(共67张PPT)
第1课时
直线与平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利
用定理解决问题 逻辑推理、
直观想象
2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面
平行可推出线线平行 逻辑推理、
直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被
关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定
的竖直边所在平面（墙面）存在不变的位置关系.
【问题】 （1）上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？
（2）由上述问题，如何判断直线与平面平行？
知识点一 直线和平面的位置关系
位置 关系 直线a在平 面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有 个
公共点
公共点 公共点
符号 表示 a α a∩α＝A a∥α
图形 表示
无数
有且只有一个
没有
【想一想】
若直线a在平面α外，那么直线a与平面α平行，这种说法是否正
确？
提示：不正确.直线a在平面α外，包括两种情况：直线a与平面α相
交或平行.
知识点二 直线与平面平行的判定定理
文字 语言 如果 一条直线与此 的一条直
线 ，那么该直线与此平面平行.简记为：若线
线平行，则线面平行
符号 语言 a∥α
图形 语言
平面外
平面内
平行
提醒 线面平行判定定理的再理解：①线面平行的判定定理中的三个
条件“a α，b α，a∥b”缺一不可；②线面平行的判定定理的
作用：证明线面平行；③应用时，只需在平面内找到一条直线与已知
直线平行即可.
【想一想】
1. 若一条直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？
提示：不一定，直线有可能在平面内.
2. 如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间
具有什么关系？
提示：直线有可能平行于平面或直线在平面内.
知识点三 直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果 该直线的平面与此
平面 ，那么该直线与 平行.简记为：若
线面平行，则线线平行
符号语言 l∥m
图形语言
过
相交
交线
提醒 对线面平行性质定理的再理解：①线面平行的性质定理的条件
有三个：（ⅰ）直线l与平面α平行，即l∥α；（ⅱ）平面α，β相交
于一条直线，即α∩β＝m；（ⅲ）直线l在平面β内，即l β. 三
个条件缺一不可；②定理的作用：（ⅰ）线面平行 线线平行；（ⅱ）
画一条直线与已知直线平行.
【想一想】
如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有怎样
的位置关系？
提示：平行或异面.
1. 能保证直线a与平面α平行的条件是（ ）
A. b α，a∥b
B. b α，c∥α，a∥b，a∥c
C. b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D. a α，b α，a∥b
解析： 由线面平行的判定定理可知，D正确.故选D.
√
2. 如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且
EF∥平面ABC，则（ ）
A. EF与BC相交
B. EF∥BC
C. EF与BC异面
D. 以上均有可能
解析： ∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又
EF∥平面ABC，∴EF∥BC. 故选B.
√
3. 三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是
.
解析：延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知，三棱台的一条侧棱所在
直线与其对面所在的平面相交.
相
交
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与平面的位置关系
【例1】 下面三个命题中正确命题的个数是（ ）
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平
面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条
直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那
么b∥α.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： 如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'
中，AA'∥BB'，AA'却在过BB'的平面AB'内，故命
题①不正确；AA'∥平面B'C，BC 平面B'C，但
AA'不平行于BC，故命题②不正确；③中，假设α
与b相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确.故选B.
通性通法
1. 在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相
交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏.
2. 解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、
平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空
臆断.
【跟踪训练】
下列命题正确的个数为（ ）
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②如果两条平行直
线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；③若直
线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： 如图所示，借助长方体模型，棱AA1所在
直线有无数个点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线
与平面ABCD相交，所以命题①不正确；
A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD，所以命题②不正确；直线l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题③正确.故选B.
题型二 直线与平面平行的判定
【例2】 （链接教科书第177页例1）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1
中，D是AB的中点.证明BC1∥平面A1CD.
证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中
点.
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，所以BC1∥
平面A1CD.
通性通法
应用判定定理证明线面平行的步骤
第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法.
提醒 线面平行判定定理应用的误区：①条件罗列不全，最易忘
记的条件是“直线在平面外”；②不能利用题目条件顺利地找到
两平行直线.
【跟踪训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，M， N分别是棱AB， PC的中点.若四
边形ABCD是平行四边形，求证：MN∥平面PAD.
证明：法一 如图所示，取PD的中点E，连接
AE，NE，
因为N是PC的中点，
所以NE∥CD，NE＝ CD.
又因为在矩形ABCD中，M是AB的中点，
所以AM∥CD且AM＝ CD.
所以NE∥AM，NE＝AM.
所以四边形AMNE是平行四边形.
所以MN∥AE.
又因为AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
法二 连接CM并延长，交DA的延长线于点F，
连接PF，
因为AM∥CD且AM＝ CD，
所以M是CF的中点.
又因为N是PC的中点，所以MN∥PF.
又因为MN 平面PAD， PF 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
题型三 线面平行性质定理的应用
【例3】 （链接教科书第177页例2）如图所示的一块木料中，棱BC
平行于平面A'C'.
（1）要经过平面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应
该怎样画线？
解： 如图，在平面A'C'内，过点
P作直线EF，使EF∥B'C'，并分别交
棱A'B'，D'C'于点E，F. 连接BE，
CF，则EF，BE，CF就是应画的线.
（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
解： 因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'∩平面A'C'＝B'C'，所以B'C'∥BC.
又由（1）知，EF∥B'C'，所以EF∥BC. 而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC. 显然，BE，CF都与平面AC相交.
通性通法
1. 通过线线平行与线面平行的相互转化，来证明线线平行是常用的解
题思路.
2. 利用线面平行的性质定理解题的步骤
【跟踪训练】
1. 如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，
M为线段SA上一点，且AM＝2MS，平面MCD与侧棱BS交于点
N，则MN＝ .
解析：因为AB∥CD，AB 平面SAB，CD 平面SAB，所以
CD∥平面SAB，又因为平面CDMN∩平面SAB＝MN，CD 平
面CDMN，所以CD∥MN，所以AB∥MN，所以 ＝ ＝ ，
所以MN＝ .
2. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一
点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面PAHG
交平面BDM于GH. 求证：PA∥GH.
证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.又M是PC的中点，∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面
BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面
平行的性质定理，知PA∥GH.
1. （多选）若直线a平行于平面α，则（ ）
A. 平面α内有且只有一条直线与a平行
B. 平面α内有无数条直线与a平行
C. 平面α内存在无数条与a不平行的直线
D. 平面α内任意一条直线都与a平行
解析： 过直线a可作无数个平面与α相交，由直线与平面平
行的性质定理可知，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线
a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确.平面α内存在与a不
平行的直线，且有无数条，故C正确，D不正确.故B、C.
√
√
2. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为底面ABCD和底
面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有
（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
√
解析： 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB'、平
面BC'、平面CD'、平面AD'均平行.故与EF平行的平面有4个.
故选D.
3. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，
BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是
.
平
行
解析：因为EH∥FG，FG 平面BCD，EH 平面BCD，所以
EH∥平面BCD. 因为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝
BD，所以EH∥BD.
4. 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面
内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ. 求证：
PQ∥平面CBE.
证明：如图，作PM∥AB交BE于点M，作
QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，
＝ ， ＝ .
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，∴PM QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
又∵PQ 平面CBE，MN 平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若直线l不平行于平面α，且l α，则（ ）
A. α内的所有直线与l异面
B. α内不存在与l平行的直线
C. α内存在唯一的直线与l平行
D. α内的直线与l都相交
解析： 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因为l α，故
l∥α，这与题意矛盾.
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2. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列
结论中正确的是（ ）
A. m∥α，m∥n n∥α
B. m∥α，n∥α m∥n
C. m∥α，m β，α∩β＝n m∥n
D. m∥α，n α m∥n
解析： A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、
平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可
能异面.
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3. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若
AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系
是（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 在平面内 D. 异面
解析： 如图所示，由 ＝ ，得AC∥EF. 又
EF 平面DEF，AC 平面DEF，∴AC∥平面
DEF. 故选A.
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4. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中
心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面
AA1B1B，则线段PQ的长为（ ）
A. 1 B.
C. D.
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解析： 连接AB1，AD1，∵点P是平面AA1D1D的中心，∴P是
AD1的中点，∵PQ∥平面AA1B1B，PQ 平面D1AB1，平面
D1AB1∩平面AA1B1B＝AB1，∴PQ∥AB1，即PQ是△D1AB1的中
位线，∴PQ＝ AB1＝ × ＝ .故选C.
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5. （多选）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线
的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是
（ ）
A. OM∥PD B. OM∥平面PCD
C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA
解析： 由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，
故A正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面
PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与
平面PBA相交，故D不正确.故选A、B、C.
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6. （多选）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，
BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的
是（ ）
A. E，F，G，H一定是各边的中点
B. G，H一定是CD，DA的中点
C. AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D. 四边形EFGH是平行四边形或梯形
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解析： 因为BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，
得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝
DG∶GC，且EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.
故选C、D.
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7. 平面α外的两条直线a，b，且a∥α，则a∥b是b∥α的
条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不
充分也不必要”）.
解析：平面α外的两条直线a，b，若a∥α且a∥b，则根据直线
与平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，则不一定
有a∥b.
充分
不必要
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8. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上
一点，当点E满足条件： 时，PC∥平面EBD.
解析：如图，取PA的中点E，连接EB，ED，
AC，设AC与BD交于点O，连接EO，易知
EO∥PC. ∵EO 平面EBD，PC 平面EBD，
∴PC∥平面EBD. 即当E为PA中点时，PC∥平
面EBD.
E为PA的中点
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9. （2024·盐城质检）如图所示，直线a∥平面α，点A 平面α，并
且直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，
AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，
则EG＝ .
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解析：因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面ABD∩平面
α＝EG，所以BD∥EG，所以 ＝ ＝ ，所以EG＝
·BD＝ ×4＝ .
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10. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝ AD，
E是PD的中点.
（1）求证：BC∥AD；
证明： 在四棱锥P-ABCD中，因为
BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以
BC∥AD.
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（2）求证：CE∥平面PAB.
证明： 取PA的中点F，连接EF，BF，
因为E是PD 的中点，
所以EF∥AD，EF＝ AD，
又由（1）可得BC∥AD，BC＝ AD，
所以BC∥EF，BC＝EF，
所以四边形BCEF是平行四边形，
所以CE∥BF，
因为CE 平面PAB，BF 平面PAB，
所以CE∥平面PAB.
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11. 已知M是两条异面直线a，b外一点，则过点M且与直线a，b都
平行的平面（ ）
A. 有且只有一个 B. 有两个
C. 没有或只有一个 D. 有无数个
解析： 过点M作直线a'∥a，过点M作直线b'∥b，则直线a'，
b'确定平面α.当a，b都不在由a'，b'确定的平面α内时，过点M
且与a，b都平行的平面只有一个；当a α或b α时，过点M
且与a，b都平行的平面不存在.故选C.
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12. （多选）下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，
M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的
图形是（ ）
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解析： 对于A，如图，连接BC交PN于点
D，连接DM，则MD∥AB，又AB 平面MNP，
MD 平面MNP，得AB∥平面MNP；对于D，易
得AB∥NP，又AB 平面MNP，NP 平面
MNP，可得AB∥平面MNP；B、C中得不到AB∥
平面MNP.
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13. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC上的动点，D是AA1
上的动点，且 ＝m，AE∥平面DB1C.
（1）若E是BC的中点，则m的值为 ；
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解析： 如图，过点E作BB1的平行线，
交CB1于点G，连接DG. 因为AE∥平面
DB1C，所以AE∥DG. 又AD∥平面
CBB1C1，所以AD∥EG，则四边形DAEG是
平行四边形.故DA＝GE，因为E是BC的中
点，所以G是CB1的中点.故AD＝DA1，即
＝1，即m＝1.
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（2）若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为 .
解析： 如图，过点E作BB1的平行线，
交CB1于点H，连接DH. 因为AE∥平面
DB1C，所以AE∥DH，又AD∥BB1，所以
AD∥平面CBB1C1，所以AD∥EH，故四边
形DAEH是平行四边形，则AD＝EH，因为
EH∥BB1，所以 ＝ ＝ ，所以 ＝
＝ ，则 ＝2，即m＝2.
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14. 如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，M，N分别为线段A1B，AC1
的中点.
（1）求证：MN∥平面BB1C1C；
解： 证明：连接A1C（图略），在直
三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C为矩
形，
因为N为AC1的中点，所以N为A1C的中点.
又M为A1B的中点，所以MN∥BC，又
MN 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
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（2）若点D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求 的值.
解： 因为DN∥平面ABB1A1，DN 平
面A1BC，平面A1BC∩平面ABB1A1＝
A1B，
所以DN∥A1B，所以 ＝ ＝1.
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15. 如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形
EFGH为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
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解： 证明：∵四边形EFGH为平行四
边形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
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（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
解： 同（1）可证EH∥CD，设EF＝
x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1，
又AB＝4，CD＝6，∴ ＋ ＝1，
∴y＝6（1－ ），且0＜x＜4，
∴四边形EFGH的周长为l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－
）］＝12－x，∵8＜12－x＜12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.
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第3课时
空间距离及直线与平面所成的角
新课程标准解读 核心素养
1.理解点到平面的距离、直线到平面的距离的概念，会
求简单的点面距、线面距 数学运算
2.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会
求简单的线面角 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面
所成的角逐渐增大.
【问题】 观察并思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？
知识点一 点到平面及直线到平面的距离
1. 点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点
到这个平面的距离.
2. 直线到平面的距离
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距
离，叫作这条直线和这个平面的距离.
知识点二 直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面 ，但不和
这个平面 ，这条直线叫作这个
平面的斜线
斜足 斜线与平面的 ，如图中 斜线 段 斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点
到平面的斜线段，如图中 相交
垂直
交点
点Q
PQ
有关概念 对应图形
射影 如图，过平面外一点P向平面α引斜线
和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线
就是斜线在平面内的射影，线
段 就是斜线段PQ在平面α内
的射影
P1Q
有关概念 对应图形
直线
与平
面所
成的
角 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的
射影所成的锐角，如图中 ； 规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它
们所成的角是 ；如果一条直线与平
面平行，或在平面内，那么称它们所成的角
是 角
取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，
则 ∠PQP1
直角
0°
0°≤θ≤90°
提醒 对直线与平面所成的角的三点说明：①点P是斜线上不同于斜
足Q的任意一点，点P具有随意性；②斜线在平面上的射影是过斜足
和垂足的一条直线，而不是线段；③求一条直线与平面所成的角，可
先作出直线在平面内的射影，从而得到直线与平面所成的角，再进一
步求解.
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°＜θ＜90°
B. 直线与平面所成的角的取值范围是0°＜θ≤90°
C. 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行
D. 若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等
解析： A、D正确；B应为0°≤θ≤90°；C中这两条直线可
能平行，也可能相交或异面.故选A、D.
√
√
2. 若点A，B在平面α的同侧，且点A，B到α的距离分别为3和5，
则AB的中点到α的距离为（ ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析： 如图，设AB的中点为M，分别过A，
M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由
线面垂直的性质定理可知AA1∥MM1∥BB1.结合题
意知，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝
5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.故选A.
√
3. 如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线
PB与平面ABC所成的角等于（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： ∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所
成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.故直线PB与
平面ABC所成的角为45°.故选B.
√
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求点到平面的距离
【例1】 在各棱长均为1的四面体ABCD中，点A到平面BCD的距离
为（ ）
A. B. C. D.
解析： 如图，设△BCD的中心为O，连接AO，则
AO的长即为所求.在Rt△AOD中，AD＝1，OD＝
× ×1＝ ，∴AO＝ ＝ ，即点A到
平面BCD的距离为 .故选D.
√
通性通法
求点到平面的距离的步骤
（1）作（或找）出点到平面的垂线段的垂足；
（2）证明线面垂直；
（3）求出该点到垂足间的线段长即为所求点到平面的距离，在平面
图形中（一般为三角形）计算所求线段的长；
（4）下结论：给出所求距离.
简称“一作，二证，三求，四答”.
【跟踪训练】
如图，已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面
ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离.
解：如图，连接AC，BD，设交点为O，连接EO.
∵E为PA的中点，O为AC的中点，∴EO∥PC.
∵EO 平面PBC，PC 平面PBC，
∴EO∥平面PBC，∴点O到平面PBC的距离就是点
E到平面PBC的距离.
在平面ABCD内过O作OG⊥BC于点G.
∵PC⊥平面ABCD，OG 平面ABCD，
∴PC⊥OG，又PC∩BC＝C，PC，BC 平面
PBC，
∴OG⊥平面PBC，
∴OG的长即为所求距离.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴OB⊥AC，∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴OB＝AB· cos ∠ABD＝a· cos 30°＝ a，
∴OG＝OB· sin ∠OBC＝ a· sin 30°＝ a，
即点E到平面PBC的距离为 a.
题型二 求直线和平面的距离
【例2】 若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，且侧面
ABB1A1上的∠B1AB＝60°，则A1C1和底面ABCD的距离为（ ）
A. 1 B.
C. D. 2
√
解析： 连接AC，则A1C1∥AC. ∵A1C1 平面ABCD，AC 平面
ABCD，∴A1C1∥平面ABCD，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱
柱，∴A1A的长即为A1C1和底面ABCD的距离，又A1A＝B1B，
∴B1B的长即为A1C1和底面ABCD的距离.由题意知，B1B＝ ，即
A1C1和底面ABCD的距离为 .故选C.
通性通法
当直线与平面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等，因此
线面距离转化为点面距离，而点面距离又可以根据线面平行灵活取点
求解.
【跟踪训练】
（2024·南京月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝1，则直
线CC1和平面B1BDD1的距离为（ ）
A. B.
解析： 连接AC（图略），则AC⊥BD，又BB1⊥
AC，BD∩BB1＝B，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为 AC＝ ，即直线CC1和平面B1BDD1的距离为 .故选B.
C. D. 1
√
题型三 求直线与平面所成的角
【例3】 （链接教科书第184页例7）如图，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中.
（1）求直线A1B与平面AA1D1D所成的角的大小；
解： ∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
（2）求直线A1B与平面BB1D1D所成的角的大小.
解： 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝
B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1，则A1B＝ ，A1O＝ .
又∵∠A1OB＝90°，
∴ sin ∠A1BO＝ ＝ ，又0°≤∠A1BO≤90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
【母题探究】
1. （变设问）在本例条件下，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：如图，连接BC1交B1C于点O，连接A1O，
设正方体的棱长为a，
因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，又B1C1∩B1B
＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
又BC1 平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1，
又因为BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，
B1C 平面A1B1CD，
所以BC1⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，
所以∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，A1B＝ a，BO＝ a，
所以BO＝ A1B，∠BA1O＝30°.
因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
2. （变设问）在本例条件下，求BD1与平面BB1C1C所成角的正切值.
解：∵D1C1⊥平面BB1C1C，∴∠D1BC1为BD1与平面BB1C1C所
成的角.
设正方体的棱长为1，则BC1＝ ，
∴在Rt△D1C1B中，tan∠D1BC1＝ ＝ ＝ ，
∴BD1与平面BB1C1C所成角的正切值为 .
通性通法
求直线与平面所成角的步骤
（1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上
一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的
选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【跟踪训练】
如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面
ABCD，PC＝2，求PA与平面PBC所成角的正弦值.
解：过A作AH⊥BC于H，连接PH，如图所示.
∵PC⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC 平面BC，
∴AH⊥平面PBC.
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角.
在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，∴H为BC中点， AH＝ ，∵PC＝AC＝2，∴PA＝2 ，∴ sin ∠APH＝ ＝ .
故PA与平面PBC所成角的正弦值为 .
1. （2024·苏州月考）矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面
ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.在
Rt△PAC中，tan∠PCA＝ ＝ ＝ ，∴∠PCA＝30°，即PC
与平面ABCD所成的角为30°.
√
2. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C1到平面ABCD的距
离是 .
解析：由正方体的性质可知，B1C1∥平面ABCD，所以直线
B1C1到平面ABCD的距离即为B1到平面ABCD的距离，由正方体
的性质知B1到平面ABCD的距离为1，即直线B1C1到平面ABCD
的距离为1.
1
3. （2024·无锡月考）已知过平面α外一点A的斜线l与平面α所成角
为 ，斜线l交平面α于点B，若点A与平面α的距离为1，则斜线
段AB在平面α上的射影所形成的图形面积为 .
解析：如图，过点A作平面α的垂线，垂足为
C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α
上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，
则∠ABC＝ ，又AC＝1，所以BC＝ ，故射
影形成的图形为半径为 的圆面，其面积为3π.
3π
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则
直线A1B1到平面A1B1C1D1的距离为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 因为直线A1B1∥平面ABCD且点A1到平面ABCD的距离
为4，所以所求距离为4.
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2. 如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与
平面α所成的角是（ ）
A. 60° B. 45°
C. 30° D. 120°
解析： ∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB
中，AB＝2BO，所以 cos ∠ABO＝ ，即∠ABO＝60°.故选A.
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3. 如图，平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝
3，则CE＝（ ）
A. 2 B. 3
C. D.
解析： 因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE，且
AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以
DE⊥DC. 因为AF＝2，所以DE＝2，又CD＝3，所以CE＝
＝ ＝ .故选D.
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4. （2024·南通月考）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是侧面
BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 如图，取BC的中点E，连接AE，ED，
AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与
平面BB1C1C所成的角.设棱长为a，则AE＝ a，
DE＝ a.所以tan∠ADE＝ ，所以∠ADE＝
60°.故选C.
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5. （多选）如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面
ABCD，则下列结论中正确的是（ ）
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
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解析： 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，
SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故
AC⊥SB，故A正确；对于选项B，因为AB∥CD，AB 平面
SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；对于选
项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的
角相等，故C正确；由题意得，AB与SC所成的角为∠SCD，DC
与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D不正确.
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6. （多选）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中
（ ）
A. BF∥CD
B. DG⊥BH
C. CH与BG成60°角
D. BE与平面ABCD所成角为45°
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解析： 由正方体的平面展开图还原正方体
如图所示，由正方体的结构特征可知，BF与CD
异面垂直，所以A错误；DG⊥CH，而CH为BH
在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B
正确；连接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得四
边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG，所以∠AHC或其补角为异面直线CH与BG所成的角，连接AC，可得△AHC为等边三角形，得CH与BG成60°角，所以C正确；因为AE⊥平面ABCD，所以∠EBA为BE与平面ABCD所成角，为45°，所以D正确.故选B、C、D.
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7. 一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面α的距
离分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α所成角的大小
是 .
解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则
AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于
CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，
BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD
＝30°.
30°
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8. 如图所示，AB是☉O的直径，PA⊥☉O所在的平面，C是圆上一
点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的
正切值为 .
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解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射
影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在△ABC中，AC
＝ AB＝ PA，即PA＝2AC，所以tan∠PCA＝ ＝2.
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9. （2024·扬州月考）已知三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，
顶点P在底面的射影为△ABC的中心，且其高为2，侧棱与底面所
成的角为45°，则点A到侧面PBC的距离是 .
解析：如图，设P在底面的射影为O，取BC的中
点D，连接PO，PD，作AE⊥PD于点E，则AE
的长为所求.由∠PAO＝45°，PO＝2，可求PA
＝2 ，AO＝2，AD＝3，PD＝ ，在△PAD
中，由PD·AE＝PO·AD，可得AE＝ .故点A
到侧面PBC的距离为 .
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10. 如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA
＝2.
（1）求证：AC⊥平面BDE；
解： 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
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（2）求AE与平面BDE所成的角的大小.
解： 设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示.
∵AC⊥平面BDE，
∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中，EA＝ ＝
2 ，AO＝ ，
∴在Rt△EOA中， sin ∠AEO＝ ＝ ，
∴∠AEO＝30°，
即AE与平面BDE所成的角为30°.
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11. 如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB∶BB1＝ ∶1，
则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为（ ）
A. 45° B. 60°
C. 30° D. 75°
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解析： 取BC的中点D，连接AD，B1D，
由题意得AD⊥BC且AD⊥BB1，又BC∩BB1
＝B，BC，BB1 平面BCC1B1，∴AD⊥平面
BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所
成的角.设AB＝ ，则AA1＝1，AD＝ ，AB1＝ ，∴ sin
∠AB1D＝ ＝ ，∴∠AB1D＝45°.即AB1与平面BB1C1C所
成的角为45°.故选A.
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12. 如图所示，AB是☉O的直径，PA⊥平面☉O，C为圆周上一点，
若AB＝5 cm，AC＝2 cm，则点B到平面PAC的距离为
.
cm
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解析：∵C为圆周上一点，AB为直径，∴BC⊥AC，又PA⊥平
面☉O，BC 平面☉O，∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，
AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，即BC为点B到平
面PAC的距离.在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝
（cm）.
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13. 已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝ ，
Q为棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最
大值为 .
解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，PA⊥
PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直
线与平面所成的角.由于tan θ＝ ，其中PA＝
2，当PQ最小时，正切值取得最大值.当PQ⊥
BC时，PQ最小，BC＝ ＝ ，在
Rt△PBC中，利用等面积得 × ×2＝ × ×PQ，解得PQ＝ .此时tan θ＝ ＝ .
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14. （2024·镇江月考）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
（1）求证：PC⊥BC；
解： 证明：因为PD⊥平面ABCD，
BC 平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，
又PD∩CD＝D，PD，CD 平面
PCD，所以BC⊥平面PCD，而PC 平面
PCD，所以PC⊥BC.
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（2）求点A到平面PBC的距离.
解： 如图所示，过点A作BC的平行
线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂
线，垂足为F，则有AE∥平面PBC，所以
点A到平面PBC的距离等于点E到平面
PBC的距离.
因为BC⊥平面PCD，EF 平面PCD，
所以EF⊥BC.
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又EF⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC
平面PBC，所以EF⊥平面PBC.
所以EF的长即为点E到平面PBC的距离.
又因为AE∥BC，AB∥CE，
所以四边形ABCE为平行四边形.
所以CE＝AB＝2.又PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PD⊥CD，∠PCD＝45°.
所以EF＝ ，即点A到平面PBC的距离为 .
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15. （多选）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是△BDC1内
（不含边界）的一个动点，若A1P⊥BC1，则线段A1P的长可能的
取值为（ ）
A. B.
C. 2 D.
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解析： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面
BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1.连接B1C，
A1C，则BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1且A1B1，B1C 平面
A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C 平面A1B1C，所以
BC1⊥A1C，同理可证A1C⊥DC1，A1C⊥DB，又DC1，DB 平
面DBC1，所以A1C⊥平面DBC1，设垂足为O，则A1O＝ A1C＝
× ＝ .记BC1∩B1C＝E，连接DE，A1D，因
为P是△BDC1内（不含边界）的一个动点，A1P⊥BC1，所以P
在平面A1B1CD与平面DBC1的交线DE上（不含端点），所以
A1O≤A1P＜A1D＝ ＝2 ，所以A1P的长的取值范围
是［ ，2 ）.故选A、B.
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第2课时
直线与平面垂直
新课程标准解读 核心素养
借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与
平面垂直的判定定理与性质定理 数学运算、逻辑推
理、直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但
不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都
分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.
【问题】 （1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
（2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
知识点一 直线与平面垂直的定义
1. 定义：如果直线a与平面α内的 直线都垂直，那么称
直线a与平面α垂直，记作 .直线a叫作平面α的
，平面α叫作直线a的 ，垂线和平面的交点称为
.
2. 画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边
形的一边垂直，如图：
任意一条
a⊥α
垂
线
垂面
垂
足
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，那么该直线与此平面
符号语言 a⊥m，a⊥n， ， ，
，则a⊥α
图形语言
相交
垂直
m∩n＝A
m α
n α
【想一想】
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与
这个平面垂直？
提示：不一定垂直.直线可能落在平面内.
知识点三 直线与平面垂直的性质定理
文字
语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号
语言
图形
语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
a∥b
提醒 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一
个平面与已知直线垂直.【想一想】
垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
提示：共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能
确定一个平面.
知识点四 棱柱的分类
1. 棱柱的分类
分类 定义
直棱柱 侧棱 底面的棱柱
斜棱柱 侧棱 底面的棱柱
正棱柱 底面是 的直棱柱
垂直于
不垂直于
正多边形
2. 特殊的四棱柱
分类 定义
平行六面体 底面是 的四棱柱
直平行六面体 侧棱与底面 的平行六面体
长方体 底面是 的直平行六面体
正方体 棱长 的长方体
平行四边形
垂直
矩形
相等
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平
面垂直
B. 过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直
C. 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直
线确定的平面
D. 过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内
√
√
√
解析： 对于A，当平面内的两条直线是平行线时，这条直线
和这个平面不一定垂直，故A错误；对于B，过直线l外一点P，有
且仅有一个平面与l垂直，故B正确；对于C，由线面垂直的判定定
理得：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两
条直线确定的平面，故C正确；对于D，由线面垂直的性质得：过
点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内，故D正
确.故选B、C、D.
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（ ）
A. 平面DD1C1C B. 平面A1DCB1
C. 平面A1B1C1D1 D. 平面A1DB
解析： 因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，
A1D，A1B1 平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故选B.
√
3. 如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边
所在的直线中，与AP垂直的直线为 BC.
解析：因为∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，又BC⊥PC，
AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP 平面PAC，所以
BC⊥AP.
BC
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 线面垂直的定义的应用
【例1】 下列命题中正确的是（ ）
A. 若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B. 若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C. 若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D. 若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
√
解析： 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，
所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂
直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直
线垂直，故D错误.故选C.
通性通法
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的任意一条直
线”的说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.
【跟踪训练】
1. 直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 垂直
解析： 因为直线l⊥平面α，所以l与α相交.又因为m α，
所以l与m相交或异面.由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l
与m不可能平行.故选A.
√
2. 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两
边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.则能保证该直线与平面
垂直的是 .（填序号）
解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内的两条直线必须是
相交的，①③④中给定的两条直线一定相交，能保证直线与平面垂
直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定
理条件.
①③④
题型二 线面垂直的判定
【例2】 如图所示，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，
M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.求证：AN⊥平面PBM.
证明：因为AB为☉O的直径，所以AM⊥BM.
又因为PA⊥平面ABM，
所以PA⊥BM.
因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，所以BM⊥AN.
因为AN⊥PM，
且BM∩PM＝M，
所以AN⊥平面PBM.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，若AQ⊥PB，Q为垂足，证明PB⊥平面
ANQ.
证明：由本例知AN⊥平面PBM，PB 平面PBM，
所以AN⊥PB.
因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，所以PB⊥平
面ANQ.
通性通法
证明线面垂直的方法
（1）由线线垂直证明线面垂直：①定义法（不常用）；②判定定理
（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作
辅助线），使它们与所给直线垂直.
（2）平行转化法（利用推论）：①a∥b，a⊥α b⊥α；②
α∥β，a⊥α a⊥β.
【跟踪训练】
如图，在四面体P-ABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2 .F
是线段PB上一点，CF＝ ，点E在线段AB上，且EF⊥PB. 求
证：PB⊥平面CEF.
证明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2 ，
∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF＝F，EF，CF 平面CEF，
∴PB⊥平面CEF.
题型三 线面垂直的性质定理的应用
【例3】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平
面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且
MN⊥AB，MN⊥PC. 证明：AE∥MN.
证明：∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
通性通法
证明线线平行的常用方法
（1）利用线线平行的定义：证明两直线共面且无公共点；
（2）利用基本事实4：证明两直线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面
平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面
垂直.
【跟踪训练】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C
的中点，MN⊥平面A1DC. 求证：MN∥AD1.
证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，所以AD1⊥平面
A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
1. △ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，
m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 异面
C. 平行 D. 不确定
解析： ∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，
同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
√
2. （2024·扬州月考）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则
下列命题正确的是（ ）
A. 若l⊥m，m⊥α，则l∥α
B. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C. 若l∥α，m α，则l∥m
D. 若l∥α，m∥α，则l∥m
√
解析： 对于A，l∥α或l α，故A错误；对于B，因l⊥α，
则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义
知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故
B正确；对于C，也有可能是l，m异面，故C错误；对于D，l，m
还可能相交或异面，故D错误.
3. 如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC.
证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是
（ ）
A. m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B. m⊥b，b∥α
C. m∩b＝A，b⊥α
D. m∥b，b⊥α
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解析： m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或
m α，故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或
m α，故B错误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交
或m α，故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.
故选D.
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2. 如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是
平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法确定
解析： 易证AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，所以
AC⊥BC. 故选B.
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3. 如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置
关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直相交
C. 垂直但不相交 D. 相交但不垂直
解析： 连接AC（图略）.因为四边形ABCD是菱形，所以
BD⊥AC. 又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC. 因为AC∩MC＝
C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC. 又MA 平面
AMC，所以MA⊥BD. 由题图可得，AM与BD不相交，故选C.
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4. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中
心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是
（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 垂直 D. 无法确定
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解析： 如图，连接B1D1，BD. ∵几何体
ABCD-A1B1C1D1是正方体，底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD. 又∵B1B⊥AC，BD∩BB1＝B，
BD，BB1 平面BDD1B1，∴AC⊥平面
BDD1B1.∵B1H 平面BDD1B1，∴AC⊥B1H. ∵B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，AC，D1O 平面AD1C，∴B1H⊥平面AD1C.
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5. （多选）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（ ）
A. BC⊥平面PAB
B. AD⊥PC
C. AD⊥平面PBC
D. PB⊥平面ADC
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解析： ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得
BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，
∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC 平面
PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，
∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确.
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6. （多选）如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的
是（ ）
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解析： 对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平
面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝
E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可
得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC（图略），由
ED⊥AC，ED⊥BC，且AC∩BC＝C，可得ED⊥平面ABC，可
得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平
面CDE. 故选B、D.
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7. （2024·南通月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩
形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为 .
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平
面PAB. ∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形.
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8. 如图所示，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，
△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有
，与AP垂直的直线有 .
解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.
因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，
又因为AP 平面PAC，所以AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB.
AB，BC，
AC
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9. （2024·徐州质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧
面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的
轨迹是 .
线段B1C
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解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵正方体
ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，
又CB1与AC交于点C，∴ BD1⊥平面B1AC，又
知点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面
B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为线段B1C上任意一点时，均有AP⊥BD1.
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10. （2024·南京河西外国语期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD.
（1）求证：AF∥平面PEC；
证明： 设G是PC的中点，连接
EG，GF，由于F是PD的中点，
所以GF∥CD，GF＝ CD，
由于E是AB的中点，四边形ABCD是矩形，
所以AE∥CD，AE＝ CD，
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所以GF∥AE，GF＝AE，
所以四边形AFGE是平行四边形，
所以AF∥EG，
因为AF 平面PEC，
EG 平面PEC，
所以AF∥平面PEC.
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（2）求证：AF⊥平面PCD.
证明： 因为PA⊥平面ABCD，
CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，
AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AF 平面PAD，所以CD⊥AF，
因为PA＝AD，F是PD的中点，
所以AF⊥PD，
因为PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，
所以AF⊥平面PCD.
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11. 如图所示，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面
α，垂足分别为G，H. 为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是
（ ）
A. EF⊥平面α
B. EF⊥平面β
C. PQ⊥GE
D. PQ⊥FH
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解析： 因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ. 若
EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ. 又EG与EF为相
交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
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12. （多选）如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，
G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面
体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G，则下列关系正确的
是（ ）
A. SG⊥平面EFG B. SE⊥平面EFG
C. GF⊥SE D. EF⊥平面SEG
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解析： 由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，A成
立；因为FG2⊥EG2，即FG⊥EG，因为SG∩EG＝G，所以
GF⊥平面GSE，又SE 平面GSE，所以GF⊥SE，C成立；若
SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，B错；因
为EF不垂直于EG，所以EF不垂直于平面SEG，D错.
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13. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平
面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值
为 .
解析：如图所示，因为PC⊥平面ABC，CM
平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三
角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB
时，CM最小，此时PM也最小.由条件知AC＝
4，BC＝4 ，故CM的最小值为2 ，又PC
＝4，则PM的最小值为 ＝2 .
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14. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中
点，F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得D1E⊥平面
AB1F.
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解：∵D1E⊥平面AB1F，AB1 平面AB1F，
AF 平面AB1F，
∴D1E⊥AB1，D1E⊥AF.
连接DE. ∵D1D⊥AF，D1D∩D1E＝D1，
D1D，D1E 平面D1DE，
∴AF⊥平面D1DE，
∴AF⊥DE.
∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
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15. 如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中
点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
解： 证明：取PD的中点E，连接NE，
AE，如图.
∵N是PC的中点，
∴NE∥DC且NE＝ DC，
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝ AB，
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∴AM∥CD且AM＝ CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
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（2）当AP与AD的长度满足什么关系时，MN⊥平面PCD？
解： 当AP＝AD时，MN⊥平面
PCD，证明如下.
∵AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN. 又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD.
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