(共58张PPT)
第2课时
向量数量积的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个
平面向量的夹角 数学抽象
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.
【问题】 （1）如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b？
（2）a⊥b如何用坐标来表示？
知识点 向量数量积的坐标表示
1. 向量数量积的坐标计算公式
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝ .
2. 向量长度（模）的坐标计算公式
（1）设a＝（x，y），则a2＝ ，即｜a｜
＝ ；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则｜ ｜
＝ .
x1x2＋y1y2
x2＋y2
3. 向量夹角的坐标计算公式
设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），它们的夹角为
θ，则 cos θ＝ ＝ .
4. 向量垂直的充要条件
若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.即
a⊥b .
x1x2＋y1y2＝0
1. （多选）下列结果中正确的是（ ）
A. 若a＝（1，0），b＝（0，2），则a⊥b
B. 若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则a＝b
C. 若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则｜a｜＝｜b｜
D. 若a＝（1，2），b＝（0，1），则｜a＋2b｜＝4
解析： 对于A，a·b＝0，则a⊥b，故A正确；对于B，a＝
－b，故B错误；对于C，｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，故C正确；
对于D，a＋2b＝（1，4），｜a＋2b｜＝ ，故D错误.故选
A、C.
√
√
2. 已知a＝（－2，4），b＝（1，2），则a·b＝（ ）
A. 0 B. 10
C. 6 D. －10
解析： 由题意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6.故选C.
√
3. （2024·宿迁宿豫中学月考）已知向量a＝（－3，1），b＝（1，
－2），则向量a与b夹角的大小为 .
解析：由题意得， cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－
，又因为0≤＜a，b＞≤π，所以＜a，b＞＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量数量积的坐标运算
【例1】 （链接教科书第35页例1）已知向量a＝（－1，2），b＝
（3，2）.
（1）求a·（a－b）；
解： 法一 因为a＝（－1，2），b＝（3，2），
所以a－b＝（－4，0）.
所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－
4）＋2×0＝4.
法二 a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]
＝4.
（2）求（a＋b）·（2a－b）.
解：因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），
2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，
2），
所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋
4×2＝－2.
通性通法
向量数量积坐标运算的方法
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性
质.解题时通常有三种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行
数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计
算；三是若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之
差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积.
【跟踪训练】
1. （2024·无锡月考）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，
x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（ ）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
解析： 由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝
30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4.
√
2. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，
＝2 ，则 · ＝ .
解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A
（0，2），E（2，1），D（2，2），B（0，
0），C（2，0），因为 ＝2 ，所以F
（ ，2）.所以 ＝（2，1）， ＝（ ，2）
－（2，0）＝（－ ，2），所以 · ＝（2，
1）·（－ ，2）＝2×（－ ）＋1×2＝ .
题型二 向量的模、夹角、垂直问题
【例2】 （链接教科书第35页例2）已知点A（1， 0）， B（3，
1），C（4， －1），若a＝ ，b＝ .求：
（1）｜a－2b｜；
解： 由题意，得a＝ ＝（2， 1），b＝ ＝（3， －1），
因为a－2b＝（2， 1）－2（3， －1）＝（－4， 3），
所以｜a－2b｜＝ ＝5.
（2）∠BAC的大小；
解： a与b的夹角为∠BAC，
因为a·b＝2×3＋1×（－1）＝5， ｜a｜＝ ， ｜b｜＝
，
所以 cos ∠BAC＝ ＝ ＝ .
又∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC＝ .
（3）B到直线AC的距离；
解： B到AC距离为｜ ｜ sin ∠BAC＝ ｜ ｜ sin ＝
· ＝ .
（4）若（λa－b）⊥（a－2b），求λ的值.
解： λa－b＝（2λ－3， λ＋1），a－2b＝（－4，3），
因为（λa－b）⊥（a－2b），
所以（λa－b）·（a－2b）＝0.
即－4（2λ－3）＋3（λ＋1）＝0，
解得λ＝3.
【母题探究】
1. （变设问）若本例条件不变，试求a＋b与a－b的夹角θ的余弦
值.
解：因为a＋b＝ ＋ ＝（5，0），a－b＝ － ＝（－
1，2），
所以（a＋b）·（a－b）＝5×（－1）＋0×2＝－5，又｜a＋
b｜＝5，｜a－b｜＝ ，
故 cos θ＝ ＝ ＝－ .
解： ＝（－4，2）， ＝（－3，k＋1）， ＝（1，k－
1），
若∠A＝90°，则 ⊥ ，则 · ＝（－4）×（－3）＋2×
（k＋1）＝0，解得k＝－7；
若∠B＝90°，则 ⊥ ，则 · ＝（－4）×1＋2×（k－
1）＝0，解得k＝3；
若∠C＝90°，则 ⊥ ，则 · ＝（－3）×1＋（k＋1）
×（k－1）＝0，解得k＝±2.
所以k的值为－7或3或±2.
2. （变条件，变设问）若本例中的条件改为“已知点A（5， －
1）， B（1，1），C（2， k），设k为实数，△ABC为直角三角
形”，试求k的值.
通性通法
1. 求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化
为向量与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2
＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ .
2. 解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由 cos θ＝ ＝ 直接求出
cos θ；
（2）注意事项：利用三角函数值 cos θ求θ的值时，应注意角θ
的取值范围是0°≤θ≤180°.利用 cos θ＝ 判断θ
的值时，要注意 cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，
二是θ为180°； cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐
角，二是θ为0°.
【跟踪训练】
1. 已知向量a＝（2，1），a·b＝10，｜a＋b｜＝5 ，则｜b｜＝
（ ）
A. B.
C. 5 D. 25
解析： ∵a＝（2，1），∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5 ，
∴（a＋b）2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，
∴b2＝25，∴｜b｜＝5.故选C.
√
2. （2024·扬州邗江一中月考）已知向量a＝（－1，2），b＝（x，
2），且a与b夹角的余弦值为 ，则x＝ .
解析：∵a·b＝－x＋4，｜a｜＝ ＝ ，｜b｜＝
＝ ，∴ cos ＜a，b＞＝ ＝
＝ ，显然x＜4，则x2＋10x－11＝0，解得x＝1或x＝－11.
1或－11
题型三 向量坐标运算的综合应用
【例3】 已知三点A（2，1），B（3，2），D（－1，4）.
（1）求证：AB⊥AD；
解： 证明：∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
∴ ＝（1，1）， ＝（－3，3），
则 · ＝1×（－3）＋1×3＝0，
∴ ⊥ ，即AB⊥AD.
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角
线的长度.
解： ∵ ⊥ ，四边形ABCD为矩形，∴ ＝ .
设点C的坐标为（x，y），
则 ＝（x＋1，y－4），
从而有即
∴点C的坐标为（0，5）.
＝（－2，4）， ＝ ＝2 ，
故点C的坐标为（0，5），矩形ABCD的对角线的长度为2 .
通性通法
利用向量解决平面几何问题的基本思路
利用向量可以解决与长度、角度、垂直等有关的几何问题，其解
题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的
几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直
角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.
【跟踪训练】
如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF.
求证：（1）DP⊥EF；
证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如
图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（0，0），B（1，0），D（0，1），从而 ＝（1，0）， ＝（0，1）.
由已知，可设P（a，a），其中0＜a＜1，则E（a，0），F（1，a），因此 ＝（a，a－1）， ＝（1－a，a）.
（1）因为 · ＝a（1－a）＋（a－1）a＝0，
所以 ⊥ ，因此DP⊥EF.
（2）DP＝EF.
证明：因为｜ ｜＝ ＝
，｜ ｜＝ ＝
，所以｜ ｜＝｜ ｜，因此DP
＝EF.
1. （2024·苏州盛泽中学月考）已知a＝（2，－1），b＝（1，－
1），则（a＋2b）·（a－3b）＝（ ）
A. 10 B. －10
C. 3 D. －3
解析： 由题意，得a＋2b＝（4，－3），a－3b＝（－1，
2），所以（a＋2b）·（a－3b）＝4×（－1）＋（－3）×2＝－
10.故选B.
√
2. （多选）设向量a＝（2，0），b＝（1，1），则下列结论中正确
的是（ ）
A. ｜a｜＝b2 B. a·b＝0
C. ｜a｜＝｜b｜ D. （a－b）⊥b
解析： 因为｜a｜＝2，b2＝｜b｜2＝2，所以｜a｜＝b2，故
A正确；a·b＝2×1＋0×1＝2≠0，故B错误；｜a｜＝2，｜b｜
＝ ，故｜a｜≠｜b｜，故C错误；（a－b）·b＝a·b－b2＝2
－2＝0，故D正确.故选A、D.
√
√
3. 设向量a＝（1，2m），b＝（m＋1，1），c＝（2，m）.若（a
＋c）⊥b，则｜a｜＝ .
解析：a＋c＝（3，3m），由（a＋c）⊥b，可得（a＋c）·b
＝0，即3（m＋1）＋3m＝0，解得m＝－ ，则a＝（1，－1），
故｜a｜＝ .
4. 已知a＝（1，2），b＝（1，－1）.
（1）若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
解： 因为a＝（1，2），b＝（1，－1），
所以2a＋b＝（3，3），a－b＝（0，3）.
所以 cos θ＝ ＝ ＝ .
因为θ∈[0，π]，所以θ＝ .
（2）若2a＋b与ka－b垂直，求k的值.
解： ka－b＝（k－1，2k＋1），依题意得（3，3）·（k－1，2k＋1）＝0，
所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，则x＝（ ）
A. 3 B. C. － D. －3
解析： 由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，
∴x＝－ .
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2. （2024·宿迁月考）已知点P（2，4），Q（1，6），向量 ＝
（2，λ），若 · ＝0，则实数λ＝（ ）
A. B. －
C. 2 D. 1
解析： 由P（2，4），Q（1，6）可得 ＝（－1，2），
又 ＝（2，λ），所以 · ＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.
故选D.
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3. 已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状
是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
解析： ∵ ＝（8，－4）， ＝（2，4），∴ · ＝
8×2＋（－4）×4＝0，∴ ⊥ ，∴△ABC是直角三角形.故
选A.
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4. （2024·镇江月考）已知 ＝（－3，－2）， ＝（m，1），
＝3，则 · ＝（ ）
A. 7 B. －7
C. 15 D. －15
解析： 依题意可得 ＝（3，2）， ＝ ＋ ＝（3，2）
＋（m，1）＝（3＋m，3）， ＝ ＝3，解得
m＝－3，所以 ＝（－3，1）， · ＝（3，2）·（－3，1）
＝－9＋2＝－7，故选B.
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5. （多选）已知a＝（1，2），b＝（m，－1），则下列结论正确的
是（ ）
A. 若｜b｜＝2，则m＝
B. 若a⊥b，则m＝2
C. 若｜a｜＝｜b｜，则m＝2
D. 若m＝－3，则a，b的夹角为
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解析： 若｜b｜＝2，则 ＝4，解得m＝± ，所以
A错误；若a⊥b，则m－2＝0，解得m＝2，所以B正确；若｜
a｜＝｜b｜，则 ＝ ，解得m＝2或m＝－2，所以C错
误；若m＝－3，则b＝（－3，－1），设向量a与b的夹角为θ，
可得 cos θ＝ ＝ ＝－ ，因为θ∈[0，π]，所以
θ＝ ，所以D正确.故选B、D.
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6. （多选）角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P
在α的终边上，点Q（－3，－4），且tan α＝－2，则 与
夹角的余弦值可能为（ ）
A. － B.
C. D.
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解析： ∵tan α＝－2，∴可设P（x，－2x）， 与 的
夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，当x＞0时，
cos θ＝ ，当x＜0时， cos θ＝－ .故选A、C.
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7. 设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m
＝ .
解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要
条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1.
－1
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8. 已知向量m＝（1，1），向量n与向量m的夹角为 ，且m·n＝
－1，则｜n｜＝ .
解析： cos ＝ ＝ ＝－ ，｜n｜＝1.
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9. （2024·扬州质检）已知a＝（1，－1），b＝（λ，1），若a与b
的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围是
.
解析：｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，a·b＝λ－1.又∵a，b的
夹角α为钝角，∴即∴λ
＜1且λ≠－1.∴λ的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，1）.
（－∞，－1）∪（－
1，1）
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10. 在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，－2），B（2，3），C
（－2，－1）.
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
解： 由题设知 ＝（3，5）， ＝（－1，1），
则 ＋ ＝（2，6）， － ＝（4，4）.
所以｜ ＋ ｜＝2 ，｜ － ｜＝4 .
故所求的两条对角线的长分别为2 ，4 .
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（2）设实数t满足（ －t ）· ＝0，求t的值.
解： 由题设知， ＝（－2，－1）， －t ＝
（3＋2t，5＋t），
由（ －t ）· ＝0，得（3＋2t，5＋t）·（－2，－
1）＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－ .
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11. 若向量 ＝（3，－1），n＝（2，1），且n· ＝7，则n·
＝（ ）
A. －2 B. 2
C. －2或2 D. 0
解析： ∵ ＋ ＝ ，∴n·（ ＋ ）＝n· ，即
n· ＋n· ＝n· ，∴n· ＝n· －n· ＝7－5＝2.
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12. （2024·淮安月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC
＝2，点E在边CD上，且 ＝2 ，则 · ＝（ ）
A. B. C. D.
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解析： 以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所
在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB
＝ ，BC＝2，∴A（0，0），B（ ，0），C
（ ，2），D（0，2），∵点E在边CD上，且
＝2 ，∴E（ ，2）.∴ ＝（ ，2）， ＝（－ ，2），∴ · ＝－ ＋4＝ .
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13. 已知O为坐标原点，向量 ＝（2，2）， ＝（4，1），在x
轴上有一点P使得 · 有最小值，则点P的坐标为
.
解析：设点P的坐标为（x，0），则 ＝（x－2，－2），
＝（x－4，－1）.所以 · ＝（x－2）（x－4）＋（－2）×
（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时， ·
有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）.
（3，
0）
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14. 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1，2）.
（1）若｜c｜＝2 ，且c与a 方向相反，求c的坐标；
解： 设c＝（x，y），由c与a方向相反及｜c｜＝
2 ，可没c＝λa（λ＜0）.得
所以λ2＋（2λ）2＝20，解得λ＝－2，
所以所以c＝（－2，－4）.
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（2）若｜b｜＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解： 因为（a＋2b）⊥（2a－b），
所以（a＋2b）·（2a－b）＝0，
即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0，
所以2×5＋3a·b－2× ＝0，
所以a·b＝－ ，
所以 cos θ＝ ＝－1.
又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝π.
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15. （2024·南京质检）已知a＝（ cos α， sin α），b＝（ cos β，
sin β），且｜ka＋b｜＝ ｜a－kb｜（k＞0）.
（1）用k表示数量积a·b；
解： 由｜ka＋b｜＝ ｜a－kb｜，得（ka＋b）2
＝3（a－kb）2，
即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
所以（k2－3）a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0.
又a＝（ cos α， sin α），b＝（ cos β， sin β），所
以｜a｜＝｜b｜＝1，
所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝ ＝ .
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（2）求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角.
解： 由（1）得a·b＝ ＝ （k＋ ）.
令f（k）＝ （k＋ ），
由函数的单调性，得f（k）＝ （k＋ ）在（0，1]上单调
递减，在（1，＋∞）上单调递增，
所以当k＝1时，f（k）min＝f（1）＝ ×（1＋1）＝ .
设此时a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，所以θ
＝60°.
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第1课时
向量线性运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量
的正交分解及坐标表示 数学抽象
2.会用坐标表示平面向量的加、减运算
及数乘运算 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“三坐标雷达”亦称一维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高
度信息，比其他二坐标雷达（仅提供方位和距离信息的雷达）多提供
了一维高度信息.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器
系统提供目标指示数据.向量也可以利用平面或空间中的坐标来表
示，平面向量的坐标有何运算规律呢？
【问题】 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i
的夹角是30°，且｜a｜＝4，以i，j为基底，如何表示向量a？
知识点一 向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个
i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理
可知，有且只有一对有序实数（x，y），使得a＝xi＋yj.我们把有
序实数对（x，y）称为向量a的（直角）坐标，记作a＝
.
单
位向量
（x，
y）
提醒 （1）表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A（x，y），a
＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点
的坐标相同；（3）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关.
【想一想】
对任一平面向量a，是否都有坐标与之对应？向量平移前后其坐标变
化吗？
提示：都有坐标与之对应，当向量确定以后，向量的坐标唯一确定，
因此向量平移前后，其坐标不变.
知识点二 向量线性运算的坐标表示
1. 已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）和实数λ，那么：
（1）a＋b＝ ；
（2）a－b＝ ；
（3）λa＝ .
2. 若A（x1，y1），B（x2，y2），则 ＝ － ＝（x2，y2）－
（x1，y1）＝ .即一个向量的坐标等于该向
量终点的坐标减去起点的坐标.
（x1＋x2，y1＋y2）
（x1－x2，y1－y2）
（λx1，λy1）
（x2－x1，y2－y1）
1. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 两个向量的终点不同，则其坐标一定不同
B. 若a＝b，则a，b坐标也相同
C. 求向量的坐标需知道起点、终点的坐标
D. 向量a＝（2，3）比向量b＝（－1，－2）大
√
√
2. 已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），则向量2a－b的坐标为
（ ）
A. （1，5） B. （3，3）
C. （0，3） D. （2，1）
解析： ∵a＝（1，2），b＝（－1，1），∴2a－b＝2（1，
2）－（－1，1）＝（2，4）－（－1，1）＝（3，3）.故选B.
√
3. 已知向量 ＝（1，－4）， ＝（2，1）， ＝（m，n），
则m＋n＝ .
解析：因为 ＝ ＋ ＝（1，－4）＋（2，1）＝（3，－3）
＝（m，n），所以m＝3，n＝－3，则m＋n＝0.
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的坐标表示
【例1】 （链接教科书第30页例1）如图，已知O是坐标原点，点A
在第一象限，｜ ｜＝4 ， ∠xOA＝60°，｜ ｜＝4，∠OAB
＝120°，四边形OABC为平行四边形.
（1）求向量 ， 的坐标；
解： 设点A（x， y），则x＝OA· cos 60°
＝4 × ＝2 ，
y＝OA· sin 60°＝4 × ＝6.
即A（2 ，6），∴ ＝（2 ，6）.
∵∠AOC＝180°－120°＝60°，∠AOy＝
30°，∴∠COy＝30°.
又∵OC＝｜ ｜＝4，∴C（－2，2 ），
∴ ＝ ＝ .
（2）求向量 的坐标；
解： ＝－ ＝ .
（3）求点B的坐标.
解： ＝ ＋ ＝（2 ，6）＋
＝（2 －2，6＋2 ）.
∴点B的坐标为（2 －2，6＋2 ）.
通性通法
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向
量的坐标；
（2）在求向量坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐
标，再用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
【跟踪训练】
如图，在平面直角坐标系xOy中，｜ ｜＝2｜ ｜＝2，∠OAB＝ ， ＝（－1， ）.
（1）求点B，点C的坐标；
解： 在平面直角坐标系xOy中，设B（xB，yB），因为｜ ｜＝2｜ ｜＝2，所以A（2，0）.
又∠OAB＝ ，所以xB＝2＋ cos ＝ ，yB＝0＋ sin ＝ ，所以点B .
又 ＝（－1， ），所以 ＝ ＋ ＝
＝ ，
所以点C .
（2）求向量 ， 的坐标.
解： 由（1）可得， ＝ ，
＝ .
题型二 向量线性运算的坐标表示
【例2】 （链接教科书第31页例2）已知O为坐标原点，点A（－
1，3），B（1，－3），C（4，1），D（3，4），a＝ ，b＝
.
（1）求向量a，b， ， 的坐标；
解： a＝ ＝（－1，3），b＝ ＝（1，－3），
＝－ ＝（1，－3）， ＝（3，4）－（4，1）＝（－
1，3）.
（2）求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标.
解： a＋b＝（－1，3）＋（1，－3）＝（0，0），
a－b＝（－1，3）－（1，－3）＝（－2，6），
3a＝3（－1，3）＝（－3，9），
2a＋3b＝2（－1，3）＋3（1，－3）＝（－2，6）＋（3，－
9）＝（1，－3）.
通性通法
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的
运算法则进行；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后
再进行向量的坐标运算；
（3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
【跟踪训练】
已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求：
（1）2a＋3b；（2）a－3b；（3） a－ b.
解： 2a＋3b＝2（－1，2）＋3（2，1）
＝（－2，4）＋（6，3）＝（4，7）.
（2）a－3b＝（－1，2）－3（2，1）
＝（－1，2）－（6，3）＝（－7，－1）.
（3） a－ b＝ （－1，2）－ （2，1）
＝ － ＝ .
题型三 向量坐标运算的应用
【例3】 （链接教科书第32页例4）已知P1（x1， y1）， P2（x2，
y2）， P是直线P1P2上一点.
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
解： 如图①，由向量的线性运算可知
＝ （ ＋ ）＝（ ， ）.
所以点P的坐标是（ ， ）.
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
解： 当点P是线
段P1P2的一个三等分点
时，有两种情况，即
＝ 或 ＝
2 .
如果 ＝ （图②），那么 ＝ ＋ ＝
＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝（ ， ），即点P的坐标是（ ， ）；
同理，如果 ＝2 （图③），那么点P的坐标是（ ， ）.
通性通法
应用向量的坐标运算求解平面几何问题的步骤
【跟踪训练】
如图，已知 ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（－2，
1），（－1，3），（3，4），求顶点D的坐标.
解：法一 设顶点D的坐标为（x，y）.
因为 ＝（－1－（－2），3－1）＝（1，2），
＝（3－x，4－y），
又 ＝ ，
所以（1，2）＝（3－x，4－y），
即解得
所以顶点D的坐标为（2，2）.
法二 如图，由向量加法的平行四边形法则可知
＝ ＋ ＝（－2－（－1），1－3）＋（3
－（－1），4－3）＝（3，－1），
而 ＝ ＋ ＝（－1，3）＋（3，－1）＝（2，2），
所以顶点D的坐标为（2，2）.
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 相等向量的坐标相同
B. 平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C. 一个坐标对应唯一的一个向量
D. 平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应
解析： 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个
相等的向量，故C错误；A、B、D正确.故选A、B、D.
√
√
√
2. （2024·连云港惠泽高中月考）已知向量a＝（2，4），a＋b＝
（3，2），则b＝（ ）
A. （1，－2） B. （1，2）
C. （5，6） D. （2，0）
解析： b＝a＋b－a＝（3，2）－（2，4）＝（1，－2）.故
选A.
√
3. （2024·泉州月考）在△ABC中，A（2，3），B（8，－4），点
G（2，－1）在中线AD上，且 ＝2 ，则点C的坐标是
.
解析：设点C的坐标为（x，y），则点D的坐标为（ ，
）.由 ＝2 可得4＋x＝0，－2＋y＝－4，解得x＝－4，
y＝－2，故点C的坐标为（－4，－2）.
（－
4，－2）
解：∵A（－1，2），B（2，8），
∴ ＝（2，8）－（－1，2）＝（3，6）， ＝ ＝（1，
2）， ＝－ ＝ ＝（1，2）.
设O为坐标原点，
则 ＝ ＋ ＝（－1，2）＋（1，2）＝（0，4），
＝ ＋ ＝ － ＝（－1，2）－（1，2）＝（－2，
0）.
∴C，D的坐标分别为（0，4），（－2，0）.
因此 ＝ － ＝（－2，0）－（0，4）＝（－2，－4）.
4. 已知点A（－1，2），B（2，8）及 ＝ ， ＝－ .求
点C，D和 的坐标.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知M（2，3），N（3，1）.则 的坐标是（ ）
A. （2，－1） B. （－1，2）
C. （－2，1） D. （1，－2）
解析： ＝（3－2，1－3）＝（1，－2）.故选D.
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2. 已知向量a＝（－2，4），b＝（1，－2），则a与b的关系是
（ ）
A. 不共线 B. 相等
C. 方向相同 D. 方向相反
解析： ∵a＝－2b，∴a与b方向相反.故选D.
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3. 已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c
＝0，则c＝（ ）
A. （－23，－12） B. （23，12）
C. （7，0） D. （－7，0）
解析： 由题意可得c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝
（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）.故选A.
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4. （2024·南通月考）在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（3，
5）， ＝（－1，2），则 ＋ ＝（ ）
A. （－2，4） B. （4，6）
C. （－6，－2） D. （－1，9）
解析： 在平行四边形ABCD中，因为A（1，2），B（3，
5），所以 ＝（2，3）.又 ＝（－1，2），所以 ＝ ＋
＝（1，5）， ＝ － ＝（－3，－1），所以 ＋
＝（－2，4）.故选A.
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5. 已知向量i＝（1，0），j＝（0，1），对平面内的任一向量a，下
列结论中正确的是（ ）
A. 存在唯一的一对实数x，y，使得a＝（x，y）
B. 若x1，x2，y1，y2∈R，a＝（x1，y1）≠（x2，y2），则x1≠x2，
且y1≠y2
C. 若x，y∈R，a＝（x，y），且a≠0，则a的起点是原点O
D. 若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是（x，y），则a＝（x，
y）
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解析： 对于A：平面向量的横纵坐标是确定的，故A正确；对
于B：如果两个向量不相等，则其横纵坐标不完全相等，即（x1，
y1）≠（x2，y2），则x1≠x2或y1≠y2，故B错误；对于C：平面向
量是可以平移的，所以起点不一定是坐标原点，故C错误；对于
D：平面向量是由起点和终点坐标决定的，应该等于终点坐标减起
点坐标，故D错误.故选A.
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6. （多选）已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），则以A，
B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为（ ）
A. （4，5） B. （8，9）
C. （2，－1） D. （3，－1）
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解析： 设点D的坐标为（x，y）.若是平行四边形ABCD，
则有 ＝ ，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝
4，y＝5，所以所求顶点D的坐标为（4，5），所以A正确；若是
平行四边形ABDC，则有 ＝ ，即（5－3，4－2）＝（x－
6，y－7），解得x＝8，y＝9，所以所求顶点D的坐标为（8，
9），所以B正确；若是平行四边形ACBD，则有 ＝ ，即（6
－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝－1，所以所求
顶点D的坐标为（2，－1），所以C正确.综上，顶点D的坐标为
（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故选A、B、C.
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7. 若a＝（2，1），b＝（－3，4），则a＋b＝ ，a
－b＝ ，3a＋4b＝ .
解析：a＋b＝（2，1）＋（－3，4）＝（－1，5），a－b＝
（2，1）－（－3，4）＝（5，－3），3a＋4b＝3（2，1）＋4
（－3，4）＝（6，3）＋（－12，16）＝（－6，19）.
（－1，5）
（5，－3）
（－6，19）
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8. 如图所示，若向量e1，e2分别是x轴，y轴方向上的单位向量，则
向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为 .
（3，4）
解析：由题图可知a＝e1＋ ，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝2
＋（e1＋3e2）＝3e1＋4e2.所以向量2a＋b在平面直角坐标系中
的坐标为（3，4）.
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9. （2024·盐城月考）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B
（0，1），点C在第一象限内，∠AOC＝ ，且OC＝2，若 ＝
λ ＋μ ，则λ＝ ，μ＝ .
解析：由题意，知 ＝（1，0）， ＝（0，1）.设C（x，
y），则 ＝（x，y）.∵ ＝λ ＋μ ，∴（x，y）＝
λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ）.∴又∵∠AOC＝
，OC＝2，∴λ＝x＝2 cos ＝ ，μ＝y＝2 sin ＝1.
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10. 已知A（1，－2），B（2，1），C（3，2）和D（－2，3），
以 ， 为一组基底来表示 ＋ ＋ .
解：∵ ＝（1，3）， ＝（2，4）， ＝（－3，5），
＝（－4，2）， ＝（－5，1），
∴ ＋ ＋ ＝（－3，5）＋（－4，2）＋（－5，1）＝
（－12，8）.
根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得
＋ ＋ ＝m ＋n ，
∴（－12，8）＝m（1，3）＋n（2，4），即（－12，8）＝（m＋2n，3m＋4n），∴解得
∴ ＋ ＋ ＝32 －22 .
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11. 如果将 ＝（ ， ）绕原点O逆时针方向旋转120°得到 ，
则 的坐标是（ ）
A. （ － ， ） B. （ ，－ ）
C. （－1， ） D. （ － ， ）
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解析： 因为 ＝ 所在直线的倾斜角为30°，绕原点
O逆时针方向旋转120°得到 所在直线的倾斜角为150°，所
以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为 ，故
的坐标是 .故选D.
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12. （多选）（2024·镇江月考）已知向量 ＝（1，－3）， ＝
（2，－1）， ＝（m＋1，m－2），若A，B，C为三角形的
顶点，则实数m可以是（ ）
A. －2 B.
C. 1 D. －1
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解析： 若A，B，C三点不共线即可作为三角形的顶点.因
为 ＝ － ＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2）， ＝
－ ＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1），假
设A，B，C三点共线，则 ＝λ ，即（m，m＋1）＝λ
（1，2），即λ＝m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点即可作
为三角形的顶点.故选A、B、D.
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13. 如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，
b，c满足c＝xa＋yb（x，y∈R），则x＋y＝ .
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解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则
可得a＝（1，2），b＝（2，－3），c＝（3，4）.∵c＝xa＋
yb，∴解得∴x＋y＝ .
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14. 已知点A（2，3），B（5，4）， ＝（5λ，7λ）（λ∈R）.
若 ＝ ＋ ，试求λ为何值时：
（1）点P在第一、三象限的角平分线上；
（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝ .
解：设点P的坐标为（x，y），
则 ＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），
＋ ＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）
＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.
∵ ＝ ＋ ，且 与 不共线，
∴则
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（2）点P在第三象限内.
解：若点P在第三象限内，则∴λ＜－1.
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15. （2024·南京质检）已知向量u＝（x，y）与向量v＝（y，2y－
x）的对应关系用v＝f（u）表示.
（1）设a＝（1，1），b＝（1，0），求向量f（a）与f（b）
的坐标；
解： ∵a＝（1，1），b＝（1，0），
∴f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，
2×0－1）＝（0，－1）.
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（2）求使f（c）＝（p，q）（p，q为常数）的向量c的坐标；
解： 设c＝（a，b），则f（c）＝（b，2b－a）＝
（p，q），
∴∴∴c＝（2p－q，p）.
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（3）证明：对任意的向量a，b及常数m，n恒有f（ma＋nb）
＝mf（a）＋nf（b）成立.
解： 证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），
则ma＋nb＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2），
∴f（ma＋nb）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∵mf（a）＝m（a2，2a2－a1），nf（b）＝n（b2，2b2
－b1），
∴mf（a）＋nf（b）＝m（a2，2a2－a1）＋n（b2，2b2
－b1）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∴f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.
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