(共59张PPT)
第2课时
复数的乘方与除法运算
新课程标准解读 核心素养
1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指
数幂的运算律在复数范围内仍成立 数学抽象、数学
运算
2.了解i的幂的周期性 数学抽象
3.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立， 我们
知道i1＝i， i2＝－1.
【问题】 i3， i4， i5， i6， i7， i8， i9， i10， i11， i12分别是多少？
从这些数中，你能总结出什么规律？
知识点一 复数的乘方与in（n∈N*）的周期性
1. 复数范围内幂的运算性质
对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn＝ ，（zm）n
＝ ，（z1z2）n＝ .
zm＋n
zmn
2. in（n∈N*）的周期性
i4n＝ ，i4n＋1＝ ，i4n＋2＝ ，i4n＋3＝ .
提醒 （1）复数范围内正整数指数幂的运算律与实数范围内正整
数指数幂的运算律是一致的；（2）由i的正整数指数幂的含义易
知，对于4个连续的正整数a，b，c，d都有ia＋ib＋ic＋id＝0.
1
i
－1
－i
知识点二 复数的除法
1. 复数的除法
我们把满足（c＋di）（x＋yi）＝a＋bi（c＋di≠0）的复数x
＋yi（x， y∈R）叫作复数a＋bi除以c＋di所得的商，记作
或 .
（a＋bi）÷（c＋di）
2. 复数的除法法则
一般地， ＝ ＝ ＋ i .
提醒 对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母
的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母
实数化，这与根式除法的分母“有理化”类似；②代数式：注意最
后结果要将实部、虚部分开.
＋ i
1. （多选）下列结论中正确的是（ ）
A. i＋i2＋i3＋i4＝0 B. ＝－i
C. ＝－i D. ＝－i
√
√
√
解析： 对于A，i2＝－1，i3＝（i2）i＝－i，i4＝（i2）2＝
1，i＋i2＋i3＋i4＝i＋（－1）＋（－i）＋1＝0，故A正确；对
于B， ＝ ＝ ＝－i，故B正确；对于C， ＝
＝－i，故C正确；对于D， ＝ ＝ ＝i，故D错
误.故选A、B、C.
2. 设a是实数，且 ＋ 是实数，则a＝（ ）
A. B. 1 C. D. 2
解析： ∵ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ i，又∵（
＋ ）∈R，∴ ＝0，解得a＝1.故选B.
√
3. （ ）2＝ .
解析：因为 ＝ ＝ .所以（ ）2＝
［ ］2＝ ＝i.
i
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的乘方与in（n∈N*）的周期性
【例1】 （1）（链接教科书第125页例4）设ω＝－ － i.求证：
①ω2＝ ；②ω2＋ω＋1＝0；③ω3＝1.
解： 证明：①因为ω2＝ ＝ ＋ i－ ＝－ ＋
i， ＝－ ＋ i，
所以ω2＝ .
②ω2＋ω＋1＝（－ ＋ i）＋ ＋1＝0.
③ω3＝ω·ω2＝（－ － i） ＝（－ ）2－（ i）2
＝ ＋ ＝1.
（2）计算：①（1＋i）4；②i＋i2＋i3＋…＋i100.
解： ①（1＋i）4＝[（1＋i）2]2＝（2i）2＝4i2＝－4.
②i＋i2＋i3＋…＋i100＝（i＋i2＋i3＋i4）×25＝0.
通性通法
1. 进行复数的乘方运算时要灵活运用乘方的运算性质及一些常用
的结论：
（a＋bi）2＝a2＋2abi－b2（a，b∈R）；（a＋bi）（a－bi）
＝a2＋b2（a，b∈R）；（1±i）2＝±2i.
2. 利用i幂值的周期性解题的技巧
（1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数分别是
0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；
（2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
【跟踪训练】
1. （ － i）3＝（ ）
A. －i B. i
C. －1 D. 1
解析： （ － i）3＝（ － i）2（ － i）＝（－ － i）
（ － i）＝－ － ＝－1.故选C.
√
2. （2024·江苏东海高中月考）已知复数z＝（ ）2 025，则 的虚部
为（ ）
A. －1 B. －i
C. 1 D. i
解析： 因为 ＝ ＝i，又i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
所以z＝（ ）2 025＝i2 025＝i506×4＋1＝（i4）506×i＝i，所以 ＝－
i，所以 的虚部为－1.故选A.
√
题型二 复数的除法运算
【例2】 （1）（链接教科书第126页例5） ＝（ A ）
A. － ＋ i B. － i
C. － ＋ i D. － i
A
解析： 法一 设 ＝x＋yi，所以1＋2i＝（3－4i）（x
＋yi），即1＋2i＝（3x＋4y）＋（3y－4x）i，所以
解得所以 ＝－ ＋ i.故选A.
法二 ＝ ＝ ＝ ＝－ ＋ i.故选A.
（2）若复数z满足z（2－i）＝11＋7i（i为虚数单位），则z＝
（ A ）
A. 3＋5i B. 3－5i
C. －3＋5i D. －3－5i
A
解析：因为z（2－i）＝11＋7i，所以z＝ ＝ ＝ ＝3＋5i.故选A.
通性通法
1. 两个复数代数形式的除法运算的步骤
（1）首先将除式写为分式；
（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代
数形式.
2. 常用公式
（1） ＝－i；（2） ＝i；（3） ＝－i.
【跟踪训练】
计算：（1） ；
解： 法一 ＝ ＝ ＝－2＋i.
法二 ＝
＝ ＝ ＝ ＝－2＋i .
解：原式＝[（1＋i）2]3· ＋[（1－i）2]3· － ＝
（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－ ＝8＋8－16－16i
＝－16i.
（2） ＋ － .
题型三 在复数范围内解方程
【例3】 （链接教科书第126页例6）在复数范围内解下列方程：
（1）x2＋5＝0；
解： 因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为（ i）2＝（－ i）2＝－5，
所以x＝± i，所以方程x2＋5＝0的根为x＝± i.
（2）x2＋4x＋6＝0.
解： 法一 因为x2＋4x＋6＝0，所以（x＋2）2＝－2，
因为（ i）2＝（－ i）2＝－2，
所以x＋2＝ i或x＋2＝－ i，
即x＝－2＋ i或x＝－2－ i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± i.
法二 由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6
＝0无实数根.
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且
b≠0），
则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，
所以
又因为b≠0，所以
解得a＝－2，b＝± .所以x＝－2± i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± i.
通性通法
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的
求解方法
（1）求根公式法：
①当Δ≥0时，x＝ ；
②当Δ＜0时，x＝ ；
（2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，
n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数
相等的定义求解；
（3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－ ，x1x2＝
.
【跟踪训练】
1. （2024·泰州月考）已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0
（q∈R）的一个根，则该方程的另一个根为（ ）
A. 2i＋3 B. －2i－3
C. 2i－3 D. －2i＋3
解析： 根据题意，方程的另一个根为－6－（2i－3）＝－3－
2i.故选B.
√
2. 已知关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根
及实数k的值.
解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（ ＋kx0＋2）＋
（2x0＋k）i＝0.
由复数相等的条件得 ＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，
解得或
∴方程的实根为x＝ 或－ ，相应的k的值为－2 或2 .
1. （2024·南京月考）已知 ＝1＋i（i为虚数单位），则复数z
＝（ ）
A. 1＋i B. 1－i
C. －1＋i D. －1－i
解析： 因为 ＝1＋i，所以z＝ ＝ ＝
＝－1－i.故选D.
√
2. （多选）方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝（ ）
A. 1＋ i B. 1－ i
C. － i D. i
解析： x2＝－3，解得x＝ i或x＝－ i.故选C、D.
√
√
3. 如果z＝ ，那么z100＋z50＋1＝ .
解析：z2＝（ ）2＝i，则z100＋z50＋1＝（z2）50＋（z2）25＋1＝
i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.
4. 计算：（1） ；
解： 原式＝ ＝
＝ ＝ ＝1－i.
i
（2） （ ＋ i）5＋ ＋ .
解： （ ＋ i）5＋ ＋
＝－i·（ ）5·[（1＋i）2]2·（1＋i）＋ ＋i7＝
16 （－1＋i）－ －i
＝－ ＋（16 －1）i.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知复数z＝ ＋5i，则z＝（ ）
A. 1－7i B. －1＋7i
C. 1 D. 7i
解析： z＝ ＋5i＝ ＋5i＝－1＋7i，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 若i为虚数单位， ＋ ＋ ＋ ＝（ ）
A. 0 B. 2i
C. －2i D. 4i
解析： ＝－i， ＝i， ＝－i， ＝i，∴ ＋ ＋ ＋ ＝0.
故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 若复数 （a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a＝
（ ）
A. －6 B. －4
C. 4 D. 6
解析： 因为 ＝ ＝ 为纯虚
数，所以解得a＝－6.故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. （2024·徐州月考）若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此
复数为“理想复数”.已知z＝ ＋bi（a，b∈R）为“理想复
数”，则（ ）
A. a－5b＝0 B. 3a－5b＝0
C. a＋5b＝0 D. 3a＋5b＝0
解析： z＝ ＋bi＝ ＋bi＝ ＋（ ＋b）i.由
题意知， ＝－ －b，则3a＋5b＝0.故选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多选）若x2－x＋1＝0，则x＝（ ）
A. ＋ i B. － ＋ i
C. － i D. － － i
解析： 由x2－x＋1＝0知，Δ＝1－4＝－3＜0，所以方程无实
根，所以在复数范围内方程x2－x＋1＝0的根为x＝ ，
即x1＝ ＋ i，x2＝ － i，故选A、C.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）设z＝ ＋ i，则下列式子成立的是（ ）
A. z2＝－ B. z3＝－1
C. z2－z＋1＝0 D. z3＝1
解析：ABC z2＝（ ＋ i）2＝ － ＋ i＝－ ＋ i＝－ ，故
A正确；z3＝（ ＋ i）3＝（ ＋ i）2（ ＋ i）＝（－ ＋
i）（ ＋ i）＝－ － ＝－1，故B正确，D错误；z2－z＋1＝－
＋ i－ － i＋1＝0，故C正确.故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. （2024·盐城联盟校期中）若复数z满足方程 i＝1－i，则z
＝ .
解析：由题意可得 ＝ ＝ ＝－i（1－i）＝－1－i，所
以z＝－1＋i.
－1＋i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. （2024·江苏启动中学月考）写出一个同时满足①②的复数z
＝ .①z2＝ ；②z R.
解析：因为z R，不妨设z＝a＋bi（a，b∈R，b≠0），由z2＝
得（a＋bi）2＝a2－b2＋2abi＝a－bi，所以解得
a＝－ ，b＝± ，所以z＝－ － i或z＝－ ＋ i.
－ － i（或－ ＋ i）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若 是实数，则实数b＝ .
解析： ＝ ＝ ＝ ，∵ 是实数，
∴6－b＝0，即b＝6.
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 计算：
（1）（ － ＋ i）（2－i）（3＋i）；
解： （ － ＋ i）（2－i）（3＋i）＝（ － ＋
i）·（7－i）＝ ＋ i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2） .
解： ＝
＝ ＝ ＝
＝－2－2i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. （2024·江苏启动中学月考）已知f（n）＝（ ）2n＋（ ）2n
（n∈N*），则集合{x｜x＝f（n），n∈N*}中元素的个数为
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： ∵f（n）＝（ ）2n＋（ ）2n＝［（ ）2］n＋
［（ ）2］n＝2（－1）n，∴{x｜x＝f（n），n∈N*}＝{2，
－2}，∴集合{x｜x＝f（n），n∈N*}中元素的个数为2.故选
B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多选）已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N}，其中i为虚数单
位，则下列元素属于集合M的是（ ）
A. （1－i）（1＋i） B.
C. D. （1－i）2
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： M＝{m｜m＝in，n∈N}中，n＝4k（k∈N）时，
in＝1；n＝4k＋1（k∈N）时，in＝i；n＝4k＋2（k∈N）时，
in＝－1；n＝4k＋3（k∈N）时，in＝－i，∴M＝{－1，1，i，
－i}.选项A中，（1－i）（1＋i）＝2 M；选项B中， ＝
＝－i∈M；选项C中， ＝ ＝i∈M；选
项D中，（1－i）2＝－2i M. 故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知复数z＝ 是纯虚数，θ∈R，则θ＝ kπ＋
.
解析： ＝（tan θ－ ）＋i，因为z＝
是纯虚数，所以tan θ－ ＝0，所以θ＝kπ＋
（k∈Z）.
kπ＋
（k∈Z）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知复数z＝2＋i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2＋px
＋q＝0的根.
（1）求p＋q的值；
解： 关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的虚根互为共
轭复数，所以它的另一根是2－i，根据根与系数的关系可得
p＝－4，q＝5，p＋q＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若复数w＝a＋bi（a，b∈R）满足zw是实数，且a2＋b2
＝20，求复数w.
解： 由（a＋bi）（2＋i）＝（2a－b）＋（a＋
2b）i∈R，得a＋2b＝0.又a2＋b2＝20，
解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，
因此w＝4－2i或w＝－4＋2i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 已知ω＝－ ＋ i（i为虚数单位）.
（1）求（ω＋2ω2）2＋（2ω＋ω2）2的值；
解： ∵ω＝－ ＋ i，
∴ω2＝－ － i＝ ，ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，
∴（ω＋2ω2）2＋（2ω＋ω2）2＝ω2＋4ω3＋4ω4＋4ω2＋4ω3＋
ω4＝5ω2（ω2＋ω＋1）＋3ω3＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求ω2＋ 的值；
解： 由（1）知ω2＋ω＝－1，∴ω2＋ ＝ ＝
＝ω2＋ω＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）类比i（i2＝－1），探讨ω（ω为虚数）的性质，求ωn
（n∈Z）的值.
解： 由（1）可知ω2＝－ － i＝ ，ω3＝1，
∴ωn＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15(共53张PPT)
第1课时
复数的加法、减法、乘法运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握复数代数形式的加、减运算 数学运算
2.理解复数乘法的运算法则，能进行
复数的乘法运算 数学抽象、数学运算
3.掌握共轭复数的概念及应用 数学抽象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还
满足交换律与结合律.
【问题】 复数中的加法满足交换律与结合律吗？
知识点一 复数的加法运算及运算律
1. 复数的加法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则（a＋bi）＋
（c＋di）＝ .
即两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加.
（a＋c）＋（b＋d）i
2. 复数加法满足的运算律
对任何z1，z2，z3∈C，有：
（1）交换律：z1＋z2＝ ；
（2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝ .
z2＋z1
z1＋（z2＋z3）
知识点二 复数的减法运算
1. 复数的差
把满足（c＋di）＋（x＋yi）＝a＋bi的复数x＋yi（x，y∈R）
叫作复数a＋bi减去c＋di所得的差，记作
.
2. 复数的减法法则
（a＋bi）－（c＋di）＝ .
即两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减.
提醒 复数的减法是加法的逆运算.
（a＋bi）－（c＋
di）
（a－c）＋（b－d）i
【想一想】
对于多个复数相加（减）应该如何运算呢？
提示：实部与虚部分别相加（减）.
知识点三 复数的乘法运算
1. 复数的乘法法则
（a＋bi）（c＋di）＝ .
2. 复数乘法的运算律
对任何z1，z2，z3∈C，有：
（1）交换律：z1z2＝ ；
（2）结合律：（z1z2）z3＝ ；
（3）分配律：z1（z2＋z3）＝ .
提醒 （1）两个复数的积仍是一个复数；（2）复数的乘法
法则与多项式的乘法法则类似.
（ac－bd）＋（bc＋ad）i
z2z1
z1（z2z3）
z1z2＋z1z3
【想一想】
1. 复数的乘法与多项式乘法有何不同？
提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所
得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.
2. 多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？
提示：仍然成立，乘法公式也适用.
知识点四 共轭复数
1. 共轭复数的定义
（1）把实部 、虚部 的两个复数叫作互为
共轭复数；
（2）记法：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数记作 ，即
＝ .
2. 共轭数的性质
当复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部b＝0时，z＝ ，也就是
说，实数的共轭复数是 .
相等
互为相反数
a－bi
它本身
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 复数与复数相加减后结果只能是实数
B. 在进行复数加减乘的混合运算时，先乘再加减
C. 在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加
得虚部
D. 复数的减法不满足结合律，即（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可
能不成立
√
√
解析： 对于A，复数与复数相加减后结果为确定的复数，故A
错误；B、C正确；对于D，根据复数的运算法则可知（z1－z2）－
z3＝z1－（z2＋z3）是成立的，故D错误.故选B、C.
2. 已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（ ）
A. 8i B. 6
C. 6＋8i D. 6－8i
解析： 根据复数的加法法则得z1＋z2＝（3＋4i）＋（3－4i）＝
6.故选B.
3. 已知z＝3＋2i，则 ＝ ，z· ＝ .
解析： ＝3－2i，z· ＝（3＋2i）（3－2i）＝9－4i2＝9＋4＝13.
3－2i
13
√
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的加、减运算
【例1】 （1）（链接教科书第123页例1）计算：（5－5i）＋（－2
－2i）－（3＋3i）＝ ；
解析： （5－5i）＋（－2－2i）－（3＋3i）＝（5－2－
3）＋[－5＋（－2）－3]i＝－10i.
－10i
（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，则z1
－z2＝ .
解析： 因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以
（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，所以 所以
所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－
（－8）]i＝－1＋10i.
－1＋10i
通性通法
复数加（减）运算的法则
（1）复数代数形式的加（减）运算实质就是将实部与实部相加
（减），虚部与虚部相加（减）之后分别作为结果的实部与虚
部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；
（2）复数的加（减）运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类
项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进
行计算.
【跟踪训练】
1. －i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝ .
解析：－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝－i＋1－5i－2
－3i＋i－1＝－2－8i.
2. （2024·常州月考）已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1
＋z2是纯虚数，则实数a＝ .
解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋（a2－1）i，又z1＋z2是纯虚
数，所以解得a＝3.
－2－8i
3
题型二 复数的乘法运算
【例2】 （链接教科书第124页例2、例3）（1）设a∈R，（a＋i）
（1－ai）＞0，则a＝（ C ）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析： ∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1
－a2）i＞0，则复数2a＋（1－a2）i为实数，∴2a＞0且1－a2
＝0，解得a＝1.故选C.
C
（2）计算：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝ .
解析： （2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝（－2＋10i＋i
－5i2）（3－4i）＋2i＝（3＋11i）（3－4i）＋2i＝（9－12i＋
33i－44i2）＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
53＋23i
通性通法
复数的乘法运算法则的应用
（1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注
意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；
（2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更
简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
【跟踪训练】
1. 计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（ ）
A. 2－13i B. 13＋2i
C. 13－13i D. －13－2i
解析： （1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）
＝－13－2i.故选D.
√
2. （2024·无锡月考）若复数（m2＋i）（1＋mi）是实数，则实数m
＝ .
解析：∵（m2＋i）（1＋mi）＝m2－m＋（m3＋1）i是实数，
∴m3＋1＝0，则m＝－1.
－1
题型三 共轭复数及其应用
【例3】 复数z满足z· ＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数.
解：设z＝x＋yi（x，y∈R），则 ＝x－yi.
∵z· ＋2iz＝4＋2i，∴x2＋y2＋2i（x＋yi）＝4＋2i，
∴（x2＋y2－2y）＋2xi＝4＋2i.
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
∴z的共轭复数为 ＝1－3i或 ＝1＋i.
通性通法
1. 有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：（1）设z
＝a＋bi（a，b∈R），则z· ＝a2＋b2；（2）z∈R z＝ .
2. 紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解题
的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础.
【跟踪训练】
已知z∈C， 为z的共轭复数，若z· －3i ＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝a－bi.
由题意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
1. 若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则
a－b＝（ ）
A. 5 B. 1
C. 0 D. －3
解析： 因为（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，
所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故选B.
√
2. 已知i是虚数单位，则复数z＝（3＋i）＋（－3－2i）的共轭复数的
虚部是（ ）
A. 1 B. i
C. －1 D. －i
解析： z＝（3＋i）＋（－3－2i）＝（3－3）＋（1－2）i＝－
i，则 ＝i，复数 的虚部为1.故选A.
√
3. （2024·南通月考）定义一种运算： ＝ad－bc.则复数
的共轭复数是 .
解析：∵ ＝3i（1＋i）＋2＝－1＋3i，∴其共轭复数
为－1－3i.
－1－3i
4. 若复数z满足（1＋2i） ＝4＋3i，则z＝ .
解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝a－bi.∴（1＋2i）（a
－bi）＝4＋3i，∴a－bi＋2ai＋2b＝4＋3i，即（a＋2b）＋
（2a－b）i＝4＋3i，∴解得a＝2，b＝1.∴z＝2
＋i.
2＋i
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若复数满足（a＋3i）－（2－i）＝5＋bi（a，b∈R），则a＋b
＝（ ）
A. －4 B. 11
C. －8 D. 5
解析： （a＋3i）－（2－i）＝（a－2）＋4i＝5＋bi.
故即所以a＋b＝11.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. （2024·盐城联盟校期中）复数z＝（1－i）（2＋i）的实部为
（ ）
A. 3i B. 3
C. －i D. －1
解析： 复数z＝（1－i）（2＋i）＝3－i，其实部为3.故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. （1－i） （1＋i）＝（ ）
A. 1＋ i B. － ＋i
C. ＋i D. －1＋ i
解析： （1－i） （1＋i）＝（1－i）（1＋i）（－
＋ i）＝（1－i2） ＝2（－ ＋ i）＝－1＋ i.故
选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知z＝1－2i，且z＋a ＋b＝0，其中a，b为实数，则（ ）
A. a＝1，b＝－2 B. a＝－1，b＝2
C. a＝1，b＝2 D. a＝－1，b＝－2
解析： 由题意知 ＝1＋2i，所以z＋a ＋b＝1－2i＋a（1＋
2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋a ＋b＝0，所以a＋b＋
1＋（2a－2）i＝0，所以解得故选
A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多选）已知i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝－4＋3i，z3＝1－
i，则（ ）
A. z1＋z3＝4＋3i
B. z1与z2互为共轭复数
C. z1＋z2＋z3为纯虚数
D. （z1－z2）z3＝8－6i
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 对于A，z1＋z3＝3＋4i＋（1－i）＝4＋3i，故A正
确；对于B，复数z1＝3＋4i的共轭复数为 ＝3－4i，故B错误；对
于C，z1＋z2＋z3＝3＋4i－4＋3i＋1－i＝6i，故C正确；对于D，因
z1－z2＝7＋i，则（z1－z2）z3＝（7＋i）（1－i）＝8－6i，故D正
确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 纯虚数z的共轭复数是－z
B. 若z1－z2＝0，则z1＝
C. 若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数
D. 若z1－z2＝0，则z1与 互为共轭复数
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 选项A中，根据共轭复数的定义知是真命题，故A
正确；选项B中，若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数
时，则有z1＝ ，当z1，z2均为虚数时，z1≠ ，故B错误；选
项C中，若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，
或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，故C错误；选
项D中，若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与 互为共轭复数，故
D正确.故选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 若复数z满足z＋（5－6i）＝3，则z的虚部为 .
解析：由z＋（5－6i）＝3，得z＝3－（5－6i）＝－2＋6i，故z的
虚部为6.
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 已知a，b∈R，（a＋bi）2＝3＋4i（i是虚数单位），则a2＋b2
＝ ，ab＝ .
解析：由已知（a＋bi）2＝3＋4i，即a2－b2＋2abi＝3＋4i，得
解得则a2＋b2＝5，ab＝2.
5
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. （2024·淮安月考）已知复数z1＝ －2mi，z2＝－m＋
m2i，若z1＋z2＞0，则实数m＝ .
解析：z1＋z2＝（ －2mi）＋（－m＋m2i）＝（
－m）＋（m2－2m）i.因为z1＋z2＞0，所以z1＋z2为实数且大于
0，所以解得m＝2.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 计算：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）；
解： （－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）
＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝（5－9＋3）＋（－7＋8－2）i
＝－1－i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）（ ＋ i）＋（2－i）－（ － i）；
解： （ ＋ i）＋（2－i）－（ － i）
＝ ＋ i＋2－i－ ＋ i
＝（ ＋2－ ）＋（ －1＋ ）i
＝1＋i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2，z1z2.
解： z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i）
＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3＋i.
z1z2＝（2＋3i）（－1＋2i）
＝－2＋4i－3i＋6i2
＝－2＋i－6
＝－8＋i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 据记载，欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R）是由瑞士著名数学
家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x＝π
时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个
重要的数（自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数1和
0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据
欧拉公式，若复数z＝ 的共轭复数为 ，则 ＝（ ）
A. － － i B. － ＋ i
C. ＋ i D. － i
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 由欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R），得z＝ ＝
cos ＋i sin ＝－ ＋ i，根据共轭复数定义可知 ＝－ －
i.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多选）若复数z满足z＋2 ＝9＋4i（i为虚数单位），则
（ ）
A. z ＝25 B. z＝3＋4i
C. z＝3－4i D. ＝3＋4i
解析： 设z＝x＋yi（x，y∈R），∵z＋2 ＝9＋4i，∴x
＋yi＋2（x－yi）＝9＋4i，即3x－yi＝9＋4i，
∴∴∴z＝3－4i， ＝3＋4i，∴z ＝（3＋
4i）（3－4i）＝9－16i2＝9＋16＝25.故选A、C、D.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：把 ＋ i代入方程，得a ＋b ＋1＝0，
即 ＋ i＝0，所以
即解得
13. （2024·扬州月考）已知 ＋ i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1
＝0的一个根，则a＝ ，b＝ .
1
－
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知复数z＝（1－i）2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i（a，
b∈R），求b＋ai的共轭复数.
解：z＝（1－i）2＋1＋3i
＝－2i＋1＋3i
＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，
得（1＋i）2＋a（1＋i）＋b＝1－i，
∴a＋b＋i（a＋2）＝1－i（a，b∈R），
∴解得
∴b＋ai＝4－3i，
则b＋ai的共轭复数是4＋3i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 已知复数z＝1＋i，实数a，b满足az＋2bz＝（a＋2z）2成立，
求a，b的值.
解：az＋2bz＝（a＋2b）＋（a＋2b）i，
（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i
＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i，
∴（a＋2b）＋（a＋2b）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i.
∴
解得或
∴所求实数a＝－2 ，b＝4－3 或a＝2 ，b＝4＋3 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
