(共60张PPT)
第2课时
正弦定理的应用
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且
已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小.
【问题】 你能借助这三个量，求出AB的长度吗？
知识点一 仰角与俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标
视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，
如图所示.
知识点二 三角形面积公式
1. S△ABC＝ ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.
2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC
的面积S△ABC＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ca sin B.
3. S△ABC＝ r（a＋b＋c）＝ rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆
半径及△ABC的周长.
1. （2024·南通如东期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝ ，则△ABC的面积为
（ ）
A. 3 B. C. D.
解析： 由题意可得△ABC的面积为S＝ ab sin C＝
×2×3× ＝ .故选B.
√
2. 已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ＝
＝ ，则△ABC是（ ）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 有一个内角是30°的直角三角形
√
解析： 已知 ＝ ＝ ，由正弦定理可得 cos A＝ sin A，
cos B＝ sin B，故A＝B＝45°，C＝90°，则△ABC是等腰直角
三角形.故选C.
3. 学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4
m，A＝30°，则其跨度AB的长为 m.
解析：由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝
120°，由正弦定理得， ＝ ，即AB＝ ＝ ＝
4 （m）.
4
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正弦定理在实际问题中的应用
【例1】 （链接教科书第99页例3）要测量河岸之间的距离（河的两
岸可视为平行），由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办
法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测
得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽约为
（参考数据： ≈2.45， sin 75°≈0.97）（ ）
A. 170 m B. 98 m
C. 95 m D. 86 m
√
解析： 在△ABC中，AB＝120 m，∠CAB＝45°，∠CBA＝
75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝ ×120＝40
（m）.设△ABC中AB边上的高为h，则h＝BC× sin ∠CBA＝40
× sin 75°≈95（m），即河宽约为95 m.故选C.
通性通法
在运用正弦定理解决实际问题时，通常根据题意，从实际问题中
抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的
解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.
【跟踪训练】
一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20 n mile
处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔S在
货轮的北偏东45°方向上，求货轮的航行速度.
解：设货轮的航行速度为v n mile/h，如图，在△MNS中，MS＝20 n
mile，MN＝ v，
∠NMS＝30°＋15°＝45°，∠MNS＝180°－30°－45°＝
105°，从而∠MSN＝30°.
由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，
所以v＝20（ － ）（n mile/h）.
题型二 判断三角形形状
【例2】 （链接教科书第101页练习5题）在△ABC中，已知2a＝b
＋c， sin 2A＝ sin B· sin C，则△ABC的形状为 三角形.
解析：由正弦定理可知 ＝ ＝ ，由 sin 2A＝ sin B sin C，
可得a2＝bc，又2a＝b＋c，将此式两边平方即4a2＝b2＋c2＋2bc＝
b2＋c2＋2a2，即b2＋c2＝2a2＝2bc，因此b2＋c2－2bc＝（b－c）2
＝0，即b＝c，又2a＝b＋c，可得a＝b＝c，故此三角形为等边三
角形.
等边
通性通法
利用正弦定理判断三角形形状的常用方法
（1）化边为角：将题目中的条件，利用正弦定理化边为角（若 sin
2A＝ sin 2B，则A＝B或A＋B＝ ），再根据三角函数的有关
知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；
（2）化角为边：将题目中的条件，利用正弦定理化角为边，再根据
代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2等），进而
确定三角形的形状.
【跟踪训练】
1. （2024·南京月考）在△ABC中，若a cos C＋c cos A＝b sin B，则
此三角形为（ ）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 在△ABC中，由a cos C＋c cos A＝b sin B以及正弦定理
可知， sin A cos C＋ sin C cos A＝ sin 2B，即 sin （A＋C）＝ sin B
＝ sin 2B，∵0＜B＜π，∴ sin B≠0，∴ sin B＝1，B＝ ，∴三角
形为直角三角形.故选C.
√
2. 在△ABC中， sin A＝2 sin B cos C，且 sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，试
判断△ABC的形状.
解：法一 根据正弦定理 ＝ ＝ ，
∵ sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2 sin B cos C＝2 sin B cos （90°－B）＝2 sin 2B＝ sin A＝1，
∴ sin B＝ .
∵0°＜B＜90°，
∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
法二 根据正弦定理 ＝ ＝ ，
∵ sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角.
∵A＝180°－（B＋C）， sin A＝2 sin B cos C，
∴ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝2 sin B cos C，∴ sin （B
－C）＝0.
又－90°＜B－C＜90°，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形.
题型三 三角形面积公式及其应用
【例3】 （1）（多选）在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2 ，
AC＝2，则△ABC的面积可能为（ AC ）
A. B. 2
C. 2 D. 4
AC
解析： 由正弦定理，得 sin C＝ ＝ ，又AB· sin B
＜AC＜AB，故该三角形有两解，所以C＝60°或120°.当C
＝60°时，A＝90°，S△ABC＝ AB·AC＝2 ；当C＝120°
时，A＝30°，S△ABC＝ AB·AC· sin A＝ .所以△ABC的面
积为2 或 .故选A、C.
（2）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝ ，则 sin B∶ sin C
＝ .
解析： 因为S△ABC＝ bc sin A，所以c＝ ＝ ＝
4，由正弦定理 ＝ ，得 sin B∶ sin C＝b∶c＝1∶4.
1∶4
通性通法
对于面积公式S＝ ab sin C＝ ac sin B＝ bc sin A，总的概括为两
边与夹角正弦乘积的一半.求三角形面积时，一般已知哪个角就使用
哪个公式.反之，给出了三角形的面积，也可求相应边或角.
【跟踪训练】
1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝
2，B＝ ，C＝ ，则c＝ 2 ，△ABC的面积为 ＋1 .
解析：由正弦定理得，c＝ ＝2 .又 sin A＝ sin （π－B－
C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝ ，所以△ABC的面积为S＝
bc sin A＝ ＋1.
2
＋1
2. （2024·常州月考）在△ABC中，若a＝3 ， cos C＝ ，S△ABC
＝4 ，则b＝ 2 .
解析：∵ cos C＝ ，∴0°＜C＜90°，∴ sin C＝ ＝
，又S△ABC＝ ab sin C＝ ×3 b× ＝4 ，∴b＝2 .
2
题型四 求解平面几何问题
【例4】 （链接教科书第100页例5）如图，已知四边形ABCD为平
行四边形.求证：AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.
证明：在△BAD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠BAD，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC.
因为∠ABC＋∠BAD＝180°，
所以 cos ∠ABC＋ cos ∠BAD＝0，
所以BD2＋AC2＝2AB2＋AD2＋BC2，
即AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.
通性通法
正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何
图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定
理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边
创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.
【跟踪训练】
（2024·淮安月考）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝ ，
BC＝ ，AB⊥AD，AC⊥CD.
（1）若 sin ∠BAC＝ ，求 sin ∠BCA；
解： 在△ABC中，由正弦定理得
＝ ，即 ＝ ，解得 sin ∠BCA＝ .
（2）若AD＝3AC，求AC.
解： 设AC＝x，则AD＝3x，在
Rt△ACD中，CD＝ ＝2 x，
sin ∠CAD＝ ＝ .
在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos ∠BAC
＝ ＝ .
又∠BAC＋∠CAD＝ ，
所以 cos ∠BAC＝ sin ∠CAD，即 ＝ ，
整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－ （舍去），即AC＝3.
1. 在△ABC中，若a＝b sin A，则△ABC一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
解析： 由题意有 ＝b＝ ，则 sin B＝1，即角B为直角，
故△ABC是直角三角形.故选B.
√
2. 在△ABC中， sin 2A＝ sin B sin C，若A＝ ，则B＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 因为 sin 2A＝ sin B sin C，所以a2＝bc，由余弦定理可
知a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，
得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝ .故选C.
√
3. 已知锐角△ABC的面积为3 ，AB＝2，BC＝6，则角B的大小
为 .
解析：∵S＝ BC·AB· sin B＝ ×6×2× sin B＝3 ，∴ sin B＝
，∵△ABC为锐角三角形.∴B＝45°.
45°
4. 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，
C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB
为 m.
5（ ＋1）
解析：法一 ∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝15°.由正弦定理，得
AC＝ · sin ∠ADC＝ · sin 30°＝ ＝5 （ ＋
1）m.∴AB＝AC sin 45°＝5（ ＋1）m.∴A点离地面的高AB
为5（ ＋1）m.
法二 设AB＝x（m），则BC＝x（m）.∴BD＝（10＋x）
m.∴tan∠ADB＝ ＝ ＝ .解得x＝5（ ＋1）.∴A点离地面的高AB为5（ ＋1）m.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b
＝3，C＝60°，则△ABC的面积为（ ）
A. 3 B. 3
C. 6 D. 6
解析： S＝ ab sin C＝ ×4×3× ＝3 .故选B.
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2. （2024·扬州月考）在△ABC中，已知3b＝2 a sin B，且 cos B＝
cos C，A是锐角，则△ABC是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
解析： 由3b＝2 a sin B，得 ＝ ，根据正弦定理，得
＝ ，所以 ＝ ，即 sin A＝ .又A是锐角，所以A＝
60°.又 cos B＝ cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C，
故△ABC为等边三角形.
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3. 一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰
好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏
西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速
度是（ ）
A. 5 海里/时 B. 5海里/时
C. 10 海里/时 D. 10海里/时
解析： 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在Rt△ABC中，可得AB＝5海里，所以这艘船的速度是10海里/时.故选D.
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4. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，
AB＝6，则AD＝（ ）
A. 2 B. 2或4
C. 1或2 D. 5
解析： 设AD＝x，如图，∠DAC＝∠DAB
＝60°.∵AC＝3，AB＝6，且S△ABC＝S△ACD＋
S△ABD，∴ ×3×6× ＝ ×3x× ＋ ×6x× ，解得x＝2.故选A.
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5. （多选）（2024·无锡江阴高中期中）在△ABC中，给出下列4个命
题，其中正确的命题是（ ）
A. 若A＜B，则 sin A＜ sin B
B. 若 sin A＜ sin B，则A＜B
C. 若A＞B，则 ＞
D. 若A＜B，则 cos 2A＞ cos 2B
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解析： 由大角对大边知，若A＜B，则a＜b，由正弦定理
得2R sin A＜2R sin B，所以 sin A＜ sin B，故A正确；同理B正确；
当A＝120°，B＝30°时， ＜0， ＞0，故C错误；若A
＜B，则 sin A＜ sin B， sin 2 A＜ sin 2 B，即1－ cos 2A＜1－ cos
2B，所以 cos 2A＞ cos 2B，故D正确.故选A、B、D.
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6. （多选）若a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知b
sin A＝（3b－c） sin B，且 cos A＝ ，则下列说法正确的是
（ ）
A. a＋c＝3b
B. tan A＝2
C. △ABC的周长为4c
D. △ABC的面积为 c2
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解析： 对于A，由b sin A＝（3b－c） sin B角化边可得ba
＝（3b－c）b，所以a＋c＝3b，故A正确；对于B，因为 cos A
＝ ，所以 sin A＝ ＝ .所以tan A＝ ＝2 ，故B
正确；对于C，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b，故C错误；对于
D，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝b2＋c2－ bc，
将a＝3b－c代入上式可得b＝ c，所以△ABC的面积为 bc sin A
＝ c2，故D正确.故选A、B、D.
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7. 如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，
AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面
积等于 .
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解析：连接BD（图略）.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝
＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定
理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C，知BD2＝22＋22－2×2×2
cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝ ×4×2 ＋ ×2×2× sin 120°＝5 .
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8. （2024·镇江月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，
若飞机的海拔高度为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山
顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶
的海拔高度约为 km.（精确到0.1 km，参考数据：
≈1.732）
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解析：因为AB＝1 000× ＝ （km），所以BC＝ · sin
30°＝ （km），航线离山顶的高度h＝ × sin 75°＝ ×
sin （45°＋30°）≈11.4（km），所以山顶的海拔高度约为18－
11.4＝6.6（km）.
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9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（ sin B－ sin
C）2＝ sin 2A－ sin B sin C，则角A的大小为 .
解析：由已知得 sin 2B＋ sin 2C－ sin 2A＝ sin B sin C，故由正弦定
理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得 cos A＝ ＝ .因为0°
＜A＜180°，所以A＝60°.
60°
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证明：在△ABD中利用正弦定理得 ＝ ，
在△CBD中利用正弦定理得 ＝ .
因为BD是∠ABC的平分线，
所以∠ABD＝∠CBD，
又因为∠ADB＋∠CDB＝180°，
所以 sin ∠ADB＝ sin ∠CDB，
所以 ＝ ，
即 ＝ 成立.
10. 在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D. 求证： ＝ .
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11. （2024·宿迁月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，若a cos B＋b cos A＝4 sin C，则△ABC外接圆的面积
为（ ）
A. 16π B. 8π
解析： 因为a cos B＋b cos A＝4 sin C，所以由正弦定理可得，
sin A cos B＋ sin B cos A＝ ，化简得， sin （A＋B）＝ ，
在△ABC中， sin （A＋B）＝ sin C，解得R＝2，所以△ABC外
接圆的面积为S＝πR2＝4π.故选D.
C. 2π D. 4π
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12. （多选）下列命题中，正确的是（ ）
A. 在△ABC中，若A＞B，则 sin A＞ sin B
B. 在锐角△ABC中，不等式 sin A＞ cos B恒成立
C. 在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
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解析： 对于A，在△ABC中，由正弦定理可得 ＝
，所以A＞B a＞b sin A＞ sin B，故A正确；对于B，在
锐角△ABC中，A，B∈ ，且A＋B＞ ，则 ＞A＞ －
B＞0，所以 sin A＞ sin ＝ cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得 sin 2A＝ sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝ －B，即
△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即（a－c）2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确.故选A、B、D.
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13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin A
＋ sin B＝ sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3 sin
C，则c＝ ， cos C＝ .
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解析：△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知
sin A＋ sin B＝ sin C，则a＋b＝ ，且△ABC的周长为9，则c
＋ ＝9，解得c＝4.又△ABC的面积等于3 sin C，则 ab sin C＝
3 sin C，
整理得ab＝6，由于a＋b＝ ＝5，故解得
或所以 cos C＝ ＝－ .
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14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C
－ a sin C＝b sin B.
（1）求B的大小；
解： 由正弦定理，得a2＋c2－ ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B.
故 cos B＝ ，又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
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（2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解： sin A＝ sin （30°＋45°）＝ sin 30° cos 45°＋
cos 30° sin 45°＝ .
故由正弦定理，得a＝b· ＝1＋ .
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
故c＝b· ＝2× ＝ .
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15. （2024·苏州月考）如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且
AD＝1，CD＝3， cos B＝ .
（1）求△ACD的面积；
解： 因为D＝2B， cos B＝ ，
所以 cos D＝ cos 2B＝2 cos 2B－1＝－ .
因为D∈（0，π），
所以 sin D＝ ＝ .因为AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面积S＝ AD·CD· sin D＝ ×1×3× ＝ .
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（2）若BC＝2 ，求AB的长.
解： 在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC· cos D＝12，
所以AC＝2 .
在△ABC中，因为BC＝2 ， ＝ ，
所以 ＝ ＝ ＝ ，
所以AB＝4.
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11.2 正弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.掌握正弦定理及正弦定理的变形 逻辑推理
2.会利用正弦定理解决简单的实际问题 数学运算
第1课时 正弦定理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
根据锐角三角函数，如图，在Rt△ACB中，有 sin A＝ ， sin B＝ ，显然，上述两个关系式在斜三角形中不成立.观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，可得 ＝ ＝c.
又因为 sin C＝ sin 90°＝1，所以上式可以写成边与它的对角的
正弦的比相等的形式，即 ＝ ＝ .
【问题】 对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然
成立？
知识点一 正弦定理
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c
结论 ＝ ＝
文字 叙述 三角形的各边与它所对角的 的比相等
正弦
提醒 正弦定理的变形形式：若R为△ABC外接圆的半径，则①a＝
2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；② sin A＝ ， sin B＝ ， sin
C＝ ；③ ＝2R；④ sin A∶ sin B∶ sin C＝
a∶b∶c.
知识点二 三角形解的个数的判断
1. 代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不
妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a
＜b，则A＜B，由正弦定理得 sin B＝ ，① sin B＞1，即a＜
b sin A，无解；② sin B＝1，即a＝b sin A，一解；③ sin B＜1，即
b sin A＜a＜b，两解.
2. 几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a
为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三
角形解的个数，见下表：
分类 图形 关系式 解的个数
A为 锐角 a＜b sin A 无解
a＝b sin A 一解
b sin A＜ a＜b 两解
a≥b 一解
分类 图形 关系式 解的个数
A为 钝角 或直角 a＞b 一解
a≤b 无解
1. 在△ABC中，下列等式总能成立的是（ ）
A. a cos C＝c cos A B. b sin C＝c sin A
C. ab sin C＝bc sin B D. a sin C＝c sin A
解析： 由正弦定理易知，选项D正确.
√
2. （2024·南通月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2 ，则b＝（ ）
A. B. C. D. 2
解析： ＝ b＝ ＝ ＝2 .故选D.
√
3. 在△ABC中，已知A＝30°，BC＝4，求△ABC的外接圆半径.
解：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得2R＝ ＝ ＝
8，解得R＝4.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 已知两角及一边解三角形
【例1】 （链接教科书第97页例1）在△ABC中，已知a＝8，B＝
60°，C＝75°，求A，c.
解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.
由 ＝ 得，c＝ ＝
＝ ＝4（ ＋1）.
所以A＝45°，c＝4（ ＋1）.
通性通法
已知两角及一边解三角形的一般步骤
【跟踪训练】
（2024·南京月考）在△ABC中，若B＝135°，C＝15°，a＝5，
则此三角形的最大边长为（ ）
A. 5 B. 4
C. 5 D. 4
解析： 根据题意得A＝180°－135°－15°＝30°，则此三角形
的最大边是b，由正弦定理 ＝ ，得b＝ ＝ ＝
5 .故选C.
√
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
【例2】 （链接教科书第98页例2）在△ABC中，角A，B，C的对
边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝ ，B＝45°，解此三角形.
解：由正弦定理 ＝ ，知 sin A＝ ＝ ，
∵b＜a，∴A＝60°或120°，当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝ ＝ ＝ ；当A＝120°时，C＝180°－A－B
＝15°，
∴c＝ ＝ ＝ .
故当A＝60°时，C＝75°，c＝ ；
当A＝120°时，C＝15°，c＝ .
【母题探究】
（变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不
变，解此三角形.
解：由正弦定理 ＝ ，知 sin B＝ ＝ ，
∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°，
∴c＝ ＝ ＝ .
通性通法
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
【跟踪训练】
1. （2024·常州月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，
b，c，若a＝4，b＝3， sin A＝ ，则B＝（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
解析： 由题意可得 sin B＝ ＝ ＝ ，则B＝ 或B＝ .
因为b＜a，所以B＜A，所以B＝ .故选A.
√
2. 在△ABC中，若a＝6，b＝6 ，A＝30°，则B＝（ ）
A. 60° B. 60°或120°
C. 60°或150° D. 120°
解析： a＜b A＜B B＞30°，由正弦定理可知 ＝
，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，∵B∈（30°，180°），∴B
＝60°或120°.故选B.
√
题型三 已知两边及一边对角判断三角形解的个数
【例3】 不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角
A，B，C的对边分别为a，b，c）：
（1）a＝5，b＝4，A＝120°；
解： sin B＝ sin 120°＝ × ＜ ，所以三角形有一解.
（2）a＝9，b＝10，A＝60°；
解： sin B＝ sin 60°＝ × ＝ ，
而 ＜ ＜1.
所以当B为锐角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是60°＜
B＜90°，满足A＋B＜180°；
当B为钝角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是90°＜B＜
120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解.
（3）b＝72，c＝50，C＝135°.
解： sin B＝ ＝ sin C＞ sin C＝ .
所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解.
通性通法
1. 在△ABC中，0＜ sin B≤1，故 ≥1.∵ ＝ ，∴a＝
，∴a≥b sin A. 这是已知a，b，A解三角形时，判断三角形
解的个数（1或2）的前提.
2. 解三角形时，可以先求出 sin B的值并与1进行比较，再结合已知条
件判断三角形解的个数.
【跟踪训练】
1. 在△ABC中，已知a＝30，b＝50，A＝30°，则满足条件的三角
形有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 0个 D. 无法确定
解析： ∵b sin A＝50× ＝25，∴b sin A＜a＜b.∴满足条件的
三角形有2个.故选B.
√
2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b
＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x＜2
C. 2＜x＜2 D. 2＜x＜2
解析： 由题意知a＞b，则x＞2，又由 sin A＝ ＝ ＜1，
可得x＜2 ，∴x的取值范围是2＜x＜2 .故选C.
√
1. 在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则 ＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： ＝ ＝ ＝4.
√
2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4 ，
c＝2，C＝30°，那么此三角形（ ）
A. 有一解 B. 有两解
C. 无解 D. 解的个数不确定
解析： 法一 由正弦定理和已知条件，得 ＝ ，∴ sin
B＝ .∵ ＞1，∴此三角形无解.
√
法二 ∵c＝2，b sin C＝2 ，∴c＜b sin C，故此三角形无解.
法三 作∠ACD＝30°，AC＝b＝4 ，以A为圆心，AB＝c＝2为
半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解.
3. （2024·佛山月考）一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，
若45°角所对的边长是4 ，那么120°角所对的边长等于 .
解析：设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得 ＝
，得x＝ ＝ ＝12.
12
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2 ，则c＝（ ）
A. 1 B. 2
C. D.
解析： ∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c
＝ ＝ ＝2.故选B.
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2. 在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 sin B＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由 ＝ ，故 ＝ ，解得 sin B＝ .故选A.
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3. （2024·扬州月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，已知a＝2， sin （A＋B）＝ ， sin A＝ ，则c＝
（ ）
A. 4 B. 3
C. D.
解析： sin C＝ sin （A＋B）＝ .由正弦定理得c＝ · sin C
＝ × ＝ .故选C.
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4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C
＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（ ）
A. 1∶2∶3 B. 3∶2∶1
C. 2∶ ∶1 D. 1∶ ∶2
解析： 在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝
2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，
C＝90°，所以a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C＝ sin 30°∶ sin
60°∶ sin 90°＝1∶ ∶2.故选D.
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5. （多选）（2024·盐城联盟校期中）在△ABC中，角A，B，C所
对的边长分别为a，b，c，若a＝2 ，c＝2 ，A＝ ，则C
的值可以是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由正弦定理，有 ＝ ，得 sin C＝ ＝
＝ ，由C∈（0，π）且c＞a，得C＝ 或C＝ .故选B、D.
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6. （多选）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是
（ ）
A. a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B. b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C. a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
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解析： A中，∵ ＝ ，∴ sin B＝ ＝1，∴B
＝90°，即只有一解；B中，∵ ＝ ，∴ sin C＝ ＝
＝ ，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝
90°，a＝5，c＝2，∴b＝ ＝ ，有解；D中，∵
＝ ，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，又b＜a，∴只有一解.
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7. （2024·无锡锡南实验中学期中）在△ABC中，AB＝ ，∠BAC
＝60°，∠ABC＝75°，则BC＝ .
解析：因为∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝180°－
60°－75°＝45°，由正弦定理 ＝ ，即 ＝ ，解
得BC＝ .
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8. 在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径
为 .
解析：△ABC的外接圆的直径为2R＝ ＝ ＝ .
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解析：∵ cos A＝ ， cos C＝ ，∴ sin A＝ ＝ ， sin
C＝ ＝ ，∴ sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos
A sin C＝ × ＋ × ＝ .在△ABC中由正弦定理得 ＝
＝ ＝ ＝ ，∴b＝ sin B＝ × ＝ ，c＝ sin C＝ × ＝
.
9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cos A＝ ，
cos C＝ ，a＝1，则b＝ ，c＝ .
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10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条
件解三角形：
（1）A＝30°，C＝105°，a＝2；
解： ∵A＝30°，C＝105°，
∴B＝180°－（A＋C）＝45°.
∵ ＝ ＝ ，
∴b＝ ＝ ＝2 ，
c＝ ＝ ＝ ＋ .
∴B＝45°，b＝2 ，c＝ ＋ .
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（2）b＝3，c＝3 ，B＝30°.
解： 由正弦定理，得 ＝ ，
即 ＝ ，解得 sin C＝ .
∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°.
①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC
为直角三角形，此时a＝ ＝6.
②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，
∴a＝b＝3.
综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.
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11. 在△ABC中，若 sin C＝2 sin B cos B，且B∈（ ， ），则 的取
值范围为（ ）
A. （ ， ） B. （ ，2）
C. （0，2） D. （ ，2）
解析： 由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2 cos B. 又 ＜B
＜ ，余弦函数在此范围内单调递减，故 ＜ cos B＜ ，∴ ∈
（ ， ）.
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12. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 在△ABC中，a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C
B. 在△ABC中，若 sin 2A＝ sin 2B，则A＝B
C. 在△ABC中，若 sin A＞ sin B，则A＞B；若A＞B，则 sin A＞ sin B
D. 在△ABC中， ＝
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解析： 对于A，由 ＝ ＝ ＝2R，可得a∶b∶c
＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝ sin A∶ sin B∶ sin C，故A正
确；对于B，由 sin 2A＝ sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A
＝B或A＋B＝ ，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理
可得， sin A＞ sin B a＞b A＞B，故C正确；对于D，由
＝ ＝ ＝2R，可得 ＝ ＝2R＝ ，
故D正确.
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13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B
＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为
.
解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理 ＝ ，
得c＝ .若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞c
sin B，即 ＜b＜2.
（ ，
2）
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14. （2023·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别
是a，b，c.已知a＝ ，b＝2，A＝120°.
（1）求 sin B的值；
解： 在△ABC中，由正弦定理，得 ＝ ，则 sin
B＝ ＝ ＝ .
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（2）求c的值；
解： 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc
cos A，即（ ）2＝22＋c2－2×2×c× cos 120°，
解得c＝－7或c＝5.
又∵c＞0，∴c＝5.
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（3）求 sin （B－C）的值.
解： 由（1）（2）知 sin B＝ ， cos B＝ ， sin
C＝ .
∵A为钝角，∴C为锐角，∴ cos C＝ .
∴ sin （B－C）＝ sin B cos C－ cos B sin C＝ × －
× ＝－ .
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15. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方
图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小
三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若EF＝2， sin ∠ACF＝
，试求边AC的长.
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解：在△ACF中，∠AFC＝180°－60°＝120°，设AF＝CE＝
t，则CF＝2＋t，
由正弦定理可知， ＝ ，即 ＝ ，则AC＝ t，
在△ACF中，AC2＝AF2＋CF2－2AF·CF cos ∠AFC，
即 t2＝t2＋（2＋t）2－2t（t＋2）×（－ ），又t＞0，则t＝
3，故AC＝ t＝7.
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