(共58张PPT)
第1课时 平行直线
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线
的位置关系 直观想象
2.了解基本事实4及等角定理 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察我们所在的教室.
【问题】 （1）教室内同一列的护眼灯管所在的直线是什么位置关系？
（2）教室中护眼灯管所在的直线和黑板左侧所在的直线是什么位置
关系？
知识点一 空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在 平面内 有且只有 个
平行直线 在 平面内 没有
异面直线 不同在
平面内 没有
同一
1
同一
任何一个
【想一想】
若两条直线没有公共点，那么这两条直线平行，这种说法是否正确？
提示：不正确.若两条直线没有公共点，那么这两条直线可以是平行
直线也可以是异面直线.
知识点二 基本事实4
文字语言 的两条直线平行
图形语言
符号表述
含义 揭示了空间平行线的传递性
作用 证明两条直线平行
平行于同一条直线
a∥c
知识点三 等角定理
研究
对象 在空间中的两个角
条件 一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同
结论 这两个角
提醒 等角定理的推论：推论1：在空间中，如果一个角的两边和另
一个角的两边分别平行并且方向相反，那么这两个角相等；推论2：
在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且一组平
行边方向相同，另一组平行边方向相反，那么这两个角互补.
相等
【想一想】
两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行对吗？
提示：不一定.两条直线可以是相交、平行或异面直线.
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
B. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相
等
C. 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线
所成锐角（或直角）相等
D. 在空间中，互相平行的两直线是指在同一平面内没有公共点的两
条直线
√
√
√
解析： 对于A，由基本事实4知A正确；对于B，由等角定理
知，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角
相等或互补，故B错误，C正确；对于D，由平行线的定义可知D正
确.故选A、C、D.
2. 已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD
的中点，则MN与A'C'的位置关系是 .
解析：如图所示，连接AC，则MN AC，又
∵AC A'C'，∴MN A'C'.
3. 空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝
70°，则∠B＝ .
解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A
＋∠B＝180°，又∵∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.
平行
70°或110°
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间两直线位置关系的判定
【例1】 （1）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列
直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
平行
②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
④直线AB与直线B1C的位置关系是 .
异面
相交
异面
解析：根据题意知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没
有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，
B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线
B1C异面.同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④应该填“异 直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相
交”.
解析：根据题意知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没
有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，
B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线
B1C异面.同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④应该填“异
面”；
（2）已知a，b，c是三条直线，且a与b异面，b与c异面，试判断
a与c的位置关系，并画图说明.
解：直线a与c的位置关系有三种，如图所示.
直线a与c可能平行
（如图①所示），也
可能相交（如图②所
示），还可能异面
（如图③所示）.
通性通法
空间两条直线位置关系的判定方法
（1）判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条
直线平行也可以用基本事实4判断；
（2）判定两条直线是异面直线通常用定义法，即判断两直线不可能
在同一平面内.
【跟踪训练】
（多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，
H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则
下列结论不正确的是（ ）
A. 直线GH和MN平行，GH和EF相交
B. 直线GH和MN平行，MN和EF相交
C. 直线GH和MN相交，MN和EF异面
D. 直线GH和EF异面，MN和EF异面
√
√
√
解析： 易知GH∥MN，又因为E，F，M，N分别为所在棱的
中点，由基本事实3可知EF，DC，MN交于一点，所以B正确，C、
D错误；由异面直线的判定定理得GH和EF是异面直线，所以A错误.
故选A、C、D.
题型二 基本事实4及其应用
【例2】 （链接教科书第168页例1）如图，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是AB，BC，A1B1，B1C1的中点.
求证：EE1∥FF1.
证明：因为E，E1分别是AB，A1B1的中点，
所以BE∥B1E1，且BE＝B1E1.
所以四边形EBB1E1是平行四边形.
所以EE1∥BB1.
同理可证FF1∥BB1.
所以EE1∥FF1.
【母题探究】
（变条件，变设问）在本例中，条件改为：如图，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，A1D1的中点，求证：四边形
ACMN是梯形.
证明：连接A1C1（图略），在△A1C1D1中，
因为M，N分别是C1D1，A1D1的中点，所以MN是△A1C1D1的中位
线，
所以MN∥A1C1，且MN＝ A1C1.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
所以MN∥AC，且MN＝ AC.
又AN与CM不平行，所以四边形ACMN是梯形.
通性通法
证明空间两条直线平行的方法
（1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；
（2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两
条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；
（3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，
使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c.
【跟踪训练】
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，H，
G分别是AD，CD上的点，满足 ＝ .
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
证明： 如图，连接AC，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
在△ADC中，∵ ＝ ，∴GH∥AC，
∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）设EH与FG交于点P，求证：B，D，P三点共线.
证明： ∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，又∵EH 平面ABD，∴P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，∴P为平面ABD与平面
BCD的一个公共点.
又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即
P，B，D三点共线.
题型三 等角定理及其应用
【例3】 （链接教科书第170页例2）如图，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中
点.求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
证明：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1
的中点M，连接BM，F1M.
由题意得BF＝A1M＝ AB.
又BF∥A1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形，
∴A1F∥BM.
又F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M C1B1.
而C1B1 BC，∴F1M BC，
∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥CF1.
又∵BM∥A1F，∴A1F∥F1C，
同理可得A1E∥CE1，
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别平行且方向相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
通性通法
关于等角定理的应用
（1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线
平行；
（2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补.
【跟踪训练】
如图所示，点A1，B1，C1分别是不共面的三条射线OA，OB，OC上
的点，且 ＝ ＝ .求证：△A1B1C1∽△ABC.
证明：在△OAB中，因为 ＝ ，
所以A1B1∥AB. 同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
1. 如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中
点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A. 3条 B. 4条
C. 5条 D. 6条
解析： 因为E，F分别是B1O和C1O的中点，所以EF∥B1C1，又B1C1∥BC∥AD∥A1D1，故选B.
√
2. 空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β
＝ .
解析：∵空间两角α，β的两边分别对应平行，∴这两个角相等或
互补.∵α＝60°，∴β＝60°或120°.
60°或120°
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中
点，求证：BFD1E是平行四边形.
证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
因为F为CC1的中点，
所以BG∥FC1，且BG＝FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1，BF＝GC1.
同理可证四边形A1EGB1为平行四边形，
所以EG∥A1B1，EG＝A1B1，又因为
A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1.所以BF∥ED1，
BF＝ED1.
所以四边形BFD1E是平行四边形.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 空间中两条互相平行的直线指的是（ ）
A. 空间中没有公共点的两条直线
B. 分别在两个平面内的两条直线
C. 在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线
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2. 如图所示，在三棱锥S -MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，
SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 平行或异面
解析： ∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN. 同理可
证HG∥PN，∴EF∥HG. 故选A.
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3. 已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR的大小为
（ ）
A. 30° B. 30°或150°
C. 150° D. 以上结论都不对
解析： 若AB与PQ，BC与QR方向都相同或相反，则∠PQR＝
∠ABC＝30°；若AB与PQ，BC与QR中一对方向相反，一对方
向相同，则∠PQR＋∠ABC＝180°，即∠PQR＝150°.所以
∠PQR＝30°或150°.故选B.
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4. 空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直
线AB与CD的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 异面
C. 相交或平行
D. 平行或异面或相交均有可能
解析： 如图可知AB，CD有平行，异面，相交三种情况，故选D.
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5. （多选）（2024·淮安月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
直线l 平面A1B1C1D1，且直线l与直线B1C1不平行，则下列说法
可能成立的是（ ）
A. l与AD平行
B. l与AD不平行
C. l与AC平行
D. l与BD平行
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解析： 假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，
这与直线l与直线B1C1不平行矛盾，所以直线l与直线AD不平行，
故A项不可能成立，易知B、C、D项均可能成立，故选B、C、D.
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6. （多选）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，
BC∥DE. 设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，
则（ ）
A. PQ＝ MN
B. PQ∥MN
C. M，N，P，Q四点共面
D. 四边形MNPQ是梯形
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解析： 由题意知PQ＝ DE，且DE≠MN，所以PQ≠
MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又
PQ≠MN，所以B、C、D正确.
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7. 在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC
的中点，若EF＝2，则GH＝ .
解析：由题意知EF∥AC，EF＝ AC，GH∥AC，GH＝ AC，
故EF GH，故GH＝2.
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8. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所
有与∠A1AB相等的角是 .
解析：因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，
AB∥DC，所以∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1，
D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相
等.
∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
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9. 如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交
于同一点O，且 ＝ ＝ ＝ ，则 ＝ .
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解析：如题干图， ＝ ＝ ＝ ，可证AB∥A'B'，
AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝
∠A'C'B'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴ ＝ ，∴ ＝
× ＝ .
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10. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
解：如图所示，在平面A1C1内过点P作直线
EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则
直线EF即为所求.
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
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11. 已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且
AC＝4，BD＝6，则（ ）
A. 1＜MN＜5 B. 2＜MN＜10
C. 1≤MN≤5 D. 2＜MN＜5
解析： 取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且
MH＝ BD，NH∥AC，且NH＝ AC，且M，N，H三点构成
三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋
NH，即1＜MN＜5.故选A.
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12. （多选）如图所示，在四面体A-BCD中，M，N，P，Q，E分
别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是
（ ）
A. M，N，P，Q四点共面
B. ∠QME＝∠CBD
C. △BCD∽△MEQ
D. 四边形MNPQ为梯形
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解析： 由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，
QE∥CD，NP∥BD. 对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，
Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME
＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝
∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正
确；由三角形的中位线定理，知MQ BD，NP BD，所以
MQ NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确.
故选A、B、C.
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13. （2024·常州质检）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分
别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且 ＝
＝ ，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之
间的距离为 .
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解析：由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝
BD＝3，又∵ ＝ ＝ ，∴GF∥BD且GF＝ BD＝4，由基本
事实4知，EH∥GF，∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG
之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h，即 ＝28，得h
＝8.
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14. 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝
∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝ AD，BE∥FA，BE＝ FA，
G，H分别为FA，FD的中点.
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
解： 证明：由G，H分别为FA，FD
的中点，
可得GH∥AD，GH＝ AD.
又BC∥AD，BC＝ AD，∴GH BC，
∴四边形BCHG是平行四边形.
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（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解： 由BE∥FA，BE＝ FA，G为FA
的中点知，
BE FG，∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG.
由（1）知BG∥CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
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15. 如图①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，
AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C'D'的位置
（如图②），G，H分别为AD'，BC'的中点，求证：四边形
EFGH为平行四边形.
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证明：在题图①中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F
分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝ （AB＋CD）.
在题图②中，易知C'D'∥EF∥AB.
∵G，H分别为AD'，BC'的中点，
∴GH∥AB且GH＝ （AB＋C'D'）＝ （AB＋CD），
∴GH∥EF，且GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形.
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15(共52张PPT)
第2课时 异面直线
新课程标准解读 核心素养
1.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是
不是异面直线 数学抽象、直
观想象
2.理解异面直线所成角的概念 直观想象、数
学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C.
【问题】 （1）直线A1C与B1B具有怎样的位置关系？
（2）图中还有哪些直线与直线A1C是异面直线？
知识点 异面直线
1. 异面直线的判定与几何表示
画法 图形表示如图所示（通常用一个或两个平面衬托） 判定 定理 文字 表述 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面
内 的直线是异面直线
符号 表述 若l α，A α，B∈α，B l，则直线AB与l是异
面直线
不经过该点
2. 异面直线所成的角
定义 a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'∥a，
b'∥b，我们把直线a'和b'所成的 （或直角）叫作异
面直线a，b所成的角或夹角
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°＜θ≤90°
特殊情
况 当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作a⊥b
锐角
90°
【想一想】
为什么a'，b'所成角的大小与点O的选择无关？
提示：因为a'∥a，b'∥b，根据等角定理，a'，b'所成的锐角（或直
角）等于a，b所成的锐角（或直角），与点O的选择无关.不过为了
方便计算异面直线所成角的大小，点O常在异面直线中的某一条上
取，常取某些特殊点.
1. （多选）如图，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在直线中，是异面直
线的有（ ）
A. AP与BC
B. BP与BC
C. CP与AB
D. BP与AC
解析： 根据异面直线的定义可知异面直线共3对：AP与
BC， CP与AB， BP与AC. 故选A、C、D.
√
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2. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1与BC所成的
角的度数是 .
解析：因为AD∥BC，所以∠DAD1就是异面直线AD1与BC所成的
角.因为△ADD1是等腰直角三角形，所以∠DAD1＝45°.
45°
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 异面直线的判定
【例1】 如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F是棱AD上异于A，
D的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下
列说法：
①AB与CD互为异面直线；
②FH分别与DC，DB互为异面直线；
③EG与FH互为异面直线；
④EG与AB互为异面直线.
其中说法正确的是 .（填序号）
①②③④
解析：因为直线DC 平面BCD，直线AB 平面BCD，点B 直线
DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确.
通性通法
判定异面直线的方法
（1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相
交，即不可能同在一个平面内；
（2）利用异面直线的判定定理；
（3）反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位
置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出
矛盾即可.
【跟踪训练】
如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解：三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体
如图所示.
题型二 异面直线所成的角
【例2】 （链接教科书第172页例3）如图，在正方体ABCD-EFGH
中，O为侧面ADHE的中心，求：
（1）BE与CG所成的角的大小；
解： ∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
（2）FO与BD所成的角的大小.
解： 如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO是FO与BD所成的角，
连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
通性通法
求两条异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，用平移法构造出一个相交角；
（2）证明这个角就是异面直线所成的角（或补角）；
（3）把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角
形求出所构造的角的度数；
（4）给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面
直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面
直线所成的角.
【跟踪训练】
在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，
F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
解：如图所示，取AC的中点G，
连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝ AB，
GF∥CD且GF＝ CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与
AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
题型三 异面直线所成角的应用
【例3】 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，求证：
AC⊥B1D.
证明：如图，连接BD，交AC于点O，取BB1的中点
E，连接OE，
则OE∥B1D，
所以OE与AC所成的角即为B1D与AC所成的角.
连接AE，CE.
易证AE＝CE，
又O是AC的中点，
所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
通性通法
证明两条直线垂直的策略
（1）对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明；
（2）对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所
成的角为90°来证明.
【跟踪训练】
如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若
BD与AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2，求EF的长度.
解：取BC的中点M，连接ME，MF，如图，则
ME∥AC，MF∥BD，∴ME与MF所成的锐角（或直
角）即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
∵ME＝ AC，MF＝ BD，BD＝AC＝2，
∴ME＝MF＝1.
当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝1；
当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，连接MN，则MN⊥EF，
∴EF＝2EN＝2EM· sin ∠EMN＝2×1× ＝ .
故EF的长度为1或 .
1. 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系
是（ ）
A. 平行或异面 B. 相交或异面
C. 异面 D. 相交
解析： 可借助长方体来判断.如图，在长方体
ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又
AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1
与BC是异面直线，故B正确.
√
2. 设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 以上都有可能
解析： 如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1
＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD
＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC
＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直
线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D.
√
3. 如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中
点，则表示GH，MN是异
面直线的图形有（ ）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ②④
解析： ①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，
MN必相交.故选D.
√
4. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，异面直线A'B'与BC所成的角的
大小为 .异面直线AD'与CC'所成的角的大小为 .
解析：∵B'C'∥BC，∠A'B'C'＝90°，∴A'B'与BC所成的角为
90°，又CC'∥DD'，∠DD'A＝45°，∴AD'与CC'所成的角为
45°.
90°
45°
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 异面直线是指（ ）
A. 空间中两条不相交的直线
B. 分别位于两个不同平面内的两条直线
C. 平面内的一条直线与平面外的一条直线
D. 不同在任何一个平面内的两条直线
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解析： 对于A，空间中两条不相交的直线有两
种可能，一个是平行（共面），另一个是异面，
所以A应排除；对于B，分别位于两个不同平面内
的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异
面，如图，就是相交的情况，所以B应排除；对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除；只有D符合定义.
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2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱所在的直线与直线BA1是异面直
线的条数为（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与
直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，
B1C1，AD，共6条，故选C.
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3. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的
是（ ）
A. BC1 B. A1D
C. AC D. BC
解析： 连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C.
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4. 在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异
面直线AC和MN所成的角的大小为（ ）
A. 30° B. 45°
C. 90° D. 60°
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解析： 连接AD1，D1C，BC1（图略），因为M，N分别为BC
和CC1的中点，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，
所以∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角.又△D1AC是等边
三角形，所以∠D1AC＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为
60°.故选D.
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5. 如图所示，在四面体ABCD中，AC＝8，BD＝6，M，N分别为
AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN
＝（ ）
A. 5 B. 6
C. 8 D. 10
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解析： 取AD的中点P，连接PM，PN（图略），则
BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN（或其补角）即异面直线AC与
BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝ AC＝4，PM＝ BD＝
3，∴MN＝5.
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6. （多选）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是正三角
形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ）
A. CC1与B1E是异面直线
B. C1C与AE是异面直线
C. AE与B1C1是异面直线
D. AE与B1C1所成的角为60°
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解析： 对于A，由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C
与B1E是共面的，故A错误；对于B，由于C1C在平面C1B1BC内，
而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE
是异面直线，故B正确；对于C，同理AE与B1C1是异面直线，故C
正确；对于D，AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E
为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，所以AE与B1C1
所成的角为90°，故D错误.故选B、C.
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7. （2024·连云港月考）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a
和c的位置关系可能是 .
解析：如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'
所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是
异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方
体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'，故a和
c可以平行、相交或异面.
平行、相交或异面
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8. 如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，
AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作 条.
解析：连接AC1（图略），则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都
相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们
与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等.故这样的直线l可以作4条.
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9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ ，则异面
直线AD1与DB1所成角的余弦值为 .
解析：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补
上一个相同的长方体EFBA-E1F1B1A1.连接B1F，
由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为
异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DF，
由题意，得DF＝ ＝ ，FB1＝
＝2，DB1＝ ＝ .在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝F ＋D －2FB1·DB1· cos ∠DB1F，即5＝4＋5－2×2× × cos ∠DB1F，所以 cos ∠DB1F＝ .
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10. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，E是PC的中点，连接AE. 求证：AE与PB是异面直线.
证明：假设AE与PB共面于平面α，
连接BE（图略）.
因为A∈α，B∈α，E∈α，
所以平面ABE即为平面α，所以P∈平面ABE，
这与P 平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线.
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11. 将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截
去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿
基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 120°
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解析： 如图所示，由题可知，四边形ABEG和
CDFE均为正方形，△EFG为正三角形，因为
AB∥EG，CD∥EF，所以∠GEF或其补角为异
面直线AB与CD所成的角.因为△EFG为正三角
形，所以∠GEF＝60°.故AB与CD所成角的大小为60°.
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12. （多选）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中
下列结论正确的是（ ）
A. AB⊥EF
B. AB与CM所成的角为60°
C. MN∥CD
D. EF与MN所成的角为60°
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解析： 把展开图还原成正方体，如图所
示.A选项，因为AB∥MC，且EF⊥MC，所以
EF⊥AB，故A正确；B选项，因为AB∥MC，所
以AB与CM所成的角为0°，故B错误；C选项，
因为AE∥MN，且AE⊥CD，所以MN⊥CD，
故C错误；D选项，因为AE∥MN，所以∠AEF或其补角为EF与MN所成的角，又因为EF＝FA＝AE，所以△AEF为等边三角形，因此∠AEF＝60°，且异面直线所成角的范围为（0，90°]，所以∠AEF为EF与MN所成的角，因此EF与MN所成的角为60°，故D正确.故选A、D.
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13. 如图，在圆柱OO1中，底面半径为1，OA⊥O1B，异面直线AB
与OO1所成角的正切值为 ，则圆柱的高为 .
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解析：如图，过点B作OO1的平行线交底面圆O于点
H，连接OH，AH，则∠ABH即为异面直线AB与OO1
所成的角，tan∠ABH＝ ，易知OH∥O1B且OH＝
O1B，由OA⊥O1B可知，OA⊥OH，所以AH＝
＝ ，又tan∠ABH＝ ，所以圆柱OO1的高
BH＝ ＝4.
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14. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是
BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.
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证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝ BC，
∵F是AD的中点，
且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝ BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
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∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所
成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
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15. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝
2 ，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长.
解：如图所示，连接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2 ，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C（或其补角）为异面直线A1B和AD1所成的角，
∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
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∴∠AD1C＝90°.
又易知AD1＝D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1＝ AC.
∵AB＝BC＝2 ，∠ABC＝120°，
∴AC＝2 × sin 60°×2＝6，
∴AD1＝ AC＝3 ，
∴AA1＝ ＝ .
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