(共57张PPT)
第2课时
向量共线定理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1 s的位移对应的向量用
a表示，那么在同方向上经过3 s的位移所对应的向量可用3a来表示，
记b＝3a.
【问题】 （1）向量b与向量a共线吗？
（2）如果有一个实数λ，使得b＝λa，那么向量b与向量a共线
吗？
知识点 向量共线定理
设a为非零向量，如果有一个实数λ，使 ，那么b与a
是 向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个
实数λ，使 .
b＝λa
共线
b＝λa
提醒 （1）向量共线定理的代数形式及其推论：①代数形式：b∥a
（a≠0） 存在唯一λ∈R使b＝λa；②推论：若a，b不共线，则
λa＋μb＝0 λ＝μ＝0.（2）向量共线定理的几何形式及其推
论：①几何形式： ∥ 存在唯一λ∈R使 ＝λ ；②推
论： ∥ 存在x，y∈R使 ＝x ＋y 且x＋y＝1.
【想一想】
向量共线定理中为什么规定a≠0？
提示：（1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；
（2）当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向
量a与b共线；
（3）当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在
唯一一个实数λ矛盾.
1. 若｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的
是（ ）
A. b＝2a B. b＝－2a
C. a＝2b D. a＝－2b
√
2. （多选）若非零向量e1与e2不共线，下列各组向量中，a与b一定
共线的是（ ）
A. a＝－3e1，b＝2e1
B. a＝0，b＝－e2
C. a＝e1－e2，b＝－3e1＋3e2
D. a＝e1－e2，b＝e1＋2e2
√
√
√
3. 若e1与e2不共线，且e1与e1＋λe2共线，则λ＝ .
解析：∵e1与e1＋λe2共线，∴存在实数μ，使得e1＝μ（e1＋
λe2）＝μe1＋μλe2，∴∴λ＝0.
0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量共线的判定及应用
角度1 判定向量共线
【例1】 （1）（链接教科书第18页例3）如图，已知D，E分别为
△ABC的边AB，AC的中点.求证： 与 共线，并将 用 线
性表示；
解： 因为D，E分别是AB，AC的中点，
所以DE∥BC，所以 与 共线.
又DE＝ BC，且 与 同向，所以 ＝ .
（2）已知非零向量e1，e2不共线，若a＝e1－ e2，b＝5e1－e2，判
断向量a，b是否共线.
解： 因为b＝5a，所以a与b共线.
通性通法
向量共线的判定方法
向量共线的判定一般是用向量共线定理，即a是一个非零向量，
若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线.
向量共线的判断（证明），需要把两向量用共同的已知向量来表示，
进而互相表示，由此判断共线.
角度2 证明或判断三点共线
【例2】 （链接教科书第21页习题11题）设a，b是不共线的两个非
零向量.若 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a－3b，求证：A，
B，C三点共线.
证明：∵ ＝ － ＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，
＝ － ＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2 ，
∴ 与 共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.
通性通法
证明或判断三点共线的方法
（1）一般来说，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实
数λ，使得 ＝λ （或 ＝λ 等）即可；
（2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数
x，y，使 ＝x ＋y 且x＋y＝1.
角度3 利用向量共线求参数
【例3】 （链接教科书第21页习题8题）（1）在△ABC中，已知D
是AB边上一点，若 ＝2 ， ＝ ＋λ ，则λ＝
（ A ）
A. B. C. － D. －
解析： 由 ＝2 ，得 － ＝2（ － ），即
＝ ＋ ，所以λ＝ .
A
（2）设e1，e2是两个不共线向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相
反，则实数k＝ .
解析： 由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴存在实数
λ，使ke1＋2e2＝λ（8e1＋ke2）＝8λe1＋kλe2.∵e1，e2不
共线，∴解得或∵ke1＋2e2与8e1
＋ke2反向，∴λ＝－ ，k＝－4.
－4
通性通法
利用向量共线求参数的方法
利用向量共线求参数，就是利用向量的加法、减法及数乘运算表
示出相关向量，再利用共线的条件转化为向量相等、相应向量的和相
等，利用待定系数法建立方程（组），解方程（组），求得参数的
值.若解析过程中出现λa＝μb（a，b不共线）的条件，则λ＝μ
＝0.
【跟踪训练】
1. （多选）向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是（ ）
A. a∥b B. 向量a，b方向相反
C. ｜a｜＝3｜b｜ D. b＝－3a
解析： 因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；
由向量共线定理知，A正确；－3＜0，a与b方向相反，故B正确；
由上可知｜b｜＝3｜a｜，故C错误.故选A、B、D.
√
√
√
2. （2024·苏州汾湖高中月考）设a，b是不共线的两个非零向量.
（1）若 ＝4a－2b， ＝6a＋2b， ＝2a－6b，求证：
A，B，C三点共线；
解： 证明：因为 ＝ － ＝6a＋2b－（4a－
2b）＝2a＋4b，
＝ － ＝2a－6b－（6a＋2b）＝－4a－8b＝－2
（2a＋4b）＝－2 ，
所以 ∥ ，又 与 有公共点B，
所以A，B，C三点共线.
（2）若4a＋ kb与 ka＋b共线，求实数k的值.
解： 由4a＋ kb与 ka＋b共线，则存在实数λ，使得
4a＋ kb＝λ（ ka＋b），
即（4－ λk）a＋（ k－λ）b＝0，又a，b是不共线的
两个非零向量，
因此解得或
所以，实数k的值是±4.
题型二 利用已知向量表示未知向量
【例4】 在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设
＝a， ＝b，试用a和b表示 .
解：∵B，C，D三点共线，且CD＝2BD，
∴ ＝ .
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋
＝ a＋ b.
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用
两种方法解答吗？
解：法一 如图①，∵ ＝ － ，且CD＝BD，
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ －
）＝ ＋ ＝ （a＋b）.
法二 如图②，以AB，AC为邻边作 ABEC，则 ＝ ＋ .
∵CD＝BD，∴D是AE的中点.
∴ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （a＋b）.
通性通法
用已知向量表示未知向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和
平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然
后解关于所求向量的方程.
【跟踪训练】
1. （2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.
记 ＝m， ＝n，则 ＝（ ）
A. 3m－2n B. －2m＋3n
C. 3m＋2n D. 2m＋3n
√
解析： 法一 因为BD＝2DA，所以 ＝3 ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋3 ＝ ＋3（ －
）＝－2 ＋3 ＝－2m＋3n.故选B.
法二（作图法） 如图，利用平行四边形法则，合成
出向量 ，由图易知 （即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B.
2. 如图，已知ABCD是一个梯形， ∥ 且｜ ｜＝2｜ ｜，
M，N分别是DC，AB的中点，已知 ＝e1， ＝e2，分别用
e1，e2表示 ， .
解：因为 ∥ ，｜ ｜＝2｜ ｜，
所以 ＝2 ， ＝ .
则 ＝ ＋ ＝e2＋ e1.
因为M，N分别为DC，AB的中点，
所以｜ ｜＝2｜ ｜，｜ ｜＝2｜ ｜，
则 ＝ ＋ ＋
＝－ － ＋
＝－ e1－e2＋ e1＝ e1－e2.
1. 若｜a｜＝5，b与a的方向相反，且｜b｜＝7，则a＝（ ）
A. b B. － b
C. b D. － b
解析： ∵b与a的方向相反，∴存在实数λ＜0，使a＝λb，
∴｜a｜＝－λ｜b｜，即5＝－λ×7，∴λ＝－ ，∴a＝－ b.
√
2. 已知a，b是不共线的非零向量， ＝a＋2b， ＝3a－b，
＝2a－3b，则四边形ABCD是（ ）
A. 梯形 B. 平行四边形
C. 矩形 D. 菱形
解析： 因为 ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝ （a＋2b）＋
（3a－b）＋（2a－3b）＝2（3a－b），因为 ＝3a－b，
a，b是不共线的非零向量，所以AD∥BC且｜ ｜≠｜ ｜，
所以四边形ABCD是梯形.故选A.
√
3. （2024·徐州月考）如图，在△ABC中，向量 ＝3 ，且 ＝
λ ＋μ （λ，μ∈R），则λ＋μ＝ .
解析：由题意知， ＝ ＋ ，所以 ＝3 ＝3 ＋3
＝－3 ＋3 .所以 ＝ ＋ ＝ －3 ＋3 ＝－2
＋3 ，则λ＝－2，μ＝3，故λ＋μ＝1.
1
4. 已知非零向量e1和e2不共线，试判断3e1＋2e2与3e1－2e2是否共
线？
解：若向量e1和e2不共线，设存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－
2e2），
则3e1＋2e2＝3λe1－2λe2，即（3－3λ）e1＝（－2λ－2）e2，
所以λ无解，所以不存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ
（3e1－2e2），
故两个向量不共线.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. （2024·无锡月考）已知 ＝a＋5b， ＝－2a＋8b， ＝3
（a－b），则（ ）
A. A，B，C三点共线
B. A，B，D三点共线
C. A，C，D三点共线
D. B，C，D三点共线
解析： ＝ ＋ ＝－2a＋8b＋3（a－b）＝a＋5b＝
，又∵ 与 有公共点B，∴A，B，D三点共线.故选B.
√
2. 已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有
（ ）
①a＝5e1，b＝7e1；
②a＝ e1－ e2，b＝3e1－2e2；
③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
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解析： ①中，a与b显然共线；②中，因为b＝3e1－2e2＝
6 ＝6a，故a与b共线；③中，设b＝3e1－3e2＝k（e1
＋e2），得无解，故a与b不共线.故选A.
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3. 如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若 ＝a， ＝b，则
＝（ ）
A. a－b B. a＋b
C. a＋ b D. a－ b
解析： 因为E是BC的中点，所以 ＝ ＝－ ＝－
b，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝a－ b.
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4. （2024·南京月考）已知△ABC中，D为AB的中点， ＝ ，
若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝（ ）
A. － B. －
C. D.
解析： 因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ －
）＝ ＋ ＝－ ＋ ，所以λ＝－ ，μ＝ .故λ
＋μ＝ .故选C.
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5. （多选）已知等边三角形ABC内接于☉O，D为线段OA的中点，
E为线段BC的中点，则 ＝（ ）
A. ＋ B. －
C. ＋ D. ＋
解析： 如图所示，则 ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ （ ＋ ）＝ － ＋ ×
＝ ＋ .故选A、C.
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6. （多选）已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一
定可以使a，b共线的是（ ）
A. 2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B. 存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0
C. 已知正五边形ABCDE，其中 ＝a， ＝b
D. 已知梯形ABCD，其中 ＝a， ＝b
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解析： 选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝
e，b＝－ e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设
λ≠0，则有a＝－ b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共
线；选项D，当AB，CD分别为梯形ABCD的两腰时，直线AB与
直线CD是相交直线，则向量 ， 不是共线向量，即不能判定
a，b共线.故选A、B.
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7. 设向量a，b不平行，向量2a－λb与a＋2b平行，则实数λ
＝ ，此时向量2a－λb与a＋2b的方向 .（填“相
同”或“相反”）
解析：因为2a－λb与a＋2b平行，所以存在实数k使得2a－λb
＝k（a＋2b），即（2－k）a＋（－λ－2k）b＝0.又因为a与
b不平行，所以即又因为k＞0，所以两
向量方向相同.
－4
相同
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8. （2024·镇江月考）已知四边形ABCD为正方形， ＝3 ，AP
与CD交于点E，若 ＝m ＋n ，则m－n＝ .
解析：由题作图如图所示，∵ ＝3 ，∴BP＝
3CP，∴AB＝3CE＝CD，∴ ＝ ＋ ＝
＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，∴m
－n＝ － ＝ .
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9. 如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且 ＝ ＝ ，
则 ＝ .
解析：∵ ＝ ＝ ，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ∴ ＝
.又 与 同向，∴ ＝ .
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10. 设不共线向量e1，e2，若 ＝e1＋2e2， ＝－2e1－3e2，
＝6e1＋11e2.
（1）计算2 ＋ － ；
解： 2 ＋ －
＝2（e1＋2e2）－2e1－3e2－6e1－11e2
＝－6e1－10e2.
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（2）判断A，B，D三点是否共线，并说明理由.
解： 因为 ＝－2e1－3e2， ＝6e1＋11e2，
所以 ＝ ＋ ＝－2e1－3e2＋6e1＋11e2＝4e1＋8e2，
又 ＝e1＋2e2，
所以 ＝ ，
所以 和 共线，又 和 有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
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11. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出
了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等
的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在
“赵爽弦图”中，若 ＝a， ＝b， ＝3 ，则 ＝
（ ）
A. a＋ b B. a＋ b
C. a＋ b D. a＋ b
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解析： 由题得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋
）＝ ＋ （－ ＋ ）.解得 ＝ ＋ ，即
＝ a＋ b.故选B.
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12. （多选）数学家欧拉在1765年提出如下定理：三角形的外心、重
心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到
垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为
欧拉线定理.设点O，G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心，
且M为BC的中点，则（ ）
A. ＋ ＋ ＝0
B. ＋ ＝2 －4
C. ＝3
D. ｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜
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解析： 如图，因为O，G，H分别是
△ABC的外心、重心、垂心，且重心到外心的距
离是重心到垂心距离的一半，所以 ＝ .对
于A，因为G是重心，M为BC的中点，所以 ＝2 .又 ＋ ＝2 ，所以 ＋ ＝ ，即 ＋ ＋ ＝0，故A正确；对于B，由A可得 ＝3 ，故 ＋ ＝2 ＝6
＝2 ＋4 ＝2（ － ）＋4（ － ）＝2 －4 ＋4 －2 ＝2 －4 ，即 ＋ ＝2 －4 ，故B正确；对于C， ＝ － ＝2 －2 ＝2 ，故C不正确；对于D，因为点O为△ABC的外心，所以点
O到三个顶点的距离相等，即｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，故D正确.故选A、B、D.
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13. （2024·常州质检）已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足
＋ ＋ ＝ ，则△PBC与△ABC的面积之比
是 .
解析：因为 ＋ ＋ ＝ ，所以 ＝ － － ＝
＋ ＋ ＝2 ，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧
的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.
2∶3
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解：根据题意作图如图所示，取BC的中点M，连接
DM交AC于点N. 在 ABCD中，E是AD的中点，
M是BC的中点，所以ED∥BM，且ED＝BM，所以
四边形BEDM是平行四边形，所以BE∥MD.
在△AND中，E为AD的中点，
所以F为AN的中点，所以AF＝FN.
14. 在 ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若
＝m ＋n （m，n∈R），求 的值.
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同理可得FN＝CN.
所以AF＝FN＝CN，
所以 ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋
（ ＋ ）＝ － .
又因为 ＝m ＋n （m，n∈R），
所以m＝ ，n＝－ ，所以 ＝－2.
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15. 设平面上不在一条直线上的三个点为O，A，B，当实数p，q满
足 ＋ ＝1时，连接p ，q 两个向量终点的直线是否通过一
个定点？证明你的结论.
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解：设 ＝ ＋ ，则C为定点.证明如下：
设p ＝ ，q ＝ ，C'为直线A'B'上任意一点.
∵O，A，B不共线，
∴存在实数m，n使 ＝m ＋n ＝mp ＋nq ，且m
＋n＝1.
∵ ＋ ＝1，∴可设m＝ ，n＝ ，∴ ＝ ＋ .
又∵ ＋ ＝ ，∴C与C'重合.
故连接p ，q 两个向量终点的直线通过一个定点C.
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9.2.2 向量的数乘
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运
算法则，理解其几何意义 数学抽象
2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义 数学运算
3.理解两个向量共线的含义 逻辑推理
第1课时
向量的线性运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
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课前预习 必备知识梳理
一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如
果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运
动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的
位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？
【问题】 （1）在相反方向上经过4 s的位移所对应的向量应该怎样
表示呢？
（2）类比实数的运算“a＋a＋a＋a＝4a”你能猜想实例中a＋a
＋a＋a的结果吗？
知识点一 向量的数乘
1. 定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，实数λ与向量
a相乘的运算叫作向量的数乘.
规定：（1）当 ，且a≠0时，｜λa｜＝｜λ｜｜a｜；
（2）若a≠0，则
①当 时，λa与a方向相同；
②当 时，λa与a方向相反；
③当 时，0a＝0；
λ≠0
λ＞0
λ＜0
λ＝0
（3）当a＝0时，λ0＝0.
2. 向量数乘λa的几何意义
当λ＞0时，把向量a沿着a的 方向放大或缩小；当λ＜0
时，把向量a沿着a的 方向放大或缩小.
3. 向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.
相同
相反
知识点二 向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，那么：
（1）λ（μ a）＝ ；
（2）（λ＋μ）a＝ ；
（3）λ（a＋b）＝ .
提醒 当a≠0时，向量 是与向量a同向的单位向量.
（λμ）a
λa＋μ a
λa＋λb
1. （多选）下列说法中正确的是 （ ）
A. 4a与－4a的模相等
B. a与－λa的方向相反
C. λ（a－b）＝λa－λb
D. 若λa＝0，则a＝0
√
√
解析： A中，由｜λa｜＝｜λ｜｜a｜得，｜4a｜＝｜
4｜｜a｜＝4｜a｜，｜－4a｜＝｜－4｜｜a｜＝4｜a｜，故A正
确；B中，当λ＜0时，a与－λa的方向相同，故B错误；C中，由
数乘运算的分配律得C正确；D中，若λa＝0，则a＝0或λ＝0，
故D错误.故选A、C.
2. 在△ABC中，D是BC的中点，则 ＋ ＝（ ）
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
解析： 由题意 ＝－ ， ＋ ＝（ ＋ ）＋（
＋ ）＝2 ，故选A.
3. （2024·盐城月考）化简：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－
a）＝ .
解析：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－a）＝6a－4b＋3a
＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
14a－9b
√
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的数乘及其几何意义
【例1】 （多选）已知λ，μ∈R，则下列命题正确的是（ ）
A. λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反
B. λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同
C. λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同
D. λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同
√
√
√
解析： 对于A、B，由向量数乘的定义知，当λ＞0时，λa与
a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反，故A、B正确；对于C、
D，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同
向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异
号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反
向，故C正确，D错误.故选A、B、C.
通性通法
λ的正负决定向量λa（a≠0）的方向，λ的大小决定λa的模.
【跟踪训练】
已知a，b为非零向量，则下列命题正确的序号是 .
①2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
②要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2
倍；
③－2a与2a是一对相反向量；
④a－b与－（b－a）是一对相反向量.
①②③
解析：对于①，2a＝a＋a与a方向相同，且｜2a｜＝｜a＋a｜
＝｜a｜＋｜a｜＝2｜a｜，故①正确；对于②，根据向量数乘的概
念及几何意义可知，要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度
伸长为原来的2倍，故②正确；对于③，∵－2a＋2a＝（－2＋2）a
＝0，∴－2a与2a是一对相反向量，故③正确；对于④，∵－（b－
a）与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－
（b－a）与a－b是相等向量，故④错误.
题型二 向量的线性运算的几何作图
【例2】 （链接教科书第17页例1）如图，已知向量a，b，求作向
量3a－2b.
解：法一 如图①，在平面内任取一点O，作 ＝3a， ＝2b，
连接BA，则 ＝ － ＝3a－2b.
法二 如图②，在平面内任取一点O，作 ＝3a， ＝－2b，连
接OB，则 ＝ ＋ ＝3a＋（－2b）＝3a－2b.
法三 如图③，在平面
内任取一点O，作
＝3a， ＝－2b，分
别以OA，OC为邻边作
OABC， OABC的
对角线记作OB，则向
量 为所求作的向量.
通性通法
向量的加法、减法、数乘是向量的基本运算，不仅要掌握其运算
法则，更要理解其几何意义.在作向量的差时，可以把“差”转换成
“和”来作.
【跟踪训练】
已知向量a，b，c，求作向量3a－2b＋ c.
解：法一 如图①，由向量的加法可知，向量 ＝3a－2b＋ c.
法二 如图②，作 ＝3a， ＝－2b， ＝ c，分别以AB，
AC为邻边作 ABDC，
以 ABDC的对角线AD及AE为邻边作 AEFD，则向量 ＝3a－
2b＋ c.
题型三 向量的线性运算
【例3】 （1）（链接教科书第17页例2）计算：
①3（a＋b）－2（a－2b）；
②（2a＋3b－c）－2（3a－2b＋c）.
解： ①原式＝3a＋3b－2a＋4b＝a＋7b.
②原式＝2a＋3b－c－6a＋4b－2c＝－4a＋7b－3c.
（2）（链接教科书第18页练习第5题）已知向量a＝i＋2j，b＝3i－
5j，求5a－3b（用i，j表示）.
解： 5a－3b＝5（i＋2j）－3（3i－5j）
＝5i＋10j－9i＋15j
＝－4i＋25j.
通性通法
向量线性运算的基本方法技巧
（1）向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类
项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是
指向量或向量前的实数，实数可看成是向量的系数；
（2）向量也可以通过列方程来解，即把所求向量当成未知量，利用
解代数方程的方法求解.
【跟踪训练】
1. （2024·淮安月考）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），则
x＝ .
解析：因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋
3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c.
2. 已知向量e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝3e1＋e2，b＝2e1
－e2，求 a－2b（用e1，e2表示）.
解： a－2b＝ （3e1＋e2）－2（2e1－e2）＝－3e1＋ e2.
－8a＋9b－3c
1. 已知λ∈R，则下列结论中正确的是（ ）
A. ｜λa｜＝λ｜a｜ B. ｜λa｜＝｜λ｜a
C. ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ D. ｜λa｜＞0
解析： 当λ＞0时，λa方向与a方向相同，大小等于λ｜
a｜；当λ＜0时，λa方向与a方向相反，大小等于｜λ｜｜
a｜，所以｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，故A、B错误，C正确；｜
λa｜≥0，故D错误.故选C.
√
2. （多选）下列运算正确的是（ ）
A. （－3）·2a＝－6a
B. 2（a＋b）－（2b－a）＝3a
C. a－2b＋2（a＋b）＝3a
D. （a＋2b）－（2b＋a）＝0
解析： 根据向量数乘运算和加减运算规律知A、B、C正
确；D中，（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，是零
向量，而不是0，故D错误.故选A、B、C.
√
√
√
3. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若
＋ ＝λ ，则λ＝ .
解析：在平行四边形ABCD中， ＝ ＋ ＝2 ，所以λ
＝2.
2
4. 已知在任意四边形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点.求
证： ＝ （ ＋ ）.
证明：因为E是AD的中点，F是BC的中点，
所以 ＝－ ， ＝－ ，
所以 2 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ，
所以 ＝ （ ＋ ）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 3（a＋b）－2（a－b）－a＝（ ）
A. 5a B. －5a
C. 5b D. －5b
解析： 根据向量运算公式可知，3（a＋b）－2（a－b）－a
＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b.故选C.
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2. 点C在直线AB上，且 ＝3 ，则 ＝（ ）
A. 2 B.
C. － D. －2
解析： 如图， ＝3 ，所以 ＝2 .故选
A.
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3. （2024·泰州中学期中）如图，向量a－b＝（ ）
A. e1－3e2 B. －4e1－2e2
C. －2e1－3e2 D. －e1＋3e2
解析： 如图，设a＝ ，b＝ ，所以a－b＝a＋（－b）＝ ＋ ＝ ＝－e1＋3e2.故选D.
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4. 在△ABC中， ＝3 ，则3 ＝（ ）
A. ＋4 B. －4
C. 4 － D. －4
解析： 3 ＝3（ ＋ ）＝3（ ＋ ）＝3 ＋4
＝3 ＋4（ － ）＝4 － .故选C.
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5. （多选）已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是
（ ）
A. m（a－b）＝ma－mb
B. （m－n）a＝ma－na
C. 若ma＝mb，则a＝b
D. 若ma＝na，则m＝n
解析： m（a－b）＝ma－mb，A正确；（m－n）a＝ma
－na，B正确；若m＝0，则a，b不一定相等，C错误；若a＝0，
则m，n不一定相等，D错误.故选A、B.
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6. （多选）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则
－ ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 如图， － ＝ － ＝
＝ ＝ .故选A、C.
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7. 计算： （a－b）－ （2a＋4b）＋ （2a＋13b）＝ .
解析：原式＝ a－ b－ a－ b＋ a＋ b＝（ － ＋ ）a＋
（－ － ＋ ）b＝0.
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8. 已知向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ
的值是 .
解析：由a＝λb，得｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜.∵｜a｜＝
3，｜b｜＝5，∴｜λ｜＝ ，即λ＝± .
±
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9. （2024·苏州吴江中学月考）在△ABC中， ＝c， ＝b，点
M满足 ＝λ （0＜λ＜1），若 ＝ b＋ c，则λ的值
为 .
解析：由题意得， ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（
－ ）＝λ ＋（1－λ） ＝λb＋（1－λ）c＝ b＋ c.
所以λ＝ .
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10. 计算：
（1）6（3a－2b）＋9（－2a＋b）；
解： 原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
（2）6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）.
解： 原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝（6a－4a＋4a）＋（8b－6b）＋（6c－4c－2c）
＝6a＋2b.
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11. （2024·江苏海门中学月考）点O是平行四边形ABCD的两条对角
线的交点， ＝a， ＝b， ＝c，则b＋c－a＝（ ）
A. B.
C. 0 D.
解析： b＋c－a＝－ ＋ － ＝－（ ＋ ）＋ ＝－ ＋ ＝－ ＝ .故选A.
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12. （多选）设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使
＋ ＝0成立的条件是（ ）
A. a＝－2b B. a＝2b
C. a＝b D. a＝－b
解析： 因为与a同向的单位向量为 ，与b同向的单位
向量为 ，若 ＋ ＝0，则a，b方向相反.故选
A、D.
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13. 若2（y－ a）－ （c＋b－3y）＋b＝0，其中a，b，c为已知
向量，则未知向量y＝ .
解析：将原等式变形为2y－ a－ c－ b＋ y＋b＝0，即 y－
a－ c＋ b＝0， y＝ a－ b＋ c，∴y＝ （ a－ b＋ c）
＝ a－ b＋ c.
a－ b＋ c
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14. 已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足 ＝e＋
2f， ＝－4e－f， ＝－5e－3f.
（1）用e，f表示 ；
解： 由题意，有 ＝ ＋ ＋ ＝（e＋2f）＋
（－4e－f）＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－
3）f＝－8e－2f.
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（2）证明四边形ABCD为梯形.
解： 证明：由（1）知 ＝－8e－2f＝2（－4e－
f）＝2 ，即 ＝2 .
根据向量数乘的定义， 与 同方向，且 的长度为
的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且
AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形.
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15. 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，E为AC边
的中点，O在线段DE上，且满足 ＋2 ＋3 ＝0，DO＝
2，求AB的长.
解：如图，因为 ＋2 ＋3 ＝（ ＋
）＋2（ ＋ ）＝2 ＋4 ＝0，
所以 ＝2 ，所以DE＝3DO.
又由题意知AB＝2DE，所以AB＝6DO＝12.
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