × ＝ ，则他
们三人中恰有两人被录取的概率为 ＋ ＋ ＝ .
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13. 设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为 ，A发生B不发生
的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P
（A）＝ .
解析：由题意知，P（ ）·P（ ）＝ ，P（ ）·P（B）＝P
（A）·P（ ）.设P（A）＝x，P（B）＝y，x，y∈（0，
1），则即∴x2－
2x＋1＝ ，解得x＝ 或x＝ （舍去），故P（A）＝ .
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14. 某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环
节.现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是 ，
， ， ，且每个环节是否通过互不影响.求：
（1）此人进入第四环节才被淘汰的概率；
解：由独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四
环节才被淘汰的概率为 × × ×（1－ ）＝ .
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（2）此人至多进入第三环节的概率.
解：法一 此人进入第一环节被淘汰的概率为1－ ＝ ；
此人进入第二环节被淘汰的概率为
×（1－ ）＝ ；
此人进入第三环节被淘汰的概率为
× ×（1－ ）＝ ，
所以此人至多进入第三环节的概率为 ＋ ＋ ＝ .
法二 此人进入第四环节的概率为 × × ＝ ，所以此人至多进入第三环节的概率为1－ ＝ .
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15. 甲、乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙
队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为 ，则
甲队获得冠军的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由已知得甲队获胜可能分为以下两种情况：①第一局
甲队获胜，此时的概率为 ；②第一局乙队获胜，第二局甲队获
胜，此时的概率为 × ＝ ，综上所述，甲队获胜的概率
为 ＋ ＝ ，故选D.
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16. 某学校组织安全知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须
参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知
在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 ， ；在第二轮
比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 ， .甲、乙两人在每轮比赛
中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概
率更大？
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解：设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”，∵P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（B1）＝ ，P（B2）＝ ，∴P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝ × ＝ ，P（B1B2）
＝P（B1）P（B2）＝ × ＝ ，∵ ＞ ，∴派甲参赛获胜的概率更大.
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（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
解：由（1）知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”，
∵P（ ）＝1－P（A1A2）＝1－ ＝ ，P（ ）＝1－P（B1B2）＝1－ ＝ .
设E＝“两人中至少有一人赢得比赛”.
∴P（E）＝1－P（ ）＝1－P（ ）P（ ）＝1－ × ＝ .
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10.2 事件的相互独立性
新课程标准解读 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义 数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率 数学运算
第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一
名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖
券”.
【问题】 （1）上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？
（2）互斥事件与相互独立事件有什么区别？
知识点 事件的相互独立性
1. 相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝ 成
立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
P（A）P（B）
2. 相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，事件A与事件 ，事件
与事件B ，事件 与事件 .
提醒 两个事件独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不
可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一
事件发生的概率没有影响.
相互独立
相互独立
相互独立
3. 推广
两个事件的相互独立性可以推广到n（n＞2，n∈N*）个事件的相
互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时
发生的概率P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.
提醒 当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）＝P
（A）P（B）P（C）一般不成立，事件相互独立与事件两两独
立是不等同的.
1. 掷一枚正方体骰子一次，设事件A＝“出现偶数点”，事件B＝
“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是（ ）
A. 互斥但不相互独立 B. 相互独立但不互斥
C. 互斥且相互独立 D. 既不相互独立也不互斥
解析： 事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，
样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.所以P（A）＝ ＝ ，P（B）
＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ × ，即P（AB）＝P（A）P
（B），因此事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B
同时发生，所以A，B不是互斥事件.
2. 甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确
率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概
率为（ ）
A. 0.8 B. 0.7
C. 0.56 D. 0.1
解析： 由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报
中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
3. 甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能
荣获一等奖的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互
独立，求这两个人中恰有一人获得一等奖的概率.
解：根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有
获得乙获得，则所求概率是 × ＋ × ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 相互独立事件的判断
【例1】 （2024·威海月考）有6个相同的球，分别标有数字1，2，
3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件
“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数
字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件
“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
解析： 事件甲发生的概率P（甲）＝ ，事件乙发生的概率P
（乙）＝ ，事件丙发生的概率P（丙）＝ ，事件丁发生的概率
P（丁）＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）≠P
（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为
＝ ，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙
同时发生的概率为 ＝ ，P（乙丙）≠P（乙）P（丙），故C
错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
通性通法
两个事件是否相互独立的判断
（1）定量法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率
与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.即利
用P（AB）＝P（A）·P（B）是否成立可以准确地判断两个
事件是否相互独立；
（2）定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否
有影响，若没有影响就是相互独立事件.
【跟踪训练】
甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A为“甲击中目标”，
事件B为“乙击中目标”，则事件A与事件B（ ）
A. 相互独立但不互斥 B. 互斥但不相互独立
C. 相互独立且互斥 D. 既不相互独立也不互斥
解析： 同时对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不
影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手
可能同时击中目标，即事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不
是互斥事件.故选A.
题型二 相互独立事件的性质及应用
【例2】 （多选）设M，N为两个随机事件，给出以下命题，其中
正确的命题为（ ）
A. 若P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则 ， 为相互
独立事件
B. 若P（ ）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则M，N为相互
独立事件
C. 若P（M）＝ ，P（ ）＝ ，P（MN）＝ ，则 ，N为相互
独立事件
D. 若P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（ ）＝ ，则M，N为相互
独立事件
解析： P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则P（MN）＝P（M）P（N），故由相互独立事件的性质知 ， 为相互独立事件，故A正确；P（ ）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则P（M）＝1－P（ ）＝ ，P（MN）＝P（M）·P（N），故M，N为相互独立事件，故B正确；
P（M）＝ ，P（ ）＝ ，P（MN）＝ ，则P（N）＝1－P
（ ）＝ ，P（M）P（N）＝ × ＝ ≠P（MN），故由相互独
立事件的性质知 ，N不相互独立，故C错误；P（M）＝ ，P（N）
＝ ，P（ ）＝ ，则P（MN）＝1－P（ ）＝ ＝P（M）·P（N），故M，N为相互独立事件，故D正确，故选A、B、D.
通性通法
相互独立事件的性质
（1）如果事件A和事件B相互独立，那么它们中的任何一个事件也相
互独立，也就是说，如果事件A和事件B可以同时发生，但它们
发生的概率互不影响，那么事件A和事件B相互独立；
（2）如果有n个事件相互独立，那么将其中任意一个事件换成它们的
对立事件，所得的n个事件仍相互独立.
提醒 概率为0的事件与任何事件相互独立.
【跟踪训练】
（2024·青岛月考）对于两个相互独立的事件A与B，若P（A）＝
0.3，P（B）＝0.4，则P（A ）＝（ ）
A. 0.42 B. 0.28
C. 0.12 D. 0.18
解析： 由相互独立事件的性质知A与 也相互独立，所以P
（A ）＝P（A）[1－P（B）]＝0.18.
题型三 相互独立事件的概率
【例3】 （2024·阳江月考）甲、乙两人破译一密码，他们能破译的
概率分别为 和 ，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以
下事件发生的概率：
（1）两人都能破译的概率；
解：由题意，甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别
为 和 ，
两人能否破译密码相互独立，
所以两人都能破译的概率为 × ＝ .
（2）恰有一人能破译的概率；
解：恰有一人能破译的概率为 ×（ 1－ ）＋（ 1－ ）× ＝
.
（3）至多有一人能破译的概率.
解：事件“至多有一人能破译”与事件“两人都能破译”互为
对立事件，
所以至多有一人能破译的概率为1－ × ＝1－ ＝ .
通性通法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定各事件之间是相互独立的；
（2）求出每个事件的概率，再求积.
2. 使用相互独立事件同时发生的概率公式计算时，要掌握公式的适用
条件，即各个事件是相互独立的.
【跟踪训练】
1. 甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，
其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成
A型螺栓的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从
乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则事件M与N相互独
立，P（M）＝ ＝ ，P（N）＝ ＝ ，则从甲、乙两盒中
各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P（MN）＝P（M）
P（N）＝ × ＝ .
2. 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分
别为 ， ， ，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次
品率为 .
解析：加工出来的零件的正品率是（1－ ）×（1－ ）×（1－
）＝ ，因此加工出来的零件的次品率为1－ ＝ .
1. 若P（AB）＝ ，P（ ）＝ ，P（B）＝ ，则事件A与B的关
系是（ ）
A. 互斥 B. 相互独立
C. 互为对立 D. 无法判断
解析： 因为P（ ）＝ ，所以P（A）＝ ，又P（B）＝ ，
所以事件A与事件B不对立，又因为P（AB）＝ ，所以有P
（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立但不一定互
斥.故选B.
2. （2024·莆田月考）甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为
0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都
击中的概率是（ ）
A. 0.3 B. 0.63
C. 0.7 D. 0.9
解析： 设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P（AB）＝P
（A）·P（B）＝0.9×0.7＝0.63.故选B.
3. 某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是
等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，
他们就不会淋雨.则他们淋雨的概率是 .
解析：由题意，A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P（A）＝
P（B）＝ ，所以淋雨的可能性为P（A）P（ ）＝ × ＝ .
4. 一个不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3
个球.
（1）从口袋内有放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红
球”，B＝“第二次抽到黄球”；
解：有放回地抽取小球，事件A是否发生对事件B是否
发生没有影响，它们是相互独立事件.
解：无放回地抽取小球，记红、黄、蓝球的号码分别为1，
2，3，则样本空间
Ω＝{（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，
1），（3，2）}，共包含6个样本点，
A＝{（1，2），（1，3）}，B＝{（1，2），（3，2）}.
因为P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ，
所以P（AB）≠P（A）P（ B ），
所以事件A，B不是相互独立事件.
（2）从口袋内无放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红
球”，B＝“第二次抽到黄球”.
试分别判断（1）（2）中的事件A，B是否为相互独立事件.
