(共58张PPT)
第2课时
向量数量积的运算律及性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律.例如，向量的加
法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以
及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ（a＋b）＝λa＋λb.
【问题】 根据向量数量积的定义，向量数量积的运算满足哪些
运算律？
知识点 向量数量积的运算律
1. 向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
（1）交换律：a·b＝ ；
（2）数乘结合律：（λa）·b＝a·（λb）＝ ＝
λa·b；
b·a
λ（a·b）
（3）分配律：（a＋b）·c＝ .
a·c＋b·c
提醒 （1）向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为
非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；（2）
（a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实
数，不是向量，所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与
向量a共线，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不
成立.
2. 平面向量数量积的运算性质
类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算
性质.
多项式乘法 向量数量积
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）2＝
（a－b）2＝a2－2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2a·b＋b2
（a＋b）（a－b）＝a2－b2 （a＋b）·（a－b）＝
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋
2ab＋2bc＋2ca （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋
2a·b＋2b·c＋2c·a
a2＋2a·b＋b2
a2－
b2
1. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，则（2a－3b）·（2a＋3b）＝
.
解析：（2a－3b）·（2a＋3b）＝4a2－9b2＝4×4－9×9＝－65.
－
65
2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝ ，且（a＋b）与a 垂直，则a与b的
夹角是 .
解析：∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0.∴a·b＝－a2＝－1.设a与b
的夹角为θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝－ ，又θ∈[0，π]，
∴θ＝ .
3. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b夹角为60°，则｜a－4b｜
＝ .
解析：｜a－4b｜＝ ＝ ＝
＝2 .
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的数量积的运算律及性质
【例1】 （1）（多选）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互
不共线，给出下列结论，正确的是（ ACD ）
A. a·c－b·c＝（a－b）·c
B. （b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直
C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
ACD
解析： 对于A，根据数量积的分配律知A正确；对于B，∵[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，∴（b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，故B错误；对于C，∵a，b不共线，∴｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形，∴｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，故C正确；D正确.故选A、C、D.
（2）（2024·扬州月考）如图，在 ABCD中，｜ ｜＝4，｜
｜＝3，∠DAB＝60°，则 · ＝ .
解析： 因为 ＝ ＋ ， ＝ －
，所以 · ＝（ ＋ ）·（ －
）＝ － ＝9－16＝－7.
－7
通性通法
求含向量线性运算的数量积的一般方法
运用向量数量积的运算律及多项式乘法展开化简，使其转化为两
个单一向量的数量积求解.对几何图形中向量的数量积的运算应先利
用向量的线性运算及运算律将其转化为两向量数量积的和、差形式，
再进行实数运算.
【跟踪训练】
1. （2024·江苏海门中学月考）已知｜a｜＝2，｜b｜＝ ，a与b
的夹角为 ，则（a＋b）·（2a－b）＝（ ）
A. 2 B. 8
C. D. 5＋
解析： 因为a·b＝2× cos ＝3，所以（a＋b）·（2a－b）
＝2｜a｜2＋a·b－｜b｜2＝8＋3－3＝8.故选B.
√
2. （2024·苏州盛泽中学月考）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝
2 ，AD＝5，∠BAD＝30°，点E在线段CB的延长线上，且
AE＝BE，则 · ＝ .
解析：如图，由AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝
∠ABE＝∠EAB＝30°.又AB＝2 ，所以AE＝
BE＝2.因为 ＝ － ，所以 · ＝
·（ － ）＝ · － · ＝2×5× cos
60°－2×2 × cos 30°＝－1.
－1
题型二 向量的夹角与模
【例2】 已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝
61.
（1）求a与b的夹角θ；
解： 由（2a－3b）·（2a＋b）＝61，得4｜a｜2－4a·b
－3｜b｜2＝61.
将｜a｜＝4，｜b｜＝3代入上式，得a·b＝－6，
所以 cos θ＝ ＝ ＝－ .
又0≤θ≤π，所以θ＝ .
（2）求｜a＋b｜.
解： 因为｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2
＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝13，
所以｜a＋b｜＝ .
通性通法
1. 求向量模的一般思路及常用公式
2. 求向量a，b的夹角θ的思路
（1）求向量的夹角的关键是计算a·b及｜a｜｜b｜，在此基础上
结合数量积的定义或性质计算 cos θ＝ ，最后借助
θ∈[0，π]，求出θ值；
（2）在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中，常利用消
元思想计算 cos θ的值.
【跟踪训练】
1. （2024·江苏启动中学月考）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜
＝2，若a与b的夹角为 ，则｜a＋b｜＝（ ）
A. 1 B.
C. D.
解析： 因为｜a＋b｜2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2× ＝
7，所以｜a＋b｜＝ .故选D.
√
2. 已知a，b是非零向量，且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，
则a与b的夹角是（ ）
A. B.
C. D.
√
解析： 由题可得（a－2b）·a＝0，即a2＝2a·b，
（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，所以a2＝b2，｜a｜＝｜b｜.
设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ . 因为
θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为 .
题型三 与垂直有关的问题
【例3】 已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，m与n夹角的
余弦值为 ，若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（ ）
A. 4 B. －4
C. D. －
√
解析： 由题意知， ＝ ＝ ，所以m·n＝ ｜n｜2
＝ n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即 tn2＋n2＝
0，所以t＝－4.
通性通法
求解向量垂直问题的一般思路
对于非零向量a，b，a⊥b a·b＝0是向量中非常重要的性
质，其作用主要有：（1）证明两向量垂直；（2）利用a·b＝0列方
程求未知数的值；（3）解决平面几何图形中有关垂直的问题.
【跟踪训练】
1. （2024·连云港赣榆期中）在△ABC中，若 ＝a， ＝b，
＝c，且（a－b）⊥c，则△ABC的形状是（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
解析： c＝ ＝ － ＝－a－b，由（a－b）⊥c得，
（a－b）·c＝0，即（a－b）·（－a－b）＝0，化简得，｜a｜2
－｜b｜2＝0，即｜a｜＝｜b｜，△ABC是等腰三角形.故选C.
√
2. 已知向量a，b，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，（a＋2b）⊥（3a－
b），则向量a与b夹角的大小为 .
解析：设a与b的夹角为θ，由已知得（a＋2b）·（3a－b）＝
3a2＋5a·b－2b2＝3＋10 cos θ－8＝0，所以 cos θ＝ ，又
0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
60°
1. 已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝
（ ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 0
解析： a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2－（－1）＝3.
√
2. （2024·扬州邗江一中月考）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜
＝ ，且｜a－b｜＝2，则a·b＝（ ）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析： ｜a－b｜＝2得（a－b）2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4，
所以1－2a·b＋5＝4，所以a·b＝1.故选C.
√
3. （2024·连云港惠泽高中月考）已知向量a，b的夹角为60°，且｜
a｜＝3，｜a＋b｜＝ ，则｜b｜＝ .
解析：∵a，b的夹角为60°，｜a｜＝3，∴a·b＝｜a｜｜b｜
cos 60°＝ ｜b｜，又｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝9＋
2×（ ｜b｜）＋｜b｜2＝13，即｜b｜2＋3｜b｜－4＝0，解
得｜b｜＝1或｜b｜＝－4（舍去）.
1
4. 已知a，b均为单位向量，（2a＋b）·（a－2b）＝－ ，则a
与b夹角的大小为 .
解析：∵（2a＋b）·（a－2b）＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－
3a·b＝－ ，∴a·b＝ .设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝
＝ .又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
30°
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·江苏泰州中学期中）已知单位向量e1，e2的夹角为120°，
则（2e1－e2）·e2＝（ ）
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
解析： （2e1－e2）·e2＝2e1·e2－ ＝2｜e1｜·｜e2｜ cos
120°－｜e2｜2＝2×1×1×（－ ）－12＝－2.故选A.
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2. 若｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，则｜a＋
b｜＝（ ）
A. B.
C. 7 D. 3
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解析： ∵｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，
∴｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝1，即｜b｜2＝2a·b，a·（a－b）
＝｜a｜2－a·b＝1×1× ＝ ，即a·b＝ ，可得｜b｜＝1，
∴｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝1＋2× ＋1＝3，即｜a
＋b｜＝ .故选B.
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3. 已知非零向量a，b满足（a＋b）⊥（a－b），则（ ）
A. a＝b B. ｜a｜＝｜b｜
C. a⊥b D. a∥b
解析： ∵（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝
0，∴｜a｜2－｜b｜2＝0，∴｜a｜＝｜b｜.故选B.
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4. 设向量a，b满足｜a＋b｜＝ ，｜a－b｜＝ ，则a·b＝
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
解析： ｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝a2－
2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.故选A.
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5. 若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（ － ）·（ ＋
－2 ）＝0，则△ABC的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 因为（ － ）·（ ＋ －2 ）＝0，即
·（ ＋ ）＝0，又因为 － ＝ ，所以（ －
）·（ ＋ ）＝0，即｜ ｜＝｜ ｜，所以△ABC是等
腰三角形.
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6. （多选）已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足
＝2a， ＝2a＋b，下列结论正确的是（ ）
A. a是单位向量 B. ∥b
C. a·b＝1 D. ⊥（4a＋b）
√
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解析： 对于A，因为｜ ｜＝2， ＝2a，所以｜a｜＝
＝1，即a是单位向量，故A正确；对于B，因为 ＝ －
＝2a＋b－2a＝b，所以 ∥b，故B正确；对于C，由 ＝
2a＋b，得 ＝4a2＋4a·b＋b2，即4＝4＋4a·b＋b2.所以a·b
＝－ ＝－1≠1，故C错误；对于D，因为 ＝b， ·（4a＋
b）＝b·（4a＋b）＝4a·b＋b2＝0，所以 ⊥（4a＋b）， 故D
正确.故选A、B、D.
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7. 设单位向量a，b的夹角的余弦值为－ ，则（2a－b）·（a＋b）
＝ .
解析：因为 cos ＜a，b＞＝－ ，所以a·b＝｜a｜｜b｜· cos ＜
a，b＞＝－ ，则（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－
－1＝ .
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8. 设非零向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，则
a与b的夹角θ＝ .
解析：由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜
b｜，两边平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝
－｜a｜2，则2｜a｜｜b｜ cos θ＝－｜a｜2，∴ cos θ＝－ .又
0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
120°
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9. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b的夹角为 ，若向量2a＋kb与a
＋b垂直，则实数k的值为 .
解析：a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＝2×1× ＝1.因为2a＋kb与a＋
b垂直，所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b
＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.
－5
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10. （2024·南京六校联合体期中）已知｜a｜＝2，｜b｜＝2，a与b
的夹角是60°.
（1）计算a·b，｜a＋b｜；
解： 由题可得a·b＝｜a｜·｜b｜· cos 60°＝2×2× ＝2，
｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2＋4＝12，∴｜a＋
b｜＝2 .
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（2）求a＋b和a的夹角的余弦值.
解： ∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝4＋2＝6，
设a＋b和a的夹角为θ，
∴ cos θ＝ ＝ ＝ .
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11. 已知向量a，b满足｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，则｜a｜｜
b｜的最大值是（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： ∵｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，∴｜a＋b｜2＋｜a
－b｜2＝2｜a｜2＋2｜b｜2＝20.∴｜a｜2＋｜b｜2＝10.∵（a
－b）2≥0，∴｜a｜2＋｜b｜2≥2｜a｜｜b｜.∴｜a｜｜b｜
≤5.∴｜a｜｜b｜的最大值为5.故选C.
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12. （多选）（2024·扬州红桥高中期中）已知向量｜a｜＝1，｜b｜
＝2，它们的夹角为60°，则（ ）
A. a·b＝1
B. ｜2a＋b｜＝2
C. ｜2a－b｜＝2
D. 向量a与向量a－b的夹角为90°
√
√
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解析： 对于A，a·b＝｜a｜·｜b｜· cos 60°＝1×2× ＝
1，故A正确；对于B，｜2a＋b｜＝ ＝
＝2 ，故B正确；对于C，｜2a－b｜＝
＝ ＝2，故C错误；对于D，a·（a－
b）＝a2－a·b＝1－1＝0，所以a⊥（a－b），故D正确.故选
A、B、D.
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13. 如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝4，AC＝6，N为边BC的
中点，则 · ＝ .
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解析：∵N是BC边的中点，可得 ＝ （ ＋ ），∵M是
△ABC的外接圆的圆心，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos
∠BAM＝ ｜ ｜2＝ ×42＝8，同理可得 · ＝ ｜ ｜2
＝18，∴ · ＝ （ ＋ ）· ＝ · ＋ ·
＝ ×8＋ ×18＝13.
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14. （2024·徐州丰县中学月考）已知｜a｜＝2，｜b｜＝4，且｜a
＋b｜＝2 .
（1）求a与b的夹角；
解： 由题意知，｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝12，
又｜a｜＝2，｜b｜＝4，所以a·b＝－4，
所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ，
又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，即a与b的夹
角为 .
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（2）求｜a－2b｜的值；
解： 由（1）知a·b＝－4，所以｜a－2b｜2＝a2－
4a·b＋4b2＝84，故｜a－2b｜＝2 .
（3）若（2a－b）⊥（a＋kb），求实数k的值.
解： 由（2a－b）⊥（a＋kb），得（2a－b）·（a
＋kb）＝0，即2a2＋2ka·b－a·b－kb2＝0，
又｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，所以8－8k＋4－16k
＝0，解得k＝ .
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15. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动（含C，D点）.
（1）若点F是CD上靠近点C的三等分点，设 ＝λ ＋μ ，求λ＋μ的值；
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解： ∵E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点，
∴ ＝ ＝ ， ＝－ ＝－ ，
∴ ＝ ＋ ＝－ ＋ ，
又 ＝λ ＋μ ，
∴λ＝－ ，μ＝ ，故λ＋μ＝－ ＋ ＝ .
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（2）若AB＝2，当 · ＝1时，求 cos ∠EAF的值.
解： 设 ＝m （0≤m≤1），
则 ＝ ＋ ＝ －m ，
又 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ·
＝0，
∴ · ＝（ ＋ ）·（ －
m ）＝－m ＋ ＝－4m＋2＝1，
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故m＝ .
∴ · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＋
＝3＋2＝5，
易得｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，
∴ cos ∠EAF＝ ＝ ＝ .
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9.2.3 向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数
量积的概念及其物理意义，会计算平面向
量的数量积 数学抽象、数学运算
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念
以及投影向量的意义 数学抽象
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关
系 逻辑推理
第1课时
向量数量积的概念、运算及投影向量
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产
生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜ cos θ，其中θ是F与
s的夹角.
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启
示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我
们引入向量“数量积”的概念.
【问题】 两个向量的数量积与这两个向量的哪些量有关？
知识点一 向量的数量积
1. 定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，把数量
叫作向量a和b的数量积，记作 ，即
a·b＝ .
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝ .
提醒 （1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省
略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可
正、可负、可为0.
｜a｜｜b｜ cos θ
a·b
｜a｜｜b｜ cos θ
0
2. 两个非零向量a和b的夹角θ，可以由 cos θ＝ 求得.
3. 平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的
单位向量.则
（1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ；
（2）a⊥b a·b＝0；
（3）当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝ ；
（4）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜.
【想一想】
已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角
对吗？
提示：不对.若θ＝π时，a·b＜0.
知识点二 投影向量
1. 定义：设a，b是两个非零向量，如图， 表示向量a， 表示
向量b，过点A作 所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述
由向量a得到向量 的 称为向量a向向量b投影，向
量 称为向量a在向量b上的投影向量.
变换
2. 对于向量a，b，向量a在向量b上的投影向量为
.
3. 向量数量积的几何意义：向量a和b的数量积就是向量a在向量b上
的 与向量b的数量积.
提醒 （1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量；
（2）如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于
a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0；（3）向量a
在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不是同一个
向量.
（｜a｜ cos
θ）
投影向量
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 对任意向量a，都有a2＝｜a｜2
B. 若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c
C. 若a·b＝｜a｜｜b｜，则a∥b
D. 若a∥b，则a·b＝｜a｜｜b｜
√
√
2. 已知｜a｜＝4，｜b｜＝2，当它们之间的夹角为 时，a·b＝
（ ）
A. 4 B. 4
C. 8 D. 8
解析： 根据向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，
b＞＝4×2× cos ＝4.
√
3. （2024·扬州红桥高中期中）已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的
夹角为135°，则b在a方向上的投影向量为 .
解析：b在a方向上的投影向量为｜b｜ cos ＜a，b＞· ＝
×（－ ）a＝－ a.
－ a
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量数量积的有关概念
【例1】 （多选）下列叙述正确的是（ ）
A. a·0＝0
B. a·0＝0
C. 若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0
D. 若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
√
√
解析： A中，a·0＝0，故A错误；B中，a·0＝0，故B正确；C
中，设a与b的夹角为θ，a与b均为非零向量，当 cos θ＝0时，a·b
＝0，故C错误，D正确.故选B、D.
通性通法
两个平面向量的数量积是一个全新的运算，最后的结果是一个实
数，它是由两个向量的模与两个向量夹角的余弦值相乘所得的结果，
所以最后的值由｜a｜，｜b｜及 cos ＜a，b＞所决定.即有以下结
论：设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
（1）当θ＝0时， cos θ＝1，a·b＝｜a｜｜b｜；
（2）当θ为锐角时， cos θ＞0，a·b＞0；
（3）当θ为直角时， cos θ＝0，a·b＝0；
（4）当θ为钝角时， cos θ＜0，a·b＜0；
（5）当θ＝π时， cos θ＝－1，a·b＝－｜a｜｜b｜.
【跟踪训练】
（多选）已知a，b，c是三个非零向量，则下列选项中正确的是
（ ）
A. a·b＝±｜a｜｜b｜ a∥b
B. a与b同向 a·b＝｜a｜｜b｜
C. ｜a｜＝｜b｜ ｜a·c｜＝｜b·c｜
D. 若a·b＝0，则＜a，b＞＝
√
√
√
解析： a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，所以由a·b＝±｜a｜｜
b｜且a，b为非零向量可得 cos θ＝±1，所以θ＝0或θ＝π，所以
a∥b，反之也成立，故A正确；若a，b同向，则a，b的夹角为0，
所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos 0＝｜a｜｜b｜，反之也成立，故B正
确；当｜a｜＝｜b｜，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就
有｜a·c｜≠｜b·c｜，反之由｜a·c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜
＝｜b｜，故C错误；若a·b＝0且a，b为非零向量，所以a·b＝｜
a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝0，即 cos ＜a，b＞＝0，又因为＜a，b
＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，故D正确.
题型二 向量数量积的运算
【例2】 （链接教科书第22页例1）（1）已知向量a与b的夹角为
120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－
2b·b；
解： ①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜· cos θ＝4×2× cos
120°＝－4.
②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）
－2×4＝12.
（2）已知正三角形ABC的边长为1，求：① · ；② · ；③
· .
解： ①∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜
｜ cos 60°＝1×1× ＝ .
②∵ 与 的夹角为120°，∴ · ＝｜ ｜·｜ ｜
cos 120°＝1×1×（－ ）＝－ .
③∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos
60°＝1×1× ＝ .
通性通法
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜
b｜ cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，
条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合
以上条件.
【跟踪训练】
1. 设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（ ）
A. B.
C. D. π
解析： 设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝ .
√
2. （2024·南通月考）已知平面上三点A，B，C满足｜ ｜＝
3，｜ ｜＝4，｜ ｜＝5，则 · ＋ · ＋ · ＝
（ ）
A. －7 B. 7 C. 25 D. －25
解析： 由题得｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，所以∠ABC＝
90°，所以原式＝0＋4×5 cos （180°－C）＋5×3 cos （180°
－A）＝－20 cos C－15 cos A＝－20× －15× ＝－16－9＝－
25.故选D.
√
题型三 投影向量
【例3】 （链接教科书第24页练习5题）已知｜a｜＝3，｜b｜＝
1，向量a与向量b的夹角为120°，求：
（1）a在b上的投影向量；
解： ∵｜b｜＝1，∴b为单位向量.
∴a在b上的投影向量为｜a｜ cos 120°·b＝3× b＝－b.
（2）b在a上的投影向量的模.
解： 由投影向量的定义知，向量b在a上的投影向量的模
为｜b｜｜ cos 120°｜＝ .
通性通法
投影向量的求解方法
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜ cos
θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜
a｜｜ cos θ｜为a在b上投影向量的模.
【跟踪训练】
1. （2024·扬州月考）若｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，则向量a
在向量b上的投影向量为（ ）
A. － b B. － b
C. b D. － b
解析： 因为a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，所以 cos θ＝
＝ ＝－ ，则a在b上的投影向量是｜a｜ cos θ ＝2×
（－ ）× ＝－ b.故选D.
√
2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，其中a，b的夹角为 ，则a在b上的
投影向量的模为（ ）
A. 1 B. C. D.
解析： 由题意，a在b上的投影向量的模为｜a｜ cos ＝1×
＝ .故选D.
√
1. 已知｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，a与b的夹角是120°，则a·b＝
（ ）
A. 3 B. －3
C. －3 D. 3
解析： 由平面向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜ cos
120°＝ ×2 ×（－ ）＝－3.故选B.
√
2. （多选）对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
C. 若a⊥b，则a·b＝0
D. ｜a｜＝
√
√
解析： 对于A，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；
对于B，根据向量加法的三角形法则，知｜a＋b｜≤｜a｜＋｜
b｜，只有当a，b同向或a，b中至少有一个为0时取“＝”，所
以B错误；对于C，由数量积的性质知，C正确；对于D，因为a·a
＝｜a｜｜a｜ cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝ ，所以D正确.故
选C、D.
3. 在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝ ，则 ·
＝ .
解析： · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠ABC＝2× × cos 45°
＝2.
2
4. 已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于
45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量.
解：当θ＝45°时，a在e上的投影向量为｜a｜ cos 45°·e＝
6× e＝3 e；
当θ＝90°时，a在e上的投影向量为｜a｜ cos 90°·e＝6×0×e
＝0；
当θ＝135°时，a在e上的投影向量为｜a｜ cos 135°·e＝6×
（－ ）e＝－3 e.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水
平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（ ）
A. 100 J B. 50 J
C. 50 J D. 200 J
解析： 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W
＝F·s＝10×10× cos 60°＝50（J）.
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2. 已知m，n为非零向量，则“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”
的（ ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 易知，若m·n＞0，则｜m｜｜n｜ cos ＜m，n＞＞
0，故 cos ＜m，n＞＞0，结合＜m，n＞∈[0，π]，得＜m，n
＞＝0或＜m，n＞∈（0， ），反之，若＜m，n＞∈（0，
），则必有m·n＞0，故“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的
必要不充分条件，故选B.
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3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，则向量a在b方向上的投影
向量的模为（ ）
A. B. 3
C. 4 D. 5
解析： 设向量a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上投影向量
的模为｜a｜ cos θ＝ ＝ .故选A.
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4. （2024·徐州月考）在边长为1的等边△ABC中，设 ＝a， ＝
b， ＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝（ ）
A. － B.
C. － D.
解析： a·b＝ · ＝－ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos
60°＝－ .同理b·c＝－ ，c·a＝－ ，∴a·b＋b·c＋c·a＝－
.
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5. 如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若｜
｜＝4，则 · ＝（ ）
A. 4 B. 8
C. 8 D. 16
解析： 法一 依题意，｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝ ｜
｜，则 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝｜ ｜
× ｜ ｜＝4×2＝8.
√
法二 结合圆的性质易得 在 上的投影向量为 ，所以
· ＝ ＝ ×42＝8.
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6. （多选）若｜a｜＝1，｜b｜＝2，则｜a·b｜的值可能是
（ ）
A. 0 B.
C. 2 D. 3
解析： 由向量的数量积性质｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，可知
A、B、C正确.故选A、B、C.
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7. 在四边形ABCD中， · ＝0， ＝ ，则四边形ABCD的形
状是 （填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方
形”）.
解析：由 · ＝0，知AB⊥BC. 由 ＝ ，知BC AD，
所以四边形ABCD是矩形.
矩形
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8. （2024·苏州月考）已知｜b｜＝3，a在b上的投影向量为 b，则
a·b的值为 .
解析：设a与b的夹角为θ，∵｜a｜· cos θ ＝ b，∴｜
a｜· cos θ ＝ ，∴｜a｜· cos θ＝ ，∴a·b＝｜a｜｜
b｜ cos θ＝3× ＝ .
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9. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则 · ＝ .
解析：法一 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos （180°－∠B）＝
－｜ ｜｜ ｜· cos B＝－｜ ｜｜ ｜· ＝－｜
｜2＝－1.
－1
法二 ｜ ｜＝1，即 为单位向量， · ＝－ · ＝－｜
｜·｜ ｜ cos B，而｜ ｜· cos B＝｜ ｜，所以 · ＝
－｜ ｜2＝－1.
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10. 在△ABC中，AC＝3，向量 在 上的投影向量为－2 ，S△ABC＝3，求BC的长度.
解：因为向量 在 上的投影向量为－
2 ，故∠BAC为钝角，
如图，过B作AC的垂线，垂足为E，则E在CA的延长线上，
而向量 在 上的投影向量为 ＝｜ ｜× cos BAC× ＝－｜ ｜× ，故｜ ｜＝2.
又S△ABC＝3，所以 ×BE×3＝3，故BE＝2，故BC＝ ＝ ＝ .
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11. （2024·泰州月考）定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜ sin θ，其中
θ为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，
则｜a×b｜＝（ ）
A. 8 B. －8
C. 8或－8 D. 6
解析： cos θ＝ ＝ ＝－ ，∵θ∈[0，π]，∴ sin
θ＝ .∴｜a×b｜＝2×5× ＝8.故选A.
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12. （多选）已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确
的是（ ）
A. cos θ＞0 e1·e2＞0
B. 若e1∥e2，则e1·e2＝1
C. 若e1∥e2，则e1·e2＝－1
D. ｜e1·e2｜≤1
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解析： ∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜ cos θ＝ cos θ，∴若 cos θ
＞0，则e1·e2＞0；若e1·e2＞0，则必有 cos θ＞0，故A正确；
e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2＝1；当e1，e2反
向时，e1·e2＝－1，故B、C错误；｜e1·e2｜≤｜e1｜｜e2｜＝1，
故D正确.故选A、D.
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13. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP
＝3，则 · ＝ .
解析：设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点， · ＝
· ＝2 · ，因为 在 上的投影向量为 ，则
· ＝ · .所以 · ＝2 · ＝2｜ ｜2＝2×32＝
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14. （2024·无锡月考）如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且
＝x ＋y .
（1）若 ＝ ，求x，y的值；
解： 若 ＝ ，则 ＝ ＋ ，
故x＝y＝ .
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（2）若 ＝3 ，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，且 与 的夹
角为60°，求 · 的值.
解：因为｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以｜ ｜＝2 .
又因为 ＝3 ，所以｜ ｜＝ .
所以｜ ｜＝ ＝ ， cos ∠OPB＝ .
设 与 的夹角为θ，所以 与 的夹角θ的余弦值
为－ .
所以 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos θ＝－3.
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15. 如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB
上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
（1）若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用 ， 表示
向量 ；
解： 由已知可得 ＝ ， ＝ － ，易得OAMB是菱形（图略），则 ＝ ＋ ，
所以 ＝ － ＝ －（ ＋
）＝－ － .
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（2）求 · 的取值范围.
解： 易知∠DMC＝60°，且｜ ｜＝｜ ｜，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝ ，
则 · ＝ × × cos 60°＝ ；
当MC与MO重合时，MC最大，
此时MC＝1，则 · ＝ cos 60°＝ ，
所以 · 的取值范围为 .
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