(共73张PPT)
第1课时 两平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的
判定定理、性质定理 逻辑推理
2.会利用“线线平行”“线面平行”及“面面平
行”相互之间的转化，来证明“线线平行”“线
面平行”及“面面平行”等问题 直观想象
3.了解两个平行平面间的距离的概念 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，为了检测桌面是否水平，工人师傅常将水平仪在桌面上交
叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面与地面
平行.
【问题】 为什么工人师傅只检查两次且交叉放置呢？
知识点一 两个平面的位置关系
1. 两个平面平行的定义
如果两个平面没有 ，那么称这两个平面互相平行.平面
α平行于平面β，记作α∥β.
公共点
2. 两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 公共点 有 条公共直线
符号表示 α β α β＝a
图形表示
没有
一
∥
∩
【想一想】
如果两个平面（不重合）有一个公共点，那么这两个平面是否相交？
提示：相交.由基本事实3可知这两个平面相交，同时它们有且只有一
条过该点的公共直线.
知识点二 两个平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条 直线与另一个平
面 ，那么这两个平面平行
符号语言 α∥β
图形语言
相交
平行
提醒 判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面α内
两条相交直线a，b，即a α，b α，a∩b＝A；②两条相交直
线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
【想一想】
1. 如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平
行.这种说法正确吗？
提示：不正确.当两条直线平行时，这两个平面可以相交.
2. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面
平行.这种说法正确吗？
提示：不正确.当这些直线平行时，这两个平面可以相交.
知识点三 两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面
，那么两条交线
符号语言 a∥b
图形语言
相
交
平行
提醒 对两平面平行性质定理的再理解：①用该定理判断直线a与b
平行时，必须具备三个条件：（ⅰ）平面α和平面β平行，即α∥β；
（ⅱ）平面γ和α相交，即α∩γ＝a；（ⅲ）平面γ和β相交，即
β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可；②在应用这个定理时，要防止出
现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切
直线”的错误.
【想一想】
1. 两平行平面内的直线是否相互平行？
提示：不一定.已知两个平面平行，显然一个平面内的任何直线
都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定
相互平行.它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能
是相交直线.
2. 平面平行有传递性吗？
提示：有.若α，β，γ为三个不重合的平面，则α∥β，
β∥γ α∥γ.
知识点四 两个平行平面间的距离
1. 两个平行平面的公垂线和公垂线段
与两个平行平面都 的直线，叫作这两个平行平面的公垂
线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂
线段.
2. 两个平行平面间的距离
两个平行平面的公垂线段的 叫作两个平行平面间的距离.
提醒 两个平行平面间的距离是分别位于两个平面内的两点间距离
的最小值，即当α∥β，M∈α，N∈β时，线段MN的最小值就
是平面α与β间的距离.
垂直
长度
1. 已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面
α∥平面β， 则直线a，b的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 垂直
解析： 根据面面平行的判定定理可知a，b相交.
√
2. （多选）若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，下列几种
情形中可能出现的是（ ）
A. a∥b B. a⊥b
C. a与b异面 D. a与b相交
解析： 因为平面α∥平面β，直线a α，直线b β，所
以直线a与直线b无公共点.当直线a与直线b共面时，a∥b；当直
线a与直线b异面时，a与b的夹角大小可以是90°.综上知，A、
B、C都有可能出现.故选A、B、C.
√
√
√
3. 已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成
的角为60°，则α与β之间的距离为 .
解析：过B作BC⊥α于C（图略），则∠BAC＝60°，在
Rt△ABC中，BC＝AB· sin 60°＝3 .
3
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面与平面的位置关系
【例1】 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A. α内有无穷多条直线与β平行
B. 直线a∥α，a∥β
C. 直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D. α内的任何直线都与β平行
√
解析： 当α内有无穷多条直线与β平行时，α与β可能平行，也
可能相交，故不选A；当直线a∥α，a∥β时，α与β可能平行，也
可能相交，故不选B；直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
时，α与β可能平行，也可能相交，故不选C；当α内的任何直线都
与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D.
通性通法
1. 解答此类题目，要抓住定义，仔细分析，把自然语言转化为图形语
言，根据所给的条件，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变
的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系.
2. 在作图时，利用正方体（或长方体）这个“百宝箱”能有效地判定
与两个平面的位置关系有关的命题的真假.另外像判定直线与直
线、直线与平面的位置关系一样，反证法也是判定两个平面位置关
系的有效方法.
【跟踪训练】
如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两
个平面的位置关系一定是 .
解析：根据题意作图，把文字语言转化为图形
语言，即可得出两平面的位置关系.如图所示.
平行或相交
题型二 平面与平面平行的判定
【例2】 （链接教科书第189页例1）如图所示，在三棱柱ABC-
A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求
证：
（1）B1C1∥平面A1EF；
证明： ∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，
∴B1C1∥EF.
又B1C1 平面A1EF，EF 平面A1EF，
∴B1C1∥平面A1EF.
（2）平面A1EF∥平面BCGH.
证明： 由（1）知EF∥BC，EF 平面
BCGH，BC 平面BCGH，
∴EF∥平面BCGH.
又F，G分别为AC，A1C1的中点，
∴FC＝ AC，A1G＝ A1C1.
又AC∥A1C1，AC＝A1C1，
∴FC∥A1G，FC＝A1G.
∴四边形FCGA1为平行四边形.
∴A1F∥GC.
又A1F 平面BCGH，GC 平面BCGH，
∴A1F∥平面BCGH.
又A1F∩EF＝F，A1F，EF 平面A1EF，
∴平面A1EF∥平面BCGH.
通性通法
平面与平面平行的判定方法
（1）定义法：两个平面没有公共点（不易操作）；
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平
面；
（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条
相交直线分别平行，则α∥β；
（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【跟踪训练】
如图所示在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是
A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：
（1）E，F，B，D四点共面；
证明： 如图，连接B1D1.
∵E，F分别是B1C1和C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.
又BD∥B1D1，
∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面.
（2）平面MAN∥平面EFDB.
证明： 由题意知MN∥B1D1，
B1D1∥BD，∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB，
连接MF，∵点M，F分别是A1B1与C1D1的中点，
∴MF AD.
∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF.
∵AM 平面EFDB，DF 平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.
又AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
题型三 面面平行的性质定理的应用
【例3】 如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯
形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E. 求证：EC∥A1D.
证明：因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以
BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平面
AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以平面BCE∥
平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
通性通法
1. 应用面面平行性质定理的基本步骤
2. 与平行的性质有关的计算的三个关键点
（1）根据已知的面面平行关系推出线线平行关系；
（2）在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例
定理推出有关线段的关系；
（3）利用所得关系计算求值.
【跟踪训练】
如图所示，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之
间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
（1）求证：AC∥BD；
解： 证明：因为PB∩PD＝P，所以直线
PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，
β∩γ＝BD. 又α∥β，所以AC∥BD.
（2）已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长.
解： 由（1）得AC∥BD，所以 ＝ ，
所以 ＝ ，
所以CD＝ （cm），所以PD＝PC＋CD＝ （cm）.
题型四 线线、线面、面面平行的综合问题
【例4】 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面
A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥
平面AB1C1？证明你的结论.
解：当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，
∴EF∥AB1，
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD，
∴DE∥平面AB1C1.
通性通法
空间中各种平行关系相互转化的示意图
提醒 判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用
高一级的平行关系推出低一级的平行关系.
【跟踪训练】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P
是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面
D1BQ与平面PAO平行？
解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
证明如下：如图，连接BD，由题意可知，BD∩AC
＝O，O为BD的中点，又P为DD1的中点，∴OP∥
BD1，又BD1 平面PAO，PO 平面PAO，∴BD1∥
平面PAO，连接PC. ∵PD1 CQ，∴D1Q∥PC.
又PC 平面PAO，D1Q 平面PAO，∴D1Q∥平面PAO.
又D1Q∩BD1＝D1，D1Q，BD1 平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面
PAO.
1. 已知α，β是两个不重合的平面，直线a α，命题p：a∥β，
命题q：α∥β，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： a α，a∥β ，α，β可能相交，也可能平行；由面
面平行的定义可知，若α∥β且a α，则a∥β. 故p是q的必要
不充分条件.故选B.
√
2. （多选）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面
ACD1平行的有（ ）
A. 直线A1B B. 直线BB1
C. 平面A1DC1 D. 平面A1BC1
√
√
解析： 如图，对于A，由于A1B∥D1C，且
A1B 平面ACD1，可得直线A1B∥平面ACD1；对
于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝
D1，可得直线B1B与平面ACD1不平行；对于C，
由于A1D与AD1相交，A1D 平面A1DC1，可得平面A1DC1与平面ACD1不平行；对于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B 平面A1BC1，C1B 平面A1BC1，且A1B∩C1B＝B，可得平面A1BC1∥平面ACD1.故选A、D.
3. 设平面α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直线AB与CD
交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，当点S在平面α，β之间
时，CS＝ .
解析：如图所示，由题意知，
△ASC∽△BSD，因为CD＝34，所以SD＝
34－CS. 由AS∶BS＝CS∶（34－CS）
知，8∶9＝CS∶（34－CS），所以CS＝16.
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4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的
中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
证明：∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB.
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 两个平行平面与另两个平行平面相交所得的四条直线的位置关系是
（ ）
A. 两两相互平行
B. 两两相交于同一点
C. 两两相交但不一定交于同一点
D. 两两相互平行或交于同一点
解析： 根据平面与平面平行的性质可知，所得的四条直线两两
相互平行.故选A.
√
2. 经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作
（ ）
A. 1个或2个 B. 0个或1个
C. 1个 D. 0个
解析： ①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面
β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平
面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相
交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
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3. 如图，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，
CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关
系是（ ）
A. 平行 B. 相交但不垂直
C. 垂直 D. 不确定
√
解析： ∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，∴A1D1∥E1F1.又
∵A1D1 平面BCF1E1，E1F1 平面BCF1E1，∴A1D1∥平面
BCF1E1.又∵E1和E分别是A1B1和AB的中点，∴A1E1∥BE，且
A1E1＝BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，∴A1E∥BE1.又
∵A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，∴A1E∥平面
BCF1E1.∵A1E 平面EFD1A1，A1D1 平面EFD1A1，A1E∩A1D1
＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
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4. （2024·常州质检）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点
E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面
AA1B1B＝A1F，则AF的长为（ ）
A. 1 B. 1.5
C. 2 D. 3
√
解析： 平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平
面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB，所
以四边形A1FBE为平行四边形，所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以
AF＝1.
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5. （多选）如图为某一正方体的平面展开图，在这个正方体中（ ）
A. BM∥平面CN
B. CN∥平面AF
C. 平面BMD∥平面AFN
D. 平面BDE∥平面NCF
解析： 将平面图形折起，折成一个正方
体，其示意图如图所示，利用直线与平面、两个
平面平行的判定定理可以证明B、C、D都正确.
故选B、C、D.
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6. （多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是
棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则（ ）
A. FG∥平面AA1D1D
B. EF∥平面BC1D1
C. FG∥平面BC1D1
D. 平面EFG∥平面BC1D1
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解析： 对于A，连接AD1，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又∵FG 平面
AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正
确；对于B，连接A1C1，∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，
∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；对于C，∵FG∥BC1，FG
平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正确；
对于D，∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相
交，故D错误.故选A、C.
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7. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.则平面
ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为 .
解析：如图，在长方体中，易知平面ADD1A1∥
平面BCC1B1，所以所求距离为AB＝4.
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8. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F，G，H分别为CC'，
C'D'，D'D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH内
运动，则M满足 时，有MN∥平面B'BDD'.
在线段FH上移动
解析：当点M在线段FH上移动时，有MH∥DD'，易知
HN∥BD，∴平面MNH∥平面B'BDD'.又MN 平面MNH，
∴MN∥平面B'BDD'.
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9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平
面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则 ＝ .
解析：由题意得平面MNE∥平面ACB1，因为平面BB1C1C∩平面
MEN＝EN，平面BB1C1C∩平面ACB1＝B1C，则由面面平行的性
质定理可得EN∥B1C，同理可得EM∥B1A. 又因为E为BB1的中
点，所以M，N分别为BA，BC的中点，所以MN＝ AC，即
＝ .
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10. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.
证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，
CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
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设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因
为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
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11. （2024·盐城月考）已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平
面.若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，则α∥β的
一个充分条件是（ ）
A. m∥β且l1∥α B. m∥β且n∥β
C. m∥β且n∥l2 D. m∥l1且n∥l2
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解析： 对于A，若m∥β且l1∥α，则α，β可能相交，故A
错误；对于B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必须满足m，
n相交，故B错误；对于C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必
须满足m，n相交，故C错误；对于D，由定理“如果一个平面内
的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，由
选项D可以推出α∥β，故D正确.
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12. （多选）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知点G，H分别在
A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，点E，F分别是
AB，AC的中点，且平面A1EF∥平面BCHG，则下列结论正确的
是（ ）
A. EF∥GH
B. GH∥平面A1EF
C. ＝
D. 平面A1EF∥平面BCC1B1
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解析： 由E，F分别是AB，AC的中点可知EF∥BC，
＝ .在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，由两个
平面平行的性质可得GH∥BC，而GH经过△A1B1C1的重心，所
以 ＝ ，所以 ＝ ，且EF∥GH，GH 平面A1EF，EF 平
面A1EF，所以GH∥平面A1EF. 因为A1B1∥BE且BE＜A1B1，
所以直线A1E与BB1有交点，所以平面A1EF与平面BCC1B1相交.
故A、B、C正确，D错误.
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13. 如图，P是△ABC所在平面外一点，A'，B'，C'分别是△PBC，
△PAC，△PAB的重心，则平面A'B'C'与平面ABC的位置关系
为 .
平行
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解析：如图，连接PA'，PC'并延长，分别交BC，
AB于点M，N，连接MN. ∵A'，C'分别是
△PBC，△PAB的重心，∴PA'＝ PM，PC'＝
PN，∴A'C'∥MN. ∵MN 平面ABC，A'C' 平
面ABC，∴A'C'∥平面ABC. 同理，A'B'∥平面
ABC. 又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B' 平面
A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC.
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14. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
证明： 由题设知BB1 DD1，所以
四边形BB1D1D是平行四边形，所以
BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面
CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1 B1C1 BC，
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所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
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（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.
证明： 由（1）知平面A1BD∥平
面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形
BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
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15. （2024·淮安模拟）如图，在矩形ABCD和矩形
ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF
可沿AB任意翻折.
（1）求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD；
解： 证明：在平面图形中，设MN与AB交于点G.由于四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD＝AF，因此有AD∥BE且AD＝BE，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥DB. 又∵AM＝DN，∴四边形ADNM为平行四边形，∴MN∥AD.
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折叠之后，MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，示意图如图①，∴平面FAD∥平面GNM.
又∵MN 平面GNM，∴MN∥平面FAD. ∴当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.
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（2）“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这
个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能
否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由.
解： 这个结论不正确.
要使结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：
当F，A，D共线时，由平面图形，易证得FD∥MN.
折叠后，当F，A，D不共线时，由（1）知平面MNG∥平
面FDA，可知要使MN∥FD总成立，根据面面平行的性质
定理，只要FD与MN共面即可.
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若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可.由平面图形知，若要DN和FM共面，则DN与FM相交于点B（M，N分别为AE，DB的中点才能实现），折叠后的图形如图②.
∵FM∩DN＝B，∴可知它们确定一个平面，即F，D，
N，M四点共面.
又∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，
平面MNG∥平面FAD，∴MN∥FD.
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第2课时 两平面垂直
新课程标准解读 核心素养
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的
平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角 直观想象、
数学运算
2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定
理判定面面垂直 逻辑推理
3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直
的性质定理证明一些简单的问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”
变大的感觉.
【问题】 如何用数学语言刻画两个平面所形成的这种“角”呢？
知识点一 二面角的概念
1. 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成 ，其中的每
一部分都叫作 .
2. 二面角：一条直线和由这条直线出发的 所组成的图
形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角
的面.如图①，②中，棱为l或AB，面为α，β，记作二面角α-l-
β（α-AB-β）或P-l-Q（P-AB-Q）（P，Q分别为在α，β内
且不在棱上的点）.
两部分
半平面
两个半平面
3. 二面角的平面角
定
义 一般地，以二面角的棱上 为端点，在两个面内分别
作垂直于 的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面
角
图
示
任意一点
棱
符
号 OA α，OB β， ，O∈l， ，
OB⊥l ∠AOB是二面角的平面角
范
围 [0°，180°]
规
定 二面角的大小可以用它的 来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是 的二面角
叫作直二面角
α∩β＝l
OA⊥l
平面角
直角
【想一想】
二面角与平面几何中的角有什么区别？
提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角
是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
1. 平面与平面垂直的定义：一般地，如果两个平面所成的二面角
是 ，那么就说这两个平面 .
2. 平面垂直的画法：两个互相垂直的平面通常画成如图①，②所示.
此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，平面α与β
垂直，记作 .
直二面角
互相垂直
α⊥β
3. 平面与平面垂直的判定定理
文字
语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
图形
语言
符号
语言 l⊥α，l β α⊥β
提醒 判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的
关键是在平面内寻找另一个面的垂线.
知识点三 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面 ，如果一个 有一条直线垂
直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平
面
图形语言
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α， a⊥β
垂直
平面内
交线
垂直
a⊥l
提醒 对面面垂直的性质定理的再理解：①定理成立的条件有三个：
（ⅰ）两个平面互相垂直；（ⅱ）直线在其中一个平面内；（ⅲ）直线
与两平面的交线垂直；②定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可
用来证明线面垂直；③已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面
垂直，再转化为线线垂直.
【想一想】
如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.
这种说法正确吗？
提示：不正确.当垂直于交线的直线不落在两个互相垂直平面其中之
一时，该直线可能与两个平面都不垂直.
1. 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β
的平面角，则必须具有的条件是（ ）
A. AO⊥BO，AO α，BO β
B. AO⊥l，BO⊥l
C. AB⊥l，AO α，BO β
D. AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
√
2. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）
A. α∥γ
B. α⊥γ
C. α与γ相交但不垂直
D. 以上都有可能
解析： 在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面
都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
√
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1所有经过四个顶点的平面中，垂
直于平面ABC1D1的平面有
.
平面A1B1CD，平面BCC1B1，平面
ADD1A1
解析：连接B1C，A1D（图略），在正方体ABCD-A1B1C1D1中有
AB⊥平面BCC1B1，又AB 平面ABC1D1，所以平面ABC1D1⊥平
面BCC1B1，同理有平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，又BC1⊥B1C，
BC1 平面ABC1D1，B1C 平面A1B1CD，所以平面ABC1D1⊥平
面A1B1CD.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求二面角的大小
【例1】 （链接教科书第192页例3）如图，四边形ABCD是正方
形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
（1）求二面角A-PD-C的大小；
解： ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.
∵PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的大小为90°.
（2）求二面角B-PA-C的大小.
解： ∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，
AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小为45°.
通性通法
求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
提醒 作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位
置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点.
【跟踪训练】
1. （2024·无锡质检）在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面
角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
√
解析： 由A-BCD为正四面体，取CD的中
点E，连接AE，BE（如图），则AE⊥CD，
BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面
ABE，∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设
正四面体的棱长为1，则AE＝BE＝ ，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，则 cos ∠AEB＝ ，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝ ，∴ cos ∠AEB＝ .故选B.
2. （多选）从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂
线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的
平面角的大小可能是（ ）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
√
√
解析： 如图所示，过PE，
PF作一个平面γ与二面角α-l-β
的棱l交于点O，连接OE，OF.
因为PE⊥α，PF⊥β，所以
PE⊥l，PF⊥l，又PE∩PF＝P，所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，则∠EOF为二面角α-l-β的平面角，它与
∠EPF相等或互补，故二面角α-l-β的平面角的大小为60°或
120°，故选B、D.
题型二 平面与平面垂直的判定定理的应用
【例2】 （链接教科书第193页例4）如图所示，在四面体A-BCS
中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
证明：法一（利用定义证明） 因为∠BSA＝∠CSA
＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝ a，BD＝ ＝ a.
在Rt△ABD中，AD＝ a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二（利用判定定理） 因为SA＝SB＝SC，且
∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
通性通法
证明面面垂直常用的方法
（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂
直，即把问题转化为“线面垂直”；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个
也垂直于此平面.
【跟踪训练】
如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝
90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中点.求证：平面BDC1⊥平面BDC.
证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC
平面ACC1A1，
∴BC⊥平面ACC1A1.
又∵DC1 平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又∵DC∩BC＝C，DC，BC 平面BDC，
∴DC1⊥平面BDC，
∵DC1 平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC.
题型三 平面与平面垂直的性质定理的应用
【例3】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为a
的菱形，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于
底面ABCD，G为AD边的中点.
（1）求证：BG⊥平面PAD；
证明： 连接PG（图略），∵△PAD为正三角
形，且点G为AD边的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PG 平面
PAD，∴PG⊥平面ABCD.
∵BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，连接
BD（图略），则△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，且AD 平面PAD，PG 平面
PAD，∴BG⊥平面PAD.
（2）求证：AD⊥PB.
证明： 由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD.
又BG，PG为平面PBG内两条相交直线，∴AD⊥
平面PBG.
∵PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
通性通法
1. 在应用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需
作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样
就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.
2. 面面垂直的性质定理等价于：如果两个平面互相垂直，则过一个平
面内一点垂直于另一个平面的直线在这个平面内.
【跟踪训练】
如图所示，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD. 则AE 平面BCD.
平行
解析：如图所示，取BC的中点M，连接DM，因为BD
＝CD，所以DM⊥BC. 又因为平面BCD⊥平面ABC，
平面BCD∩平面ABC＝BC，所以DM⊥平面ABC，又
AE⊥平面ABC，所以AE∥DM. 又因为AE 平面
BCD，DM 平面BCD，所以AE∥平面BCD.
1. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-C的大小是（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 如图，连接AD'，则∠DAD'即为二面角
D'-AB-C的平面角.故选B.
√
2. （多选）已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥AB， PA⊥AC，
AB⊥AC，则下列关系中正确的有（ ）
A. 平面PAB⊥平面ABC
B. 平面PAC⊥平面ABC
C. 平面PAB⊥平面PAC
D. 平面PBC⊥平面ABC
√
√
√
解析： 对于A，因为PA⊥AB，PA⊥AC， AB∩AC＝A，
又AB 平面ABC，AC 平面ABC，所以PA⊥平面ABC，又
PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，故A正确；对于B，
PA⊥平面ABC，又PA 平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，故
B正确；对于C，因为AB⊥PA，AB⊥AC， PA∩AC＝A，又
PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又AB 平
面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC，故C正确；对于D，假设平面
PBC⊥平面ABC，过点P作平面ABC的垂线，垂足为D，则
D∈BC，又PA⊥平面ABC，所以点A与点D重合，则A，B，C
三点共线，与△ABC矛盾，故D错误.故选A、B、C.
3. 如图所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝ .
13
解析：连接BC. 如图所示.因为BD⊥AB，α⊥β，
α∩β＝AB，所以BD⊥α.因为BC α，所以
BD⊥BC，所以△CBD是直角三角形.在Rt△BAC
中，BC＝ ＝5.在Rt△CBD中，CD＝
＝13.
4. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：如图所示，连接AC交BD于点F，连接EF，
所以EF是△SAC的中位线，所以EF∥SC.
因为SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD.
又EF 平面EDB，所以平面EDB⊥平面ABCD.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题
中正确的是（ ）
A. 若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B. 若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
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√
解析： A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α、m与α相交或
m α，故A错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α、m与α
相交或m α，故B错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又
n⊥α，所以m⊥α，故C正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α
可得m∥α、m与α相交或m α，故D错误.故选C.
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2. 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平
面，那么这两个二面角（ ）
A. 相等 B. 互补
C. 相等或互补 D. 关系无法确定
解析： 如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当
平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面
BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，
所以两个二面角的大小关系不确定.
√
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3. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，
则点C1在底面ABC上的射影点H必在（ ）
A. 直线AB上 B. 直线BC上
C. 直线AC上 D. △ABC内部
解析： 连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1
＝B，AB，BC1 平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面
ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H
必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.
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4. 如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，
B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（ ）
A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°
√
解析： 在三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，
则BC⊥BB1.又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面
ABC. 所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角.因为△ABC为等边
三角形，所以∠ABC＝60°.故选B.
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5. （多选）已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命
题中正确的是（ ）
A. 若α∥β，l∥β，则l∥α
B. 若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C. 若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D. 若α⊥β，l∥β，则l⊥α
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解析： 对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α
或l α，故A不正确；对于B，若l⊥α，
l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，如图，若
l⊥α，l∥β，过l的平面γ与β相交，设交线
为m，∵l∥β，l γ，β∩γ＝m，则l∥m，∵l⊥α，则m⊥α，∵m β，故α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确.故选B、C.
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6. （多选）如图，在正四面体A-BCD中，E，F，G分别是BC，
CD，DB的中点，下面四个结论中正确的是（ ）
A. BC∥平面AGF
B. EG⊥平面ABF
C. 平面AEF⊥平面ACD
D. 平面ABF⊥平面BCD
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解析： ∵F，G分别是CD，DB的中点，∴GF∥BC，则
BC∥平面AGF，故A正确；∵E，F，G分别是BC，CD，DB的
中点，∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF，
∵EG∥CD，∴EG⊥平面ABF，故B正确；∵CD⊥平面ABF，
CD 平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD，故D正确；对于选项
C，假设平面AEF⊥平面ACD，由平面AEF∩平面ACD＝AF，
CD 平面ACD，CD⊥AF，∴CD⊥平面AEF，CD⊥EF，与
CD，EF夹角为60°矛盾，故C错误.故选A、B、D.
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7. 如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面
角B-PA-C的大小为 .
解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC就是
二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，∴二面角B-PA-C的
大小为90°.
90°
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8. （2024·徐州月考）如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC
中，AB＝2，AC＝BC＝ ，等边三角形ADB以AB为轴运动.当
平面ADB⊥平面ABC时，CD＝ .
2
解析：如图，取AB的中点E，连接DE，CE. 因为
△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥
平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以
DE⊥平面ABC. 所以DE⊥CE. 由已知可得DE＝
，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝ ＝2.
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9. 如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所
成的角分别为 和 .过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为
A'，B'，则 ＝ .
2
解析：由已知条件可知∠BAB'＝ ，∠ABA'＝ ，设AB＝2a，则BB'＝2a sin ＝ a，A'B＝2a cos ＝ a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2.
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10. （2024·宿迁月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角
梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和
四边形ADD1A1均为正方形.
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
解： 证明：因为四边形ABB1A1和四
边形ADD1A1均为正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，AD，AB 平面ABCD，
所以AA1⊥平面ABCD.
因为AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
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（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
解： 过点B作BH⊥CD于点H，连
接B1H（图略）.
由（1）知BB1⊥平面ABCD，则
BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，BH，BB1 平面
BB1H，
所以CD⊥平面BB1H，
所以B1H⊥CD，
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所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角.
由等面积法可得 BH＝1×2，即BH＝ ，
所以B1H＝ ＝ ，
故 cos ∠BHB1＝ ＝ .
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11. 如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面
PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（ ）
A. 一条线段
B. 一条直线
C. 一个圆
D. 一个圆，但要去掉两个点
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解析： 因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平
面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC. 又因为
BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C
的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.故选D.
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12. 如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面
ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是（ ）
A. PB⊥AD
B. 平面PAB⊥平面PBC
C. 直线BC∥平面PAE
D. 直线PD与平面ABC所成的角为45°
√
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解析： 若PB⊥AD，则AD⊥AB，但AD与AB成60°角，A
错误；平面PAB与平面ABD垂直，所以平面PAB一定不与平面
PBC垂直，B错误；BC与AE是相交直线，所以BC一定不与平面
PAE平行，C错误；直线PD与平面ABC所成角为∠PDA，在
Rt△PAD中，AD＝PA，∴∠PDA＝45°，D正确.
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13. 如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中
点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折
起，使平面ABD⊥平面ABC. 在平面ABD内过点D作DK⊥AB，
K为垂足.设AK＝t，则t的取值范围是 .
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解析：如图所示，过D作DG⊥AF，垂足为
G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，
DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.
又DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近靠近A的AB的四等分点.∴t的取值范围是 .
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14. 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面
PBC，点E为垂足.
（1）求证：PA⊥平面ABC；
证明： 如图，在平面ABC内取一点D，
作DF⊥AC于点F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.
∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
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（2）当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
证明：如图，连接BE并延长交PC于点H.
∵点E是△PBC的垂心，
∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由（1）知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，∴AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
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15. （2024·镇江质检）如图①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，
M为CD上一点，且CM＝2MD. 将△ADM沿AM折起，使得平
面ADM⊥平面ABCM，如图②，E是线段AM的中点.
（1）求证：平面BDE⊥平面ABCM；
解： 证明：由已知DA
＝DM，E是AM的中点，
∴DE⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，
平面ADM∩平面ABCM＝AM，
DE 平面ADM，∴DE⊥平面ABCM.
∵DE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCM.
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（2）过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件；
（ⅰ）l 平面ABCM；（ⅱ）l⊥AD？请说明理由.
解： 过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
（ⅰ）l 平面ABCM；（ⅱ）l⊥AD. 理由：
在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，
平面ABCM∩平面ADM＝AM，l 平面ABCM，
∴l⊥平面ADM.
∵AD 平面ADM，∴l⊥AD.
故存在满足题意的直线l.
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