【培优方案】第十一章 培优课　三角形中的最值（范围）问题（课件）苏教版数学必修第二册

(共47张PPT)
培优课　
三角形中的最值（范围）问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题
【例1】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
＝ .
（1）求A的大小；
解： 由 ＝ 及已知，得 cos A＝ sin A，
∴tan A＝ ，又A∈（0，π），∴A＝ .
（2）若a＝6，求b＋c的取值范围.
解： 由a＝6及（1）知 ＝ ＝ ＝4 ，
∴b＝4 sin B，c＝4 sin C.
∵A＝ ，∴B＋C＝ π，∴C＝ π－B，
∴b＋c＝4 sin B＋4 sin ＝4 ［ sin B＋ sin （
π－B）］＝12 sin .
∵0＜B＜ π，∴ ＜B＋ ＜ π.∴ ＜ sin ≤1（当且仅
当B＝ 时，等号成立），
∴6＜b＋c≤12，即b＋c的取值范围为（6，12].
【母题探究】
　（变条件，变设问）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知C＝ ，c＝ ，求△ABC周长的取值范围.
解：由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2，
∴a＝2 sin A，b＝2 sin B，
则△ABC的周长为l＝a＋b＋c＝2（ sin A＋ sin B）＋ ＝
2 ＋ ＝2 ＋ ＝
2（ sin A＋ cos A）＋ ＝2 sin ＋ .
∵0＜A＜ ，∴ ＜A＋ ＜ ，∴ ＜ sin （A＋ ）≤1，
∴2 ＜2 sin ＋ ≤2＋ ，
∴△ABC周长的取值范围是（2 ，2＋ ].
通性通法
　　解决与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题的方法
（1）化边为角：利用三角函数的单调性与有界性求最值（范围）；
（2）化角为边：利用基本不等式或二次函数性质求最值（范围）.
【跟踪训练】
　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 cos C
＋ cos A cos B＝2 sin A cos B.
（1）求 cos B的值；
解： 因为 cos C＋ cos A cos B＝2 sin A cos B，
所以－ cos （A＋B）＋ cos A cos B＝2 sin A cos B，
即 sin A sin B＝2 sin A cos B，
因为 sin A≠0，所以 sin B＝2 cos B＞0，
又因为 sin 2B＋ cos 2B＝1，解得 cos B＝ .
（2）若a＋c＝2，求b的取值范围.
解： 由a＋c＝2，可得c＝2－a，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ ac＝a2＋（2
－a）2－ a（2－a）＝ （a－1）2＋ ，
因为0＜a＜2，所以 ≤b2＜4，所以 ≤b＜2，
所以b的取值范围为 .
题型二 与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题
【例2】　若△ABC的内角A，B，C满足： sin A＋ sin B＝2 sin
C，则 cos C的最小值是 .
　
解析：由 sin A＋ sin B＝2 sin C，得a＋ b＝2c，∴c＝
，∴ cos C＝ ＝ ＝ ＝
＋ － ≥2 － ＝ ，当且仅当 ＝ 即 a＝ b
时等号成立.∴ cos C的最小值为 .
通性通法
　　解决与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题
的方法
　　求角或角的三角函数有关的最值（范围）一般是用边表示角（三
角函数式），利用基本不等式求最值（范围）.
【跟踪训练】
　（2024·徐州月考）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，已知 ＋ ＝ ，则A的取值范围是 　（0， ］　.
（0， ］　
解析：由正弦定理知 ＋ ＝ ＝ ＝
，∵ sin A＝ sin [π－（B＋C）]＝ sin （B＋C），∴ sin 2A＝
sin C sin B，即a2＝bc，又由余弦定理知 cos A＝ ≥ ＝
，当且仅当b＝c时等号成立，∵A∈（0，π），∴ cos
A∈ ，则A∈（0， ］.
题型三 与三角形的面积有关的最值（范围）问题
【例3】　（2024·南通质检）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，
B，C所对的边，b＝c，且满足 ＝ .若点O是△ABC外一
点，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB
面积的最大值是（　　）
A. B.
C. 3 D.
√
解析： 　如图，在△ABC中，∵b＝c， ＝ ，
∴ sin B cos A＋ cos B sin A＝ sin A，即 sin （A＋B）＝
sin （π－C）＝ sin C＝ sin A，∴A＝C，又b＝c，
故△ABC为等边三角形.∴S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC
＝ ·OA·OB· sin θ＋ ·AB2· sin ＝ ×2×1× sin θ＋ （OA2＋OB2－2OA·OB· cos θ）＝ sin θ－ cos θ＋ ＝2 sin ＋ .∵0＜θ＜π，∴－ ＜θ－ ＜ ，故当θ－ ＝ ，即θ＝ 时， sin 取得最大值1，故S四边形OACB的最大值为2＋ ＝ .故选A.
通性通法
　　求解与平面图形有关的面积最值（范围）问题可以先转化为三角
形的面积，用三角形的面积公式表示，进而利用三角函数的有界性、
基本不等式、函数单调性求解.
【跟踪训练】
　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ＝
.
（1）求角A；
解： 由 ＝ ，结合正弦定理 ＝ ，得 ＝
＝ ，
所以tan A＝ ，又因为A∈（0，π），所以A＝ .
（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值.
解： 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc.
即bc≤4（当且仅当b＝c＝2时，等号成立），
所以S△ABC＝ bc sin A≤ ×4× ＝ ，
即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为 .
1. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且B＝
60°，b＝2.若这个三角形有两解，则a的取值范围是（　　）
A. （2， ） B. （2， ］
C. （2，＋∞） D. （－∞，2）
解析： 　由题意得a sin B＜b＜a，即a sin 60°＜2＜a，解得2＜
a＜ ，故选A.
√
2. （2024·无锡江阴高中期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，
B，C的对边，若 sin 2A＋ sin 2B＝2 sin 2C，则 cos C的最小值等
于（　　）
A. B.
C. D. －
√
解析： 　由正弦定理可得a2＋b2＝2c2，所以 cos C＝ ＝
，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，所
以 ≥ ，故 cos C的最小值等于 .故选C.
3. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2
＝c2＋ ab，若△ABC的外接圆半径为 ，则△ABC面积的最大
值为 .
4 　
解析：由a2＋b2＝c2＋ ab及余弦定理，得 cos C＝ ＝
＝ ，∴ sin C＝ .由△ABC的外接圆半径为 ，得c＝2R sin C
＝4，∴a2＋b2＝16＋ ab≥2ab，∴ab≤12，当且仅当a＝b时等
号成立.∴S△ABC＝ ab sin C≤ ×12× ＝4 .即△ABC面积的
最大值为4 .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，BC＝3，AC＝5， ＜B＜π，则边AB的取值范围是
（　　）
A. （2，8） B. （1，4）
C. （4，＋∞） D. （2，4）
解析： 　令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依
题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以 cos B＝
＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜
4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D.
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√
2. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ ，a
＝6，1≤b≤4，则 sin A的最大值为（　　）
A. B.
C. D. 1
√
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解析： 　∵C＝ ，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋
b2－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋
27∈[27，31]，∴c∈[3 ， ]，∴由正弦定理 ＝
，可得 sin A＝ ＝ ＝ ∈［ ，1］，故 sin A的
最大值为1.
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3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c cos A
＋a cos C＝2，AC边上的高为 ，则角B的最大值为 （　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　由c cos A＋a cos C＝b得b＝2.因为AC边上的高为 ，
所以 ×2× ＝ ac sin B，即ac＝ ，又 cos B＝
≥ ＝1－ ，当且仅当a＝c时取等号，所以 cos B≥1－
sin B，即 sin B＋3 cos B≥3，即 sin ≥ .因为B∈（0，
π），所以B＋ ∈ ，则B＋ ∈（ ， ］，所以B∈
（0， ］，故角B的最大值为 .故选B.
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4. 在△ABC中， sin 2A－ sin 2B－ sin 2C＝ sin B sin C. 若BC＝3，求
△ABC周长的最大值为（　　）
A. 2 B. 3
C. 3＋2 D. 3＋3
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解析： 　由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB　
①.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A　②.由①②得
cos A＝－ .因为0＜A＜π，所以A＝ .由正弦定理得 ＝
＝ ＝2 ，从而AC＝2 sin B，AB＝2 sin （π－A－B）
＝3 cos B－ sin B，故BC＋AC＋AB＝3＋ sin B＋3 cos B＝3
＋2 sin .又0＜B＜ ，所以当B＝ 时，△ABC周长取得
最大值3＋2 .故选C.
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5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝
，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最
大值是（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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解析： 　设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，
由余弦定理得b2＝9＋x2＋6x cos θ　①，在△ABD中，由余弦定
理得c2＝9＋9x2－18x cos θ　②，联立①②，消去 cos θ得3b2＋
c2＝36＋12x2　③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　
④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc
（当且仅当3b＝c时，等号成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝ bc sin
≤ ×16× ＝4 .故选B.
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6. （多选）（2024·江阴长泾中学期中）△ABC中，内角A，B，C
的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2， · ＝
2 S，下列选项正确的是（　　）
A. A＝
B. 若b＝3，则△ABC只有一解
C. 若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是（2 ，4）
D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2＋
√
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解析： 　对于A，根据平面向量数量积公式及三角形面积公式
由 · ＝2 S bc cos A＝2 × bc sin A tan A＝ ，因为
A∈（0，π），所以A＝ ，故A错误；对于B，b＝3＞a＝2＞b
sin A＝ ，故△ABC有两解，故B错误；对于C，若△ABC为锐角
三角形，则B∈（0， ），且A＋B＝π－C＞ ＋B＞ B∈
（ ， ），即 sin B∈（ ，1），由正弦定理可知：b＝ ＝4
sin B∈（2 ，4），故C正确；
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对于D，若D为BC边上的中点，则 ＝ （ ＋ ） ＝
（ ＋2 · ＋ ）＝ （b2＋c2＋ bc），由余弦定理知a2
＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－ bc＝4 b2＋c2＝ bc＋4，根据
基本不等式有b2＋c2＝ bc＋4≥2bc bc≤ ，当且仅当b＝c
＝ 时取得等号，所以 （b2＋c2＋ bc）＝ （4＋2 bc）
≤1＋ × ＝7＋4 ，即AD≤ ＝2＋ ，故D正确.
故选C、D.
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7. （2024·金华月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，若2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，则 ＝ ，角C
的最大值为 .
解析：∵2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，∴2ab cos C＝c2 a2＋b2－c2
＝c2 ＝2，∴ cos C＝ ＝ ≥ ，当且仅当a
＝b时取等号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤ ，即角C的最大值为 .
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解析：由tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝ tan Atan B，且
tan Atan B≠0，得tan C＝ ，∵0＜C＜π，∴C＝ .∵c2＝a2＋b2
－2ab cos C，c＝2，∴4＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－
ab≥a2＋b2－ ，∴a2＋b2≤16＋8 ，当且仅当a＝
b时取等号.又a2＋b2＞4，∴a2＋b2的取值范围是（4，16＋8 ].
8. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
tan A＋tan B＋tan C＝ tan Atan B，若c＝2，则a2＋b2的取值范围
是 .
（4，16＋8 ]　
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9. （2024·无锡市北高中期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边
分别为a，b，c，且4 cos A＝ sin B＋ sin C. 若△ABC的面积
S＝ ，则边a的最小值为 .
解析：由正弦定理 ＝ ＝ 可得，b sin C＝c sin B，a sin B
＝b sin A. 由已知可得，4 bc· cos A＝ac sin B＋ab sin C＝2ac sin
B＝2bc sin A，所以 sin A＝2 cos A.
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又0＜A＜π，所以0＜A＜ ，所以 cos A＞0，因为 sin 2A＋ cos 2A＝
25 cos 2A＝1，所以 cos A＝ ， sin A＝ .因为△ABC的面积S＝
bc sin A＝ bc＝ ，所以bc＝ .由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc
cos A＝b2＋c2－2× × ≥2bc－1＝4，当且仅当b＝c＝ 时，等
号成立.所以a2≥4，a的最小值为2.
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10. 如图所示，有两条经过村庄A且夹角为60°的公路，根据规划，
拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建
两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单
位：千米）.如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小
（即工厂与村庄的距离最远）？
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解：设∠AMN＝θ，在△AMN中， ＝ ，
又MN＝2，所以AM＝ sin （120°－θ），
在△APM中， cos ∠AMP＝ cos （60°＋θ），
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP· cos ∠AMP
＝ sin 2（120°－θ）＋4－2× sin （120°－θ）×2× cos
（60°＋θ）
＝ sin 2θ＋ sin θ cos θ＋4
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＝ sin 2θ－ cos 2θ＋
＝ sin （2θ－30°）＋ .
因为0°＜θ＜120°，则－30°＜2θ－30°＜210°，
当且仅当2θ－30°＝90°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，
即AP取得最大值2 .
所以∠AMN＝60°时，工厂产生的噪音对居民的影响最小.
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11. 已知a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x）
＝a·b.
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
解： 因为a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x，cos x），
所以f（x）＝a·b＝ sin x cos x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos
2x－ ＝ sin （2x－ ）－ ，
由2x－ ＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z），
即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）.
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（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f
（B）＝ 且b＝ ，求a＋c的取值范围.
解： 由f（B）＝ ，得 sin （2B－ ）＝1，又2B－
∈（－ ， ），即2B－ ＝ .
所以B＝ ，又b＝ ，
由正弦定理 ＝ ＝ ，得a＝2 sin A，c＝2 sin C，
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即a＋c＝2 sin A＋2 sin C＝2 sin A＋2 sin （ －A）＝2
cos （A－ ），
又0＜A＜ ，所以－ ＜A－ ＜ ，
所以2 cos （A－ ）∈（ ，2 ].
即a＋c的取值范围为（ ，2 ].
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12. （2024·盐城响水中学期中）△ABC内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知b cos ＝a sin B.
（1）求角A的大小；
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解： 因为b cos ＝a sin B，由正弦定理可得 sin B
cos ＝ sin A sin B，
又 sin B≠0，所以 cos ＝ sin A，因为A＋B＋C＝π，
所以 cos ＝ cos ＝ sin ，则 sin ＝ sin A＝2 sin cos ，
又 sin ≠0，所以 cos ＝ ，
因为 ∈（0， ），所以 ＝ A＝ .
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（2）D是边BC上一点，且BD＝2DC，AD＝2，求△ABC面积
的最大值.
解： 根据题意可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
＋ （ － ）＝ ＋ ，
所以 ＝（ ＋ ）2＝ ＋ · ＋ ，
即36＝c2＋4bc（－ ）＋4b2≥2 －2bc＝2bc，所
以bc≤18，
当且仅当b＝3，c＝6时等号成立，
所以S△ABC＝ bc sin ≤ ×18× ＝ ，故△ABC面积的最大值为 .
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