2026年高考数学小题专练：数列（含解析）

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2026年高考数学小题专练：数列
一、单选题
1．已知数列的首项，且满足，则（ ）
A． B． C．10 D．12
2．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．36 B．45 C．54 D．63
3．等比数列的公比为，则（ ）
A． B． C． D．
4．若且，则“”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知等差数列的前项和为，其中，则取得最大值时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．关于等差数列和等比数列，下列说法错误的是（ ）
A．若数列为等差数列，且，则.
B．若数列的前项和为，且，则是等差数列.
C．若数列为等比数列，为前项和，，，则.
D．若数列为等比数列，且，则0<.
7．记为等差数列的前项和，为的公差，，则不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的总个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当时最小 D．时n的最小值为8
10．已知数列的前项和为，且，其中不同时为0，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，为等比数列 B．当时，一定不是等差数列
C．当时，为常数列 D．当时，是单调递增数列
11．在数列中，，则下列结论成立的是（ ）
A．数列是等比数列
B．当时，数列的前项和小于1
C．当时，
D．当时，
三、填空题
12．已知首项和公差都不为0的等差数列，其前项和为，且，则__________．
13．已知前n项和为的等比数列中，且，记，则数列的前20项的和为________.
14．已知数列满足，数列满足在任意的之间插入数列的项()，从而构成一个新数列，设的前n项和为，则_______(请用数字作答).
《2026年高考数学小题专练：数列》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B B B C B BD ACD
题号 11
答案 BD
1．A
【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案.
【详解】由题意可得：，
令，则可得：，
所以是等差数列，公差为2.
又因为，所以，
所以.
2．C
【分析】根据等差数列的性质，若，则，结合等差数列求和公式求解．
【详解】解：在等差数列中，，
．
3．D
【详解】利用等比数列通项公式可得：
.
4．B
【详解】由及等差数列的性质知，
若为等差数列，则，必要性成立；
数列：1，5，3，7满足，但不是等差数列，充分性不成立.
则“”是“为等差数列”的必要不充分条件.
5．B
【分析】根据等差数列的性质进行判断即可.
【详解】因为等差数列满足，时，，时，.
所以当时，取得最大值.
故选：B.
6．B
【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算判断A；先求出，再当时求出，判断当时有，判断B；根据等比数列的性质计算求值判断C；由题意得，可判断D.
【详解】对于A，由，正确；
对于B，数列的前项和，当时，，
当时，，
当时，，错误；
对于C，因为数列是等比数列，所以，，成等比数列，
因为，，所以，所以，所以
所以，正确；
对于D，由，，则，所以，
若，由，可得，
所以，与已知条件矛盾，所以，正确
7．C
【分析】对A：利用等差数列的基本量，结合，即可求得公差；对B：求得，以及，即可求得；对C：根据等差数列的前项和公式，直接计算即可；对D：求得，再结合裂项求和法，即可求得目标式的结果为，结合，即可判断.
【详解】对A：，故可得，又，故，则A成立；
对B：，故可得，故，则B成立；
对C：，故C不成立；
对D：，故，
则，又，则，
故，D成立.
故选：C.
8．B
【详解】由，，解得；
由，解得；
由，解得或；
由，解得或；
由，解得或或；
由，解得或或或；
由，或或或或或，
所以则m所有可能的取值集合为，共6个元素.
9．BD
【分析】由等差数列性质、通项公式和求和公式逐项判断即可.
【详解】在A选项中，设公差为，因为等差数列是递增数列，所以，故A选项错误；
在B选项中，因为，则，即，故B选项正确；
在C选项中，，因为，
所以当或时，取最小值，故C选项错误；
在D选项中，因为，所以，，
即，解得（舍去）或，所以时，的最小值为8，故D选项正确.
故选：BD.
10．ACD
【分析】由可得，代入可判断A；利用可判断BC；利用是减函数可判断D．
【详解】已知数列的前项和为，且，
当时，，可得，
当时，，
由两个式相减可得，
即，则，
对于A，当时，得，即，又k，b不同时为0，
所以，，所以是首项公比为等比数列，故A正确；
对于BC，当时，，且，
所以是以为首项，公比为等比数列，
所以，，
所以当时，，此时是常数列，即是等差数列，故B错误，C正确；
对于D，当时，，，
因为是减函数，所以是递增函数，
所以是单调递增数列，故D正确．
11．BD
【分析】根据等比数列的定义判断A选项；根据裂项相消判断B选项；根据放缩判断C选项；利用换元法通过计算判断D选项.
【详解】
对于A选项，当时可得，所以，此时不是等比数列，
当，时因为，所以，
两式相除，得，此时是以为公比的等比数列，故A错误；
对于B选项，当时，，
故，，，
所以，
所以数列的前项之和为
，故B正确；
对于C选项，当时记，
则，
则，
所以，故C错误；
对于D选项，
令，原式可化为
，
所以，，，，
故原式,
即，故D正确．
故选：BD.
12．/
【分析】由已知比例关系解出等差数列首项与公差的关系，代入所求表达式化简即可
【详解】因为是等差数列，且，设的公差为，
则有，整理得，
经验证，则成立，
，
则.
13．208
【分析】由已知条件求出数列的公比，再由数列的通项求出数列的通项，结合等差数列的求和公式求解即可.
【详解】设数列的公比为q，由，有，可得，
又由，有，可得，可得.
有，可得数列的前20项的和为.
14．
【分析】整理变形得，则根据常数列得到，再分析得为新数列的第43项，最后利用分组求和法即可得到答案.
【详解】因为，即，
可得，可知为常数列，则，
故，根据题意，
当时，新数列中前共有数列的前项，
故为新数列的第项，当时，，
即为新数列的第43项，且与之间插入了共13项，
则.
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