课时跟踪检测部分
第九章 平面向量
9.1 向量概念
1.B 对于A，时间和距离只有大小，没有方向，是数量，不是向量，故A错误；对于B，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，故B正确；对于C，向量与向量表示的是模长相等，方向相反的两个不同的向量，故C错误；对于D，平行向量也叫作共线向量，故D错误.故选B.
2.B 由两向量的夹角的定义知，与的夹角等于180°－∠ABC，与的夹角等于∠BAC，与的夹角等于∠ACB，与的夹角等于180°－∠ACB，因为△ABC为锐角三角形，所以只有B正确.故选B.
3.D 单位向量的模长为1，故｜a0｜＋｜b0｜＝2，故D正确；a0，b0分别与a，b同向，而a，b方向不确定，A、B、C错误，故选D.
4.C ∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形.又∵｜｜＝｜｜，∴平行四边形ABCD相邻两边相等，故四边形ABCD为菱形.故选C.
5.ACD 对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若｜a｜＝｜b｜，则a与b的长度相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若｜a｜＝0或｜b｜＝0，则a∥b.
6.BC 对于A，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故A不正确.对于B，在 ABCD中，｜｜＝｜｜，与平行且方向相同，所以＝，故B正确.对于C，a＝b，则｜a｜＝｜b｜，且a与b方向相同；b＝c，则｜b｜＝｜c｜，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故C正确.对于D，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D不正确.故选B、C.
7.0 解析：①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等与两个向量相等的概念，｜a｜＝｜b｜只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等.
8.，， 解析：∵D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，∴DE∥BC且DE＝BC.∴｜｜＝｜｜且方向相反.｜｜＝｜｜且方向相反.∴的相反向量为，，.
9.135° 解析：∵∠B＝45°，∴与的夹角为135°.
10.解：（1）与长度相等的向量是，，，，，，，.
（2）与共线的向量是，，；
与共线的向量是，，.
（3）因为△ABC为正三角形，与的夹角为∠ABC，故与的夹角为60°，与的夹角为∠AFD的补角，故与的夹角为120°.
11.ACD 若a＝b， 则a与b方向相同，模相等，所以A、C正确；对于B，由a≠b /｜a｜≠｜b｜，但由｜a｜≠｜b｜ a≠b，所以a≠b是｜a｜≠｜b｜的必要不充分条件，故B错误；对于D，由a与b方向相反，可以推出a≠b，也可由｜a｜≠｜b｜推出a≠b，则a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分条件，但反过来不一定成立，故D正确.
12.0 解析：向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反；向量m与是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反.由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线，则m＝0.
13.，， 解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC.∴结合共线向量及向量夹角的定义可知与的夹角为120°的向量为，，.
14.解：（1）画出所有的向量，如图所示.
（2）由（1）所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，｜｜取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，｜｜取得最大值＝.
所以｜｜的最大值为，最小值为.
15.解：（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，
即AB＋BC＝70 n mile.
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为｜｜＝＝50（n mile），
由于sin∠BAC＝，故方向约为北偏东53°.
9.2 向量运算
9.2.1 向量的加减法
第1课时 向量的加法运算
1.D 对于A，＝－，故A错误；对于B，由＋＝＝－≠，故B错误；对于C，＋＝＋＝，故C错误；对于D，由向量加法的运算法则，有＋＋＝，故D正确.故选D.
2.D 由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形.故选D.
3.B 如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又｜a＋b｜＝2 km，故选B.
4.D 由＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外，故D正确.
5.ABD 如图，由向量加法的平行四边形法则知A、D正确；由三角形法则知B正确，C错误.故选A、B、D.
6.AD 由a∥b可知，a，b共线.由｜a｜＝2｜b｜＝8可得，｜a｜＝8，｜b｜＝4.当a，b方向相同时，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜＝12，当a，b方向相反时，｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜＝4.故选A、D.
7.（1） （2）0 解析：（1）＋＋＝＋＝.
（2）＋＋＝＋＋＝＋＝0.
8.2 解析：如图所示，设菱形ABCD的对角线的交点为O.＋＝＋＝.∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形.又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，AO＝＝，∴｜｜＝2｜｜＝2，即｜＋｜＝2.
9. 解析：因为DE∥BC，AB∥CF，所以四边形DFCB为平行四边形.由向量加法的运算法则可知＋＝＋＝，＋＝＋＝.
10.解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行600 km，
则飞机飞行的路程指的是｜｜＋｜｜；两次位移的和指的是＋＝.
依题意，有｜｜＋｜｜＝800＋600＝1 400，∠ABC＝35°＋55°＝90°.
在Rt△ABC中，｜｜＝＝＝1 000，
所以sin∠BAC＝0.6，所以∠BAC＝37°，即两次位移的和的方向为北偏东35°＋37°＝72°.
从而飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°.
11.B 因为＝＋，＝＋，＋＋＋＝＋，所以＋＝＋，所以＋＝0.所以P为线段AC的中点，故选B.
12.ACD 因为a＝（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＝0.所以A、C、D正确.故选A、C、D.
13.8 解析：a＋b＋c＝＋＋＝＋.如图，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.∵＝＝，∴四边形ACED是平行四边形，∴＝，∴＋＝＋＝，∴｜a＋b＋c｜＝｜｜＝2｜｜＝2｜｜＝8.
14.证明：（1）由向量加法的三角形法则，
∵＋＝，＋＝，
∴＋＝＋.
（2）由向量加法的平行四边形法则，
∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝0＋0＋0＝0.
15.解：（1）在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.如图所示.
（2）在平面内任取一点O，
作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上（如图所示），
由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，此时｜｜即｜a＋e｜取得最大值，最大值是3.
第2课时 向量的减法运算
1.B 原式＝（＋）＋（＋）＝＋0＝.
2.D 由题可得＝＝＝－＝b－c，故选D.
3.A 由－＝－，得＝，所以四边形ABCD一定是平行四边形.故选A.
4.D 如图延长AB到D.使AB＝BD.∴＝，∴｜－｜＝｜－｜＝｜｜，∵△ABC是边长为1的正三角形.∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ACD为直角三角形，∴｜｜＝ ＝ ＝，∴｜－｜＝.故选D.
5.AB ＋－＝＋＝，故A正确；＋＝，故B正确；－＝＋＝，故C错误；－＝＋≠，故D错误.故选A、B.
6.BCD 向量与的方向不同，但它们的模相等，所以B正确，A错误；因为｜－｜＝｜＋｜＝2｜｜，｜＋｜＝2｜｜，且｜｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜＋｜，所以C正确；因为｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以D正确.故选B、C、D.
7. 解析：－－＋＋＝＋＋＋＝.
8.30° 解析：设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝.∵｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，∴｜｜＝｜｜＝｜｜，∴△OAB是等边三角形，四边形OACB是菱形，∴∠BOA＝60°.在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
9.4 8 解析：∵＋－＝＋－＝－＋＝＋＝2，∴｜＋－｜＝｜2｜＝2＝4.∵＋＋＝＋＝2，∴｜＋＋｜＝2｜｜＝8.
10.解：由图知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
（1）＝＋＋＝a＋d＋e.
（2）＝－＝－－＝－b－c.
（3）＝＋＋＝a＋b＋e.
（4）＝－＝－（＋）＝－c－d.
11.A ＝－＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c.故选A.
12.ABC 由条件可知｜｜＝｜｜，以，为邻边的四边形是正方形，对角线相等，根据向量加、减法则可知｜＋｜＝｜－｜，故A正确；｜－｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜－｜，故B正确；｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜－｜，故C正确；｜－｜2＝｜｜2，｜－｜2＝｜｜2，｜－｜2＝｜｜2，由条件可知｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，即｜－｜2＝｜－｜2＋｜－｜2，故D错误.故选A、B、C.
13.4 解析：如图，设＝a，＝b，则｜｜＝｜a－b｜.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则｜｜＝｜a＋b｜，由于（＋1）2＋（－1）2＝42，因此｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，因此△OAB是直角三角形，从而OA⊥OB，所以四边形OACB是矩形，所以｜｜＝｜｜＝4，即｜a＋b｜＝4.
14.解：（1）＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
若a＋b与a－b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD.
因为当｜a｜＝｜b｜时，四边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD，故当a，b满足｜a｜＝｜b｜时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直.
（2）不可能.因为 ABCD的两对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量.
15.证明：如图，连接AH，HC，延长BO交圆O于点D，连接DA，DC，则OB＝OD，DA⊥AB，DC⊥BC.
又AH⊥BC，CH⊥AB，
所以CH∥DA，AH∥DC，
所以四边形AHCD是平行四边形，
所以＝.
又＝－＝＋，
所以＝＋＝＋＝＋＋.
9.2.2 向量的数乘
第1课时 向量的线性运算
1.C 根据向量运算公式可知，3（a＋b）－2（a－b）－a＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b.故选C.
2.A 如图，＝3，所以＝2.故选A.
3.D 如图，设a＝，b＝，所以a－b＝a＋（－b）＝＋＝＝－e1＋3e2.故选D.
4.C 3＝3（＋）＝3（＋）＝3＋4＝3＋4（－）＝4－.故选C.
5.AB m（a－b）＝ma－mb，A正确；（m－n）a＝ma－na，B正确；若m＝0，则a，b不一定相等，C错误；若a＝0，则m，n不一定相等，D错误.故选A、B.
6.AC 如图，－＝－＝＝＝.故选A、C.
7.0 解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝（－＋）a＋（－－＋）b＝0.
8.± 解析：由a＝λb，得｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜.∵｜a｜＝3，｜b｜＝5，∴｜λ｜＝，即λ＝±.
9. 解析：由题意得，＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝λ＋（1－λ）＝λb＋（1－λ）c＝b＋c.所以λ＝.
10.解：（1）原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
（2）原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝（6a－4a＋4a）＋（8b－6b）＋（6c－4c－2c）
＝6a＋2b.
11.A b＋c－a＝－＋－＝－（＋）＋＝－＋＝－＝.故选A.
12.AD 因为与a同向的单位向量为，与b同向的单位向量为，若＋＝0，则a，b方向相反.故选A、D.
13.a－b＋c 解析：将原等式变形为2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0，y＝a－b＋c，∴y＝（a－b＋c）＝a－b＋c.
14.解：（1）由题意，有＝＋＋＝（e＋2f）＋（－4e－f）＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－3）f＝－8e－2f.
（2）证明：由（1）知＝－8e－2f＝2（－4e－f）＝2，即＝2.
根据向量数乘的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形.
15.解：如图，因为＋2＋3＝（＋）＋2（＋）＝2＋4＝0，
所以＝2，所以DE＝3DO.
又由题意知AB＝2DE，所以AB＝6DO＝12.
第2课时 向量共线定理
1.B ＝＋＝－2a＋8b＋3（a－b）＝a＋5b＝，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线.故选B.
2.A ①中，a与b显然共线；②中，因为b＝3e1－2e2＝6＝6a，故a与b共线；③中，设b＝3e1－3e2＝k（e1＋e2），得无解，故a与b不共线.故选A.
3.D 因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝＋＝a－b.
4.C 因为＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝－＋，所以λ＝－，μ＝.故λ＋μ＝.故选C.
5.AC 如图所示，则＝＋＝＋＝＋（＋）＝－＋×＝＋.故选A、C.
6.AB 选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为梯形ABCD的两腰时，直线AB与直线CD是相交直线，则向量，不是共线向量，即不能判定a，b共线.故选A、B.
7.－4 相同 解析：因为2a－λb与a＋2b平行，所以存在实数k使得2a－λb＝k（a＋2b），即（2－k）a＋（－λ－2k）b＝0.又因为a与b不平行，所以即又因为k＞0，所以两向量方向相同.
8. 解析：由题作图如图所示，∵＝3，∴BP＝3CP，∴AB＝3CE＝CD，∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，∴m－n＝－＝.
9. 解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴＝.又与同向，∴＝.
10.解：（1）2＋－
＝2（e1＋2e2）－2e1－3e2－6e1－11e2
＝－6e1－10e2.
（2）因为＝－2e1－3e2，＝6e1＋11e2，
所以＝＋＝－2e1－3e2＋6e1＋11e2＝4e1＋8e2，
又＝e1＋2e2，
所以＝，
所以和共线，又和有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
11.B 由题得＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）.解得＝＋，即＝a＋b.故选B.
12.ABD 如图，因为O，G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以＝.对于A，因为G是重心，M为BC的中点，所以＝2.又＋＝2，所以＋＝，即＋＋＝0，故A正确；对于B，由A可得＝3，故＋＝2＝6＝2＋4＝2（－）＋4（－）＝2－4＋4－2＝2－4，即＋＝2－4，故B正确；对于C，＝－＝2－2＝2，故C不正确；对于D，因为点O为△ABC的外心，所以点O到三个顶点的距离相等，即｜｜＝｜｜＝｜｜，故D正确.故选A、B、D.
13.2∶3 解析：因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.
14.解：根据题意作图如图所示，取BC的中点M，连接DM交AC于点N.在 ABCD中，E是AD的中点，M是BC的中点，所以ED∥BM，且ED＝BM，所以四边形BEDM是平行四边形，所以BE∥MD.
在△AND中，E为AD的中点，
所以F为AN的中点，所以AF＝FN.
同理可得FN＝CN.
所以AF＝FN＝CN，
所以＝＋＝－＋＝－＋（＋）＝－.
又因为＝m＋n（m，n∈R），
所以m＝，n＝－，所以＝－2.
15.解：设＝＋，则C为定点.证明如下：
设p＝，q＝，C'为直线A'B'上任意一点.
∵O，A，B不共线，
∴存在实数m，n使＝m＋n＝mp＋nq，且m＋n＝1.
∵＋＝1，∴可设m＝，n＝，∴＝＋.
又∵＋＝，∴C与C'重合.
故连接p，q两个向量终点的直线通过一个定点C.
9.2.3 向量的数量积
第1课时 向量数量积的概念、
运算及投影向量
1.B 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50（J）.
2.B 易知，若m·n＞0，则｜m｜｜n｜cos＜m，n＞＞0，故cos＜m，n＞＞0，结合＜m，n＞∈[0，π]，得＜m，n＞＝0或＜m，n＞∈（0，），反之，若＜m，n＞∈（0，），则必有m·n＞0，故“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的必要不充分条件，故选B.
3.A 设向量a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上投影向量的模为｜a｜cos θ＝＝.故选A.
4.A a·b＝·＝－·＝－｜｜·｜｜cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－.
5.B 法一 依题意，｜｜cos＜，＞＝｜｜，则·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＝｜｜×｜｜＝4×2＝8.
法二 结合圆的性质易得在上的投影向量为，所以·＝＝×42＝8.
6.ABC 由向量的数量积性质｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，可知A、B、C正确.故选A、B、C.
7.矩形 解析：由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC AD，所以四边形ABCD是矩形.
8. 解析：设a与b的夹角为θ，∵｜a｜·cos θ＝b，∴｜a｜·cos θ＝，∴｜a｜·cos θ＝，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝3×＝.
9.－1 解析：法一 ·＝｜｜·｜｜cos（180°－∠B）＝－｜｜｜｜·cos B＝－｜｜｜｜·＝－｜｜2＝－1.
法二 ｜｜＝1，即为单位向量，·＝－·＝－｜｜·｜｜cos B，而｜｜·cos B＝｜｜，所以·＝－｜｜2＝－1.
10.解：因为向量在上的投影向量为－2，故∠BAC为钝角，
如图，过B作AC的垂线，垂足为E，则E在CA的延长线上，
而向量在上的投影向量为＝｜｜×cos∠BAC×＝－｜｜×，故｜｜＝2.
又S△ABC＝3，所以×BE×3＝3，故BE＝2，故BC＝＝＝.
11.A cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴｜a×b｜＝2×5×＝8.故选A.
12.AD ∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos θ＝cos θ，∴若cos θ＞0，则e1·e2＞0；若e1·e2＞0，则必有cos θ＞0，故A正确；e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2＝1；当e1，e2反向时，e1·e2＝－1，故B、C错误；｜e1·e2｜≤｜e1｜｜e2｜＝1，故D正确.故选A、D.
13.18 解析：设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点，·＝·＝2·，因为在上的投影向量为，则·＝·.所以·＝2·＝2｜｜2＝2×32＝18.
14.解：（1）若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
（2）因为｜｜＝4，｜｜＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以｜｜＝2.
又因为＝3，所以｜｜＝.
所以｜｜＝＝，cos∠OPB＝.
设与的夹角为θ，所以与的夹角θ的余弦值为－.
所以·＝｜｜｜｜cos θ＝－3.
15.解：（1）由已知可得＝，＝－，
易得OAMB是菱形（图略），则＝＋，
所以＝－＝－（＋）＝－－.
（2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，
则·＝××cos 60°＝；
当MC与MO重合时，MC最大，
此时MC＝1，则·＝cos 60°＝，
所以·的取值范围为.
第2课时 向量数量积的运算律及性质
1.A （2e1－e2）·e2＝2e1·e2－＝2｜e1｜·｜e2｜cos 120°－｜e2｜2＝2×1×1×（－）－12＝－2.故选A.
2.B ∵｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，∴｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝1，即｜b｜2＝2a·b，a·（a－b）＝｜a｜2－a·b＝1×1×＝，即a·b＝，可得｜b｜＝1，∴｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝1＋2×＋1＝3，即｜a＋b｜＝.故选B.
3.B ∵（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝0，∴｜a｜2－｜b｜2＝0，∴｜a｜＝｜b｜ .故选B.
4.A ｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.故选A.
5.A 因为（－）·（＋－2）＝0，即·（＋）＝0，又因为－＝，所以（－）·（＋）＝0，即｜｜＝｜｜，所以△ABC是等腰三角形.
6.ABD 对于A，因为｜｜＝2，＝2a，所以｜a｜＝＝1，即a是单位向量，故A正确；对于B，因为＝－＝2a＋b－2a＝b，所以∥b，故B正确；对于C，由＝2a＋b，得＝4a2＋4a·b＋b2，即4＝4＋4a·b＋b2.所以a·b＝－＝－1≠1，故C错误；对于D，因为＝b，·（4a＋b）＝b·（4a＋b）＝4a·b＋b2＝0，所以⊥（4a＋b）， 故D正确.故选A、B、D.
7. 解析：因为cos＜a，b＞＝－，所以a·b＝｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞＝－，则（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－－1＝.
8.120° 解析：由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜b｜，两边平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝－｜a｜2，则2｜a｜｜b｜cos θ＝－｜a｜2，∴cos θ＝－.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
9.－5 解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos ＝2×1×＝1.因为2a＋kb与a＋b垂直，所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.
10.解：（1）由题可得a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 60°＝2×2×＝2，
｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2＋4＝12，∴｜a＋b｜＝2.
（2）∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝4＋2＝6，
设a＋b和a的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝.
11.C ∵｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，∴｜a＋b｜2＋｜a－b｜2＝2｜a｜2＋2｜b｜2＝20.∴｜a｜2＋｜b｜2＝10.∵（a－b）2≥0，∴｜a｜2＋｜b｜2≥2｜a｜｜b｜.∴｜a｜｜b｜≤5.∴｜a｜｜b｜的最大值为5.故选C.
12.ABD 对于A，a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 60°＝1×2×＝1，故A正确；对于B，｜2a＋b｜＝＝＝2，故B正确；对于C，｜2a－b｜＝＝＝2，故C错误；对于D，a·（a－b）＝a2－a·b＝1－1＝0，所以a⊥（a－b），故D正确.故选A、B、D.
13.13 解析：∵N是BC边的中点，可得＝（＋），∵M是△ABC的外接圆的圆心，∴·＝｜｜·｜｜cos∠BAM＝｜｜2＝×42＝8，同理可得·＝｜｜2＝18，∴·＝（＋）·＝·＋·＝×8＋×18＝13.
14.解：（1）由题意知，｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝12，又｜a｜＝2，｜b｜＝4，所以a·b＝－4，
所以cos＜a，b＞＝＝＝－，
又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，即a与b的夹角为.
（2）由（1）知a·b＝－4，所以｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝84，故｜a－2b｜＝2.
（3）由（2a－b）⊥（a＋kb），得（2a－b）·（a＋kb）＝0，即2a2＋2ka·b－a·b－kb2＝0，
又｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，所以8－8k＋4－16k＝0，解得k＝.
15.解：（1）∵E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点，
∴＝＝，＝－＝－，
∴＝＋＝－＋，
又＝λ＋μ，
∴λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝－＋＝.
（2）设＝m（0≤m≤1），
则＝＋＝－m，
又＝＋＝＋，·＝0，
∴·＝（＋）·（－m）＝－m＋＝－4m＋2＝1，
故m＝.
∴·＝（＋）·（＋）＝＋＝3＋2＝5，
易得｜｜＝，｜｜＝，
∴cos∠EAF＝＝＝.
9.3 向量基本定理及坐标表示
9.3.1 平面向量基本定理
1.C 如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C.
2.A ∵＝λ，∴－＝λ（－），即＝（1＋λ）－λ＝＋，∴∴x＋y－2＝0.故选A.
3.D 如图所示，∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝＝×＝（b－a）.故选D.
4.C 因为＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2，即＝2，所以AD∥BC且AD≠BC.故四边形ABCD为梯形.选C.
5.BC 由平面向量的基本定理可知，A、D是正确的；对于B，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立.故选B、C.
6.AD 如图，在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝a＋b，故B错误；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋（－b－a）＝－a＋b，故C错误；＝＝－a，故D正确.故选A、D.
7.2＋ 解析：＝2＝2（＋）＝2＋.
8.－ 解析：因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以＝＋.又E为AD的中点，所以＝－＝（＋）－＝－＋.所以x＝－.
9.9 解析：考虑以，为基底来计算.∵＝3，＝2，∴＝＋，＝－＝－＋，∴·＝（＋）·（－＋）＝－＝×36－×16＝9.
10.解：（1）证明：假设a＝λb（λ∈R），
则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）.
由e1，e2不共线，得方程组无解，
所以λ不存在.
故a与b不共线，可以作为一组基底.
（2）设c＝ma＋nb（m，n∈R），
则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1＋（－2m＋3n）e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
11.C 因为P是BC边的中点，所以＝－＝－－.因为c＋a＋bPB＝0，所以c（－－）＋a＋b＝0.所以（a－c）＋（b－c）＝0.因为与不共线，所以a－c＝0且b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形.
12.AC ＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ，因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为线段OC中点时，则＝＝μ＋×3μ，则1－λ＝μ，λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误.故选A、C.
13.（－2，0） 解析：依题意，设＝λ（0＜λ＜1），由＋＋＝0，知＝－（＋），所以＝－λ－λ，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，0）.
14.解：（1）因为＝2，
所以＝，
所以＝－＝－，
所以｜｜＝
＝
＝＝，
即CD的长为.
（2）＝－＝－＋
＝－（－）＋
＝＋，
所以·＝·（＋）＝＋·＝＋×2×3×＝.
15.解：（1）证明：设AB的中点为E，则＝＝×（a＋b）＝（a＋b）.
（2）点A1，A2是线段AB的三等分点，
＝（＋），＝（＋），＝（＋），
则＋＋＝（a＋b）＋（＋）＝（a＋b）＋［a＋（b－a）＋a＋（b－a）］＝a＋b.
（3）设A1是AB的二等分点，则＝（a＋b），＋＝（＋）＋（＋）＝（a＋b）＋＝（a＋b）＋×（a＋b）＝（a＋b），
设A1、A2、A3是线段AB的四等分点，则＋＋＝（a＋b），
或设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＝a＋b（k＝1，2，…，n－1），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＋…＋＝（a＋b），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＋…＋＝（a＋b）.
9.3.2 向量坐标表示与运算
第1课时 向量线性运算的坐标表示
1.D ＝（3－2，1－3）＝（1，－2）.故选D.
2.D ∵a＝－2b，∴a与b方向相反.故选D.
3.A 由题意可得c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）.故选A.
4.A 在平行四边形ABCD中，因为A（1，2），B（3，5），所以＝（2，3）.又＝（－1，2），所以＝＋＝（1，5），＝－＝（－3，－1），所以＋＝（－2，4）.故选A.
5.A 对于A：平面向量的横纵坐标是确定的，故A正确；对于B：如果两个向量不相等，则其横纵坐标不完全相等，即（x1，y1）≠（x2，y2），则x1≠x2或y1≠y2，故B错误；对于C：平面向量是可以平移的，所以起点不一定是坐标原点，故C错误；对于D：平面向量是由起点和终点坐标决定的，应该等于终点坐标减起点坐标，故D错误.故选A.
6.ABC 设点D的坐标为（x，y）.若是平行四边形ABCD，则有＝，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝4，y＝5，所以所求顶点D的坐标为（4，5），所以A正确；若是平行四边形ABDC，则有＝，即（5－3，4－2）＝（x－6，y－7），解得x＝8，y＝9，所以所求顶点D的坐标为（8，9），所以B正确；若是平行四边形ACBD，则有＝，即（6－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝－1，所以所求顶点D的坐标为（2，－1），所以C正确.综上，顶点D的坐标为（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故选A、B、C.
7.（－1，5） （5，－3） （－6，19）
解析：a＋b＝（2，1）＋（－3，4）＝（－1，5），a－b＝（2，1）－（－3，4）＝（5，－3），3a＋4b＝3（2，1）＋4（－3，4）＝（6，3）＋（－12，16）＝（－6，19）.
8.（3，4） 解析：由题图可知a＝e1＋，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝2＋（e1＋3e2）＝3e1＋4e2.所以向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为（3，4）.
9. 1 解析：由题意，知＝（1，0），＝（0，1）.设C（x，y），则＝（x，y）.∵＝λ＋μ，∴（x，y）＝λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ）.∴又∵∠AOC＝，OC＝2，∴λ＝x＝2cos ＝，μ＝y＝2sin ＝1.
10.解：∵＝（1，3），＝（2，4），＝（－3，5），＝（－4，2），＝（－5，1），
∴＋＋＝（－3，5）＋（－4，2）＋（－5，1）＝（－12，8）.
根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得
＋＋＝m＋n，
∴（－12，8）＝m（1，3）＋n（2，4），
即（－12，8）＝（m＋2n，3m＋4n），
∴解得
∴＋＋＝32－22.
11.D 因为＝所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是.故选D.
12.ABD 若A，B，C三点不共线即可作为三角形的顶点.因为＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），＝－＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1），假设A，B，C三点共线，则＝λ，即（m，m＋1）＝λ（1，2），即λ＝m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点即可作为三角形的顶点.故选A、B、D.
13. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a＝（1，2），b＝（2，－3），c＝（3，4）.∵c＝xa＋yb，∴解得∴x＋y＝.
14.解：设点P的坐标为（x，y），
则＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），
＋＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）
＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.
∵＝＋，且与不共线，
∴则
（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
（2）若点P在第三象限内，则∴λ＜－1.
15.解：（1）∵a＝（1，1），b＝（1，0），
∴f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）.
（2）设c＝（a，b），则f（c）＝（b，2b－a）＝（p，q），
∴∴∴c＝（2p－q，p）.
（3）证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），
则ma＋nb＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2），
∴f（ma＋nb）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∵mf（a）＝m（a2，2a2－a1），nf（b）＝n（b2，2b2－b1），
∴mf（a）＋nf（b）＝m（a2，2a2－a1）＋n（b2，2b2－b1）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∴f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.
第2课时 向量数量积的坐标表示
1.C 由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，∴x＝－.
2.D 由P（2，4），Q（1，6）可得＝（－1，2），又＝（2，λ），所以·＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.故选D.
3.A ∵＝（8，－4），＝（2，4），∴·＝8×2＋（－4）×4＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形.故选A.
4.B 依题意可得＝（3，2），＝＋＝（3，2）＋（m，1）＝（3＋m，3），＝＝3，解得m＝－3，所以＝（－3，1），·＝（3，2）·（－3，1）＝－9＋2＝－7，故选B.
5.BD 若｜b｜＝2，则＝4，解得m＝±，所以A错误；若a⊥b，则m－2＝0，解得m＝2，所以B正确；若｜a｜＝｜b｜，则＝，解得m＝2或m＝－2，所以C错误；若m＝－3，则b＝（－3，－1），设向量a与b的夹角为θ，可得cos θ＝＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝，所以D正确.故选B、D.
6.AC ∵tan α＝－2，∴可设P（x，－2x），与的夹角为θ，则cos θ＝＝，当x＞0时，cos θ＝，当x＜0时，cos θ＝－.故选A、C.
7.－1 解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1.
8.1 解析：cos＝＝＝－，｜n｜＝1.
9.（－∞，－1）∪（－1，1） 解析：｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝λ－1.又∵a，b的夹角α为钝角，∴即∴λ＜1且λ≠－1.∴λ的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，1）.
10.解：（1）由题设知＝（3，5），＝（－1，1），
则＋＝（2，6），－＝（4，4）.
所以｜＋｜＝2 ，｜－｜＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
（2）由题设知，＝（－2，－1），－t＝（3＋2t，5＋t），
由（－t）·＝0，得（3＋2t，5＋t）·（－2，－1）＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
11.B ∵＋＝，∴n·（＋）＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2.
12.C 以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB＝，BC＝2，∴A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），∵点E在边CD上，且＝2，∴E（，2）.∴＝（，2），＝（－，2），∴·＝－＋4＝.
13.（3，0） 解析：设点P的坐标为（x，0），则＝（x－2，－2），＝（x－4，－1）.所以·＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）.
14.解：（1）设c＝（x，y），由c与a方向相反及｜c｜＝2，可没c＝λa（λ＜0）.
得
所以λ2＋（2λ）2＝20，解得λ＝－2，
所以
所以c＝（－2，－4）.
（2）因为（a＋2b）⊥（2a－b），
所以（a＋2b）·（2a－b）＝0，
即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，
所以a·b＝－，
所以cos θ＝＝－1.
又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝π.
15.解：（1）由｜ka＋b｜＝｜a－kb｜，得（ka＋b）2＝3（a－kb）2，
即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
所以（k2－3）a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0.
又a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），所以｜a｜＝｜b｜＝1，
所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝＝.
（2）由（1）得a·b＝＝（k＋）.
令f（k）＝（k＋），
由函数的单调性，得f（k）＝（k＋）在（0，1]上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
所以当k＝1时，f（k）min＝f（1）＝×（1＋1）＝.
设此时a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，所以θ＝60°.
9.3.3 向量平行的坐标表示
1.D 选项A中，2×－（－1）×1≠0，则a与b不共线；同理，B，C中的两向量不共线；选项D中，2×3－（－3）×（－2）＝0，则有a∥b.
2.C 由题意得ma＋nb＝（2m－n，3m＋2n），a－2b＝（4，－1），因为（ma＋nb）∥（a－2b），所以－（2m－n）－4（3m＋2n）＝0.所以＝－.故选C.
3.C 因为a∥b，所以m＝2，所以a＝（－1，2），c＝（2，6），b＋c＝（4，2），所以（b＋c）·a＝－4＋4＝0，则（b＋c）⊥a，故b＋c与a的夹角为.
4.A ＝－＝（1－k，2k－2），＝－＝（1－2k，－3），由题意可知∥，所以（－3）×（1－k）－（2k－2）（1－2k）＝0，解得k＝－（k＝1不合题意舍去）.
5.AD 由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A正确；a＋b＝（x－3，3＋x），由（a＋b）∥a，得3（x－3）－x（3＋x）＝0，即x2＝－9，无实数解，故B错误；ma＋b＝（mx－3，3m＋x），由（ma＋b）∥a，得（3m＋x）x－3（mx－3）＝0，即x2＝－9，无实数解，故C错误；由（ma＋b）∥b，得－3（3m＋x）－x（mx－3）＝0，即m（x2＋9）＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确.故选A、D.
6.BCD 由已知可得a＋b＝（1，－2）＋（t，1）＝（t＋1，－1），3a－2b＝3（1，－2）－2（t，1）＝（3－2t，－8），因为a＋b与3a－2b共线，所以－8×（t＋1）＋1×（3－2t）＝0，得到t＝－，则＝＝，a·b＝－－2＝－，a＝－2b，即a∥b.故选B、C、D.
7. 解析：由向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）共线，得m（2m＋1）－6＝0，即2m2＋m－6＝0，解得m＝－2或m＝.当m＝－2时，a＝（－2，2），b＝（3，－3）＝－a，a与b方向相反，不符合题意；当m＝时，a＝（，2），b＝（3，4）＝2a，a与b方向相同，符合题意.故实数m的值为.
8.8 解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝（4，－2），所以a＋b＝（6，－3），b－c＝（1，－2－y）.因为（a＋b）⊥（b－c），所以（a＋b）·（b－c）＝0，即6－3（－2－y）＝0，所以y＝－4.所以向量＝（y－x，x－y）＝（－8，8），＝8.
9. 解析：∵A，B，C不能构成三角形，∴A，B，C三点共线，∴与共线.又＝（－3，1），＝（5－m，－m），∴（－3）·（－m）－（5－m）＝0，即m＝.
10.解：（1）设D（x，y）.因为＝，所以（2，－2）－（1，3）＝（x，y）－（4，1），整理得（1，－5）＝（x－4，y－1），
所以解得所以D（5，－4）.
（2）因为a＝＝（1，－5），b＝＝（4，1）－（2，－2）＝（2，3），
所以ka－b＝k（1，－5）－（2，3）＝（k－2，－5k－3），
a＋3b＝（1，－5）＋3（2，3）＝（7，4）.
因为向量ka－b与a＋3b平行，
所以7（－5k－3）－4（k－2）＝0，解得k＝－.
11.A 由a∥b，得－2×－（1－cos θ）（1＋cos θ）＝0，即＝1－cos2θ＝sin2θ，得sin θ＝±，又θ为锐角，∴sin θ＝，θ＝45°，故选A.
12.CD 对于A，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝2－1＝1＞0，∴a与b的夹角为锐角，故A错误；对于B，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝1，｜a｜＝，｜b｜＝，∴向量a在b方向上的投影向量为｜a｜··＝b，故B错误；对于C，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a－b＝（1，2），又（a－b）∥c，c＝（m－2，－n），∴－n＝2（m－2），∴2m＋n＝4，故C正确；对于D，∵2m＋n＝4，而m，n均为正数，∴mn＝（2m·n）≤＝2，当且仅当2m＝n，即m＝1，n＝2时等号成立，∴mn的最大值为2，故D正确.故选C、D.
13. 解析：由题意，得＝－＝（－a＋2，－2），＝－＝（b＋2，－4）.又∥，所以－4（－a＋2）＝－2（b＋2），整理得2a＋b＝2，所以＋＝（2a＋b）·＝≥·＝，当且仅当b＝a时等号成立，即＋的最小值为.
14.解：（1）因为b＋c＝（sin x－1，－1），且a∥（b＋c），
所以－（2＋sin x）＝sin x－1，即sin x＝－.
又x∈，所以x＝－.
（2）a＋d＝（3＋sin x，1＋k），b＋c＝（sin x－1，－1），
若（a＋d）⊥（b＋c），则（a＋d）·（b＋c）＝0，
即（3＋sin x）（sin x－1）－（1＋k）＝0，
所以k＝sin2x＋2sin x－4＝（sin x＋1）2－5.
由sin x∈，可得k∈，
所以存在k∈，使得（a＋d）⊥（b＋c）.
15.解：（1）·＝4×2＋0×2＝8，
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴在上的投影向量为｜｜·cos θ＝4××＝（1，）.
（2）∵＝－＝（－2，2），
＝－＝（1－λ）－（1－λ）
＝（λ－1），且λ2≠λ，
∴A，B，C三点共线.
当＝时，λ－1＝1，∴λ＝2.
（3）｜｜2＝（1－λ）2＋2λ（1－λ）·＋λ2
＝16λ2－16λ＋16＝16＋12，
∴当λ＝时，｜｜取得最小值2.
培优课 平面向量中的最值（范围）问题
1.B 由题意知，2a－b＝（－2，－m），所以｜2a－b｜＝≤3，得4＋m2≤9，即m2≤5，解得－≤m≤，即实数m的取值范围为[－，]，故选B.
2.C （a－2b）·（2a＋b）＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3｜a｜｜b｜cos θ－2×16＝－14－3×3×4cos θ≥4，所以cos θ≤－，所以θ∈［，π］.
3.A 如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0），E（2，1），设F（x，2）（0≤x≤2），所以＝（2，1），＝（x，2），因此·＝2x＋2，因为0≤x≤2，所以2≤2x＋2≤14，故·的取值范围是[2，14].
4.C ∵＝－＝（2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ），∴｜｜
＝
＝，∵0≤θ＜2π，∴－1≤cos θ≤1，∴≤≤3，当cos θ＝－1时，｜｜有最大值3.
5.B ∵＝λ＝（－λ，λ），＝（1－λ）＋λ＝（1－λ，λ），·≥·，∴（1－λ，λ）·（－1，1）≥（λ，－λ）·（λ－1，1－λ），∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，∵点P是线段AB上的一个动点，∴0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.
6.ABC 以B为原点，，为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，设BC＝2，则B（0，0），E（0，1），D（2，2），设M（t，2），则0≤t≤2，因为＝λ＋μ，所以（t，2）＝λ（0，1）＋μ（2，2）＝（2μ，λ＋2μ），所以2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝，对于选项A，因为M为线段AD的中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－＝，A正确；对于选项B，λμ＝（2－t）＝t－t2，0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为，B正确；对于选项C，因为μ＝，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为[0，1]，C正确；对于选项D，λ＋μ＝2－，0≤t≤2，所以1≤λ＋μ≤2，所以λ＋μ的取值范围为[1，2]，D错误.故选A、B、C.
7. 解析：｜a－b｜2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×｜b｜cos＋｜b｜2＝｜b｜2－｜b｜＋1＝（｜b｜－）2＋≥，所以｜a－b｜≥，当｜b｜＝时取得最小值.
8. 解析：在△ABC中，＝－，所以·（－4）＝（－）·（－4）＝－4｜｜2－｜｜2＋5·＝－4｜｜2－｜｜2＋5｜｜·｜｜cos A＝0，在△ABC中，设｜｜＝b，｜｜＝c，则有－4b2－c2＋5bccos A＝0，所以cos A＝≥＝，当且仅当2b＝c时，等号成立.
9.[2，3] 解析：如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得｜OQ｜＝，又·＝（＋）·（＋）＝｜｜2＋·＋·＋·＝｜｜2＋·（＋）－1＝｜｜2－1，根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，｜PO｜有最小值为，此时｜｜2－1＝2，当点P位于正六边形的顶点时，｜PO｜有最大值为2，此时｜｜2－1＝3，所以2≤·≤3.
10.解：因为·＝0，所以⊥，
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
（1）令｜｜＝a，则C（0，a），B（2a，0），
所以－＝（2a，－a），＋＝（2a，a）.
设向量－与向量＋的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝.
（2）因为｜｜＝2｜｜＝2，则C（0，1），B（2，0），M（1，），设O（x，），x∈[0，1]，
所以·＋·＝·（＋）＝2·＝2（－x，－）·（1－x，－）＝2（x2－x＋－）＝（x2－x）＝（x－）2－.
当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－.
11.解：（1）如图①，延长AG，交BC于点D，则D为BC的中点，＝＝（＋）＝（＋）＝［＋（－）］＝a＋b.
（2）＝－＝a－b，如图②，连接GP并延长，交BC于点P'.
令＝t'（0＜t＜1），'＝m（0＜m＜1），
则＝＋＝a＋b＋t'＝a＋b＋t（＋'）＝a＋b＋t（＋m）＝a＋b＋t（a－b）＋tm（b－a）＝（＋t－tm）a＋（－t＋tm）b（0＜t＜1，0＜m＜1），
因为＝λa＋μb，所以λ＝＋t－tm，μ＝－t＋tm，故λ＋μ＝＋t，
因为0＜t＜1，所以λ＋μ＝＋t∈（，1）.
故λ＋μ的取值范围为（，1）.
12.解：（1）因为＝＋，
所以－＝（－），
所以＝.
又，有公共点B，
所以A，B，C三点共线，＝.
（2）因为A（1，sin x），B（1＋sin x，sin x），
所以＝＋＝（ 1＋sin x，sin x），
所以·＝1＋sin x＋sin2x.
又｜｜＝sin x，
所以f（x）＝·＋（ 2m－）｜｜
＝sin2x＋2msin x＋1.
设sin x＝t，因为x∈（0，π），
所以t∈（0，1]，
所以y＝t2＋2mt＋1＝（t＋m）2＋1－m2.
①当－m≤0，即m≥0时，y＝t2＋2mt＋1无最小值，不合题意；
②当0＜－m≤1，即－1≤m＜0时，
当t＝－m时，ymin＝1－m2＝，
所以m＝－；
③当－m＞1，即m＜－1时，当t＝1时，ymin＝2＋2m＝，m＝－＞－1，不合题意.
综上可知，m＝－.
9.4 向量应用
1.A 根据力的合成可知F1＋F2＝（1，2）＋（－2，3）＝（－1，5），因为物体保持静止，所以作用于物体的合力为0，则F1＋F2＋F3＝0，则F3＝（1，－5）.故选A.
2.D 由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形.由·＝0知，平行四边形ABCD对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形.
3.C 如图，设鹰在地面上的影子冲向猎物的速度＝v1，鹰的飞行速度＝v2，由题可知｜｜＝｜v1｜＝40，且∠CAB＝30°，则｜｜＝｜v2｜＝＝.故选C.
4.D 以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知，＝（1，），＝（，1），故cos∠DOE＝＝＝.
5.ABD 由·＝｜｜｜｜cos A＝｜｜·｜｜，由射影定理可知A正确；由·＝｜｜｜｜·cos B＝｜｜｜｜，由射影定理可知B正确；由·＝｜｜｜｜cos（π－∠ACD）＜0，又｜｜2＞0，即C错误；由题意可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以｜｜｜｜＝｜｜·｜｜，又由A、B可得｜｜2＝，即D正确.故选A、B、D.
6.BD 对于A，a·b＝·＝－｜｜·｜｜cos C＜0，则cos C＞0，则角C为锐角，同理，由b·c＜0可知角A为锐角，但角B不一定是锐角，故A错误；对于B，a·b＝·＝－｜｜·｜｜cos C＞0，则cos C＜0，则角C为钝角，故B正确；对于C，由a·b＝c·b，得（a－c）·b＝0，即（－）·＝（＋）·＝0，即（＋）·（－）＝－＝0，故｜｜＝｜｜，故△ABC为等腰三角形，故C错误；对于D，（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，即a2＝（b－c）2，即｜｜2＝（＋）2，即（－）2＝（＋）2，化简得·＝0，故A＝，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、D.
7.0 98 解析：物体m的位移大小为｜s｜＝＝（m），则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝｜F｜｜s｜cos 90°＝0（J）；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝｜G｜｜s｜cos 53°＝5×9.8××0.6＝98（J）.
8.1 解析：由题意，得｜a｜＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，｜｜＝｜｜.由⊥得（a－b）·（a＋b）＝｜a｜2－｜b｜2＝0，所以｜a｜＝｜b｜，由｜｜＝｜｜得｜a－b｜＝｜a＋b｜，所以a·b＝0，所以｜a＋b｜2＝｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2＝2，所以｜｜＝｜｜＝，所以S△OAB＝××＝1.
9.－2 解析：因为M为BC的中点，所以＋＝2，则·（＋）＝2·＝2｜｜·｜｜·cos 180°＝－2｜｜｜｜.设OA＝x（0≤x≤2），则OM＝2－x.令y＝x（2－x）（0≤x≤2），则ymax＝1，所以·（＋）的最小值为－2.
10.证明：记＝a，＝b，
则＝＋＝－a＋b，
＝＋＝－＋.而＝a＋b，＝＋＝a＋b，
所以＝－（a＋b）＋（a＋b）＝－a＋b，
所以＝4，所以NT∥BM.
11.D 如图，设船的实际速度为v.由题知北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处，则v⊥v2，∴cos θ＝－cos（π－θ）＝－＝－＝－.故选D.
12.ACD 对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为＝2（N），选项B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，G与F2的合力为0，所以｜F2｜＝4N，选项C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确.
13.4 解析：由题意，平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距离分别为1，2，可得平行线m，n间的距离为3，以直线m为x轴，以过点P且与直线m垂直的直线为y轴，建立坐标系，如图所示，则由题意可得点P（0，1），直线n的方程为y＝3.设点A（a，0），点B（b，3），则＝（a，－1），＝（b，2），所以＋＝（a＋b，1）.因为｜＋｜＝5，所以（a＋b）2＋1＝25，所以a＋b＝2或a＋b＝－2（舍去）.当a＋b＝2时，·＝ab－2＝a（2－a）－2＝－a2＋2a－2＝－（a－）2＋4.所以当a＝时，·取得最大值，最大值为4.
14.解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.
∵＝＋，
∴＝（＋）2＝＋＋2·.
∴＝＋－2｜｜｜｜cos（θ－45°）＝3002＋（20t）2－2×300×20t×＝100（4t2－96t＋900）.
依题意得≤（60＋10t）2，
解得12≤t≤24.
从而12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
15.解：由题意，得直线BC的一个方向向量e＝＝（－3，4），
则n＝（－4，－3）为BC的一个法向量，
又＝（6，－1），
∴点A到直线BC的距离d＝＝＝.
第十章 三角恒等变换
10.1 两角和与差的三角函数
10.1.1 两角和与差的余弦
1.C 原式＝cos（15°＋105°）＝cos 120°＝－cos 60°＝－.故选C.
2.A 由题意知cos α＝＝，sin α＝＝，∴cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.故选A.
3.A 因为α∈，所以sin α＝，因为β是第三象限角，所以cos β＝－，所以cos（β－α）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.故选A.
4.A 因为x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，所以y－x＝cos Acos B－sin Asin B＝cos（A＋B），因为△ABC为锐角三角形，所以＜A＋B＜π，所以cos（A＋B）＜0，即y－x＜0，所以y＜x.故选A.
5.ABC ∵cos＝coscos－sinsin＝coscos－sin，∴A正确；∵cos＝－cos＝－cos＝sin－cos·cos，∴B正确；∵cos＝cos（－）＝coscos＋，∴C正确；∵cos＝cos≠cos－cos，∴D错误.∴故选A、B、C.
6.AC 对于A，cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos（80°－20°）＝cos 60°，故A正确；对于B，cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝cos（45°＋30°）＝cos 75°≠cos 15°，故B错误；对于C，sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）·cos α＝cos（α＋45°）cos α＋sin（α＋45°）sin α＝cos[（α＋45°）－α]＝cos 45°，故C正确；对于D，cos（α－）＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α，故D错误.故选A、C.
7. 解析：原式＝cos[（20°＋x）＋（25°－x）]＝cos 45°＝.
8. 解析：∵cos α＝，α为第一象限角，∴sin α＝＝，∴cos＝coscos α－sinsin α＝×－×＝.
9. － 解析：因为
所以两式相加得cos αcos β＝，两式相减得sin αsin β＝－.
10.解：（1）由sin2α＋cos2α＝1， cos α＝，α∈（－，0），可得sin α＝－，
∴cos（α－）＝cos αcos＋sin αsin＝×＋（－）×＝.
（2）由α∈（－，0），β∈（0，），可得α＋β∈（－，），
又sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，sin（α＋β）＝－，∴cos（α＋β）＝，
则cos β＝cos（α＋β－α）＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝×＋（－）×（－）＝，
由β∈（0，），可得β＝.
11.A ∵tan αtan β＝＝－3，∴sin αsin β＝－3cos αcos β，∵cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝4cos αcos β＝，∴cos αcos β＝，∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－2cos αcos β＝－.故选A.
12.AD 由cos αcos β＝＋sin αsin β，得cos α cos β－sin αsin β＝cos（α＋β）＝.选项A中，α＝，β＝，cos（α＋β）＝cos＝cos＝，所以A正确；选项B中，α＝，β＝，cos（α＋β）＝cos＝－，所以B不正确；选项C中，α＝，β＝，cos（α＋β）＝cos＝－，所以C不正确；选项D中，α＝，β＝－，cos（α＋β）＝cos＝，所以D正确.故选A、D.
13. 解析：∵α∈，∴α＋∈，∴sin＝＝，∴cos α＝cos［（α＋）－］＝cos·cos＋sin（α＋）sin＝×＋×＝.
14.解：因为＜α＜，所以－＜－α＜0，
因为＜β＜，所以＜＋β＜，
由已知可得cos＝，cos＝－，
则cos（α＋β）＝cos［－］＝coscos＋sin（＋β）sin＝×＋×＝－.
因为＜α＋β＜π，所以α＋β＝.
15.解：（1）因为α的终边过点P，所以OP＝＝5，由三角函数的定义得cos α＝＝，所以cos（α＋π）＝－cos α＝－.
（2）由题意知cos（α＋β）＝－，sin（α＋β）＝，
由（1）知sin α＝＝，
所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝×＋×＝－.
10.1.2 两角和与差的正弦
第1课时 两角和与差的正弦公式
1.B sin＋sin＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x.
2.B 由sin C＝2sin（B＋C）cos B得sin（A＋B）＝2sin Acos B，所以sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin（A－B）＝0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形.故选B.
3.A ∵α∈，β∈，∴cos β＝，∴0＜α－β＜π，∴sin（α－β）＝，∴sin α＝sin[（α－β）＋β]＝×＋×＝＝.故选A.
4.C ∵0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，由cos α＝得sin α＝，由cos（α－β）＝得sin（α－β）＝，∴sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β）＝×－×＝＝，∴β＝.故选C.
5.BCD sin θ＋cos θ＝（sin θ＋cos θ）＝sin.∵0＜θ＜，∴＜θ＋＜，∴＜sin≤1，∴1＜sin≤.故选B、C、D.
6.BD 对于A，sin 15°－cos 15°＝sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°＝sin（15°－60°）＝sin（－45°）＝－，故A错误；对于B，sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin（20°＋10°）＝sin 30°＝，故B正确；对于C，sin－cos＝2（sincos－sincos）＝2sin＝2sin＝－，故C错误；对于D，sin 105°＝sin（60°＋45°）＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝，故D正确.故选B、D.
7. 解析：
＝
＝
＝＝.
8.6sin（x－） 解析：3sin x－3cos x＝6·（sin x－cos x）＝6sin（x－）.
9. 解析：∵sin α＝－，α∈，∴cos α＝－＝－，∵cos β＝－，β∈，∴sin β＝，∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝＋＝，sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＝.
10.解：（1）sin（α－30°）＋sin（α＋30°）＝sin αcos 30°－cos αsin 30°＋sin αcos 30°＋cos αsin 30°＝2sin αcos 30°＝sin α.
（2）法一 原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x＝sin x＋（sin－2sin－cos）·cos x＝（＋1－×）sin x＋［－2×－×］cos x＝0.
法二 原式＝sin＋cos（x＋）＋2sin＝2［sin（x＋）·＋cos（x＋）·］＋2sin＝2sin＋2sin（x－）＝2sin＋2sin（x－）＝2sin＋2sin＝0.
11.B ∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin（θ＋）＝，故选B.
12.BD 对于A，当α＝β＝时，sin（α＋β）＜sin α＋sin β，故A错误；对于B，由于α，β均为锐角，所以sin α，cos α，sin β，cos β的范围均为（0，1），所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋sin βcos α＜sin α＋sin β，故B正确；对于C，当α＝β＝时，cos（α＋β）＜cos α＋cos β，故C错误；对于D，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＜cos αcos β＜cos α＜cos α＋cos β，故D正确.故选B、D.
13. 解析：由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sin·cos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.
14.解：（1）∵α，β∈（0，），∴α＋β∈（0，π），
又cos α＝，cos（α＋β）＝，
则sin α＝＝，
sin（α＋β）＝＝，
∴sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）·cos α－cos（α＋β）sin α＝×－×＝.
（2）cos（2α＋β）＝cos[（α＋β）＋α]＝cos（α＋β）cos α－sin αsin（α＋β）＝×－×＝0.
由α，β∈（0，），得2α＋β∈（0，），
∴2α＋β＝.
15.解：（1）函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x＋＝2（sin 2x·＋cos 2x·）＋＝2sin（2x＋）＋，
故它的最小正周期为＝π.
（2）令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
故函数f（x）的对称轴为x＝＋，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
故函数f（x）的对称中心为，k∈Z.
第2课时 两角和与差的正、余弦公式的应用
1.C 由0＜α＜，0＜β＜，得－＜α－β＜，所以cos（α－β）＝＝，cos β＝＝，所以sin α＝sin[（α－β）＋β]＝sin（α－β）cos β＋cos（α－β）sin β＝－×＋×＝.故选C.
2.A cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式相加可得2cos αcos β＝0，即cos αcos β＝0.
3.A ∵＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，π＜α＋β＜.又∵cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，∴sin（α－β）＝，cos（α＋β）＝－.∴sin 2α＝sin[（α＋β）＋（α－β）]＝sin（α＋β）cos（α－β）＋cos（α＋β）sin（α－β）＝－.故选A.
4.B ∵cos（α＋）－sin α＝，∴cos α－sin α＝，∴cos α－sin α＝，∴sin（α＋）＝sin αcos ＋cos αsin ＝sin α－cos α＝－，故选B.
5.D ∵＝ sin α·cos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin（α－β）＝cos α＝sin （－α），∵－＜α－β＜，0＜－α＜，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.
6.AC 对于A，因为α∈（0，），cos α＝，所以sin α＝＝＝.又α，β∈（0，），所以α＋β∈（0，π），所以sin（α＋β）＝＝＝，所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝－＋＝，故A正确；对于B，因为β∈（0，），所以sin β＝＝＝，故B错误；对于C，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝，故C正确；对于D，sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝，故D错误.故选A、C.
7. 解析：原式
＝
＝
＝＝tan 60°＝.
8.－1 解析：因为sin＝－，所以cos x＋cos（x－）＝cos x＋sin x＝（cos x＋sin x）＝sin＝－1.
9.－ 解析：因为sin α＋cos β＝－，cos α－sin β＝，所以（sin α＋cos β）2＝，（cos α－sin β）2＝.所以sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，cos2α－2cos αsin β＋sin2β＝，两式相加可得sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋cos2α－2cos αsin β＋sin2β＝，所以2＋2sin αcos β－2cos αsin β＝，即2＋2（sin αcos β－cos αsin β）＝，所以2＋2sin（α－β）＝，解得sin（α－β）＝－.
10.证明：因为左边
＝
＝＝tan（α＋β）＝右边，所以等式成立.
11.C 因为sin＝，所以（cos α－sin α）＝，所以cos α－sin α＝，所以1－2sin αcos α＝，得sin αcos α＝.因为0＜α＜，所以cos α＋sin α＝＝，所以＝＝＝＝.故选C.
12.BCD m＝sin A＋cos A＝sin（A＋）.对于A，因为A为三角形的内角，所以A∈（0，π），所以A＋∈，所以sin∈（－，1］，则m∈（－1，]，故A不正确；对于B，若0＜m＜1，则0＜sin（A＋）＜1，0＜sin＜.由A可知，＜A＋＜π，所以＜A＜，故A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故B正确；对于C，若m＝，则sin A＋cos A＝①，（sin A＋cos A）2＝，所以2sin Acos A＝－，所以A为钝角，且sin A－cos A＞0，（sin A－cos A）2＝1－2sin Acos A＝，所以sin A－cos A＝②.由①②解得sin A＝，cos A＝－，所以tan A＝＝－，故C正确；对于D，当m＝1时，sin A＋cos A＝1，所以（sin A＋cos A）2＝1＋2sin Acos A＝1，所以sin Acos A＝0.在△ABC中，sin A≠0，所以cos A＝0，A＝90°，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、C、D.
13. 解析：由题意知α＋β＝－，所以cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝cos（α＋β）－sin（α＋β）＝2［cos（α＋β）－sin（α＋β）］＝2sin＝2sin＝2sin ＝.
14.解：∵0＜α＜＜β＜，∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.
又sin（＋α）＝，cos（－β）＝，∴cos（＋α）＝－，sin（－β）＝－.
∴cos（α＋β）＝sin［＋（α＋β）］＝sin［（＋α）－（－β）］＝sin（＋α）cos（－β）－cos（＋α）·sin（－β）＝×－（－）×（－）＝－.
15.解：由题意，得sin 2αsin－cos 2αsin＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝sin＝，sin 2βcos＋cos 2βsin＝sin＝.
因为＜β＜α＜，
所以＜2β＋＜2α＋＜，
则cos＝－，cos（2β＋）＝－，
所以sin（2α－2β）＝sin［－］＝sincos（2β＋）－cossin（2β＋）＝.
10.1.3 两角和与差的正切
1.D 由题意得，tan α＝＝－，所以tan（α－）＝＝＝5.故选D.
2.A tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝.故选A.
3.A 由已知，得tan A＋tan B＝（tan Atan B－1），即＝－，∴tan（A＋B）＝－，∴tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝，∴C＝.故选A.
4.C 因为α＋＝（α＋β）－，所以tan＝tan＝
＝，故选C.
5.BC tan α＝tan＝＝，故A错误，B正确；tan（α＋β）＝＝＝0，故C正确；tan（α－β）＝＝＝，故D错误.故选B、C.
6.ABC 对于A，利用正切的变形公式可得原式＝，故A正确；对于B，原式＝2（sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°）＝2sin（35°＋25°）＝2sin 60°＝，故B正确；对于C，原式＝＝tan（135°－75°）＝tan 60°＝，故C正确；对于D，由C知，原式＝＝，故D错误.故选A、B、C.
7.锐角 解析：由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tan A·tan B＞1，可得A，B都是锐角，故tan A和tan B都是正数，∴tan（A＋B）＝＜0，故A＋B为钝角.由三角形内角和为180°可得，C为锐角，故△ABC是锐角三角形.
8. 解析：tan＝tan［（α－）＋（β－）］＝＝.
9. 解析：由条件知＝＝3，则tan α＝2.因为tan（α－β）＝2，所以tan（β－α）＝－2.故tan（β－2α）＝tan[（β－α）－α]＝＝＝.
10.解：（1）因为cos β＝，β∈，
所以sin β＝＝，所以tan β＝＝2.
（2）tan（α＋β）＝＝＝1.
又α∈，β∈，所以α＋β∈，
所以α＋β＝.
11.B 设第一次“晷影长”是l1，“表高”是h1，太阳天顶距为α，则l1＝h1tan α，设第二次“晷影长”是l2，“表高”是h2，太阳天顶距为β，则l2＝h2tan β，因为第二次的“晷影长”与“表高”相等，则tan β＝1，则＝tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝2.故选B.
12.CD ∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2（A＋B）＝C，∴tan（A＋B）＝，故选项A、B错误；∵tan A＋tan B＝（1－tan A·tan B）＝，∴tan A·tan B＝ ①，又tan A＋tan B＝ ②，联立①②，解得tan A＝tan B＝，∴A＝B＝30°，cos B＝sin A，故选项C、D正确.故选C、D.
13. 解析：∵tan（α＋β）＝＝＝，tan（α＋β＋γ）＝＝＝1，∵α，β，γ∈，∴α＋β∈（0，π），又tan（α＋β）＝＞0，∴α＋β∈，∴α＋β＋γ∈（0，π），∴α＋β＋γ＝.
14.解：tan A＝tan[180°－（B＋C）]＝－tan（B＋C）＝＝＝－，
而0°＜A＜180°，∴A＝120°.
tan C＝tan[180°－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝＝＝，
而0°＜C＜180°，∴C＝30°.
∴B＝180°－120°－30°＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
15.解：假设存在锐角α，β使得（1）α＋2β＝，（2）tan·tan β＝2－同时成立.
由（1）得＋β＝，
所以tan（＋β）＝＝.
又tantan β＝2－，
所以tan＋tan β＝3－，
因此tan ，tan β可以看成方程x2－（3－）x＋2－＝0的两个根，
设方程的两根分别为x1，x2，
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，
所以tan ＝2－，tan β＝1，
所以α＝，β＝，
所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
10.2 二倍角的三角函数
1.D cos 2x＝2cos2x－1＝2×－1＝.
2.C 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.故选C.
3.C 原式＝－＝cos 50°－sin 50°＝2（cos 50°－sin 50°）＝2（sin 45°cos 50°－cos 45°·sin 50°）＝2sin（－5°）＝－2sin 5°.故选C.
4.C 法一 tan＝tan（2x－）＝＝＝－＝－＝＝.
法二 tan（x－）＝＝＝，∴tan［2（x－）］＝＝＝.故选C.
5.D 由二倍角公式得：cos［2（α＋）］＝1－2sin2（α＋）＝1－2×＝，又cos（2α－）＝cos［（2α＋）－π］＝－cos（2α＋）＝－.故选D.
6.AC 对于B，（sin α－cos α）2＝1－sin 2α≠1－sin2α，故B错误；对于D，tan 2α＝，故D错误；A、C正确.故选A、C.
7.1 解析：（cos215°－cos275°）＋sin 15°cos 15°＝cos 30°＋sin 30°＝sin 90°＝1.
8. 解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得2sin2α＝sin αcos α.∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝.
法一 由tan（β－α）＝＝＝，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝.
法二 tan β＝tan（β－α＋α）＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝.
9. －7 解析：因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝＝＝，所以tan α＝＝－，所以tan 2α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，所以＝＝－7.
10.解：（1）因为f（x）＝cos，
所以f＝cos＝cos＝cos＝1.
（2）因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－.
所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－，
sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝－.
f＝cos＝（cos 2θcos－sin 2θ sin）＝×［（－）×－×］＝.
11.A 在锐角△ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是解得＜A＜，所以＜cos A＜，则＝＝2cos A∈（，）.故选A.
12.AC f（x）＝1－2sin2（x＋）＝cos ［2（x＋）］＝－sin 2x，对于A，f（－x）＝－sin（－2x）＝sin 2x＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数，故A正确；对于B，函数f（x）的最小正周期为＝π，故B错误；对于C，f（－）＝－sin（－）＝1为函数的最大值，所以函数f（x）的图象关于x＝－对称，故C正确；对于D，f（1）＝－sin 2＜0，f（2）＝－sin 4＞0，所以f（1）＜f（2），故D错误.故选A、C.
13.－ 解析：因为cos α＝，所以cos α＝2cos2－1＝，解得cos＝±，又α是锐角，则0＜＜，所以cos＝，则sin＝＝，所以cos（＋）＝coscos－sinsin＝×－×＝－.
14.解：由sin θ＋cos θ＝， ①
两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0，
∵θ∈（0，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0，
sin θ－cos θ＝＝＝，②
由①②得sin θ＝，cos θ＝－.
（1）
＝
＝＝.
（2）＝
＝
＝2sin θcos θ＝－.
15.解：（1）由题图可知，x＝cos θ，y＝sin θ.
由y＞x＞0，得＜θ＜.
设S为十字形的面积，
则S＝xy＋x·×2＝2xy－x2＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－cos2θ（＜θ＜）.
（2）S＝sin 2θ－cos2θ
＝sin 2θ－cos 2θ－
＝（sin 2θ－cos 2θ）－
＝sin（2θ－φ）－（设φ为锐角且tan φ＝），
当sin（2θ－φ）＝1，即2θ－φ＝时，S最大.
此时θ＝＋，十字形取得最大面积.
10.3 几个三角恒等式
1.D ∵∈，∴sin＝－＝－.故选D.
2.C 原式＝－2sinsin＝－2sin 54°sin 18°＝－2cos 36°cos 72°＝＝－.故选C.
3.B 原式＝＝＝tan 2α.故选B.
4.A A正确，利用和差化积公式得sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ；B错误，右边应是2sin 4θsin θ；C错误，右边应是－2cos 4θsin θ；D错误，由sin 5θ与cos 3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑，左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin（－3θ）＝2sin（θ＋）cos（4θ－）.故选A.
5.A 因为cos xcos y＋sin xsin y＝，所以cos（x－y）＝，因为sin 2x＋sin 2y＝，所以2sin（x＋y）cos（x－y）＝，所以2sin（x＋y）·＝，所以sin（x＋y）＝.故选A.
6.ACD tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋，故A正确；由正切的半角公式知tan 75°＝，故B错误；tan 75°＝＝＝，故C正确；∵tan（60°－α）tan（60°＋α）·tan α＝tan 3α，令α＝25°，则tan 75°＝tan 25°tan 35°tan 85°，故D正确.故选A、C、D.
7. 解析：由α是钝角，即90°＜α＜180°，得45°＜＜90°，∴cos α＜0，cos＞0，∴cos α＝－＝－，∴cos＝＝＝.
8. 解析：＋＝＋＝
＝
＝＝
＝2cos 30°＝.
9.－ 解析：∵≤θ≤π，∴sin θ≥0，cos θ≤0，且≤≤.又sin θ＋cos θ＝ ①，∴（sin θ＋cos θ）2＝，∴2sin θcos θ＝－，∴（cos θ－sin θ）2＝1－2sin θcos θ＝，∴cos θ－sin θ＝－ ②，联立①②，得∴sin＝sin＝＝＝.
10.解：（1）∵cos（x＋y）sin x－sin（x＋y）·cos x＝，∴sin y＝sin[（x＋y）－x]＝sin（x＋y）cos x－cos（x＋y）sin x＝－，
∵y是第四象限角，
∴cos y＝＝＝，
由半角公式得tan＝＝＝－×＝－.
（2）∵θ∈，且sin θ＝，
∴cos θ＝－＝－，
又∵∈，
∴sin＝－＝－＝－，cos＝－＝－＝－，
tan＝＝＝2.
11.A ∵cos α＝－，α为第三象限角，∴sin α＝－，∴tan＝＝＝－3，∴＝＝－.故选A.
12.D ∵α，β∈（0，π），∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，∴cos β＞cos α，又y＝cos x在（0，π）上单调递减，∴β＜α，0＜α－β＜π.由已知可得：2sincos＝（－2sin·sin），∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.故选D.
13.1 解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°.∴y＝sin α＋cos（α＋30°）＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°＝sin α＋cos α＝sin（α＋60°）.∴ymax＝1.
14.解：（1）∵＜α＜3π，∴＜＜，
∴cos α＜0，sin ＜0.
故原式＝＝＝＝－sin .
（2）证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin（A＋B）＝cos A＋cos B.
又∵cos A＋cos B＝2cos cos ，
∴2sin cos ＝2cos ·cos ，
显然cos ≠0，故sin ＝cos ，
两边平方，得sin2 ＝cos2，
即＝，
∴cos（A＋B）＋cos（A－B）＝0，
∴2cos Acos B＝0，即cos A＝0或cos B＝0.
∵A，B是三角形的内角，故必有一个为直角，
∴△ABC是直角三角形.
15.解：（1）由积化和差公式可知f（x）＝［sin＋sin（x－－x－）］
＝
＝sin－，
∵sin∈[－1，1]，∴f（x）的值域为[－1，0].
（2）令f（x）＝0，∴sin＝1，
∴2x－＝＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋kπ，k∈Z，∵x∈[0，2π]，
∴x＝或x＝，∴f（x）的零点为，.
第十一章 解三角形
11.1 余弦定理
1.B 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，即49＝9＋b2－3b，所以（b－8）（b＋5）＝0.因为b＞0，所以b＝8.
2.A cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形.
3.A 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故选A.
4.D 由AB＝5，BC＝7，AC＝8，得cos B＝＝，∴·＝｜｜｜｜cos（π－B）＝5×7×（－）＝－5.故选D.
5.AD 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 （b－2）·（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2.又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°.故选A、D.
6.AB 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＜a2＋b2＋2abcos 2C，整理得cos 2C＋cos C＞0，即2cos2C＋cos C－1＞0，所以（2cos C－1）（cos C＋1）＞0，解得cos C＞或cos C＜－1（舍去），因此cos C＞.又因为C为△ABC的内角，所以C∈.故选A、B.
7.1 解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，化简得x2－2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1.
8. 解析：由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD＝1＋2－2×1××＝1，所以AD＝1，AC＝2AD＝2，此时AB2＋AD2＝BD2，即AB⊥AD，所以a＝BC＝＝.
9.120° 解析：∵（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴cos A＝＝＝－.∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.
10.解：因为sin C＝，且0＜C＜π，所以C＝或C＝.
当C＝时，cos C＝，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，所以c＝2；
当C＝时，cos C＝－，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，所以c＝2.
综上所述，c的值为2或2.
11.B 在△ABC中，A＝36°，AB＝AC，＝.设AB＝2x，BC＝（－1）x，则cos 36°＝＝＝.故选B.
12.ABD 对于A，acos B＋bcos A＝a·＋b·＝＝＝c，故A正确；对于B，由诱导公式得B正确；对于C，cos（A＋B）＝－cos C，故C错误；对于D，（a－c）2＋2ac（1－cos B）＝a2＋c2－2ac＋2ac－2accos B＝a2＋c2－2accos B＝b2，故D正确.故选A、B、D.
13.（60°，90°） 解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，则cos A＝＞0.∴A＜90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.故A的取值范围是（60°，90°）.
14.解：（1）cos C＝cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝－，又0°＜C＜180°，所以C＝120°.
（2）因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，
所以
所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝b2＋a2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab＝（2）2－2＝10.
所以AB＝.
15.解：（1）由已知得，－cos（A＋B）＋cos Acos B－sin A·cos B＝0，
即sin Asin B－sin Acos B＝0.
因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0.
又cos B≠0，所以tan B＝.
又0＜B＜π，所以B＝.
（2）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝3（a－）2＋.
又0＜a＜1，所以≤b2＜1，即≤b＜1，
即b的取值范围为［，1）.
11.2 正弦定理
第1课时 正弦定理
1.B ∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c＝＝＝2.故选B.
2.A 由＝，故＝，解得sin B＝.故选A.
3.C sin C＝sin（A＋B）＝.由正弦定理得c＝·sin C＝×＝.故选C.
4.D 在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.故选D.
5.BD 由正弦定理，有＝，得sin C＝＝＝，由C∈（0，π）且c＞a，得C＝或C＝.故选B、D.
6.ABD A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵＝，∴sin C＝＝＝，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝，有解；D中，∵＝，∴sin B＝＝＝，又b＜a，∴只有一解.
7. 解析：因为∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理＝，即＝，解得BC＝.
8. 解析：△ABC的外接圆的直径为2R＝＝＝.
9. 解析：∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝＝，sin C＝＝，∴sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.在△ABC中由正弦定理得＝＝＝＝，∴b＝sin B＝×＝，c＝sin C＝×＝.
10.解：（1）∵A＝30°，C＝105°，
∴B＝180°－（A＋C）＝45°.
∵＝＝，
∴b＝＝＝2，
c＝＝＝＋.
∴B＝45°，b＝2，c＝＋.
（2）由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝.
∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°.
①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝＝6.
②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，∴a＝b＝3.
综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.
11.A 由正弦定理得＝＝＝2cos B.又＜B＜，余弦函数在此范围内单调递减，故＜cos B＜，∴∈（，）.
12.ACD 对于A，由＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A＞sin B a＞b A＞B，故C正确；对于D，由＝＝＝2R，可得＝＝2R＝，故D正确.
13.（，2） 解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞csin B，即＜b＜2.
14.解：（1）在△ABC中，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝＝.
（2）在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，即（）2＝22＋c2－2×2×c×cos 120°，
解得c＝－7或c＝5.
又∵c＞0，∴c＝5.
（3）由（1）（2）知sin B＝，cos B＝，sin C＝.
∵A为钝角，∴C为锐角，∴cos C＝.
∴sin（B－C）＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝－.
15.解：在△ACF中，∠AFC＝180°－60°＝120°，设AF＝CE＝t，则CF＝2＋t，
由正弦定理可知，＝，即＝，则AC＝t，
在△ACF中，AC2＝AF2＋CF2－2AF·CFcos∠AFC，
即t2＝t2＋（2＋t）2－2t（t＋2）×（－），又t＞0，则t＝3，故AC＝t＝7.
第2课时 正弦定理的应用
1.B S＝absin C＝×4×3×＝3.故选B.
2.D 由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又A是锐角，所以A＝60°.又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C，故△ABC为等边三角形.
3.D 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在Rt△ABC中，可得AB＝5海里，所以这艘船的速度是10海里/时.故选D.
4.A 设AD＝x，如图，∠DAC＝∠DAB＝60°.∵AC＝3，AB＝6，且S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，∴×3×6×＝×3x×＋×6x×，解得x＝2.故选A.
5.ABD 由大角对大边知，若A＜B，则a＜b，由正弦定理得2Rsin A＜2Rsin B，所以sin A＜sin B，故A正确；同理B正确；当A＝120°，B＝30°时，＜0，＞0，故C错误；若A＜B，则sin A＜sin B，sin2 A＜sin2 B，即1－cos2A＜1－cos2B，所以cos2A＞cos2B，故D正确.故选A、B、D.
6.ABD 对于A，由bsin A＝（3b－c）sin B角化边可得ba＝（3b－c）b，所以a＋c＝3b，故A正确；对于B，因为cos A＝，所以sin A＝＝.所以tan A＝＝2，故B正确；对于C，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b，故C错误；对于D，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝b2＋c2－bc，将a＝3b－c代入上式可得b＝c，所以△ABC的面积为bcsin A＝c2，故D正确.故选A、B、D.
7.5 解析：连接BD（图略）.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5 .
8.6.6 解析：因为AB＝1 000×＝（km），所以BC＝·sin 30°＝（km），航线离山顶的高度h＝×sin 75°＝×sin（45°＋30°）≈11.4（km），所以山顶的海拔高度约为18－11.4＝6.6（km）.
9.60° 解析：由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
10.证明：在△ABD中利用正弦定理得＝，
在△CBD中利用正弦定理得＝.
因为BD是∠ABC的平分线，
所以∠ABD＝∠CBD，
又因为∠ADB＋∠CDB＝180°，
所以sin∠ADB＝sin∠CDB，
所以＝，
即＝成立.
11.D 因为acos B＋bcos A＝4sin C，所以由正弦定理可得，sin Acos B＋sin Bcos A＝，化简得，sin（A＋B）＝，在△ABC中，sin（A＋B）＝sin C，解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π.故选D.
12.ABD 对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以A＞B a＞b sin A＞sin B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即（a－c）2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确.故选A、B、D.
13.4 － 解析：△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，则a＋b＝，且△ABC的周长为9，则c＋＝9，解得c＝4.又△ABC的面积等于3sin C，则absin C＝3sin C，整理得ab＝6，由于a＋b＝＝5，故解得或所以cos C＝＝－.
14.解：（1）由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故cos B＝，又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
（2）sin A＝sin（30°＋45°）＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.
故由正弦定理，得a＝b·＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
故c＝b·＝2×＝.
15.解：（1）因为D＝2B，cos B＝，
所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－.
因为D∈（0，π），
所以sin D＝＝.
因为AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.
（2）在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，
所以AC＝2.
在△ABC中，因为BC＝2，＝，
所以＝＝＝，
所以AB＝4.
培优课 三角形中的最值（范围）问题
1.D 令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以cos B＝＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D.
2.D ∵C＝，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋27∈[27，31]，∴c∈[3，]，∴由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝∈［，1］，故sin A的最大值为1.
3.B 由ccos A＋acos C＝b得b＝2.因为AC边上的高为，所以×2×＝acsin B，即ac＝，又cos B＝≥＝1－，当且仅当a＝c时取等号，所以cos B≥1－sin B，即sin B＋3cos B≥3，即sin≥.因为B∈（0，π），所以B＋∈，则B＋∈（，］，所以B∈（0，］，故角B的最大值为.故选B.
4.C 由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB ①.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A ②.由①②得cos A＝－.因为0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin（π－A－B）＝3cos B－sin B，故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.故选C.
5.B 设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6xcos θ ①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18xcos θ ②，联立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2 ③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2 ④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc（当且仅当3b＝c时，等号成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝bcsin ≤×16×＝4.故选B.
6.CD 对于A，根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由·＝2S bccos A＝2×bcsin A tan A＝，因为A∈（0，π），所以A＝，故A错误；对于B，b＝3＞a＝2＞bsin A＝，故△ABC有两解，故B错误；对于C，若△ABC为锐角三角形，则B∈（0，），且A＋B＝π－C＞ ＋B＞ B∈（，），即sin B∈（，1），由正弦定理可知：b＝＝4sin B∈（2，4），故C正确；对于D，若D为BC边上的中点，则＝（＋） ＝（＋2·＋）＝（b2＋c2＋bc），由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝4 b2＋c2＝bc＋4，根据基本不等式有b2＋c2＝bc＋4≥2bc bc≤，当且仅当b＝c＝时取得等号，所以（b2＋c2＋bc）＝（4＋2bc）≤1＋×＝7＋4，即AD≤＝2＋，故D正确.故选C、D.
7.2 解析：∵2sin Asin Bcos C＝sin2C，∴2abcos C＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，∴cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时取等号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤，即角C的最大值为.
8.（4，16＋8] 解析：由tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝tan Atan B，且tan Atan B≠0，得tan C＝，∵0＜C＜π，∴C＝.∵c2＝a2＋b2－2abcos C，c＝2，∴4＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥a2＋b2－，∴a2＋b2≤16＋8，当且仅当a＝b时取等号.又a2＋b2＞4，∴a2＋b2的取值范围是（4，16＋8].
9.2 解析：由正弦定理＝＝可得，bsin C＝csin B，asin B＝bsin A.由已知可得，4bc·cos A＝acsin B＋absin C＝2acsin B＝2bcsin A，所以sin A＝2cos A.又0＜A＜π，所以0＜A＜，所以cos A＞0，因为sin2A＋cos2A＝25cos2A＝1，所以cos A＝，sin A＝.因为△ABC的面积S＝bcsin A＝bc＝，所以bc＝.由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2××≥2bc－1＝4，当且仅当b＝c＝时，等号成立.所以a2≥4，a的最小值为2.
10.解：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝，
又MN＝2，所以AM＝sin（120°－θ），
在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ），
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2（120°－θ）＋4－2×sin（120°－θ）×2×cos（60°＋θ）
＝sin2θ＋sin θcos θ＋4
＝sin 2θ－cos 2θ＋
＝sin（2θ－30°）＋.
因为0°＜θ＜120°，则－30°＜2θ－30°＜210°，
当且仅当2θ－30°＝90°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，
即AP取得最大值2.
所以∠AMN＝60°时，工厂产生的噪音对居民的影响最小.
11.解：（1）因为a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），
所以f（x）＝a·b＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin（2x－）－，
由2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），
即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）.
（2）由f（B）＝，得sin（2B－）＝1，又2B－∈（－，），即2B－＝.
所以B＝，又b＝，
由正弦定理＝＝，得a＝2sin A，c＝2sin C，
即a＋c＝2sin A＋2sin C＝2sin A＋2sin（－A）＝2cos（A－），
又0＜A＜，所以－＜A－＜，
所以2cos（A－）∈（，2].
即a＋c的取值范围为（，2].
12.解：（1）因为bcos＝asin B，由正弦定理可得sin Bcos＝sin Asin B，
又sin B≠0，所以cos＝sin A，因为A＋B＋C＝π，
所以cos＝cos＝sin，则sin＝sin A＝2sincos，
又sin≠0，所以cos＝，
因为∈（0，），所以＝ A＝.
（2）根据题意可得＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，
所以＝（＋）2＝＋·＋，
即36＝c2＋4bc（－）＋4b2≥2－2bc＝2bc，所以bc≤18，
当且仅当b＝3，c＝6时等号成立，
所以S△ABC＝bcsin≤×18×＝，故△ABC面积的最大值为.
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
1.D ∵AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700，∴AC＝10 km.故选D.
2.A 如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝ （n mile/h）.故选A.
3.D 设滕王阁的高度为h，由题设知，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝h，则AD＝AB＋BD＝h＋42，又tan∠CAD＝＝＝，可得h＝≈57米.故选D.
4.C 在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50（－）（米）.
在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.由题图，知cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.故选C.
5.ABC 对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于D，不知道长度，显然不能求c.
6.AC 由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以∠ABD＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12，AC＝8，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24（n mile），故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD＝
＝＝8（n mile），故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，所以D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.故选A、C.
7. 解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝ m.
8.5 解析：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D，CD＝x，9.1 向量概念
1.下列四个命题中正确的是（ ）
A.时间、距离都是向量
B.两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同
C.向量与向量表示同一个向量
D.平行向量不一定是共线向量
2.在锐角△ABC中，下列说法正确的是（ ）
A.与的夹角是锐角
B.与的夹角是锐角
C.与的夹角是钝角
D.与的夹角是锐角
3.（2024·无锡月考）设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A.a0＝b0 B.a0＝－b0
C.a0∥b0 D.｜a0｜＋｜b0｜＝2
4.（2024·常州月考）若｜｜＝｜｜且 ＝，则四边形ABCD的形状为（ ）
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
5.（多选）下列能使a∥b成立的是（ ）
A.a＝b B.｜a｜＝｜b｜
C.a与b方向相反 D.｜a｜＝0或｜b｜＝0
6.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.若a≠b，则a，b一定不共线
B.在 ABCD中，一定有＝
C.若a＝b，b＝c，则a＝c
D.共线向量是在一条直线上的向量
7.（2024·徐州月考）给出下列命题：①若｜a｜＝0，则 a＝0；②若｜a｜＝｜b｜，则a＝－b；③若a∥b，则｜a｜＝｜b｜.其中，正确的命题个数有 .
8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， 则图中的相反向量为 .
9.在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量与的夹角为 .
10.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点.
（1）写出图中所示向量与向量长度相等的向量；
（2）分别写出图中所示向量与向量，共线的向量；
（3）求与，与的夹角的度数.
11.（多选）在下列结论中正确的有（ ）
A.a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的必要不充分条件
B.a≠b是｜a｜≠｜b｜的充分不必要条件
C.a与b方向相同且｜a｜＝｜b｜是a＝b的充要条件
D.a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分不必要条件
12.（2024·泰州月考）已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝ .
13.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，在图中所标出的向量中，与向量的夹角为120°的向量是 .
14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且｜｜＝.
（1）画出所有的向量；
（2）求｜｜的最大值与最小值.
15.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.（参考数据：sin 53°≈0.8）
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