(共57张PPT)
第1课时
向量的加法运算
新课程标准解读 核心素养
1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量
加法运算，理解其几何意义 数学抽象
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，
并能利用两个法则进行向量的加法运算 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，一个人先从景点O到景点A，再从景点A到景点B和这个人直
接由景点O到景点B的结果是相同的，即都从景点O到达景点B. 利
用向量表示就是：从景点O到景点A的位移为 ，从景点A到景点B
的位移为 ，由景点O到景点B的位移是 .
【问题】 向量 ， ， 三者之间有何关系？
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
1. 定义：求两个向量和的运算.
2. 向量求和的运算法则
三角形 法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝
b，则向量 叫作a与b的和，记作 ，即a＋b
＝ ＝
a＋b
＋
平行四
边 形法则 对于任意两个 的非零向量a，b，分别作 ＝
a， ＝b，以OA，OC为邻边作 ，则以O
为起点的对角线表示的向量 就是向量a与b的和
提醒 （1）运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再
首尾相连”；（2）运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强
调两个向量起点相同.
不共线
OABC
知识点二 向量加法的运算律
交换律 结合律
a＋b＝b＋a （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
提醒 ｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系：一般地，我们有｜a
＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是
方向相同的非零向量时，等号成立.
1. 在△ABC中， ＝a， ＝b，则a＋b＝（ ）
A. B. C. D.
解析： ＋ ＝ .故选D.
√
2. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. a＋0＝a
B. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
C. a＋b＝b＋a
D. ＝ ＋ ＋
解析： A中，a＋0＝a，故A正确；B中，｜a＋b｜＝｜
a｜＋｜b｜不一定成立，例如，a＝－b时，该式不成立，故B错
误；C、D正确.故选A、C、D.
√
√
√
3. 在正方形ABCD中，若｜ ｜＝1，则 ＋ ｜＝ .
解析：根据向量加法的平行四边形法则知， ＋ ＝ ，则｜
＋ ｜＝｜ ｜＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量加法的运算法则
【例1】 （链接教科书第11页例1）（1）如图①所示，求作向量a
＋b；
解： 首先作向量 ＝a，
然后作向量 ＝b，
则向量 ＝a＋b.如图③所示.
（2）如图②所示，求作向量a＋b＋c.
解： 法一（三角形法则） 如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a，再
作向量 ＝b，则得向量 ＝a＋b，然后作
向量 ＝c，则向量 ＝（a＋b）＋c＝a＋
b＋c即为所求.
法二（平行四边形法则） 如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a，
＝b， ＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则 ＝ ＋ ＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，
连接OE，
则 ＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求.
通性通法
求作和向量的方法
（1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向
量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两
个向量的和.一定要注意首尾相接；
（2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作
两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行
四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个
向量的和.
【跟踪训练】
1. （2024·连云港月考）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 ＋ ＝（ ）
A. B.
C. D.
√
解析： 以OP，OQ为邻边作平行四边形，
如图所示，则 ＋ ＝ ，由 和 的
模相等，方向相同，得 ＝ ，即 ＋
＝ .
2. 已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜ ｜＝1，则｜ ＋
｜＝ .
解析：因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边
三角形，所以｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1.
1
题型二 向量加法运算律的应用
【例2】 （链接教科书第13页练习第4题）化简下列各式：
（1） ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ .
法二 （ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋（ ＋ ＋ ）＝
＋0＝ .
解： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ＋
）＝ ＋ ＝0.
（2）（ ＋ ）＋（ ＋ ）；
解：法一 （ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋ ）＋
（ ＋ ）＝ ＋ ＝ .
（3） ＋ ＋ ＋ ＋ .
通性通法
1. 当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立.
2. 多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如
（a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋
e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）.
3. 向量求和的多边形法则： ＋ ＋ ＋…＋ ＝
.特别地，当An和A1重合时， ＋ ＋ ＋…＋
＝0.
【跟踪训练】
1. 在平行四边形ABCD中， ＋ ＋ ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 原式＝ ＋ ＋ ＝ .故选D.
√
2. 如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心.
则：① ＋ ＝ ；
或
② ＋ ＋ ＝ ；
③ ＋ ＋ ＝ .
解析：① ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ 或 ＋ ＝
＋ ＝ .
② ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .
③ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .
题型三 向量加法的实际应用
【例3】 （链接教科书第12页例2）如图，在长江南
岸某渡口处，江水以10 km/h的速度向东流，渡船在静
水中的速度为20 km/h.
（1）用向量表示水流速度，渡船的静水速度，以及渡船的实际速度；
解： 作出图形，如图.
设 表示水流的速度， 表示渡船的静水
速度， 表示渡船的实际速度.
（2）若渡船从南岸出发垂直地渡过长江，则渡船的航向应如何确
定？
解： 船速v船与正北方向成α角，由图可知，v水＋v船＝v实际，即 ＋ ＝ .
∴四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v水｜
＝10 km/h，｜ ｜＝｜v船｜＝20 km/h，
∴ sin α＝ ＝ ＝ ，∴α＝30°，从而渡船行进的方向
与正北方向成30°的角.
故渡船行进的方向应为北偏西30°.
【母题探究】
1. （变设问）若本例条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多
少km？
解：由图可知｜ ｜＝ cos α｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×20＝
10 （km/h），
则经过3小时，该船的实际航程是3×10 ＝30 （km）.
2. （变设问）若本例条件不变，本例（2）中改为“若渡船沿垂直于
水流的方向航行，求渡船实际行进的方向与河岸的夹角的正切
值”.
解：如图所示，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v船｜＝20
km/h，｜ ｜＝｜v水｜＝10 km/h，
渡船实际行进的方向与河岸的夹角为∠BAC，则
tan∠BAC＝ ＝2.
即船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值为2.
通性通法
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
【跟踪训练】
雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4
m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着
地时速度的大小和方向.
解：如图，用 表示无风时雨滴下落的速度， 表示风
使雨滴水平向东的速度.以 ， 为邻边作平行四边形
OACB，则 就是雨滴下落的实际速度.
在Rt△OAC中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝｜ ｜＝ ，
所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ，
所以tan∠AOC＝ ＝ ＝ ，所以∠AOC＝30°.
故雨滴着地时速度的大小是 m/s，方向为与竖直向下方
向成30°角.
1. （多选）对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为 的是
（ ）
A. ＋ ＋ B. ＋ ＋
C. ＋ ＋ D. ＋ ＋
解析： 在A中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在B
中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在C中， ＋ ＋ ＝
＋ ＝ ；在D中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
＝ .故选A、B、D.
√
√
√
2. （2024·南通月考）a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜
b｜，则（ ）
A. a，b同向
B. a，b反向
C. a＝－b
D. a，b无论什么关系均可
√
解析： 当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b
的方向都不相同，且｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；向量a与b同向
时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且｜a＋b｜＝｜a｜
＋｜b｜；向量a与b反向且｜a｜＜｜b｜时，a＋b的方向与b的
方向相同（与a的方向相反），且｜a＋b｜＝｜b｜－｜a｜.故
选A.
3. 如图，在矩形ABCD中， ＋ ＋ ＝ .
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
4. 某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方
向游向河对岸，水流的流速为4 km/h，则此人实际沿
的方向前进，速度为 .
解析：如图所示，∵OB＝4 ，OA＝4，∴OC＝
8，∠COA＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方
向前进，速度为8 km/h.
与水流方向
成60°
8 km/h
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·扬州邗江一中月考）下列向量关系式中，正确的是
（ ）
A. ＝
B. ＋ ＝
C. ＋ ＝
D. ＋ ＋ ＝
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 对于A， ＝－ ，故A错误；对于B，由 ＋
＝ ＝－ ≠ ，故B错误；对于C， ＋ ＝ ＋ ＝
，故C错误；对于D，由向量加法的运算法则，有 ＋ ＋
＝ ，故D正确.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 在四边形ABCD中， ＋ ＝ ，则四边形ABCD是（ ）
A. 梯形 B. 矩形
C. 正方形 D. 平行四边形
解析： 由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为
邻边的平行四边形.故选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. （2024·淮安月考）若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示
“向北航行 km”，则向量a＋b表示（ ）
A. 向东北方向航行2 km
B. 向北偏东30°方向航行2 km
C. 向北偏东60°方向航行2 km
D. 向东北方向航行（1＋ ）km
解析： 如图，易知tan α＝ ，所以α＝30°.
故a＋b的方向是北偏东30°.又｜a＋b｜＝2
km，故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足 ＋ ＝
，则下列结论中正确的是（ ）
A. P在△ABC的内部
B. P在△ABC的边AB上
C. P在AB边所在的直线上
D. P在△ABC的外部
解析： 由 ＋ ＝ ，根据平行四边形法
则，如图，则点P在△ABC外，故D正确.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多选）在 ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c， ＝
d，下列等式成立的是（ ）
A. a＋b＝c B. a＋d＝b
C. b＋d＝a D. ｜a＋b｜＝｜c｜
解析： 如图，由向量加法的平行四边形法则
知A、D正确；由三角形法则知B正确，C错误.故选
A、B、D.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）已知a∥b，｜a｜＝2｜b｜＝8，则｜a＋b｜的值可能
为（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
解析： 由a∥b可知，a，b共线.由｜a｜＝2｜b｜＝8可
得，｜a｜＝8，｜b｜＝4.当a，b方向相同时，｜a＋b｜＝｜
a｜＋｜b｜＝12，当a，b方向相反时，｜a＋b｜＝｜a｜－｜
b｜＝4.故选A、D.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则
（1） ＋ ＋ ＝ ；
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ ＝ .
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. （2024·盐城月考）在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜ ｜＝
2，则｜ ＋ ｜＝ .
解析：如图所示，设菱形ABCD的对角线的交点为
O. ＋ ＝ ＋ ＝ .∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形.又∵AB＝2，∴OB＝1.在
Rt△AOB中，AO＝ ＝ ，∴｜ ｜＝2｜ ｜＝2 ，即｜ ＋ ｜＝2 .
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线
上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么 ＋
＝ ， ＋ ＝ .
解析：因为DE∥BC，AB∥CF，所以四边形DFCB为平行四边
形.由向量加法的运算法则可知 ＋ ＝ ＋ ＝ ， ＋
＝ ＋ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达
B地，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地，求
这架飞机飞行的路程及两次位移的和（参考数据： sin 37°＝
0.6）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：设 ， 分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km，从B地按南偏东55°的方向飞行600 km，
则飞机飞行的路程指的是｜ ｜＋｜ ｜；两次位移的和指的
是 ＋ ＝ .
依题意，有｜ ｜＋｜ ｜＝800＋600＝1 400，∠ABC＝35°
＋55°＝90°.
在Rt△ABC中，｜ ｜＝ ＝
＝1 000，
所以 sin ∠BAC＝0.6，所以∠BAC＝37°，即两次位移的和的方
向为北偏东35°＋37°＝72°.
从而飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000
km，方向为北偏东72°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. （2024·南京月考）P为四边形ABCD所在平面上一点， ＋
＋ ＋ ＝ ＋ ，则P为（ ）
A. 四边形ABCD对角线的交点 B. AC的中点
C. BD的中点 D. CD边上一点
解析： 因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＋ ＋
＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝
0.所以P为线段AC的中点，故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多选）设a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ），b是任一非零向
量，则在下列结论中，正确的是（ ）
A. a∥b B. a＋b＝a
C. a＋b＝b D. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
解析： 因为a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋
）＋（ ＋ ）＝ ＋ ＝0.所以A、C、D正确.故选
A、C、D.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. （2024·镇江月考）如图所示，已知在矩形ABCD中，｜ ｜＝
4 ，设 ＝a， ＝b， ＝c，则｜a＋b＋c｜
＝ .
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：a＋b＋c＝ ＋ ＋ ＝
＋ .如图，延长BC至点E，使CE＝
BC，连接DE. ∵ ＝ ＝ ，∴四
边形ACED是平行四边形，∴ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ，∴｜a＋b＋c｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝2｜ ｜
＝8 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点.
求证：
（1） ＋ ＝ ＋ ；
证明： 由向量加法的三角形法则，
∵ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，
∴ ＋ ＝ ＋ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2） ＋ ＋ ＝0.
证明： 由向量加法的平行四边形法则，∵ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，
∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝0＋0＋0＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 如图，已知向量a，b，c，d.
（1）求作a＋b＋c＋d；
解： 在平面内任取一点O，作 ＝
a， ＝b， ＝c， ＝d，则 ＝a
＋b＋c＋d.如图所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）设｜a｜＝2，e为单位向量，求｜a＋e｜的最大值.
解： 在平面内任取一点O，
作 ＝a， ＝e，
则a＋e＝ ＋ ＝ ，
因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上（如图所示），
由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，此时｜ ｜即｜a＋e｜取得最大值，最大值是3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15(共56张PPT)
第2课时
向量的减法运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解向量加法与减法的关系 逻辑推理
2.掌握向量的减法运算，并理解其几何意义 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在实数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是：减
去一个数等于加上这个数的相反数.如图，向量 是向量 与向
量x的和.
【问题】 （1）类比实数的运算，向量的减法与加法有什么关系？
（2）图中，结合向量加法的几何表示，你能作出向量x吗？
知识点 向量的减法
1. 定义：平面上任意两个向量a，b，如果向量x满足
，则向量x叫作a与b的差，记为 .求两个向量差的运
算，叫作向量的减法.
2. 作法：如图，在平面内任取一点O，作 ，
，则向量a－b＝ .
b＋x＝
a
a－b
＝a
＝
b
3. 法则：当向量 时，向量a，b，a－b正好能构成
一个三角形，因此求两 的作图方法也常称为向量作差
的 .
4. 几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差
是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
a，b不共线
向量差
三角形法则
提醒 对向量减法的三点说明：①向量减法的实质是向量加法的逆
运算.利用相反向量的定义，－ ＝ ，就可以把减法转化为加
法，即a－b＝a＋（－b）；②两个向量作差的前提是将两个向量
移到共同的起点；③在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起
点，连终点，指向被减”.
5. ｜a＋b｜与｜a－b｜的几何意义
若a，b是不共线的向量，则｜a＋b｜与｜a－b｜的几何意义分
别是：
如图所示，设 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b， ＝a－b.因
为四边形OACB是平行四边形，所以｜a＋b｜＝｜ ｜，｜a－
b｜＝｜ ｜，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对
角线的长.
1. 在△ABC中，若 ＝a， ＝b，则 ＝（ ）
A. a B. a＋b C. b－a D. a－b
解析： ＝ － ＝a－b.故选D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. － ＝ B. － ＝
C. － ＝ D. ＋ ＝
解析： ∵ － ＝ ，∴B正确，A错误；∵ － ＝
＋ ＝ ，∴C错误，D错误.故选B.
√
√
3. （2024·苏州汾湖高中月考）化简： － ＋ ＝ .
解析：由向量的加减法运算知， － ＋ ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝0.
0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量减法及其几何意义
【例1】 （链接教科书第13页例3）如图，已知向量a，b，c不共
线，求作向量a＋b－c.
解：法一 如图①所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝
b，则 ＝a＋b，再作 ＝c，则 ＝a＋b－c.
法二 如图②所示，在平面内任取
一点O，作 ＝a， ＝b，则
＝a＋b，再作 ＝c，连接
OC，则 ＝a＋b－c.
通性通法
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a
＋（－b）即可；
（2）用向量减法的三角形法则，即通过平移使两个向量的起点重
合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的
向量.
【跟踪训练】
如图所示，O为△ABC内一点， ＝a， ＝b， ＝c，求作：
（1）向量b＋c－a；
解： 以 ， 为邻边作 OBDC，
如图，连接OD，AD，
则 ＝ ＋ ＝b＋c，
＝ － ＝b＋c－a.
（2）向量a－b－c.
解： 由a－b－c＝a－（b＋c），如图，作 OBEC，连接OE，则 ＝ ＋ ＝b＋c，连接AE，则 ＝a－（b＋c）＝a－b－c.
题型二 向量的减法运算
【例2】 （链接教科书第15页练习4题）（1）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且 ＝ ，则化简 ＋ － － 的结果为（ ）
A. 0 B.
C. D.
√
解析： ＋ － － ＝ － ＋ － ＝
＋ ＝0，故选A.
（2）化简：① ＋ － － ；
②（ ＋ ＋ ）－（ － － ）.
解：① ＋ － － ＝（ － ）＋（ －
）＝ ＋ ＝ .
②（ ＋ ＋ ）－（ － － ）＝ ＋ －
＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0.
通性通法
向量减法运算的常用方法
【跟踪训练】
化简：（1） － － ＋ ＋ ；
解： － － ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＝ － ＝ .
（2）（ － ）－（ － ）.
解： 法一 （ － ）－（ － ）＝ － －
＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0.
法二 （ － ）－（ － ）＝ － － ＋ ＝（
－ ）－ ＋ ＝ － ＋ ＝ ＋ ＝0.
法三 设O是平面内任意一点，则（ － ）－（ － ）＝
－ － ＋ ＝（ － ）－（ － ）－（ －
）＋（ － ）＝ － － ＋ － ＋ ＋ －
＝0.
题型三 向量加、减法法则的综合应用
【例3】 （链接教科书第14页例4）如图，点O是 ABCD的两条对
角线的交点， ＝a， ＝b.
（1）试用向量a，b表示向量 ， ；
解： 由向量加法的平行四边形法则，得 ＝a＋b；
同样，由向量减法的三角形法则，知 ＝ － ＝a－b.
（2）若 ＝c，求证：c－b－a＝ .
解：证明：c－b－a＝ － － ＝ ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＝ ＝ .
【母题探究】
（变设问）本例条件不变，当a，b满足什么条件时，｜a＋b｜
＝｜a－b｜.
解：｜a＋b｜＝｜a－b｜表示平行四边形的两条对角线长度相等，
这样的平行四边形为矩形，故a，b应互相垂直.
通性通法
利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
（1）一个关键：一定要将两个向量之间的运算放在同一个三角形
中，可以通过平移其中的一个向量来达到此目的；
（2）三点注意：①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三
角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意
义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则.
【跟踪训练】
如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，
且 ＝a， ＝b， ＝c，试用向量a，b，c表示向量 ，
， .
解：由平行四边形的性质可知 ＝ ＝c，
由向量的减法可知 ＝ － ＝b－a，
由向量的加法可知 ＝ ＋ ＝b－a＋c.
题型四 向量减法几何意义的应用
【例4】 （链接教科书第16页习题14题）已知｜ ｜＝6，｜ ｜
＝9，求：
（1）｜ － ｜的取值范围；
解： ∵｜｜ ｜－｜ ｜｜≤｜ － ｜≤｜ ｜
＋｜ ｜，且｜ ｜＝9，｜ ｜＝6，
∴3≤｜ － ｜≤15，
当 与 同向时，｜ － ｜＝3；当 与 反向
时，｜ － ｜＝15.
∴｜ － ｜的取值范围为[3，15].
（2）｜ ＋ ｜的取值范围.
解： 由｜｜ ｜－｜ ｜｜≤｜ ＋ ｜≤｜ ｜
＋｜ ｜，且｜ ｜＝6，｜ ｜＝9，
∴3≤｜ ＋ ｜≤15.
当 与 同向时，｜ ＋ ｜＝15；当 与 反向
时，｜ ＋ ｜＝3.
∴｜ ＋ ｜的取值范围为[3，15].
通性通法
向量加减法几何意义的应用
（1）由题意作出相应的几何图形，构造有关向量，一般作图思路为
①首尾相连对应和；②起点相同对应差；
（2）利用三角形法则或平行四边形法则，对向量进行加减运算；
（3）弄懂a＋b，a－b的几何意义，正确理解｜a｜－｜b｜≤｜
a±b｜≤｜a｜＋｜b｜的几何含义及等号成立的条件.
【跟踪训练】
（2024·无锡月考）若非零向量a，b满足｜a－b｜＝｜b｜，则
（ ）
A. ｜2a｜＞｜2a－b｜
B. ｜2a｜＜｜2a－b｜
C. ｜2b｜＞｜a－2b｜
D. ｜2b｜≤｜a－2b｜
√
解析： ∵｜a－b｜＝｜b｜，∴｜a－2b｜＝｜a－b－b｜≤｜
a－b｜＋｜b｜＝｜2b｜.若｜a－2b｜＝｜2b｜，由｜a－b｜
＝｜b｜，则a必为零向量，∴这与a，b非零向量矛盾，即｜a－
2b｜≠｜2b｜，∴｜2b｜＞｜a－2b｜.同理知无法判断｜
2a｜，｜2a－b｜之间的大小关系.故选C.
1. 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且
＝a， ＝b，则 可以表示为（ ）
A. a＋b B. a－b
C. b－a D. －a－b
解析： 在平行四边形ABCD中，依题意， ＝－ ＝－a，
而 ＝b，所以 ＝ － ＝－a－b.故选D.
√
2. （多选）下列四个等式中正确的是（ ）
A. a－b＝b－a B. －（－a）＝a
C. ＋ ＋ ＝0 D. a＋（－a）＝0
解析： A中，a－b＝－（b－a），故A错误；D中，a＋
（－a）＝0，故D错误；B、C正确.故选B、C.
√
√
3. （2024·徐州月考）已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a
－b｜，则a与b的夹角为 .
解析：由题意可知a，b，a－b所在有向线段可构成等边三角形，
故a，b的夹角为60°.
60°
4. 已知｜a｜＝8，｜b｜＝6，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，求｜a－
b｜.
解：设 ＝a， ＝b，以AB，AD为邻边作平
行四边形ABCD，如图所示，
则 ＝a＋b， ＝a－b，因为｜a＋b｜＝
｜a－b｜，所以｜ ｜＝｜ ｜.
又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，｜ ｜＝｜a｜＝8，｜ ｜＝｜b｜＝6，
由勾股定理，得｜ ｜＝ ＝ ＝10，所以｜a－b｜＝10.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 化简 － ＋ ＋ ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 原式＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋0＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. （2024·南通月考）如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的
中心，其中 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（ ）
A. a＋b
B. b－a
C. c－b
D. b－c
解析： 由题可得 ＝ ＝ ＝ － ＝b－c，故选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. （2024·苏州吴江中学月考）已知在四边形ABCD中， － ＝
－ ，则四边形ABCD一定是（ ）
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 矩形 D. 正方形
解析： 由 － ＝ － ，得 ＝ ，所以四边形
ABCD一定是平行四边形.故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 边长为1的正三角形ABC中，｜ － ｜＝（ ）
A. 1 B. 2
C. D.
√
解析： 如图延长AB到D. 使AB＝BD. ∴ ＝ ，∴｜ － ｜＝｜ － ｜＝｜ ｜，∵△ABC是边长为1的正三角形.∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ACD为直角三角形，∴｜ ｜＝ ＝ ＝ ，
∴｜ － ｜＝ .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多选）如图，在五边形ABCDE中，下列运算结果为 的是
（ ）
A. ＋ －
B. ＋
C. －
D. －
解析： ＋ － ＝ ＋ ＝ ，故A正确； ＋
＝ ，故B正确； － ＝ ＋ ＝ ，故C错误；
－ ＝ ＋ ≠ ，故D错误.故选A、B.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（ ）
A. ＝
B. ｜ ｜＝｜ ｜
C. ｜ － ｜＝｜ ＋ ｜
D. ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 向量 与 的方向不同，但它们的模相等，所以B
正确，A错误；因为｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝2｜
｜，｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜，所以｜
－ ｜＝｜ ＋ ｜，所以C正确；因为｜ ＋ ｜
＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜ － ｜＝｜ ｜，所以D正
确.故选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则
－ － ＋ ＋ ＝ .
解析： － － ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. （2024·镇江月考）若a≠0，b≠0，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－
b｜，则a与a＋b所在直线的夹角是 .
解析：设 ＝a， ＝b，以OA，OB为邻边
作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝
，a－b＝ .∵｜a｜＝｜b｜＝｜a－
b｜，∴｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，∴△OAB是等边三角形，四边形OACB是菱形，∴∠BOA＝60°.在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
30°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 在矩形ABCD中，｜ ｜＝2，｜ ｜＝4，则｜ ＋ －
｜＝ ，｜ ＋ ＋ ｜＝ .
解析：∵ ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＋ ＝
＋ ＝2 ，∴｜ ＋ － ｜＝｜2 ｜＝2 ＝
4 .∵ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝2 ，∴｜ ＋ ＋ ｜
＝2｜ ｜＝8.
4
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
（1）用a，d，e表示 ；
（1） ＝ ＋ ＋ ＝a＋d＋e.
解：由图知， ＝a， ＝b， ＝c， ＝d， ＝e.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）用b，c表示 ；
解析： ＝ － ＝－ － ＝－b－c.
（3）用a，b，e表示 ；
解析： ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋e.
（4）用d，c表示 .
解析： ＝－ ＝－（ ＋ ）＝－c－d.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 在如图所示的四边形ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c，
则 ＝（ ）
A. a－b＋c
B. b－（a＋c）
C. a＋b＋c
D. b－a＋c
解析： ＝－ ＋ ＋ ＝－b＋a＋c＝a－b＋c.故
选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多选）已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，则有
（ ）
A. ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜
B. ｜ － ｜＝｜ － ｜
C. ｜ － ｜＝｜ － ｜
D. ｜ － ｜2＞｜ － ｜2＋｜ － ｜2
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 由条件可知｜ ｜＝｜ ｜，以 ， 为邻边
的四边形是正方形，对角线相等，根据向量加、减法则可知｜
＋ ｜＝｜ － ｜，故A正确；｜ － ｜＝｜
｜，｜ － ｜＝｜ ｜，所以｜ － ｜＝｜ －
｜，故B正确；｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜
－ ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，所以｜ － ｜＝｜
－ ｜，故C正确；｜ － ｜2＝｜ ｜2，｜ － ｜2＝｜ ｜2，｜ － ｜2＝｜ ｜2，由条件可知｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，即｜ － ｜2＝｜ － ｜2＋｜ － ｜2，故D错误.故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. （2024·宿迁月考）已知非零向量a，b满足｜a｜＝ ＋1，｜
b｜＝ －1，且｜a－b｜＝4，则｜a＋b｜＝ .
解析：如图，设 ＝a， ＝b，则｜ ｜＝
｜a－b｜.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则｜ ｜＝｜a＋b｜，由于（ ＋1）2＋（
－1）2＝42，因此｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，因此△OAB是直角三角形，从而OA⊥OB，所以四边形OACB是矩形，所以
｜ ｜＝｜ ｜＝4，即｜a＋b｜＝4.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 如图，在 ABCD中， ＝a， ＝b.
（1）当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂
直？
解： ＝ ＋ ＝a＋b， ＝
－ ＝a－b.
若a＋b与a－b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD.
因为当｜a｜＝｜b｜时，四边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD，故当a，b满足｜a｜＝｜b｜时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解： 不可能.因为 ABCD的两对角线
不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共
线向量，更不可能为相等向量.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 如图，O为△ABC的外心，H为垂心，求证： ＝ ＋ ＋ .
证明：如图，连接AH，HC，延长BO交圆O于点
D，连接DA，DC，则OB＝OD，DA⊥AB，
DC⊥BC.
又AH⊥BC，CH⊥AB，所以CH∥DA，AH∥DC，所以四边形AHCD是平行四边形，
所以 ＝ .
又 ＝ － ＝ ＋ ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
