14.3.2 频率分布直方图
1.对于频率分布直方图，下列说法中正确的是（ ）
A.小长方形的高表示取某数的频率
B.小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数
C.小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比
D.小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比
2.从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15），6；[15，20），8；[20，25），13；[25，30），35；[30，35），46；[35，40），34；[40，45），28；[45，50），15；[50，55），10；[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是（ ）
A.0.69 B.0.46
C.1 D.0.92
3.（2024·南京六校质检）在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b）是其中的一组，该组的频率为m，在频率分布直方图中，该组的小长方形的高为h，则｜a－b｜＝（ ）
A.hm B.
C. D.h＋m
4.某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知从左至右前4个小组的频率分别为0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分数大于或等于80分为优秀且分数为整数）（ ）
A.18篇 B.24篇
C.25篇 D.27篇
5.（多选）某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）
A.样本中支出在[50，60]内的频率为 0.03
B.样本中支出不少于40元的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有2 000名学生，则约有600人支出在[50，60]内
6.（多选）（2024·徐州月考）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10 000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图.
下列说法正确的是（ ）
A.月收入低于5 000元的职工有5 500名
B.如果个税起征点调整至5 000元，估计有50%的当地职工会被征税
C.月收入高于或等于7 000元的职工约为当地职工的5%
D.根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于[5 000，6 000）内
7.数据65，73，94，63，78，83，86，90，79，84的极差为 .
8.在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，则样本容量是 .
9.（2024·宿迁月考）某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是 .
10.抽查100袋洗衣粉，测得它们的质量如下（单位：g）：
494 498 493 505 496 492 487 483 508
511 495 494 483 485 511 493 505 485
501 503 493 509 509 512 484 509 510
495 497 498 504 498 483 510 503 497
502 511 497 500 493 509 510 493 491
497 515 503 515 518 510 514 509 499
493 499 506 492 505 489 494 501 509
498 502 500 508 491 509 509 499 495
493 509 496 509 509 499 486 491 492
496 499 508 485 498 496 495 496 505
499 505 493 501 510 496 487 511 501
496
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图、频率折线图.
11.（2024·泰州月考）某直播间从参与购物的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，则在这200人中年龄在[25，35）的人数n及直方图中a的值是（ ）
A.n＝35，a＝0.032 B.n＝35，a＝0.32
C.n＝30，a＝0.035 D.n＝30，a＝0.35
12.（多选）供电部门对某社区1 000位居民12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这1 000位居民，下列说法正确的是（ ）
A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B.12月份人均用电量在[20，30）内的有300人
C.12月份人均用电量不低于20度的有500人
D.在这1 000位居民中用分层抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在[30，40）一组的人数为2
13.某校高一年级1 000名学生在一次考试中成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样方法从成绩在[40，70）内的学生中共抽取80名学生，则抽取成绩在[50，60）内的学生人数是 .
14.从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩（均为整数，单位：分）的分布，将样本分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图，从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，最左边的一组频数为6.
（1）求样本容量；
（2）求105.5～120.5这一组的频数及频率；
（3）如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率.
15.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分，单位：分）进行统计.得到如下不完整的频率分布表和频数直方图.
分组 频数 频率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 0.16
[70.5，80.5） 10
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5]
合计 50
（1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；
（2）补全频数直方图；
（3）若成绩在[75.5，85.5）中的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
4 / 4课时跟踪检测部分
第九章 平面向量
9.1 向量概念
1.B 对于A，时间和距离只有大小，没有方向，是数量，不是向量，故A错误；对于B，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，故B正确；对于C，向量与向量表示的是模长相等，方向相反的两个不同的向量，故C错误；对于D，平行向量也叫作共线向量，故D错误.故选B.
2.B 由两向量的夹角的定义知，与的夹角等于180°－∠ABC，与的夹角等于∠BAC，与的夹角等于∠ACB，与的夹角等于180°－∠ACB，因为△ABC为锐角三角形，所以只有B正确.故选B.
3.D 单位向量的模长为1，故｜a0｜＋｜b0｜＝2，故D正确；a0，b0分别与a，b同向，而a，b方向不确定，A、B、C错误，故选D.
4.C ∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形.又∵｜｜＝｜｜，∴平行四边形ABCD相邻两边相等，故四边形ABCD为菱形.故选C.
5.ACD 对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若｜a｜＝｜b｜，则a与b的长度相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若｜a｜＝0或｜b｜＝0，则a∥b.
6.BC 对于A，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故A不正确.对于B，在 ABCD中，｜｜＝｜｜，与平行且方向相同，所以＝，故B正确.对于C，a＝b，则｜a｜＝｜b｜，且a与b方向相同；b＝c，则｜b｜＝｜c｜，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故C正确.对于D，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D不正确.故选B、C.
7.0 解析：①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等与两个向量相等的概念，｜a｜＝｜b｜只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等.
8.，， 解析：∵D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，∴DE∥BC且DE＝BC.∴｜｜＝｜｜且方向相反.｜｜＝｜｜且方向相反.∴的相反向量为，，.
9.135° 解析：∵∠B＝45°，∴与的夹角为135°.
10.解：（1）与长度相等的向量是，，，，，，，.
（2）与共线的向量是，，；
与共线的向量是，，.
（3）因为△ABC为正三角形，与的夹角为∠ABC，故与的夹角为60°，与的夹角为∠AFD的补角，故与的夹角为120°.
11.ACD 若a＝b， 则a与b方向相同，模相等，所以A、C正确；对于B，由a≠b /｜a｜≠｜b｜，但由｜a｜≠｜b｜ a≠b，所以a≠b是｜a｜≠｜b｜的必要不充分条件，故B错误；对于D，由a与b方向相反，可以推出a≠b，也可由｜a｜≠｜b｜推出a≠b，则a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分条件，但反过来不一定成立，故D正确.
12.0 解析：向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反；向量m与是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反.由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线，则m＝0.
13.，， 解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC.∴结合共线向量及向量夹角的定义可知与的夹角为120°的向量为，，.
14.解：（1）画出所有的向量，如图所示.
（2）由（1）所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，｜｜取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，｜｜取得最大值＝.
所以｜｜的最大值为，最小值为.
15.解：（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，
即AB＋BC＝70 n mile.
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为｜｜＝＝50（n mile），
由于sin∠BAC＝，故方向约为北偏东53°.
9.2 向量运算
9.2.1 向量的加减法
第1课时 向量的加法运算
1.D 对于A，＝－，故A错误；对于B，由＋＝＝－≠，故B错误；对于C，＋＝＋＝，故C错误；对于D，由向量加法的运算法则，有＋＋＝，故D正确.故选D.
2.D 由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形.故选D.
3.B 如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又｜a＋b｜＝2 km，故选B.
4.D 由＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外，故D正确.
5.ABD 如图，由向量加法的平行四边形法则知A、D正确；由三角形法则知B正确，C错误.故选A、B、D.
6.AD 由a∥b可知，a，b共线.由｜a｜＝2｜b｜＝8可得，｜a｜＝8，｜b｜＝4.当a，b方向相同时，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜＝12，当a，b方向相反时，｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜＝4.故选A、D.
7.（1） （2）0 解析：（1）＋＋＝＋＝.
（2）＋＋＝＋＋＝＋＝0.
8.2 解析：如图所示，设菱形ABCD的对角线的交点为O.＋＝＋＝.∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形.又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，AO＝＝，∴｜｜＝2｜｜＝2，即｜＋｜＝2.
9. 解析：因为DE∥BC，AB∥CF，所以四边形DFCB为平行四边形.由向量加法的运算法则可知＋＝＋＝，＋＝＋＝.
10.解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行600 km，
则飞机飞行的路程指的是｜｜＋｜｜；两次位移的和指的是＋＝.
依题意，有｜｜＋｜｜＝800＋600＝1 400，∠ABC＝35°＋55°＝90°.
在Rt△ABC中，｜｜＝＝＝1 000，
所以sin∠BAC＝0.6，所以∠BAC＝37°，即两次位移的和的方向为北偏东35°＋37°＝72°.
从而飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°.
11.B 因为＝＋，＝＋，＋＋＋＝＋，所以＋＝＋，所以＋＝0.所以P为线段AC的中点，故选B.
12.ACD 因为a＝（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＝0.所以A、C、D正确.故选A、C、D.
13.8 解析：a＋b＋c＝＋＋＝＋.如图，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.∵＝＝，∴四边形ACED是平行四边形，∴＝，∴＋＝＋＝，∴｜a＋b＋c｜＝｜｜＝2｜｜＝2｜｜＝8.
14.证明：（1）由向量加法的三角形法则，
∵＋＝，＋＝，
∴＋＝＋.
（2）由向量加法的平行四边形法则，
∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝0＋0＋0＝0.
15.解：（1）在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.如图所示.
（2）在平面内任取一点O，
作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上（如图所示），
由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，此时｜｜即｜a＋e｜取得最大值，最大值是3.
第2课时 向量的减法运算
1.B 原式＝（＋）＋（＋）＝＋0＝.
2.D 由题可得＝＝＝－＝b－c，故选D.
3.A 由－＝－，得＝，所以四边形ABCD一定是平行四边形.故选A.
4.D 如图延长AB到D.使AB＝BD.∴＝，∴｜－｜＝｜－｜＝｜｜，∵△ABC是边长为1的正三角形.∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ACD为直角三角形，∴｜｜＝ ＝ ＝，∴｜－｜＝.故选D.
5.AB ＋－＝＋＝，故A正确；＋＝，故B正确；－＝＋＝，故C错误；－＝＋≠，故D错误.故选A、B.
6.BCD 向量与的方向不同，但它们的模相等，所以B正确，A错误；因为｜－｜＝｜＋｜＝2｜｜，｜＋｜＝2｜｜，且｜｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜＋｜，所以C正确；因为｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以D正确.故选B、C、D.
7. 解析：－－＋＋＝＋＋＋＝.
8.30° 解析：设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝.∵｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，∴｜｜＝｜｜＝｜｜，∴△OAB是等边三角形，四边形OACB是菱形，∴∠BOA＝60°.在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
9.4 8 解析：∵＋－＝＋－＝－＋＝＋＝2，∴｜＋－｜＝｜2｜＝2＝4.∵＋＋＝＋＝2，∴｜＋＋｜＝2｜｜＝8.
10.解：由图知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
（1）＝＋＋＝a＋d＋e.
（2）＝－＝－－＝－b－c.
（3）＝＋＋＝a＋b＋e.
（4）＝－＝－（＋）＝－c－d.
11.A ＝－＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c.故选A.
12.ABC 由条件可知｜｜＝｜｜，以，为邻边的四边形是正方形，对角线相等，根据向量加、减法则可知｜＋｜＝｜－｜，故A正确；｜－｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜－｜，故B正确；｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜－｜，故C正确；｜－｜2＝｜｜2，｜－｜2＝｜｜2，｜－｜2＝｜｜2，由条件可知｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，即｜－｜2＝｜－｜2＋｜－｜2，故D错误.故选A、B、C.
13.4 解析：如图，设＝a，＝b，则｜｜＝｜a－b｜.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则｜｜＝｜a＋b｜，由于（＋1）2＋（－1）2＝42，因此｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，因此△OAB是直角三角形，从而OA⊥OB，所以四边形OACB是矩形，所以｜｜＝｜｜＝4，即｜a＋b｜＝4.
14.解：（1）＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
若a＋b与a－b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD.
因为当｜a｜＝｜b｜时，四边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD，故当a，b满足｜a｜＝｜b｜时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直.
（2）不可能.因为 ABCD的两对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量.
15.证明：如图，连接AH，HC，延长BO交圆O于点D，连接DA，DC，则OB＝OD，DA⊥AB，DC⊥BC.
又AH⊥BC，CH⊥AB，
所以CH∥DA，AH∥DC，
所以四边形AHCD是平行四边形，
所以＝.
又＝－＝＋，
所以＝＋＝＋＝＋＋.
9.2.2 向量的数乘
第1课时 向量的线性运算
1.C 根据向量运算公式可知，3（a＋b）－2（a－b）－a＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b.故选C.
2.A 如图，＝3，所以＝2.故选A.
3.D 如图，设a＝，b＝，所以a－b＝a＋（－b）＝＋＝＝－e1＋3e2.故选D.
4.C 3＝3（＋）＝3（＋）＝3＋4＝3＋4（－）＝4－.故选C.
5.AB m（a－b）＝ma－mb，A正确；（m－n）a＝ma－na，B正确；若m＝0，则a，b不一定相等，C错误；若a＝0，则m，n不一定相等，D错误.故选A、B.
6.AC 如图，－＝－＝＝＝.故选A、C.
7.0 解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝（－＋）a＋（－－＋）b＝0.
8.± 解析：由a＝λb，得｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜.∵｜a｜＝3，｜b｜＝5，∴｜λ｜＝，即λ＝±.
9. 解析：由题意得，＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝λ＋（1－λ）＝λb＋（1－λ）c＝b＋c.所以λ＝.
10.解：（1）原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
（2）原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝（6a－4a＋4a）＋（8b－6b）＋（6c－4c－2c）
＝6a＋2b.
11.A b＋c－a＝－＋－＝－（＋）＋＝－＋＝－＝.故选A.
12.AD 因为与a同向的单位向量为，与b同向的单位向量为，若＋＝0，则a，b方向相反.故选A、D.
13.a－b＋c 解析：将原等式变形为2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0，y＝a－b＋c，∴y＝（a－b＋c）＝a－b＋c.
14.解：（1）由题意，有＝＋＋＝（e＋2f）＋（－4e－f）＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－3）f＝－8e－2f.
（2）证明：由（1）知＝－8e－2f＝2（－4e－f）＝2，即＝2.
根据向量数乘的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形.
15.解：如图，因为＋2＋3＝（＋）＋2（＋）＝2＋4＝0，
所以＝2，所以DE＝3DO.
又由题意知AB＝2DE，所以AB＝6DO＝12.
第2课时 向量共线定理
1.B ＝＋＝－2a＋8b＋3（a－b）＝a＋5b＝，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线.故选B.
2.A ①中，a与b显然共线；②中，因为b＝3e1－2e2＝6＝6a，故a与b共线；③中，设b＝3e1－3e2＝k（e1＋e2），得无解，故a与b不共线.故选A.
3.D 因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝＋＝a－b.
4.C 因为＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝－＋，所以λ＝－，μ＝.故λ＋μ＝.故选C.
5.AC 如图所示，则＝＋＝＋＝＋（＋）＝－＋×＝＋.故选A、C.
6.AB 选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为梯形ABCD的两腰时，直线AB与直线CD是相交直线，则向量，不是共线向量，即不能判定a，b共线.故选A、B.
7.－4 相同 解析：因为2a－λb与a＋2b平行，所以存在实数k使得2a－λb＝k（a＋2b），即（2－k）a＋（－λ－2k）b＝0.又因为a与b不平行，所以即又因为k＞0，所以两向量方向相同.
8. 解析：由题作图如图所示，∵＝3，∴BP＝3CP，∴AB＝3CE＝CD，∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，∴m－n＝－＝.
9. 解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴＝.又与同向，∴＝.
10.解：（1）2＋－
＝2（e1＋2e2）－2e1－3e2－6e1－11e2
＝－6e1－10e2.
（2）因为＝－2e1－3e2，＝6e1＋11e2，
所以＝＋＝－2e1－3e2＋6e1＋11e2＝4e1＋8e2，
又＝e1＋2e2，
所以＝，
所以和共线，又和有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
11.B 由题得＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）.解得＝＋，即＝a＋b.故选B.
12.ABD 如图，因为O，G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以＝.对于A，因为G是重心，M为BC的中点，所以＝2.又＋＝2，所以＋＝，即＋＋＝0，故A正确；对于B，由A可得＝3，故＋＝2＝6＝2＋4＝2（－）＋4（－）＝2－4＋4－2＝2－4，即＋＝2－4，故B正确；对于C，＝－＝2－2＝2，故C不正确；对于D，因为点O为△ABC的外心，所以点O到三个顶点的距离相等，即｜｜＝｜｜＝｜｜，故D正确.故选A、B、D.
13.2∶3 解析：因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.
14.解：根据题意作图如图所示，取BC的中点M，连接DM交AC于点N.在 ABCD中，E是AD的中点，M是BC的中点，所以ED∥BM，且ED＝BM，所以四边形BEDM是平行四边形，所以BE∥MD.
在△AND中，E为AD的中点，
所以F为AN的中点，所以AF＝FN.
同理可得FN＝CN.
所以AF＝FN＝CN，
所以＝＋＝－＋＝－＋（＋）＝－.
又因为＝m＋n（m，n∈R），
所以m＝，n＝－，所以＝－2.
15.解：设＝＋，则C为定点.证明如下：
设p＝，q＝，C'为直线A'B'上任意一点.
∵O，A，B不共线，
∴存在实数m，n使＝m＋n＝mp＋nq，且m＋n＝1.
∵＋＝1，∴可设m＝，n＝，∴＝＋.
又∵＋＝，∴C与C'重合.
故连接p，q两个向量终点的直线通过一个定点C.
9.2.3 向量的数量积
第1课时 向量数量积的概念、
运算及投影向量
1.B 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50（J）.
2.B 易知，若m·n＞0，则｜m｜｜n｜cos＜m，n＞＞0，故cos＜m，n＞＞0，结合＜m，n＞∈[0，π]，得＜m，n＞＝0或＜m，n＞∈（0，），反之，若＜m，n＞∈（0，），则必有m·n＞0，故“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的必要不充分条件，故选B.
3.A 设向量a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上投影向量的模为｜a｜cos θ＝＝.故选A.
4.A a·b＝·＝－·＝－｜｜·｜｜cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－.
5.B 法一 依题意，｜｜cos＜，＞＝｜｜，则·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＝｜｜×｜｜＝4×2＝8.
法二 结合圆的性质易得在上的投影向量为，所以·＝＝×42＝8.
6.ABC 由向量的数量积性质｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，可知A、B、C正确.故选A、B、C.
7.矩形 解析：由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC AD，所以四边形ABCD是矩形.
8. 解析：设a与b的夹角为θ，∵｜a｜·cos θ＝b，∴｜a｜·cos θ＝，∴｜a｜·cos θ＝，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝3×＝.
9.－1 解析：法一 ·＝｜｜·｜｜cos（180°－∠B）＝－｜｜｜｜·cos B＝－｜｜｜｜·＝－｜｜2＝－1.
法二 ｜｜＝1，即为单位向量，·＝－·＝－｜｜·｜｜cos B，而｜｜·cos B＝｜｜，所以·＝－｜｜2＝－1.
10.解：因为向量在上的投影向量为－2，故∠BAC为钝角，
如图，过B作AC的垂线，垂足为E，则E在CA的延长线上，
而向量在上的投影向量为＝｜｜×cos∠BAC×＝－｜｜×，故｜｜＝2.
又S△ABC＝3，所以×BE×3＝3，故BE＝2，故BC＝＝＝.
11.A cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴｜a×b｜＝2×5×＝8.故选A.
12.AD ∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos θ＝cos θ，∴若cos θ＞0，则e1·e2＞0；若e1·e2＞0，则必有cos θ＞0，故A正确；e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2＝1；当e1，e2反向时，e1·e2＝－1，故B、C错误；｜e1·e2｜≤｜e1｜｜e2｜＝1，故D正确.故选A、D.
13.18 解析：设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点，·＝·＝2·，因为在上的投影向量为，则·＝·.所以·＝2·＝2｜｜2＝2×32＝18.
14.解：（1）若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
（2）因为｜｜＝4，｜｜＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以｜｜＝2.
又因为＝3，所以｜｜＝.
所以｜｜＝＝，cos∠OPB＝.
设与的夹角为θ，所以与的夹角θ的余弦值为－.
所以·＝｜｜｜｜cos θ＝－3.
15.解：（1）由已知可得＝，＝－，
易得OAMB是菱形（图略），则＝＋，
所以＝－＝－（＋）＝－－.
（2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，
则·＝××cos 60°＝；
当MC与MO重合时，MC最大，
此时MC＝1，则·＝cos 60°＝，
所以·的取值范围为.
第2课时 向量数量积的运算律及性质
1.A （2e1－e2）·e2＝2e1·e2－＝2｜e1｜·｜e2｜cos 120°－｜e2｜2＝2×1×1×（－）－12＝－2.故选A.
2.B ∵｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，∴｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝1，即｜b｜2＝2a·b，a·（a－b）＝｜a｜2－a·b＝1×1×＝，即a·b＝，可得｜b｜＝1，∴｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝1＋2×＋1＝3，即｜a＋b｜＝.故选B.
3.B ∵（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝0，∴｜a｜2－｜b｜2＝0，∴｜a｜＝｜b｜ .故选B.
4.A ｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.故选A.
5.A 因为（－）·（＋－2）＝0，即·（＋）＝0，又因为－＝，所以（－）·（＋）＝0，即｜｜＝｜｜，所以△ABC是等腰三角形.
6.ABD 对于A，因为｜｜＝2，＝2a，所以｜a｜＝＝1，即a是单位向量，故A正确；对于B，因为＝－＝2a＋b－2a＝b，所以∥b，故B正确；对于C，由＝2a＋b，得＝4a2＋4a·b＋b2，即4＝4＋4a·b＋b2.所以a·b＝－＝－1≠1，故C错误；对于D，因为＝b，·（4a＋b）＝b·（4a＋b）＝4a·b＋b2＝0，所以⊥（4a＋b）， 故D正确.故选A、B、D.
7. 解析：因为cos＜a，b＞＝－，所以a·b＝｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞＝－，则（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－－1＝.
8.120° 解析：由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜b｜，两边平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝－｜a｜2，则2｜a｜｜b｜cos θ＝－｜a｜2，∴cos θ＝－.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
9.－5 解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos ＝2×1×＝1.因为2a＋kb与a＋b垂直，所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.
10.解：（1）由题可得a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 60°＝2×2×＝2，
｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2＋4＝12，∴｜a＋b｜＝2.
（2）∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝4＋2＝6，
设a＋b和a的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝.
11.C ∵｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，∴｜a＋b｜2＋｜a－b｜2＝2｜a｜2＋2｜b｜2＝20.∴｜a｜2＋｜b｜2＝10.∵（a－b）2≥0，∴｜a｜2＋｜b｜2≥2｜a｜｜b｜.∴｜a｜｜b｜≤5.∴｜a｜｜b｜的最大值为5.故选C.
12.ABD 对于A，a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 60°＝1×2×＝1，故A正确；对于B，｜2a＋b｜＝＝＝2，故B正确；对于C，｜2a－b｜＝＝＝2，故C错误；对于D，a·（a－b）＝a2－a·b＝1－1＝0，所以a⊥（a－b），故D正确.故选A、B、D.
13.13 解析：∵N是BC边的中点，可得＝（＋），∵M是△ABC的外接圆的圆心，∴·＝｜｜·｜｜cos∠BAM＝｜｜2＝×42＝8，同理可得·＝｜｜2＝18，∴·＝（＋）·＝·＋·＝×8＋×18＝13.
14.解：（1）由题意知，｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝12，又｜a｜＝2，｜b｜＝4，所以a·b＝－4，
所以cos＜a，b＞＝＝＝－，
又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，即a与b的夹角为.
（2）由（1）知a·b＝－4，所以｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝84，故｜a－2b｜＝2.
（3）由（2a－b）⊥（a＋kb），得（2a－b）·（a＋kb）＝0，即2a2＋2ka·b－a·b－kb2＝0，
又｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，所以8－8k＋4－16k＝0，解得k＝.
15.解：（1）∵E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点，
∴＝＝，＝－＝－，
∴＝＋＝－＋，
又＝λ＋μ，
∴λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝－＋＝.
（2）设＝m（0≤m≤1），
则＝＋＝－m，
又＝＋＝＋，·＝0，
∴·＝（＋）·（－m）＝－m＋＝－4m＋2＝1，
故m＝.
∴·＝（＋）·（＋）＝＋＝3＋2＝5，
易得｜｜＝，｜｜＝，
∴cos∠EAF＝＝＝.
9.3 向量基本定理及坐标表示
9.3.1 平面向量基本定理
1.C 如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C.
2.A ∵＝λ，∴－＝λ（－），即＝（1＋λ）－λ＝＋，∴∴x＋y－2＝0.故选A.
3.D 如图所示，∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝＝×＝（b－a）.故选D.
4.C 因为＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2，即＝2，所以AD∥BC且AD≠BC.故四边形ABCD为梯形.选C.
5.BC 由平面向量的基本定理可知，A、D是正确的；对于B，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立.故选B、C.
6.AD 如图，在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝a＋b，故B错误；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋（－b－a）＝－a＋b，故C错误；＝＝－a，故D正确.故选A、D.
7.2＋ 解析：＝2＝2（＋）＝2＋.
8.－ 解析：因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以＝＋.又E为AD的中点，所以＝－＝（＋）－＝－＋.所以x＝－.
9.9 解析：考虑以，为基底来计算.∵＝3，＝2，∴＝＋，＝－＝－＋，∴·＝（＋）·（－＋）＝－＝×36－×16＝9.
10.解：（1）证明：假设a＝λb（λ∈R），
则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）.
由e1，e2不共线，得方程组无解，
所以λ不存在.
故a与b不共线，可以作为一组基底.
（2）设c＝ma＋nb（m，n∈R），
则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1＋（－2m＋3n）e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
11.C 因为P是BC边的中点，所以＝－＝－－.因为c＋a＋bPB＝0，所以c（－－）＋a＋b＝0.所以（a－c）＋（b－c）＝0.因为与不共线，所以a－c＝0且b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形.
12.AC ＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ，因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为线段OC中点时，则＝＝μ＋×3μ，则1－λ＝μ，λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误.故选A、C.
13.（－2，0） 解析：依题意，设＝λ（0＜λ＜1），由＋＋＝0，知＝－（＋），所以＝－λ－λ，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，0）.
14.解：（1）因为＝2，
所以＝，
所以＝－＝－，
所以｜｜＝
＝
＝＝，
即CD的长为.
（2）＝－＝－＋
＝－（－）＋
＝＋，
所以·＝·（＋）＝＋·＝＋×2×3×＝.
15.解：（1）证明：设AB的中点为E，则＝＝×（a＋b）＝（a＋b）.
（2）点A1，A2是线段AB的三等分点，
＝（＋），＝（＋），＝（＋），
则＋＋＝（a＋b）＋（＋）＝（a＋b）＋［a＋（b－a）＋a＋（b－a）］＝a＋b.
（3）设A1是AB的二等分点，则＝（a＋b），＋＝（＋）＋（＋）＝（a＋b）＋＝（a＋b）＋×（a＋b）＝（a＋b），
设A1、A2、A3是线段AB的四等分点，则＋＋＝（a＋b），
或设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＝a＋b（k＝1，2，…，n－1），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＋…＋＝（a＋b），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＋…＋＝（a＋b）.
9.3.2 向量坐标表示与运算
第1课时 向量线性运算的坐标表示
1.D ＝（3－2，1－3）＝（1，－2）.故选D.
2.D ∵a＝－2b，∴a与b方向相反.故选D.
3.A 由题意可得c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）.故选A.
4.A 在平行四边形ABCD中，因为A（1，2），B（3，5），所以＝（2，3）.又＝（－1，2），所以＝＋＝（1，5），＝－＝（－3，－1），所以＋＝（－2，4）.故选A.
5.A 对于A：平面向量的横纵坐标是确定的，故A正确；对于B：如果两个向量不相等，则其横纵坐标不完全相等，即（x1，y1）≠（x2，y2），则x1≠x2或y1≠y2，故B错误；对于C：平面向量是可以平移的，所以起点不一定是坐标原点，故C错误；对于D：平面向量是由起点和终点坐标决定的，应该等于终点坐标减起点坐标，故D错误.故选A.
6.ABC 设点D的坐标为（x，y）.若是平行四边形ABCD，则有＝，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝4，y＝5，所以所求顶点D的坐标为（4，5），所以A正确；若是平行四边形ABDC，则有＝，即（5－3，4－2）＝（x－6，y－7），解得x＝8，y＝9，所以所求顶点D的坐标为（8，9），所以B正确；若是平行四边形ACBD，则有＝，即（6－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝－1，所以所求顶点D的坐标为（2，－1），所以C正确.综上，顶点D的坐标为（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故选A、B、C.
7.（－1，5） （5，－3） （－6，19）
解析：a＋b＝（2，1）＋（－3，4）＝（－1，5），a－b＝（2，1）－（－3，4）＝（5，－3），3a＋4b＝3（2，1）＋4（－3，4）＝（6，3）＋（－12，16）＝（－6，19）.
8.（3，4） 解析：由题图可知a＝e1＋，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝2＋（e1＋3e2）＝3e1＋4e2.所以向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为（3，4）.
9. 1 解析：由题意，知＝（1，0），＝（0，1）.设C（x，y），则＝（x，y）.∵＝λ＋μ，∴（x，y）＝λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ）.∴又∵∠AOC＝，OC＝2，∴λ＝x＝2cos ＝，μ＝y＝2sin ＝1.
10.解：∵＝（1，3），＝（2，4），＝（－3，5），＝（－4，2），＝（－5，1），
∴＋＋＝（－3，5）＋（－4，2）＋（－5，1）＝（－12，8）.
根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得
＋＋＝m＋n，
∴（－12，8）＝m（1，3）＋n（2，4），
即（－12，8）＝（m＋2n，3m＋4n），
∴解得
∴＋＋＝32－22.
11.D 因为＝所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是.故选D.
12.ABD 若A，B，C三点不共线即可作为三角形的顶点.因为＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），＝－＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1），假设A，B，C三点共线，则＝λ，即（m，m＋1）＝λ（1，2），即λ＝m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点即可作为三角形的顶点.故选A、B、D.
13. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a＝（1，2），b＝（2，－3），c＝（3，4）.∵c＝xa＋yb，∴解得∴x＋y＝.
14.解：设点P的坐标为（x，y），
则＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），
＋＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）
＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.
∵＝＋，且与不共线，
∴则
（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
（2）若点P在第三象限内，则∴λ＜－1.
15.解：（1）∵a＝（1，1），b＝（1，0），
∴f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）.
（2）设c＝（a，b），则f（c）＝（b，2b－a）＝（p，q），
∴∴∴c＝（2p－q，p）.
（3）证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），
则ma＋nb＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2），
∴f（ma＋nb）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∵mf（a）＝m（a2，2a2－a1），nf（b）＝n（b2，2b2－b1），
∴mf（a）＋nf（b）＝m（a2，2a2－a1）＋n（b2，2b2－b1）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∴f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.
第2课时 向量数量积的坐标表示
1.C 由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，∴x＝－.
2.D 由P（2，4），Q（1，6）可得＝（－1，2），又＝（2，λ），所以·＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.故选D.
3.A ∵＝（8，－4），＝（2，4），∴·＝8×2＋（－4）×4＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形.故选A.
4.B 依题意可得＝（3，2），＝＋＝（3，2）＋（m，1）＝（3＋m，3），＝＝3，解得m＝－3，所以＝（－3，1），·＝（3，2）·（－3，1）＝－9＋2＝－7，故选B.
5.BD 若｜b｜＝2，则＝4，解得m＝±，所以A错误；若a⊥b，则m－2＝0，解得m＝2，所以B正确；若｜a｜＝｜b｜，则＝，解得m＝2或m＝－2，所以C错误；若m＝－3，则b＝（－3，－1），设向量a与b的夹角为θ，可得cos θ＝＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝，所以D正确.故选B、D.
6.AC ∵tan α＝－2，∴可设P（x，－2x），与的夹角为θ，则cos θ＝＝，当x＞0时，cos θ＝，当x＜0时，cos θ＝－.故选A、C.
7.－1 解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1.
8.1 解析：cos＝＝＝－，｜n｜＝1.
9.（－∞，－1）∪（－1，1） 解析：｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝λ－1.又∵a，b的夹角α为钝角，∴即∴λ＜1且λ≠－1.∴λ的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，1）.
10.解：（1）由题设知＝（3，5），＝（－1，1），
则＋＝（2，6），－＝（4，4）.
所以｜＋｜＝2 ，｜－｜＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
（2）由题设知，＝（－2，－1），－t＝（3＋2t，5＋t），
由（－t）·＝0，得（3＋2t，5＋t）·（－2，－1）＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
11.B ∵＋＝，∴n·（＋）＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2.
12.C 以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB＝，BC＝2，∴A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），∵点E在边CD上，且＝2，∴E（，2）.∴＝（，2），＝（－，2），∴·＝－＋4＝.
13.（3，0） 解析：设点P的坐标为（x，0），则＝（x－2，－2），＝（x－4，－1）.所以·＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）.
14.解：（1）设c＝（x，y），由c与a方向相反及｜c｜＝2，可没c＝λa（λ＜0）.
得
所以λ2＋（2λ）2＝20，解得λ＝－2，
所以
所以c＝（－2，－4）.
（2）因为（a＋2b）⊥（2a－b），
所以（a＋2b）·（2a－b）＝0，
即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，
所以a·b＝－，
所以cos θ＝＝－1.
又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝π.
15.解：（1）由｜ka＋b｜＝｜a－kb｜，得（ka＋b）2＝3（a－kb）2，
即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
所以（k2－3）a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0.
又a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），所以｜a｜＝｜b｜＝1，
所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝＝.
（2）由（1）得a·b＝＝（k＋）.
令f（k）＝（k＋），
由函数的单调性，得f（k）＝（k＋）在（0，1]上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
所以当k＝1时，f（k）min＝f（1）＝×（1＋1）＝.
设此时a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，所以θ＝60°.
9.3.3 向量平行的坐标表示
1.D 选项A中，2×－（－1）×1≠0，则a与b不共线；同理，B，C中的两向量不共线；选项D中，2×3－（－3）×（－2）＝0，则有a∥b.
2.C 由题意得ma＋nb＝（2m－n，3m＋2n），a－2b＝（4，－1），因为（ma＋nb）∥（a－2b），所以－（2m－n）－4（3m＋2n）＝0.所以＝－.故选C.
3.C 因为a∥b，所以m＝2，所以a＝（－1，2），c＝（2，6），b＋c＝（4，2），所以（b＋c）·a＝－4＋4＝0，则（b＋c）⊥a，故b＋c与a的夹角为.
4.A ＝－＝（1－k，2k－2），＝－＝（1－2k，－3），由题意可知∥，所以（－3）×（1－k）－（2k－2）（1－2k）＝0，解得k＝－（k＝1不合题意舍去）.
5.AD 由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A正确；a＋b＝（x－3，3＋x），由（a＋b）∥a，得3（x－3）－x（3＋x）＝0，即x2＝－9，无实数解，故B错误；ma＋b＝（mx－3，3m＋x），由（ma＋b）∥a，得（3m＋x）x－3（mx－3）＝0，即x2＝－9，无实数解，故C错误；由（ma＋b）∥b，得－3（3m＋x）－x（mx－3）＝0，即m（x2＋9）＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确.故选A、D.
6.BCD 由已知可得a＋b＝（1，－2）＋（t，1）＝（t＋1，－1），3a－2b＝3（1，－2）－2（t，1）＝（3－2t，－8），因为a＋b与3a－2b共线，所以－8×（t＋1）＋1×（3－2t）＝0，得到t＝－，则＝＝，a·b＝－－2＝－，a＝－2b，即a∥b.故选B、C、D.
7. 解析：由向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）共线，得m（2m＋1）－6＝0，即2m2＋m－6＝0，解得m＝－2或m＝.当m＝－2时，a＝（－2，2），b＝（3，－3）＝－a，a与b方向相反，不符合题意；当m＝时，a＝（，2），b＝（3，4）＝2a，a与b方向相同，符合题意.故实数m的值为.
8.8 解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝（4，－2），所以a＋b＝（6，－3），b－c＝（1，－2－y）.因为（a＋b）⊥（b－c），所以（a＋b）·（b－c）＝0，即6－3（－2－y）＝0，所以y＝－4.所以向量＝（y－x，x－y）＝（－8，8），＝8.
9. 解析：∵A，B，C不能构成三角形，∴A，B，C三点共线，∴与共线.又＝（－3，1），＝（5－m，－m），∴（－3）·（－m）－（5－m）＝0，即m＝.
10.解：（1）设D（x，y）.因为＝，所以（2，－2）－（1，3）＝（x，y）－（4，1），整理得（1，－5）＝（x－4，y－1），
所以解得所以D（5，－4）.
（2）因为a＝＝（1，－5），b＝＝（4，1）－（2，－2）＝（2，3），
所以ka－b＝k（1，－5）－（2，3）＝（k－2，－5k－3），
a＋3b＝（1，－5）＋3（2，3）＝（7，4）.
因为向量ka－b与a＋3b平行，
所以7（－5k－3）－4（k－2）＝0，解得k＝－.
11.A 由a∥b，得－2×－（1－cos θ）（1＋cos θ）＝0，即＝1－cos2θ＝sin2θ，得sin θ＝±，又θ为锐角，∴sin θ＝，θ＝45°，故选A.
12.CD 对于A，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝2－1＝1＞0，∴a与b的夹角为锐角，故A错误；对于B，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝1，｜a｜＝，｜b｜＝，∴向量a在b方向上的投影向量为｜a｜··＝b，故B错误；对于C，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a－b＝（1，2），又（a－b）∥c，c＝（m－2，－n），∴－n＝2（m－2），∴2m＋n＝4，故C正确；对于D，∵2m＋n＝4，而m，n均为正数，∴mn＝（2m·n）≤＝2，当且仅当2m＝n，即m＝1，n＝2时等号成立，∴mn的最大值为2，故D正确.故选C、D.
13. 解析：由题意，得＝－＝（－a＋2，－2），＝－＝（b＋2，－4）.又∥，所以－4（－a＋2）＝－2（b＋2），整理得2a＋b＝2，所以＋＝（2a＋b）·＝≥·＝，当且仅当b＝a时等号成立，即＋的最小值为.
14.解：（1）因为b＋c＝（sin x－1，－1），且a∥（b＋c），
所以－（2＋sin x）＝sin x－1，即sin x＝－.
又x∈，所以x＝－.
（2）a＋d＝（3＋sin x，1＋k），b＋c＝（sin x－1，－1），
若（a＋d）⊥（b＋c），则（a＋d）·（b＋c）＝0，
即（3＋sin x）（sin x－1）－（1＋k）＝0，
所以k＝sin2x＋2sin x－4＝（sin x＋1）2－5.
由sin x∈，可得k∈，
所以存在k∈，使得（a＋d）⊥（b＋c）.
15.解：（1）·＝4×2＋0×2＝8，
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴在上的投影向量为｜｜·cos θ＝4××＝（1，）.
（2）∵＝－＝（－2，2），
＝－＝（1－λ）－（1－λ）
＝（λ－1），且λ2≠λ，
∴A，B，C三点共线.
当＝时，λ－1＝1，∴λ＝2.
（3）｜｜2＝（1－λ）2＋2λ（1－λ）·＋λ2
＝16λ2－16λ＋16＝16＋12，
∴当λ＝时，｜｜取得最小值2.
培优课 平面向量中的最值（范围）问题
1.B 由题意知，2a－b＝（－2，－m），所以｜2a－b｜＝≤3，得4＋m2≤9，即m2≤5，解得－≤m≤，即实数m的取值范围为[－，]，故选B.
2.C （a－2b）·（2a＋b）＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3｜a｜｜b｜cos θ－2×16＝－14－3×3×4cos θ≥4，所以cos θ≤－，所以θ∈［，π］.
3.A 如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0），E（2，1），设F（x，2）（0≤x≤2），所以＝（2，1），＝（x，2），因此·＝2x＋2，因为0≤x≤2，所以2≤2x＋2≤14，故·的取值范围是[2，14].
4.C ∵＝－＝（2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ），∴｜｜
＝
＝，∵0≤θ＜2π，∴－1≤cos θ≤1，∴≤≤3，当cos θ＝－1时，｜｜有最大值3.
5.B ∵＝λ＝（－λ，λ），＝（1－λ）＋λ＝（1－λ，λ），·≥·，∴（1－λ，λ）·（－1，1）≥（λ，－λ）·（λ－1，1－λ），∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，∵点P是线段AB上的一个动点，∴0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.
6.ABC 以B为原点，，为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，设BC＝2，则B（0，0），E（0，1），D（2，2），设M（t，2），则0≤t≤2，因为＝λ＋μ，所以（t，2）＝λ（0，1）＋μ（2，2）＝（2μ，λ＋2μ），所以2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝，对于选项A，因为M为线段AD的中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－＝，A正确；对于选项B，λμ＝（2－t）＝t－t2，0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为，B正确；对于选项C，因为μ＝，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为[0，1]，C正确；对于选项D，λ＋μ＝2－，0≤t≤2，所以1≤λ＋μ≤2，所以λ＋μ的取值范围为[1，2]，D错误.故选A、B、C.
7. 解析：｜a－b｜2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×｜b｜cos＋｜b｜2＝｜b｜2－｜b｜＋1＝（｜b｜－）2＋≥，所以｜a－b｜≥，当｜b｜＝时取得最小值.
8. 解析：在△ABC中，＝－，所以·（－4）＝（－）·（－4）＝－4｜｜2－｜｜2＋5·＝－4｜｜2－｜｜2＋5｜｜·｜｜cos A＝0，在△ABC中，设｜｜＝b，｜｜＝c，则有－4b2－c2＋5bccos A＝0，所以cos A＝≥＝，当且仅当2b＝c时，等号成立.
9.[2，3] 解析：如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得｜OQ｜＝，又·＝（＋）·（＋）＝｜｜2＋·＋·＋·＝｜｜2＋·（＋）－1＝｜｜2－1，根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，｜PO｜有最小值为，此时｜｜2－1＝2，当点P位于正六边形的顶点时，｜PO｜有最大值为2，此时｜｜2－1＝3，所以2≤·≤3.
10.解：因为·＝0，所以⊥，
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
（1）令｜｜＝a，则C（0，a），B（2a，0），
所以－＝（2a，－a），＋＝（2a，a）.
设向量－与向量＋的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝.
（2）因为｜｜＝2｜｜＝2，则C（0，1），B（2，0），M（1，），设O（x，），x∈[0，1]，
所以·＋·＝·（＋）＝2·＝2（－x，－）·（1－x，－）＝2（x2－x＋－）＝（x2－x）＝（x－）2－.
当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－.
11.解：（1）如图①，延长AG，交BC于点D，则D为BC的中点，＝＝（＋）＝（＋）＝［＋（－）］＝a＋b.
（2）＝－＝a－b，如图②，连接GP并延长，交BC于点P'.
令＝t'（0＜t＜1），'＝m（0＜m＜1），
则＝＋＝a＋b＋t'＝a＋b＋t（＋'）＝a＋b＋t（＋m）＝a＋b＋t（a－b）＋tm（b－a）＝（＋t－tm）a＋（－t＋tm）b（0＜t＜1，0＜m＜1），
因为＝λa＋μb，所以λ＝＋t－tm，μ＝－t＋tm，故λ＋μ＝＋t，
因为0＜t＜1，所以λ＋μ＝＋t∈（，1）.
故λ＋μ的取值范围为（，1）.
12.解：（1）因为＝＋，
所以－＝（－），
所以＝.
又，有公共点B，
所以A，B，C三点共线，＝.
（2）因为A（1，sin x），B（1＋sin x，sin x），
所以＝＋＝（ 1＋sin x，sin x），
所以·＝1＋sin x＋sin2x.
又｜｜＝sin x，
所以f（x）＝·＋（ 2m－）｜｜
＝sin2x＋2msin x＋1.
设sin x＝t，因为x∈（0，π），
所以t∈（0，1]，
所以y＝t2＋2mt＋1＝（t＋m）2＋1－m2.
①当－m≤0，即m≥0时，y＝t2＋2mt＋1无最小值，不合题意；
②当0＜－m≤1，即－1≤m＜0时，
当t＝－m时，ymin＝1－m2＝，
所以m＝－；
③当－m＞1，即m＜－1时，当t＝1时，ymin＝2＋2m＝，m＝－＞－1，不合题意.
综上可知，m＝－.
9.4 向量应用
1.A 根据力的合成可知F1＋F2＝（1，2）＋（－2，3）＝（－1，5），因为物体保持静止，所以作用于物体的合力为0，则F1＋F2＋F3＝0，则F3＝（1，－5）.故选A.
2.D 由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形.由·＝0知，平行四边形ABCD对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形.
3.C 如图，设鹰在地面上的影子冲向猎物的速度＝v1，鹰的飞行速度＝v2，由题可知｜｜＝｜v1｜＝40，且∠CAB＝30°，则｜｜＝｜v2｜＝＝.故选C.
4.D 以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知，＝（1，），＝（，1），故cos∠DOE＝＝＝.
5.ABD 由·＝｜｜｜｜cos A＝｜｜·｜｜，由射影定理可知A正确；由·＝｜｜｜｜·cos B＝｜｜｜｜，由射影定理可知B正确；由·＝｜｜｜｜cos（π－∠ACD）＜0，又｜｜2＞0，即C错误；由题意可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以｜｜｜｜＝｜｜·｜｜，又由A、B可得｜｜2＝，即D正确.故选A、B、D.
6.BD 对于A，a·b＝·＝－｜｜·｜｜cos C＜0，则cos C＞0，则角C为锐角，同理，由b·c＜0可知角A为锐角，但角B不一定是锐角，故A错误；对于B，a·b＝·＝－｜｜·｜｜cos C＞0，则cos C＜0，则角C为钝角，故B正确；对于C，由a·b＝c·b，得（a－c）·b＝0，即（－）·＝（＋）·＝0，即（＋）·（－）＝－＝0，故｜｜＝｜｜，故△ABC为等腰三角形，故C错误；对于D，（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，即a2＝（b－c）2，即｜｜2＝（＋）2，即（－）2＝（＋）2，化简得·＝0，故A＝，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、D.
7.0 98 解析：物体m的位移大小为｜s｜＝＝（m），则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝｜F｜｜s｜cos 90°＝0（J）；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝｜G｜｜s｜cos 53°＝5×9.8××0.6＝98（J）.
8.1 解析：由题意，得｜a｜＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，｜｜＝｜｜.由⊥得（a－b）·（a＋b）＝｜a｜2－｜b｜2＝0，所以｜a｜＝｜b｜，由｜｜＝｜｜得｜a－b｜＝｜a＋b｜，所以a·b＝0，所以｜a＋b｜2＝｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2＝2，所以｜｜＝｜｜＝，所以S△OAB＝××＝1.
9.－2 解析：因为M为BC的中点，所以＋＝2，则·（＋）＝2·＝2｜｜·｜｜·cos 180°＝－2｜｜｜｜.设OA＝x（0≤x≤2），则OM＝2－x.令y＝x（2－x）（0≤x≤2），则ymax＝1，所以·（＋）的最小值为－2.
10.证明：记＝a，＝b，
则＝＋＝－a＋b，
＝＋＝－＋.而＝a＋b，＝＋＝a＋b，
所以＝－（a＋b）＋（a＋b）＝－a＋b，
所以＝4，所以NT∥BM.
11.D 如图，设船的实际速度为v.由题知北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处，则v⊥v2，∴cos θ＝－cos（π－θ）＝－＝－＝－.故选D.
12.ACD 对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为＝2（N），选项B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，G与F2的合力为0，所以｜F2｜＝4N，选项C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确.
13.4 解析：由题意，平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距离分别为1，2，可得平行线m，n间的距离为3，以直线m为x轴，以过点P且与直线m垂直的直线为y轴，建立坐标系，如图所示，则由题意可得点P（0，1），直线n的方程为y＝3.设点A（a，0），点B（b，3），则＝（a，－1），＝（b，2），所以＋＝（a＋b，1）.因为｜＋｜＝5，所以（a＋b）2＋1＝25，所以a＋b＝2或a＋b＝－2（舍去）.当a＋b＝2时，·＝ab－2＝a（2－a）－2＝－a2＋2a－2＝－（a－）2＋4.所以当a＝时，·取得最大值，最大值为4.
14.解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.
∵＝＋，
∴＝（＋）2＝＋＋2·.
∴＝＋－2｜｜｜｜cos（θ－45°）＝3002＋（20t）2－2×300×20t×＝100（4t2－96t＋900）.
依题意得≤（60＋10t）2，
解得12≤t≤24.
从而12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
15.解：由题意，得直线BC的一个方向向量e＝＝（－3，4），
则n＝（－4，－3）为BC的一个法向量，
又＝（6，－1），
∴点A到直线BC的距离d＝＝＝.
第十章 三角恒等变换
10.1 两角和与差的三角函数
10.1.1 两角和与差的余弦
1.C 原式＝cos（15°＋105°）＝cos 120°＝－cos 60°＝－.故选C.
2.A 由题意知cos α＝＝，sin α＝＝，∴cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.故选A.
3.A 因为α∈，所以sin α＝，因为β是第三象限角，所以cos β＝－，所以cos（β－α）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.故选A.
4.A 因为x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，所以y－x＝cos Acos B－sin Asin B＝cos（A＋B），因为△ABC为锐角三角形，所以＜A＋B＜π，所以cos（A＋B）＜0，即y－x＜0，所以y＜x.故选A.
5.ABC ∵cos＝coscos－sinsin＝coscos－sin，∴A正确；∵cos＝－cos＝－cos＝sin－cos·cos，∴B正确；∵cos＝cos（－）＝coscos＋，∴C正确；∵cos＝cos≠cos－cos，∴D错误.∴故选A、B、C.
6.AC 对于A，cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos（80°－20°）＝cos 60°，故A正确；对于B，cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝cos（45°＋30°）＝cos 75°≠cos 15°，故B错误；对于C，sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）·cos α＝cos（α＋45°）cos α＋sin（α＋45°）sin α＝cos[（α＋45°）－α]＝cos 45°，故C正确；对于D，cos（α－）＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α，故D错误.故选A、C.
7. 解析：原式＝cos[（20°＋x）＋（25°－x）]＝cos 45°＝.
8. 解析：∵cos α＝，α为第一象限角，∴sin α＝＝，∴cos＝coscos α－sinsin α＝×－×＝.
9. － 解析：因为
所以两式相加得cos αcos β＝，两式相减得sin αsin β＝－.
10.解：（1）由sin2α＋cos2α＝1， cos α＝，α∈（－，0），可得sin α＝－，
∴cos（α－）＝cos αcos＋sin αsin＝×＋（－）×＝.
（2）由α∈（－，0），β∈（0，），可得α＋β∈（－，），
又sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，sin（α＋β）＝－，∴cos（α＋β）＝，
则cos β＝cos（α＋β－α）＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝×＋（－）×（－）＝，
由β∈（0，），可得β＝.
11.A ∵tan αtan β＝＝－3，∴sin αsin β＝－3cos αcos β，∵cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝4cos αcos β＝，∴cos αcos β＝，∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－2cos αcos β＝－.故选A.
12.AD 由cos αcos β＝＋sin αsin β，得cos α cos β－sin αsin β＝cos（α＋β）＝.选项A中，α＝，β＝，cos（α＋β）＝cos＝cos＝，所以A正确；选项B中，α＝，β＝，cos（α＋β）＝cos＝－，所以B不正确；选项C中，α＝，β＝，cos（α＋β）＝cos＝－，所以C不正确；选项D中，α＝，β＝－，cos（α＋β）＝cos＝，所以D正确.故选A、D.
13. 解析：∵α∈，∴α＋∈，∴sin＝＝，∴cos α＝cos［（α＋）－］＝cos·cos＋sin（α＋）sin＝×＋×＝.
14.解：因为＜α＜，所以－＜－α＜0，
因为＜β＜，所以＜＋β＜，
由已知可得cos＝，cos＝－，
则cos（α＋β）＝cos［－］＝coscos＋sin（＋β）sin＝×＋×＝－.
因为＜α＋β＜π，所以α＋β＝.
15.解：（1）因为α的终边过点P，所以OP＝＝5，由三角函数的定义得cos α＝＝，所以cos（α＋π）＝－cos α＝－.
（2）由题意知cos（α＋β）＝－，sin（α＋β）＝，
由（1）知sin α＝＝，
所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝×＋×＝－.
10.1.2 两角和与差的正弦
第1课时 两角和与差的正弦公式
1.B sin＋sin＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x.
2.B 由sin C＝2sin（B＋C）cos B得sin（A＋B）＝2sin Acos B，所以sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin（A－B）＝0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形.故选B.
3.A ∵α∈，β∈，∴cos β＝，∴0＜α－β＜π，∴sin（α－β）＝，∴sin α＝sin[（α－β）＋β]＝×＋×＝＝.故选A.
4.C ∵0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，由cos α＝得sin α＝，由cos（α－β）＝得sin（α－β）＝，∴sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β）＝×－×＝＝，∴β＝.故选C.
5.BCD sin θ＋cos θ＝（sin θ＋cos θ）＝sin.∵0＜θ＜，∴＜θ＋＜，∴＜sin≤1，∴1＜sin≤.故选B、C、D.
6.BD 对于A，sin 15°－cos 15°＝sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°＝sin（15°－60°）＝sin（－45°）＝－，故A错误；对于B，sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin（20°＋10°）＝sin 30°＝，故B正确；对于C，sin－cos＝2（sincos－sincos）＝2sin＝2sin＝－，故C错误；对于D，sin 105°＝sin（60°＋45°）＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝，故D正确.故选B、D.
7. 解析：
＝
＝
＝＝.
8.6sin（x－） 解析：3sin x－3cos x＝6·（sin x－cos x）＝6sin（x－）.
9. 解析：∵sin α＝－，α∈，∴cos α＝－＝－，∵cos β＝－，β∈，∴sin β＝，∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝＋＝，sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＝.
10.解：（1）sin（α－30°）＋sin（α＋30°）＝sin αcos 30°－cos αsin 30°＋sin αcos 30°＋cos αsin 30°＝2sin αcos 30°＝sin α.
（2）法一 原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x＝sin x＋（sin－2sin－cos）·cos x＝（＋1－×）sin x＋［－2×－×］cos x＝0.
法二 原式＝sin＋cos（x＋）＋2sin＝2［sin（x＋）·＋cos（x＋）·］＋2sin＝2sin＋2sin（x－）＝2sin＋2sin（x－）＝2sin＋2sin＝0.
11.B ∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin（θ＋）＝，故选B.
12.BD 对于A，当α＝β＝时，sin（α＋β）＜sin α＋sin β，故A错误；对于B，由于α，β均为锐角，所以sin α，cos α，sin β，cos β的范围均为（0，1），所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋sin βcos α＜sin α＋sin β，故B正确；对于C，当α＝β＝时，cos（α＋β）＜cos α＋cos β，故C错误；对于D，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＜cos αcos β＜cos α＜cos α＋cos β，故D正确.故选B、D.
13. 解析：由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sin·cos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.
14.解：（1）∵α，β∈（0，），∴α＋β∈（0，π），
又cos α＝，cos（α＋β）＝，
则sin α＝＝，
sin（α＋β）＝＝，
∴sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）·cos α－cos（α＋β）sin α＝×－×＝.
（2）cos（2α＋β）＝cos[（α＋β）＋α]＝cos（α＋β）cos α－sin αsin（α＋β）＝×－×＝0.
由α，β∈（0，），得2α＋β∈（0，），
∴2α＋β＝.
15.解：（1）函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x＋＝2（sin 2x·＋cos 2x·）＋＝2sin（2x＋）＋，
故它的最小正周期为＝π.
（2）令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
故函数f（x）的对称轴为x＝＋，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
故函数f（x）的对称中心为，k∈Z.
第2课时 两角和与差的正、余弦公式的应用
1.C 由0＜α＜，0＜β＜，得－＜α－β＜，所以cos（α－β）＝＝，cos β＝＝，所以sin α＝sin[（α－β）＋β]＝sin（α－β）cos β＋cos（α－β）sin β＝－×＋×＝.故选C.
2.A cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式相加可得2cos αcos β＝0，即cos αcos β＝0.
3.A ∵＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，π＜α＋β＜.又∵cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，∴sin（α－β）＝，cos（α＋β）＝－.∴sin 2α＝sin[（α＋β）＋（α－β）]＝sin（α＋β）cos（α－β）＋cos（α＋β）sin（α－β）＝－.故选A.
4.B ∵cos（α＋）－sin α＝，∴cos α－sin α＝，∴cos α－sin α＝，∴sin（α＋）＝sin αcos ＋cos αsin ＝sin α－cos α＝－，故选B.
5.D ∵＝ sin α·cos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin（α－β）＝cos α＝sin （－α），∵－＜α－β＜，0＜－α＜，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.
6.AC 对于A，因为α∈（0，），cos α＝，所以sin α＝＝＝.又α，β∈（0，），所以α＋β∈（0，π），所以sin（α＋β）＝＝＝，所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝－＋＝，故A正确；对于B，因为β∈（0，），所以sin β＝＝＝，故B错误；对于C，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝，故C正确；对于D，sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝，故D错误.故选A、C.
7. 解析：原式
＝
＝
＝＝tan 60°＝.
8.－1 解析：因为sin＝－，所以cos x＋cos（x－）＝cos x＋sin x＝（cos x＋sin x）＝sin＝－1.
9.－ 解析：因为sin α＋cos β＝－，cos α－sin β＝，所以（sin α＋cos β）2＝，（cos α－sin β）2＝.所以sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，cos2α－2cos αsin β＋sin2β＝，两式相加可得sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋cos2α－2cos αsin β＋sin2β＝，所以2＋2sin αcos β－2cos αsin β＝，即2＋2（sin αcos β－cos αsin β）＝，所以2＋2sin（α－β）＝，解得sin（α－β）＝－.
10.证明：因为左边
＝
＝＝tan（α＋β）＝右边，所以等式成立.
11.C 因为sin＝，所以（cos α－sin α）＝，所以cos α－sin α＝，所以1－2sin αcos α＝，得sin αcos α＝.因为0＜α＜，所以cos α＋sin α＝＝，所以＝＝＝＝.故选C.
12.BCD m＝sin A＋cos A＝sin（A＋）.对于A，因为A为三角形的内角，所以A∈（0，π），所以A＋∈，所以sin∈（－，1］，则m∈（－1，]，故A不正确；对于B，若0＜m＜1，则0＜sin（A＋）＜1，0＜sin＜.由A可知，＜A＋＜π，所以＜A＜，故A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故B正确；对于C，若m＝，则sin A＋cos A＝①，（sin A＋cos A）2＝，所以2sin Acos A＝－，所以A为钝角，且sin A－cos A＞0，（sin A－cos A）2＝1－2sin Acos A＝，所以sin A－cos A＝②.由①②解得sin A＝，cos A＝－，所以tan A＝＝－，故C正确；对于D，当m＝1时，sin A＋cos A＝1，所以（sin A＋cos A）2＝1＋2sin Acos A＝1，所以sin Acos A＝0.在△ABC中，sin A≠0，所以cos A＝0，A＝90°，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、C、D.
13. 解析：由题意知α＋β＝－，所以cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝cos（α＋β）－sin（α＋β）＝2［cos（α＋β）－sin（α＋β）］＝2sin＝2sin＝2sin ＝.
14.解：∵0＜α＜＜β＜，∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.
又sin（＋α）＝，cos（－β）＝，∴cos（＋α）＝－，sin（－β）＝－.
∴cos（α＋β）＝sin［＋（α＋β）］＝sin［（＋α）－（－β）］＝sin（＋α）cos（－β）－cos（＋α）·sin（－β）＝×－（－）×（－）＝－.
15.解：由题意，得sin 2αsin－cos 2αsin＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝sin＝，sin 2βcos＋cos 2βsin＝sin＝.
因为＜β＜α＜，
所以＜2β＋＜2α＋＜，
则cos＝－，cos（2β＋）＝－，
所以sin（2α－2β）＝sin［－］＝sincos（2β＋）－cossin（2β＋）＝.
10.1.3 两角和与差的正切
1.D 由题意得，tan α＝＝－，所以tan（α－）＝＝＝5.故选D.
2.A tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝.故选A.
3.A 由已知，得tan A＋tan B＝（tan Atan B－1），即＝－，∴tan（A＋B）＝－，∴tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝，∴C＝.故选A.
4.C 因为α＋＝（α＋β）－，所以tan＝tan＝
＝，故选C.
5.BC tan α＝tan＝＝，故A错误，B正确；tan（α＋β）＝＝＝0，故C正确；tan（α－β）＝＝＝，故D错误.故选B、C.
6.ABC 对于A，利用正切的变形公式可得原式＝，故A正确；对于B，原式＝2（sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°）＝2sin（35°＋25°）＝2sin 60°＝，故B正确；对于C，原式＝＝tan（135°－75°）＝tan 60°＝，故C正确；对于D，由C知，原式＝＝，故D错误.故选A、B、C.
7.锐角 解析：由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tan A·tan B＞1，可得A，B都是锐角，故tan A和tan B都是正数，∴tan（A＋B）＝＜0，故A＋B为钝角.由三角形内角和为180°可得，C为锐角，故△ABC是锐角三角形.
8. 解析：tan＝tan［（α－）＋（β－）］＝＝.
9. 解析：由条件知＝＝3，则tan α＝2.因为tan（α－β）＝2，所以tan（β－α）＝－2.故tan（β－2α）＝tan[（β－α）－α]＝＝＝.
10.解：（1）因为cos β＝，β∈，
所以sin β＝＝，所以tan β＝＝2.
（2）tan（α＋β）＝＝＝1.
又α∈，β∈，所以α＋β∈，
所以α＋β＝.
11.B 设第一次“晷影长”是l1，“表高”是h1，太阳天顶距为α，则l1＝h1tan α，设第二次“晷影长”是l2，“表高”是h2，太阳天顶距为β，则l2＝h2tan β，因为第二次的“晷影长”与“表高”相等，则tan β＝1，则＝tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝2.故选B.
12.CD ∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2（A＋B）＝C，∴tan（A＋B）＝，故选项A、B错误；∵tan A＋tan B＝（1－tan A·tan B）＝，∴tan A·tan B＝ ①，又tan A＋tan B＝ ②，联立①②，解得tan A＝tan B＝，∴A＝B＝30°，cos B＝sin A，故选项C、D正确.故选C、D.
13. 解析：∵tan（α＋β）＝＝＝，tan（α＋β＋γ）＝＝＝1，∵α，β，γ∈，∴α＋β∈（0，π），又tan（α＋β）＝＞0，∴α＋β∈，∴α＋β＋γ∈（0，π），∴α＋β＋γ＝.
14.解：tan A＝tan[180°－（B＋C）]＝－tan（B＋C）＝＝＝－，
而0°＜A＜180°，∴A＝120°.
tan C＝tan[180°－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝＝＝，
而0°＜C＜180°，∴C＝30°.
∴B＝180°－120°－30°＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
15.解：假设存在锐角α，β使得（1）α＋2β＝，（2）tan·tan β＝2－同时成立.
由（1）得＋β＝，
所以tan（＋β）＝＝.
又tantan β＝2－，
所以tan＋tan β＝3－，
因此tan ，tan β可以看成方程x2－（3－）x＋2－＝0的两个根，
设方程的两根分别为x1，x2，
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，
所以tan ＝2－，tan β＝1，
所以α＝，β＝，
所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
10.2 二倍角的三角函数
1.D cos 2x＝2cos2x－1＝2×－1＝.
2.C 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.故选C.
3.C 原式＝－＝cos 50°－sin 50°＝2（cos 50°－sin 50°）＝2（sin 45°cos 50°－cos 45°·sin 50°）＝2sin（－5°）＝－2sin 5°.故选C.
4.C 法一 tan＝tan（2x－）＝＝＝－＝－＝＝.
法二 tan（x－）＝＝＝，∴tan［2（x－）］＝＝＝.故选C.
5.D 由二倍角公式得：cos［2（α＋）］＝1－2sin2（α＋）＝1－2×＝，又cos（2α－）＝cos［（2α＋）－π］＝－cos（2α＋）＝－.故选D.
6.AC 对于B，（sin α－cos α）2＝1－sin 2α≠1－sin2α，故B错误；对于D，tan 2α＝，故D错误；A、C正确.故选A、C.
7.1 解析：（cos215°－cos275°）＋sin 15°cos 15°＝cos 30°＋sin 30°＝sin 90°＝1.
8. 解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得2sin2α＝sin αcos α.∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝.
法一 由tan（β－α）＝＝＝，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝.
法二 tan β＝tan（β－α＋α）＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝.
9. －7 解析：因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝＝＝，所以tan α＝＝－，所以tan 2α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，所以＝＝－7.
10.解：（1）因为f（x）＝cos，
所以f＝cos＝cos＝cos＝1.
（2）因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－.
所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－，
sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝－.
f＝cos＝（cos 2θcos－sin 2θ sin）＝×［（－）×－×］＝.
11.A 在锐角△ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是解得＜A＜，所以＜cos A＜，则＝＝2cos A∈（，）.故选A.
12.AC f（x）＝1－2sin2（x＋）＝cos ［2（x＋）］＝－sin 2x，对于A，f（－x）＝－sin（－2x）＝sin 2x＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数，故A正确；对于B，函数f（x）的最小正周期为＝π，故B错误；对于C，f（－）＝－sin（－）＝1为函数的最大值，所以函数f（x）的图象关于x＝－对称，故C正确；对于D，f（1）＝－sin 2＜0，f（2）＝－sin 4＞0，所以f（1）＜f（2），故D错误.故选A、C.
13.－ 解析：因为cos α＝，所以cos α＝2cos2－1＝，解得cos＝±，又α是锐角，则0＜＜，所以cos＝，则sin＝＝，所以cos（＋）＝coscos－sinsin＝×－×＝－.
14.解：由sin θ＋cos θ＝， ①
两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0，
∵θ∈（0，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0，
sin θ－cos θ＝＝＝，②
由①②得sin θ＝，cos θ＝－.
（1）
＝
＝＝.
（2）＝
＝
＝2sin θcos θ＝－.
15.解：（1）由题图可知，x＝cos θ，y＝sin θ.
由y＞x＞0，得＜θ＜.
设S为十字形的面积，
则S＝xy＋x·×2＝2xy－x2＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－cos2θ（＜θ＜）.
（2）S＝sin 2θ－cos2θ
＝sin 2θ－cos 2θ－
＝（sin 2θ－cos 2θ）－
＝sin（2θ－φ）－（设φ为锐角且tan φ＝），
当sin（2θ－φ）＝1，即2θ－φ＝时，S最大.
此时θ＝＋，十字形取得最大面积.
10.3 几个三角恒等式
1.D ∵∈，∴sin＝－＝－.故选D.
2.C 原式＝－2sinsin＝－2sin 54°sin 18°＝－2cos 36°cos 72°＝＝－.故选C.
3.B 原式＝＝＝tan 2α.故选B.
4.A A正确，利用和差化积公式得sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ；B错误，右边应是2sin 4θsin θ；C错误，右边应是－2cos 4θsin θ；D错误，由sin 5θ与cos 3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑，左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin（－3θ）＝2sin（θ＋）cos（4θ－）.故选A.
5.A 因为cos xcos y＋sin xsin y＝，所以cos（x－y）＝，因为sin 2x＋sin 2y＝，所以2sin（x＋y）cos（x－y）＝，所以2sin（x＋y）·＝，所以sin（x＋y）＝.故选A.
6.ACD tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋，故A正确；由正切的半角公式知tan 75°＝，故B错误；tan 75°＝＝＝，故C正确；∵tan（60°－α）tan（60°＋α）·tan α＝tan 3α，令α＝25°，则tan 75°＝tan 25°tan 35°tan 85°，故D正确.故选A、C、D.
7. 解析：由α是钝角，即90°＜α＜180°，得45°＜＜90°，∴cos α＜0，cos＞0，∴cos α＝－＝－，∴cos＝＝＝.
8. 解析：＋＝＋＝
＝
＝＝
＝2cos 30°＝.
9.－ 解析：∵≤θ≤π，∴sin θ≥0，cos θ≤0，且≤≤.又sin θ＋cos θ＝ ①，∴（sin θ＋cos θ）2＝，∴2sin θcos θ＝－，∴（cos θ－sin θ）2＝1－2sin θcos θ＝，∴cos θ－sin θ＝－ ②，联立①②，得∴sin＝sin＝＝＝.
10.解：（1）∵cos（x＋y）sin x－sin（x＋y）·cos x＝，∴sin y＝sin[（x＋y）－x]＝sin（x＋y）cos x－cos（x＋y）sin x＝－，
∵y是第四象限角，
∴cos y＝＝＝，
由半角公式得tan＝＝＝－×＝－.
（2）∵θ∈，且sin θ＝，
∴cos θ＝－＝－，
又∵∈，
∴sin＝－＝－＝－，cos＝－＝－＝－，
tan＝＝＝2.
11.A ∵cos α＝－，α为第三象限角，∴sin α＝－，∴tan＝＝＝－3，∴＝＝－.故选A.
12.D ∵α，β∈（0，π），∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，∴cos β＞cos α，又y＝cos x在（0，π）上单调递减，∴β＜α，0＜α－β＜π.由已知可得：2sincos＝（－2sin·sin），∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.故选D.
13.1 解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°.∴y＝sin α＋cos（α＋30°）＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°＝sin α＋cos α＝sin（α＋60°）.∴ymax＝1.
14.解：（1）∵＜α＜3π，∴＜＜，
∴cos α＜0，sin ＜0.
故原式＝＝＝＝－sin .
（2）证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin（A＋B）＝cos A＋cos B.
又∵cos A＋cos B＝2cos cos ，
∴2sin cos ＝2cos ·cos ，
显然cos ≠0，故sin ＝cos ，
两边平方，得sin2 ＝cos2，
即＝，
∴cos（A＋B）＋cos（A－B）＝0，
∴2cos Acos B＝0，即cos A＝0或cos B＝0.
∵A，B是三角形的内角，故必有一个为直角，
∴△ABC是直角三角形.
15.解：（1）由积化和差公式可知f（x）＝［sin＋sin（x－－x－）］
＝
＝sin－，
∵sin∈[－1，1]，∴f（x）的值域为[－1，0].
（2）令f（x）＝0，∴sin＝1，
∴2x－＝＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋kπ，k∈Z，∵x∈[0，2π]，
∴x＝或x＝，∴f（x）的零点为，.
第十一章 解三角形
11.1 余弦定理
1.B 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，即49＝9＋b2－3b，所以（b－8）（b＋5）＝0.因为b＞0，所以b＝8.
2.A cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形.
3.A 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故选A.
4.D 由AB＝5，BC＝7，AC＝8，得cos B＝＝，∴·＝｜｜｜｜cos（π－B）＝5×7×（－）＝－5.故选D.
5.AD 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 （b－2）·（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2.又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°.故选A、D.
6.AB 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＜a2＋b2＋2abcos 2C，整理得cos 2C＋cos C＞0，即2cos2C＋cos C－1＞0，所以（2cos C－1）（cos C＋1）＞0，解得cos C＞或cos C＜－1（舍去），因此cos C＞.又因为C为△ABC的内角，所以C∈.故选A、B.
7.1 解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，化简得x2－2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1.
8. 解析：由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD＝1＋2－2×1××＝1，所以AD＝1，AC＝2AD＝2，此时AB2＋AD2＝BD2，即AB⊥AD，所以a＝BC＝＝.
9.120° 解析：∵（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴cos A＝＝＝－.∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.
10.解：因为sin C＝，且0＜C＜π，所以C＝或C＝.
当C＝时，cos C＝，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，所以c＝2；
当C＝时，cos C＝－，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，所以c＝2.
综上所述，c的值为2或2.
11.B 在△ABC中，A＝36°，AB＝AC，＝.设AB＝2x，BC＝（－1）x，则cos 36°＝＝＝.故选B.
12.ABD 对于A，acos B＋bcos A＝a·＋b·＝＝＝c，故A正确；对于B，由诱导公式得B正确；对于C，cos（A＋B）＝－cos C，故C错误；对于D，（a－c）2＋2ac（1－cos B）＝a2＋c2－2ac＋2ac－2accos B＝a2＋c2－2accos B＝b2，故D正确.故选A、B、D.
13.（60°，90°） 解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，则cos A＝＞0.∴A＜90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.故A的取值范围是（60°，90°）.
14.解：（1）cos C＝cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝－，又0°＜C＜180°，所以C＝120°.
（2）因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，
所以
所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝b2＋a2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab＝（2）2－2＝10.
所以AB＝.
15.解：（1）由已知得，－cos（A＋B）＋cos Acos B－sin A·cos B＝0，
即sin Asin B－sin Acos B＝0.
因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0.
又cos B≠0，所以tan B＝.
又0＜B＜π，所以B＝.
（2）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝3（a－）2＋.
又0＜a＜1，所以≤b2＜1，即≤b＜1，
即b的取值范围为［，1）.
11.2 正弦定理
第1课时 正弦定理
1.B ∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c＝＝＝2.故选B.
2.A 由＝，故＝，解得sin B＝.故选A.
3.C sin C＝sin（A＋B）＝.由正弦定理得c＝·sin C＝×＝.故选C.
4.D 在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.故选D.
5.BD 由正弦定理，有＝，得sin C＝＝＝，由C∈（0，π）且c＞a，得C＝或C＝.故选B、D.
6.ABD A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵＝，∴sin C＝＝＝，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝，有解；D中，∵＝，∴sin B＝＝＝，又b＜a，∴只有一解.
7. 解析：因为∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理＝，即＝，解得BC＝.
8. 解析：△ABC的外接圆的直径为2R＝＝＝.
9. 解析：∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝＝，sin C＝＝，∴sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.在△ABC中由正弦定理得＝＝＝＝，∴b＝sin B＝×＝，c＝sin C＝×＝.
10.解：（1）∵A＝30°，C＝105°，
∴B＝180°－（A＋C）＝45°.
∵＝＝，
∴b＝＝＝2，
c＝＝＝＋.
∴B＝45°，b＝2，c＝＋.
（2）由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝.
∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°.
①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝＝6.
②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，∴a＝b＝3.
综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.
11.A 由正弦定理得＝＝＝2cos B.又＜B＜，余弦函数在此范围内单调递减，故＜cos B＜，∴∈（，）.
12.ACD 对于A，由＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A＞sin B a＞b A＞B，故C正确；对于D，由＝＝＝2R，可得＝＝2R＝，故D正确.
13.（，2） 解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞csin B，即＜b＜2.
14.解：（1）在△ABC中，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝＝.
（2）在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，即（）2＝22＋c2－2×2×c×cos 120°，
解得c＝－7或c＝5.
又∵c＞0，∴c＝5.
（3）由（1）（2）知sin B＝，cos B＝，sin C＝.
∵A为钝角，∴C为锐角，∴cos C＝.
∴sin（B－C）＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝－.
15.解：在△ACF中，∠AFC＝180°－60°＝120°，设AF＝CE＝t，则CF＝2＋t，
由正弦定理可知，＝，即＝，则AC＝t，
在△ACF中，AC2＝AF2＋CF2－2AF·CFcos∠AFC，
即t2＝t2＋（2＋t）2－2t（t＋2）×（－），又t＞0，则t＝3，故AC＝t＝7.
第2课时 正弦定理的应用
1.B S＝absin C＝×4×3×＝3.故选B.
2.D 由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又A是锐角，所以A＝60°.又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C，故△ABC为等边三角形.
3.D 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在Rt△ABC中，可得AB＝5海里，所以这艘船的速度是10海里/时.故选D.
4.A 设AD＝x，如图，∠DAC＝∠DAB＝60°.∵AC＝3，AB＝6，且S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，∴×3×6×＝×3x×＋×6x×，解得x＝2.故选A.
5.ABD 由大角对大边知，若A＜B，则a＜b，由正弦定理得2Rsin A＜2Rsin B，所以sin A＜sin B，故A正确；同理B正确；当A＝120°，B＝30°时，＜0，＞0，故C错误；若A＜B，则sin A＜sin B，sin2 A＜sin2 B，即1－cos2A＜1－cos2B，所以cos2A＞cos2B，故D正确.故选A、B、D.
6.ABD 对于A，由bsin A＝（3b－c）sin B角化边可得ba＝（3b－c）b，所以a＋c＝3b，故A正确；对于B，因为cos A＝，所以sin A＝＝.所以tan A＝＝2，故B正确；对于C，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b，故C错误；对于D，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝b2＋c2－bc，将a＝3b－c代入上式可得b＝c，所以△ABC的面积为bcsin A＝c2，故D正确.故选A、B、D.
7.5 解析：连接BD（图略）.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5 .
8.6.6 解析：因为AB＝1 000×＝（km），所以BC＝·sin 30°＝（km），航线离山顶的高度h＝×sin 75°＝×sin（45°＋30°）≈11.4（km），所以山顶的海拔高度约为18－11.4＝6.6（km）.
9.60° 解析：由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
10.证明：在△ABD中利用正弦定理得＝，
在△CBD中利用正弦定理得＝.
因为BD是∠ABC的平分线，
所以∠ABD＝∠CBD，
又因为∠ADB＋∠CDB＝180°，
所以sin∠ADB＝sin∠CDB，
所以＝，
即＝成立.
11.D 因为acos B＋bcos A＝4sin C，所以由正弦定理可得，sin Acos B＋sin Bcos A＝，化简得，sin（A＋B）＝，在△ABC中，sin（A＋B）＝sin C，解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π.故选D.
12.ABD 对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以A＞B a＞b sin A＞sin B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即（a－c）2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确.故选A、B、D.
13.4 － 解析：△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，则a＋b＝，且△ABC的周长为9，则c＋＝9，解得c＝4.又△ABC的面积等于3sin C，则absin C＝3sin C，整理得ab＝6，由于a＋b＝＝5，故解得或所以cos C＝＝－.
14.解：（1）由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故cos B＝，又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
（2）sin A＝sin（30°＋45°）＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.
故由正弦定理，得a＝b·＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
故c＝b·＝2×＝.
15.解：（1）因为D＝2B，cos B＝，
所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－.
因为D∈（0，π），
所以sin D＝＝.
因为AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.
（2）在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，
所以AC＝2.
在△ABC中，因为BC＝2，＝，
所以＝＝＝，
所以AB＝4.
培优课 三角形中的最值（范围）问题
1.D 令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以cos B＝＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D.
2.D ∵C＝，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋27∈[27，31]，∴c∈[3，]，∴由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝∈［，1］，故sin A的最大值为1.
3.B 由ccos A＋acos C＝b得b＝2.因为AC边上的高为，所以×2×＝acsin B，即ac＝，又cos B＝≥＝1－，当且仅当a＝c时取等号，所以cos B≥1－sin B，即sin B＋3cos B≥3，即sin≥.因为B∈（0，π），所以B＋∈，则B＋∈（，］，所以B∈（0，］，故角B的最大值为.故选B.
4.C 由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB ①.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A ②.由①②得cos A＝－.因为0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin（π－A－B）＝3cos B－sin B，故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.故选C.
5.B 设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6xcos θ ①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18xcos θ ②，联立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2 ③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2 ④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc（当且仅当3b＝c时，等号成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝bcsin ≤×16×＝4.故选B.
6.CD 对于A，根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由·＝2S bccos A＝2×bcsin A tan A＝，因为A∈（0，π），所以A＝，故A错误；对于B，b＝3＞a＝2＞bsin A＝，故△ABC有两解，故B错误；对于C，若△ABC为锐角三角形，则B∈（0，），且A＋B＝π－C＞ ＋B＞ B∈（，），即sin B∈（，1），由正弦定理可知：b＝＝4sin B∈（2，4），故C正确；对于D，若D为BC边上的中点，则＝（＋） ＝（＋2·＋）＝（b2＋c2＋bc），由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝4 b2＋c2＝bc＋4，根据基本不等式有b2＋c2＝bc＋4≥2bc bc≤，当且仅当b＝c＝时取得等号，所以（b2＋c2＋bc）＝（4＋2bc）≤1＋×＝7＋4，即AD≤＝2＋，故D正确.故选C、D.
7.2 解析：∵2sin Asin Bcos C＝sin2C，∴2abcos C＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，∴cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时取等号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤，即角C的最大值为.
8.（4，16＋8] 解析：由tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝tan Atan B，且tan Atan B≠0，得tan C＝，∵0＜C＜π，∴C＝.∵c2＝a2＋b2－2abcos C，c＝2，∴4＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥a2＋b2－，∴a2＋b2≤16＋8，当且仅当a＝b时取等号.又a2＋b2＞4，∴a2＋b2的取值范围是（4，16＋8].
9.2 解析：由正弦定理＝＝可得，bsin C＝csin B，asin B＝bsin A.由已知可得，4bc·cos A＝acsin B＋absin C＝2acsin B＝2bcsin A，所以sin A＝2cos A.又0＜A＜π，所以0＜A＜，所以cos A＞0，因为sin2A＋cos2A＝25cos2A＝1，所以cos A＝，sin A＝.因为△ABC的面积S＝bcsin A＝bc＝，所以bc＝.由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2××≥2bc－1＝4，当且仅当b＝c＝时，等号成立.所以a2≥4，a的最小值为2.
10.解：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝，
又MN＝2，所以AM＝sin（120°－θ），
在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ），
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2（120°－θ）＋4－2×sin（120°－θ）×2×cos（60°＋θ）
＝sin2θ＋sin θcos θ＋4
＝sin 2θ－cos 2θ＋
＝sin（2θ－30°）＋.
因为0°＜θ＜120°，则－30°＜2θ－30°＜210°，
当且仅当2θ－30°＝90°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，
即AP取得最大值2.
所以∠AMN＝60°时，工厂产生的噪音对居民的影响最小.
11.解：（1）因为a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），
所以f（x）＝a·b＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin（2x－）－，
由2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），
即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）.
（2）由f（B）＝，得sin（2B－）＝1，又2B－∈（－，），即2B－＝.
所以B＝，又b＝，
由正弦定理＝＝，得a＝2sin A，c＝2sin C，
即a＋c＝2sin A＋2sin C＝2sin A＋2sin（－A）＝2cos（A－），
又0＜A＜，所以－＜A－＜，
所以2cos（A－）∈（，2].
即a＋c的取值范围为（，2].
12.解：（1）因为bcos＝asin B，由正弦定理可得sin Bcos＝sin Asin B，
又sin B≠0，所以cos＝sin A，因为A＋B＋C＝π，
所以cos＝cos＝sin，则sin＝sin A＝2sincos，
又sin≠0，所以cos＝，
因为∈（0，），所以＝ A＝.
（2）根据题意可得＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，
所以＝（＋）2＝＋·＋，
即36＝c2＋4bc（－）＋4b2≥2－2bc＝2bc，所以bc≤18，
当且仅当b＝3，c＝6时等号成立，
所以S△ABC＝bcsin≤×18×＝，故△ABC面积的最大值为.
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
1.D ∵AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700，∴AC＝10 km.故选D.
2.A 如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝ （n mile/h）.故选A.
3.D 设滕王阁的高度为h，由题设知，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝h，则AD＝AB＋BD＝h＋42，又tan∠CAD＝＝＝，可得h＝≈57米.故选D.
4.C 在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50（－）（米）.
在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.由题图，知cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.故选C.
5.ABC 对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于D，不知道长度，显然不能求c.
6.AC 由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以∠ABD＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12，AC＝8，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24（n mile），故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD＝
＝＝8（n mile），故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，所以D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.故选A、C.
7. 解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝ m.
8.5 解析：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D，CD＝x，
