(共64张PPT)
第1课时 古典概型
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，理解古典概型的概念及特点 数学抽象
2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问
题 数学运算、
数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况
不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜.
于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”.骰子停定，正好重四.
唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱
用的.因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色.
【问题】 （1）若同时抛掷两颗不同的骰子，朝上的点数有多少种
不同的结果？
（2）你能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？
知识点一 随机事件概率的性质
1. 事件A的概率的取值范围： .
2. 必然事件Ω的概率P（Ω）＝ .
3. 不可能事件 的概率P（ ）＝ .
0≤P（A）≤1
1
0
知识点二 古典概型
1. 定义：如果某概率模型具有以下两个特点：
（1）样本空间Ω只含有 样本点；
（2）每个基本事件的发生都是 的.
我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型.
有限个
等可能
2. 古典概型的概率计算公式
在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}（其中，n为
样本点的个数），那么每一个基本事件{ωk}（k＝1，2，…，n）
发生的概率都是 .如果事件A由其中m个等可能基本事件组
合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P
（A）＝ .
一般地，若用n（A）表示事件A包含的样本点个数，则P（A）
＝ .
【想一想】
1. “在区间[0，10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这
个概率模型属于古典概型吗？
提示：不属于古典概型.因为在区间[0，10]上任取一个数，其试验
结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型.
2. 若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古
典概型吗？
提示：不一定是古典概型.还必须满足每个样本点出现的可能性相
等才是古典概型.
1. （多选）下列是古典概型的有（ ）
A. 从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B. 同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率
C. 近三天中有一天降雨的概率
D. 10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
√
√
√
解析： 古典概型的特征：①试验中所有可能发生的样本点
只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等.显然A，B，D符合
古典概型的特征，所以A，B，D是古典概型；C选项，每天是否降
雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选A、
B、D.
2. 袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球
的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一
球，有15种取法，其中取到白球有6种取法，所以取到白球的概率
为 ＝ .故选A.
√
3. 将一枚质地均匀的一元硬币抛掷2次，恰好出现一次正面朝上的概
率是 .
解析：一枚硬币连掷2次可能出现（正，正），（反，反），
（正，反），（反，正）四种情况，只有一次出现正面的情况有两
种，故概率为 ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 古典概型的判断
【例1】 （多选）下列试验是古典概型的是（ ）
A. 在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B. 口袋里有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，从中任取一球
为白球的概率
C. 向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D. 老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的
概率
√
√
解析： 对于A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符
合等可能性；对于B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球
或黑球的概率是等可能的；对于C：向一个圆面内部随机地投一个
点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；对于D：老师从甲、乙、
丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可
能的.故选B、D.
通性通法
判断一个试验是不是古典概型的步骤
（1）明确试验及其结果；
（2）判断所有结果（即样本点）是否有限；
（3）判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验.另
外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言.
【跟踪训练】
下列概率模型中属于古典概型的是（ ）
A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任
取一点
B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C. 某小组有男生6人，女生4人，从中任选1人当组长
D. 一只使用中的灯泡寿命长短
√
解析： 对于A，不属于古典概型，因为所有横坐标和纵坐标都是
整数的点有无限多个，不满足有限性；对于B，不属于古典概型，因
为命中0环，1环，2环，…，10环的概率不相同，不满足等可能性；
对于C，属于古典概型，该事件显然满足有限性，且任选1人与学生的
性别无关，是等可能的；对于D，不属于古典概型，因为灯泡的寿命
是任意一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性.故选C.
题型二 古典概型的概率计算
角度1 列举法求古典概型的概率
【例2】 （链接教科书第280页例1）一个口袋内装有大小相等的1个
白球和已编有不同号码的3个黑球，从中一次摸出2个球.求：
（1）样本空间的样本点的总数n；
（1）将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2
个球，
样本空间Ω＝{（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑1，白），
（黑2，黑3），（黑2，白），（黑3，白）}，共6个样本点，所
以n＝6.
解：由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所
以是古典概型.
（2）事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
解：事件“摸出2个黑球”＝{（黑1，黑2），（黑2，黑3），
（黑1，黑3）}，共3个样本点.
（3）摸出2个黑球的概率.
解：样本点总数n＝6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点个
数m＝3，故P＝ ＝ ，即摸出2个黑球的概率为 .
通性通法
应用列举法求古典概型概率的三个步骤
此方法适用于较为简单的古典概型问题.
角度2 树形图法求古典概型的概率
【例3】 （2024·常州月考）甲、乙、丙三人互传一个篮球，持球者
随机将球传给无球者之一.由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球
回到甲手上的概率是（ ）
A. B.
C. D.
√
解析： 画树形图如图所示，
由树形图知，共有16种等可能结
果，其中第4次传球后球回到甲手
中的有6种结果，所以第4次传球
后球回到甲手中的概率为 ＝ .
通性通法
树形图法的应用
先明确一次试验的步骤及顺序，使用树形图列举出一次试验的所
有可能结果（即把样本点一一列举出来），求出所求事件和样本空间
的样本点个数，然后代入古典概型的概率公式求解.树形图法便于分
析样本点间的关系，适用于较复杂的问题.
角度3 列表法求古典概型的概率
【例4】 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
（1）求点数之和为7的概率；
（1）记“点数之和为7”为
事件A，从表中可以看出，
事件A包含的样本点共有6个，分别为（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），
故P（A）＝ ＝ .
解：抛掷两枚质地均
匀的骰子，其情况如
表所示：
（2）求掷出两个4点的概率；
解：记“掷出两个4点”为事件B，从表中可以看出，事件B包
含的样本点只有1个，即（4，4），故P（B）＝ .
（3）求点数之和能被3整除的概率.
解：记“点数之和能被3整除”为事件C，从表中可以看出，
事件C包含的样本点共有12个，分别为（1，2），（2，1），
（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，
6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6），故P（C）
＝ ＝ .
通性通法
列表法的应用
利用表格的形式列出所有的样本点，通常用来解决试验中包含两
个元素，且试验结果比较多的概率求解问题，表格的行与列分别表示
不同的元素，根据试验的要求直接在表格中列出相应的结果，这种方
法直观、简洁，不易出错.
角度4 图示法求古典概型的概率
【例5】 市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取
向，抽样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有334户，
订阅晚报的有297户，其中两种都订的有150户，则两种报纸都不订的
概率为 .
解析：记500户居民组成的集合为U，订阅晨报
的居民的全体为集合A，订阅晚报的居民的全
体为集合B，如图所示，由题意及图知两种报
纸至少订阅一种的有334＋297－150＝481
（户），从而两种都不订的有500－481＝19（户）.故两种报纸都不订的概率为 ＝0.038.
0.038
通性通法
从集合观点看，在一次试验中等可能出现的结果组成全集I，即
card（I）＝n，而事件A所包含的k个结果组成I的一个子集，即card
（A）＝k，则有P（A）＝ ，因此可建立事件与集合的关
系，借助Venn图的直观性来研究事件，且便于弄清各种事件间的关
系，并易确定n，k的值.
【跟踪训练】
1. 从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选
中的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞
赛，共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法，其中乙
被选中有2种选法，故乙被选中的概率为 .故选C.
√
2. （2024·无锡月考）每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5
名，其中男生3名，女生2名，现需选出2名青年志愿者到社区做公
益宣传活动，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为 .
解析：设3名男生分别用A，B，C表示，2名女生分别用a，b表
示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{（A，B），
（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），
（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）}，共有10个样本
点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有（A，B），
（A，C），（B，C），（a，b），共有4个，则选出的2名青
年志愿者性别相同的概率为P＝ ＝ .
3. 用红、黄、蓝三种不同颜色给如图中的3个矩形随机涂色，每个矩
形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是 ，3个矩形
颜色都不同的概率是 .
解析：所有可能的样本点共有3×3×3＝27（个），如图所示：
记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知，事件A中的样本点
有3个，故P（A）＝ ＝ .记“3个矩
形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B中的样本点有6个，
故P（B）＝ ＝ .
1. 下列试验是古典概型的是（ ）
A. 口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球
B. 在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D. 某人射击中靶或不中靶
解析： 对于A，取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不
是古典概型；对于B，一次试验的结果有无限个，故不是古典概
型；对于C，满足古典概型特征，是古典概型；对于D，两个样本
点发生的可能性可能不同，故不是古典概型.
√
2. （多选）下列有关古典概型的说法正确的有（ ）
A. 试验的样本空间的样本点总数有限
B. 每个事件出现的可能性相等
C. 每个样本点出现的可能性相等
D. 已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发
生的概率P（A）＝
√
√
√
解析： 由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总
数有限；每个样本点出现的可能性相等，故A、C正确；每个事件
不一定是一个样本点，可能包含若干个样本点，故B不正确；根据
古典概型的概率计算公式可知D正确.故选A、C、D.
3. 从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，则
甲、乙均不被选中的概率为 .
解析：从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工
作，有：甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙
戊，丁戊，共10种选法，其中甲、乙均不被选中的有3种，所以所
求事件的概率为 .
4. （2024·盐城月考）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意选
出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .
解析：此试验的样本空间Ω＝{（2，3，4），（2，3，5），（2，
4，5），（3，4，5）}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三
角形”，则A＝{（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）}，共
有3个样本点，故P（A）＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列结论正确的是（ ）
A. 事件A的概率P（A）的值满足0＜P（A）＜1
B. 若P（A）＝0.999，则A为必然事件
C. 灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，是合格品的可能性
为99%
D. 若P（A）＝0.001，则A为不可能事件
解析： 由概率的性质知A、B、D错，由概率的意义知C正确.
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2. 若书架上数学、物理、化学书的数量分别是5本、3本、2本，则随
机抽出一本是物理书的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 样本空间包含10个样本点，“随机抽出一本是物理书”
包含3个样本点，所以其概率为 .故选B.
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3. 我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节
气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院
甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位
同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的
前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（ ）
A. B.
√
C. D.
解析： 甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务
中选一个季节的6幅彩绘绘制，共有四个样本点，甲抽到绘制夏季6
幅彩绘是其中一个样本点，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为 .
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4. 同时掷两个骰子，则向上的点数之和是4的概率为（ ）
A. B.
解析： 同时抛掷两个骰子，则两个骰子点数之和如下表所示：由上表可知，共有36种情况，其中点数之和是4的有3个，故所求概率P＝ ＝ .
C. D.
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5. （2024·无锡月考）从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成
线段，则它们过正六边形中心的概率等于（ ）
A. B.
C. D.
√
解析： 从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，有
线段AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，
CE，CF，DE，DF，EF共15条，其中过正六边形中心的有
AD，BE，CF共3条，所以过正六边形中心的概率等于 ＝ .故
选D.
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6. （2024·南通月考）从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意
摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 设两个白球为a1，a2，两个黑球为b1，b2，则从4个球中
任取2个球有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，
b1），（a2，b2），（b1，b2），6种等可能结果，其中至少摸到
一个黑球有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，
b2），（b1，b2），5种等可能结果，故至少摸到一个黑球的概率
P＝ .故选C.
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7. 从集合{a，b，c，d}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合
{a，b}的子集的概率是 .
解析：集合{a，b，c，d}的子集有16个，其中 ，{a}，{b}，
{a，b}这4个集合是{a，b}的子集，因此所求概率为 ＝ .
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8. 小明打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是
M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，
则小明输入一次密码能够成功开机的概率是 .
解析：∵Ω＝{（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），
（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，
5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，
5）}，∴共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相等.∵正确
的开机密码只有1种，∴P＝ .
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9. 有1号、2号、3号共3个信箱和A，B，C，D共4封信，若4封信可
以任意投入信箱，投完为止，则A信投入1号或2号信箱的概率
是 .
解析：由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的
可能性是相等的，一共有3种不同的结果.投入1号或2号信箱是其中
的2种结果，故A信投入1号或2号信箱的概率为 .
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10. 一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中
一次摸出2个球.
（1）共有多少个样本点？
解： 分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸
出2个球，有如下样本点（摸到1，2号球用（1，2）表
示）：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），
（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.因
此，共有10个样本点.
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（2）摸出的2个球都是白球的概率是多少？
解： 上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样
本点是摸到2个白球（记为事件A），
即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）＝ .
故摸出2个球都是白球的概率为 .
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11. （2024·泰州月考）先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子朝
上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为（ ）
A. B.
C. D.
√
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解析： 所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中
x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或
故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率
为P＝ ＝ .
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12. （2024·宿迁月考）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个
数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为
b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a－b｜≤1，就称
甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵
犀”的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 记“｜
a－b｜≤1”为事
件A，由于a，
b∈{1，2，3，
4，5，6}，列表如
下：
则事件A包含的样本点共16个，又样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等，因此他们“心有灵犀”的概率为P＝ ＝ .
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13. （2024·镇江月考）某学校成立三个社团，共60人参加，A社团有
39人，B社团有33人，C社团有32人，同时只参加A，B社团的有
10人，同时只参加A，C社团的有11人，三个社团都参加的有8
人.随机选取1人，则他参加的社团不超过两个的概率为 .
解析：由Venn图可求得参加各社团的情况如图所
示，参加的社团不超过两个的概率P＝
＝ .
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14. 书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中
任取两本，试求下列事件的概率：
（1）取出的书不成套；
解：设第一套书的上、下册分别记为A1，A2，第二套书的
上、下册分别记为B1，B2，第三套书的上、下册分别记为
C1，C2.
不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝
{A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，
A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共含有
15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等
的，从而用古典概型来计算概率.
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（1）设事件A表示“取出的书不成套”，
则A＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，
A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，样本点有12个，
故P（A）＝ ＝ .
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（2）取出的书均为上册；
解：设事件B表示“取出的书均为上册”，
则B＝{A1B1，A1C1，B1C1}，样本点有3个，
故P（B）＝ ＝ .
（3）取出的书上、下册各一本，但不成套.
解：设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”，
则C＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}，样本点
有6个，故P（C）＝ ＝ .
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15. 某县有特级教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲
校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁
校教师记为D. 现从这6名特级教师中选出3名教师组成下届教师
职称评审团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中每校至多选出1名.
（1）请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点；
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解： 从6名特级教师中选
出3名教师组成评审团，树形图
如图所示，
故组成人员的全部样本点为
（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），
（A1，B2，D），（A1，C，D），（A2，B1，C），
（A2，B1，D），（A2，B2，C），（A2，B2，D），
（A2，C，D），（B1，C，D），（B2，C，D）.
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（2）求教师A1被选中的概率；
解： 在组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点
有（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），
（A1，B2，D），（A1，C，D），共5个，
所以教师A1被选中的概率为 .
（3）求评审团中没有乙校教师的概率.
解： 评审团中没有乙校教师的样本点有（A1，C，
D），（A2，C，D），共2个，
所以评审团中没有乙校教师的概率为 ＝ .
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15(共60张PPT)
第2课时 频率与概率
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解概率的性质 数学建模
2.结合实例，会用频率估计概率 数学建模、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是
一样的，都是 .很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样
的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有
更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型
的对称性，体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地.为
了解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结
果可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近 ，
我们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将
固定在 处，即正面和反面出现的概率都为 .
【问题】 你认为频率与概率之间有什么关系？
知识点一 频率的稳定性
一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的
增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P（A）的附近
摆动并趋于稳定，我们将频率的这个性质称为频率的稳定性.
知识点二 频率与概率的关系
在一定条件下，重复进行了n次试验，如果某一事件A出现了m
次，则事件A出现的频数是 ，称事件A出现的次数与试验总次
数的比例 为事件A出现的频率，当试验次数n很大时，可以用
事件A发生的频率 来估计事件A的概率，即P（A）≈ .
m
知识点三 概率的意义
对于随机现象，虽然事先无法确定某个随机事件是否发生，但是在
相同条件下进行大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现
出某种规律性.
【想一想】
频率与概率之间有什么关系？
提示：（1）频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且
可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出
现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性的大小，近似反映
了概率的大小；
（2）概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽
象，与每次试验无关，不随试验结果的改变而改变，从数量上反映随
机事件发生的可能性大小；
（3）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接
近于概率.在实际问题中，随机事件的概率未知，常用大量重复试验
中事件发生的频率作为它的估计值.
1. 某地气象局预报：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的
是（ ）
A. 明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水
B. 明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水
C. 明天本地降水的可能性是80%
D. 以上说法均不正确
解析： 选项A、B显然不正确，明天本地降水的概率为80%而不
是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水
的可能性是80%.故选C.
√
2. 下列说法正确的是 .（填序号）
①频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性
大小；
②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P
（A）＝ ；
③含百分比的数是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验
的客观值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
①④⑤
解析：根据频率与概率的定义，可知①正确；频率不是概率，②中
求出的是事件A发生的频率，因此②错误；概率是一个数值，可以
是百分数也可以是小数，因此③错误；根据概率的定义可知，概率
是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确.
3. 设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数
大约为 .
解析：8 000×（1－2%）＝7 840（件）.
7 840
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 频率与概率的关系
【例1】 （1）（多选）下列关于概率和频率的叙述正确的有
（ BD ）
A. 随机事件的频率就是概率
B. 随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个固定的数值
C. 频率是随机的，与试验次数无关
D. 概率是客观存在的，与试验次数无关
BD
解析： 对于A，随机事件的频率是概率的近似值，频率不
是概率，故A错误；对于B，随机事件的频率不是一个固定的数
值，而概率是一个确定的数值，故B正确；对于C，频率是随机
的，它与试验条件、次数等有关，故C错误；对于D，概率是确
定的值，与试验次数无关，故D正确.故选B、D.
（2）某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形
出现了7次，则下列说法正确的是（ B ）
A. 正面朝上的概率为0.7
B. 正面朝上的频率为0.7
C. 正面朝上的概率为7
D. 正面朝上的概率接近于0.7
B
解析：正面朝上的频率是 ＝0.7，正面朝上的概率是0.5，
故选B.
通性通法
对频率与概率的理解
（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接
近概率；
（2）频率本身是随机的，在试验前不能确定；
（3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，
与试验次数无关.
【跟踪训练】
1. 试题中共8道单项选择题，每道题有4个选项，其中只有1个选项是
正确的.某同学说：“每个选项正确的概率是 ，若每题都选择第
一个选项，则一定有2道题的选择结果正确”.这句话（ ）
A. 正确 B. 错误
C. 有一定道理 D. 无法解释
√
解析： 从四个选项中正确选择选项是一个随机事件， 是指这
个事件发生的概率，实际上，做8道选择题相当于做8次试验，每次
试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正
确，也可能有1个，2个，3个，…，8个正确.因此该同学的说法是
错误的，故选B.
2. 某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认
为下面两个解释中能代表教练的观点的为 （填序号）.
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；
②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
解析：能代表教练的观点的为该射击运动员射一次，中靶的机会是
90%.
②
题型二 利用频率估计概率
【例2】 （链接教科书第284页例5）下表是某品牌乒乓球的质量检
查统计表：
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
（1）计算各组优等品频率，填入上表；
解： 根据优等品频率＝ ，可得优等品的频率从左
到右依次为：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.
（2）根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
解： 由（1）可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在
0.95附近，故估计“抽取的是优等品”的概率是0.95.
通性通法
1. 用频率估计概率
如果随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验的次数n很大
时，可以将事件A发生的频率 作为事件A的概率的近似值.
2. 用频率估计概率的步骤
（1）确定随机事件A的频数nA；
（2）由fn（A）＝ 计算频率fn（A）（n为试验的总次数）；
（3）由频率fn（A）估计概率P（A）.
【跟踪训练】
假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等，为
了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个
进行测试，结果如图所示：
（1）估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；
解： 甲品牌产品寿命小于200 h的频率为 ＝ ，用频率
估计概率，所以估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率为 .
（2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是
甲品牌的概率.
解： 根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝
145（个），其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于
200 h的产品是甲品牌的频率是 ＝ ，用频率估计概率，所
以已使用了200 h的该产品估计是甲品牌的概率为 .
题型三 概率的应用
【例3】 某鱼苗实验场进行某种淡水鱼的人工孵化试验，按在同一
条件下的试验结果，10 000个鱼卵能孵化出8 520尾鱼苗.
（1）求这种鱼卵孵化的频率；
解： 由题意可知，这种鱼卵孵化的频率为 ＝0.852.
（2）估计30 000个这种鱼卵能孵化出多少尾鱼苗？
解： 由（1）可知，这种鱼卵孵化的频率为0.852，所以估
计30 000个这种鱼卵能孵化出0.852×30 000＝25 560尾鱼苗.
（3）若要孵化出5 000尾鱼苗，估计需要准备多少个鱼卵？
解： 设要孵化出5 000尾鱼苗，估计需要准备x个鱼卵.
由0.852x＝5 000，可得x＝ ≈5 869.
故要孵化出5 000尾鱼苗，估计需要准备5 869个鱼卵.
通性通法
由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们
可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生，从而对某些事情
做出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似
估计总体中该事件发生的概率.
【跟踪训练】
（2024·徐州月考）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全
相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.
（1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个
球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平
局），求甲获胜的概率；
解： 记甲、乙摸出的数字为（x，y），则共有16种情况，
其中x＞y的有（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），
（3，1），（2，1），共6种情况，故甲获胜的概率为 ＝ .
（2）摸球方法与（1）相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同
甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明
理由.
解： 不公平.理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况
有（4，4），（3，3），（2，2），（1，1），共4种情况，
故甲获胜的概率为 ＝ ，乙获胜的概率为 ＝ ，故不公平.
1. 在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为 ，当n很大时，事
件A发生的概率P（A）与 的关系是（ ）
A. P（A）≈ B. P（A）＜
C. P（A）＞ D. P（A）＝
解析： 在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为 ，当n很
大时， 越来越接近于P（A），所以可以用 近似的代替P
（A），即P（A）≈ ，故选A.
√
2. 在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面向上，设“反面
向上”为事件A，则事件A出现的频数为 ，事件A出现的频
率为 .
解析：频数为52，频率为 ＝0.52.
52
0.52
3. 一个盒子中有若干白色棋子，为了估计其中棋子的数目，小明将
100颗黑色的棋子放入其中，充分搅拌后随机取出了20颗，数得其
中有5颗黑色的棋子，则估计白色棋子的数目为 .
解析：设白色棋子的数目为 n，则由已知可得 ＝ ，解得n
＝300，即白色棋子的数目大约有300颗.
300
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列说法中正确的有（ ）
A. 任何事件发生的概率总是在（0，1）之间
B. 概率是随机的，在试验前不能确定
C. 频率是客观存在的，与试验次数无关
D. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
√
解析： 概率的取值范围为[0，1]，故A错误；频率是不能脱离
试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理
论值，故B、C错误；D显然正确.
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2. 某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用A表示
“投进球”这一事件，则事件A发生的（ ）
A. 概率为 B. 频率为
C. 频率为8 D. 概率接近0.8
解析： 投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事
件A发生的频数为8，所以事件A发生的频率为 ＝ .
√
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3. 2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，今年的宣传主题是“关注
普遍的眼健康”.调查数据显示，江苏中小学生近视率超50%.若某
学校的高一在校学生近视率约为37.4%，某眼镜厂家要到该中学给
高一学生配镜，若已知该校高一学生总数为600人，则该眼镜商应
带眼镜的数目为（ ）
A. 374副 B. 224.4副
C. 不少于225副 D. 不多于225副
解析： 根据概率相关知识，该校近视学生人数约为600×37.4%
＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副.故选C.
√
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4. （2024·徐州月考）随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费
时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500
名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），
统计结果如下表：
满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较
满意”或“满意”的概率是（ ）
A. B.
√
C. D.
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解析： 由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，
所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”
的总人数为1 200＋2 100＝3 300，所以随机调查的消费者中对
网上购物“比较满意”或“满意”的频率为 ＝ .由此估
计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满
意”的概率为 .故选C.
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5. （多选）给出下列4个说法，其中错误的是（ ）
A. 现有一批产品，次品率为0.05，则从中选取200件，必有10件是次品
B. 做100次抛掷一枚硬币的试验，结果有51次出现正面向上，因此，出现正面向上的概率是
C. 抛掷一颗骰子100次，有18次出现1点，则出现1点的频率是
D. 随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率
√
√
√
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解析： 次品率为0.05，即出现次品的概率（可能性）是
0.05，所以200件产品中可能有10件是次品，并非“必有”，故A
不正确；正面向上的次数与试验的总次数之比是频率，而不是概
率，故B不正确；C显然正确；由概率的定义知，概率是频率的稳
定值，频率在概率附近摆动，故随机事件的概率不一定等于该事件
发生的频率，故D不正确.故选A、B、D.
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6. 容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布
直方图计算样本数据落在[6，10）内的频数为 ，估计数据落
在[2，10）内的概率约为 .
64
0.4
解析：数据落在[6，10）内的频数为200×0.08×4＝64，落在[2，10）内的频率为（0.02＋0.08）×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率为0.4.
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7. 某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为
80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命
中率为 .
解析：该同学这两场投篮的命中率为 ＝74%.
74%
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8. 对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下：
抽查件数 50 100 200 300 500
合格品件数 47 92 192 285 478
根据上表所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件
合格品，大约需抽查 件产品.
解析：抽查的产品总件数为1 150，合格品件数为1 094，合格率为
≈0.95，950÷0.95＝1 000，故大约需抽查1 000件产品.
1 000
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9. 一地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表
所示：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190
男婴数m 2 883 4 970 6 994 8 892
（1）计算男婴的出生频率（保留4位小数）；
解： 计算得男婴出生的频率依次约为0.520 0，0.517
3，0.517 3，0.517 3.
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（2）这一地区男婴出生的概率约为多少？
解： 因为这些频率非常接近0.517 3，所以这一地区男
婴出生的概率约为0.517 3.
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10. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
√
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解析： 由折线图可知，频率在0.3到0.4之间.抛一枚硬币，出
现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错误；掷一个正六面体的
骰子，出现3点朝上的概率为 ，不符合，故B错误；一副去掉大
小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为
，不符合，故C错误；从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任
取一球，取到的是黑球的概率为 ，在0.3到0.4之间，符合题
意，故D正确.故选D.
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11. 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转
盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如
下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出
的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲
获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种：
A. 猜“是奇数”或“是偶数”；
B. 猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C. 猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
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（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并
且怎样猜？为什么？
解： 如题图，方案A中“是奇数”或“是偶数”的概
率均为 ＝0.5；
方案B中“不是4的整数倍数”的概率为 ＝0.8，“是4的
整数倍数”的概率为 ＝0.2；
方案C中“是大于4的数”的概率为 ＝0.6，“不是大于4
的数”的概率为 ＝0.4.
乙为了尽可能获胜，应选方案B，猜“不是4的整数倍数”.
请回答下列问题：
1
2
3
4
5
6
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10
11
12
13
（2）为了保证游戏的公平性，你认为应选择哪种猜数方案？
为什么？
解： 为了保证游戏的公平性，应当选择方案A. 因为方
案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证
了该游戏是公平的.
（3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性.
解： 可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5
的数”，此方案也可以保证游戏的公平性.
1
2
3
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12. （2024·苏州月考）某购物网站开展一种商品的预约购买，规
定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否
成功购买到该商品.规则如下：（1）摇号的初始中签率为
0.19；（2）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增
加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签
率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请
位好友参与“好友助力”活动.
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解析：因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，
需要增加的中签率大于0.9－0.19＝0.71，因为每邀请到一位好友
参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，且 ＝14.2，所
以至少需要邀请15位好友参与“好友助力”活动.
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13. （2024·扬州质检）某地要举办一年一度为期一个月（30天）
的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每
个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进
价的半价退回，食品按每箱100个包装.根据往年的销售经验，
每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购
计划，该商店统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天
数的有关数据如下：
到会人 数/人 （8 000， 9 000] （9 000， 10 000] （10 000， 11 000] （11 000， 12 000] （12 000，
13 000]
需求 量/箱 400 450 500 550 600
天数 5 6 8 7 4
以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率.
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（1）估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过
500箱的概率；
解： 由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一
天这种食品的需求量不超过500箱的天数为5＋6＋8＝19，所
以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱
的概率为 .
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解： 当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，若
到会人数位于区间（8 000，9 000]内，则Y＝400×100×
（1－0.6）＋150×100×（0.3－0.6）＝11 500（元）；
若到会人数位于区间（9 000，10 000]内，则Y＝
450×100×（1－0.6）＋100×100×（0.3－0.6）＝15 000（元）；
若到会人数位于区间（10 000，11 000]内，则Y＝
500×100×（1－0.6）＋50×100×（0.3－0.6）＝18 500
（元）；
（2）设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：
元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，
写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15 000元的概率.
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若到会人数超过11 000，则Y＝550×100×（1－0.6）＝
22 000（元），
即Y的所有可能值为11 500，15 000，18 500，22 000，
Y不超过15 000元，意味着到会人数不超过10 000，到会人
数不超过10 000的频率为 ＝ ，所以估计Y不超过15 000
元的概率为 .
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