(共65张PPT)
第1课时 互斥事件
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，理解互斥事件、对立事件的含义及概率
的常用性质 数学抽象、
逻辑推理
2.掌握互斥事件和的概率计算，会求对立事件的概率 数学运算、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.2.
【问题】 甲获胜的概率是多少？
知识点一 互斥事件
1. 定义：若AB＝ ，即事件A与B 发生，这时，
我们称A，B为 .
不可能同时
互斥事件
2. 概率的加法公式：如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概
率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P（A＋B）＝
.
提醒 概率的加法公式的推广：如果事件A1，A2，…，An两两互
斥，那么P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P
（An）.
P
（A）＋P（B）
知识点二 对立事件
1. 定义：若AC＝ ，并且A＋C＝ ，即互斥事件A，C
中 发生，这时，我们称A，C为 ，记作
C＝ 或A＝ .
2. 概率的常用性质
（1）P（ ）＝ ；
（2）当A B时，P（ A ） P（ B ）；
（3）当A，B不互斥时，P（A＋B）＝
.
Ω
必有一个
对立事件
1－P（A）
A
≤
B
P（A）＋P（B）－
P（AB）
【想一想】
1. 互斥事件与对立事件之间有什么区别与联系？
提示：对立事件必为互斥事件，但反之不然.
2. 在同一试验中，对任意两个事件A，B，P（A＋B）＝P（A）
＋P（B）一定成立吗？
提示：不一定，只有A与B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P
（B）才成立.
3. 若P（A）＋P（B）＝1，则事件A与事件B是否一定对立？试举
例说明.
提示：A与B不一定对立.例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为
出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P（A）＋P（B）
＝1，但A，B不对立.
1. 若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A. “甲站排头”与“乙站排头”
B. “甲站排头”与“乙站排尾”
C. “甲站排头”与“乙不站排头”
D. “甲不站排头”与“乙不站排头”
解析： 根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、
C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件.
√
2. （2024·淮安月考）随着网络技术的发展，电子支付变得愈发普遍.
已知某群体的成员在一次活动中，只有现金支付与电子支付两种支
付方式，只用现金支付的概率为0.05，既用现金支付也用电子支付
的概率为0.1，则只用电子支付的概率为（ ）
A. 0.9 B. 0.85
C. 0.95 D. 0.8
解析： 由对立事件的概率公式可知，只用电子支付的概率为1
－0.05－0.1＝0.85.故选B.
√
3. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出红球或
白球的概率是 .
解析：记“摸出红球”为事件A，则P（A）＝0.42，记“摸出白
球”为事件B，则P（B）＝0.28，则摸出红球或白球的概率是P
（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.7.
0.7
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 互斥事件与对立事件的判断
【例1】 （链接教科书第290页例1）某射手进行一次射击，可能命
中0～10环中的一种，记“命中环数大于7环”为事件A，“命中环数
为10环”为事件B，“命中环数小于6环”为事件C，“命中环数为
6， 7， 8， 9， 10环”为事件D. 判断下列事件是否为互斥事件，如
果是，判断它们是否为对立事件.
（1） A与B；
解：由题意知Ω＝{0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，
10}， A＝{8， 9， 10}， B＝{10}， C＝{0， 1， 2， 3， 4，
5}， D＝{6， 7， 8， 9， 10}.
（1）因为AB＝{10}≠ ，所以A， B不是互斥事件.
解：因为AC＝ ，所以A，C是互斥事件.又因为A＋C≠Ω，
所以A， C不是对立事件.
（2） A与C；
（3） B与C；
解：因为BC＝ ，所以B，C是互斥事件.又因为B＋C≠Ω，
所以B， C不是对立事件.
解：因为CD＝ ，所以C，D是互斥事件.又因为C＋D＝
Ω，所以C， D是对立事件.
（4） C与D.
通性通法
互斥事件、对立事件的判断方法
（1）利用基本概念判断：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件
首先是互斥事件，且必须有一个要发生.
（2）利用集合的观点判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别
是A，B，所有事件所含的结果组成的集合为I. ①事件A与B互
斥，即集合A∩B＝ ；②事件A与B对立，即集合A∩B＝ ，
且A∪B＝I，即A＝ IB或B＝ IA.
【跟踪训练】
已知事件M “3粒种子全部发芽”，事件N“3粒种子都不发芽”，那
么事件M和N（ ）
A. 是对立事件
B. 不是互斥事件
C. 是互斥但不对立事件
D. 无法判断
√
解析： 事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生，故事件
M和事件N互斥，而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒
种子不都发芽”，有可能1个不发芽，也有可能2个不发芽，也有可能
3个不发芽，故事件M和事件N互斥不对立.故选C.
题型二 互斥事件与对立事件概率公式的应用
【例2】 （链接教科书第290页例2）某医院要派医生下乡义诊，派
出医生的人数及其概率如下表所示：
人数 0 1 2 3 4 大于等
于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
（1）求派出医生至多2人的概率；
（1）“派出医生至多2人”的概率为P（A＋B＋C）＝P
（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
解：记“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，
“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派
出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，
事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P（A）＝0.1，P
（B）＝0.16，P（C）＝0.3，P（D）＝0.2，P（E）＝
0.2，P（F）＝0.04.
（2）求派出医生至少2人的概率.
解：法一 “派出医生至少2人”的概率为P（C＋D＋E＋
F）＝P（C）＋P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.2＋
0.2＋0.04＝0.74.
法二 “派出医生至少2人”的概率为1－P（A＋B）＝1－0.1－
0.16＝0.74.
通性通法
互斥事件、对立事件概率的求解方法
（1）互斥事件概率的加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P
（B）；
（2）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当
这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率
的和；
（3）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，
常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.
【跟踪训练】
1. 现有历史、政治、物理和化学4本书，从中任取1本，则取出的书是
物理或化学书的概率为（ ）
A. B.
解析： 记取出历史、政治、物理、化学书分别为事件A，B，
C，D，则事件A，B，C，D两两互斥，所以取出物理或化学书
的概率为事件C，D概率的和，即P（C＋D）＝P（C）＋P
（D）＝ ＋ ＝ .
C. D.
√
2. 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心
（事件A）的概率是 ，取到方块（事件B）的概率是 ，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
解： 因为C＝A＋B，且A与B不会同时发生，所以事
件A与事件B互斥，
所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝ .
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
解： 事件C与事件D互斥，且C＋D为必然事件，
因此事件C与事件D是对立事件，
所以P（D）＝1－P（C）＝ .
题型三 概率性质的综合应用
【例3】 （链接教科书第291页例3）袋中有外形、质量完全相同的
红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是
，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 .
解： 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑
球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，它们彼
此互斥，
则P（A）＝ ，P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝ ，
P（C＋D）＝P（C）＋P（D）＝ ，P（B＋C＋D）＝P
（B）＋P（C）＋P（D）＝1－P（A）＝1－ ＝ .
联立
解得P（B）＝ ，P（C）＝ ，P（D）＝ ，
故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为 ， ， .
（2）从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.
解： 事件“得到红球或绿球”可表示为A＋D，由（1）
及互斥事件的概率加法公式得P（A＋D）＝P（A）＋P
（D）＝ ＋ ＝ ，
故得到的不是红球也不是绿球的概率为P＝1－P（A＋D）＝1
－ ＝ .
通性通法
求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的
概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立
事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概
率的计算得到简化.
【跟踪训练】
某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工
1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男
职工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽取1人，求该职
工为女职工或第三分厂的职工的概率.
解：记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分
厂的职工”，则AB表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A＋B表示
“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有
P（A）＝ ＝ ，
P（B）＝ ＝ ，
P（AB）＝ ＝ ，
所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝ ＋ －
＝ .
1. 若A，B为互斥事件，则（ ）
A. P（A）＋P（B）＜1 B. P（A）＋P（B）＞1
C. P（A）＋P（B）＝1 D. P（A）＋P（B）≤1
解析： 因为A，B为互斥事件，所以A＋B是随机事件或必然
事件，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）≤1，当A，B为对立
事件时，P（A）＋P（B）＝1.
√
2. （多选）一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一
次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立
的事件有（ ）
A. 2个小球恰有1个红球
B. 2个小球不全为黑球
C. 2个小球至少有1个黑球
D. 2个小球都为黑球
√
√
解析： 由题意，知一次任意取出2个小球，这2个球可能为2个
红球，2个黑球，1个红球1个黑球共3种情况.与事件“2个小球都为
红球”互斥而不对立的事件为2个小球恰有1个红球或2个小球都为
黑球.故选A、D.
3. 已知P（A）＝0.4，P（B）＝0.2.
（1）如果B A，则P（A＋B）＝ ，P（AB）
＝ ；
解析：（1）因为B A，所以P（A＋B）＝P（A）＝
0.4，P（AB）＝P（B）＝0.2.
（2）如果A，B互斥，则P（A＋B）＝ ，P（AB）
＝ .
解析：（2）如果A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P
（B）＝0.4＋0.2＝0.6，P（AB）＝0.
0.4
0.2
0.6
0
4. 据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的
概率分别为0.4，0.5，0.1，则该食品企业在一个月内被消费者投
诉不超过1次的概率为 .
解析：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事
件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件
D，由题意知，事件C与事件D互为对立事件，所以P（D）＝1
－P（C）＝1－0.1＝0.9.
0.9
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的
概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（ ）
A. 0.2 B. 0.4
C. 0.6 D. 0.7
解析： 因为事件A与B是互斥事件，所以P（A＋B）＝P
（A）＋P（B）＝0.8，又因为P（A）＝3P（B），所以P
（A）＝0.6.故选C.
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2. 一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次正面向上”的互斥事件
是（ ）
A. 至多有一次正面向上 B. 两次都正面向上
C. 只有一次正面向上 D. 两次都反面向上
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解析： 对于A，至多有一次正面向上与至少有一次正面向上，
能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次都正面向上与至少有
一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次
正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；
对于D，两次都反面向上与至少有一次正面向上，不能够同时发
生，是互斥事件.故选D.
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3. 在一次数学考试（满分150分）中，某班学生的成绩（单位：分）
在130及以上的频率是0.1，在[120，129]内的频率是0.2，在
[110，119]内的频率是0.4，在[90，109]内的频率是0.2，90以下
的频率是0.1，若认为成绩在110及以上为优秀，则从该班学生中随
机抽取一人，其成绩优秀的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.7
C. 0.6 D. 0.5
解析： 根据互斥事件的概率加法公式，易得所求事件的概率为
0.1＋0.2＋0.4＝0.7.故选B.
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4. 已知随机事件A，B发生的概率满足条件P（A＋B）＝ ，某人猜
测事件 ∩ 发生，则此人猜测正确的概率为（ ）
A. 1 B.
C. D. 0
解析： 事件 ∩ 与事件A＋B是对立事件，则此人猜测正确
的概率P（ ∩ ）＝1－P（A＋B）＝1－ ＝ .
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5. （多选）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概
率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（ ）
A. A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B. B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C. A＋C与B＋D是互斥事件，也是对立事件
D. A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
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解析： 由于A，B，C，D彼此互斥，且P（A＋
B＋C＋D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P
（D）＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故四
个事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选C、D.
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6. （多选）（2024·连云港月考）高一（2）班数学兴趣小组有男生和
女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（ ）
A. 恰有一名参赛学生是男生的概率为
B. 至少有一名参赛学生是男生的概率为
C. 至多有一名参赛学生是男生的概率为
D. 两名参赛学生都是男生的概率为
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解析： 从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学
竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名
男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有9种结果，所以恰有一名
参赛学生是男生的概率为 ＝ ，A对；“至少有一名参赛学生是
男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任
选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为1－
＝ ，B错；“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3
种结果，其概率为 ＝ ，D错；“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为1－ ＝ ，C对.故选A、C.
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7. 生产某种产品需要2道工序，设事件A＝“第一道工序加工合
格”，事件B＝“第二道工序加工合格”，事件D＝（A∩ ）∪
（ ∩B）∪（ ∩ ）表示的含义是 .
解析：事件D＝（A∩ ）∪（ ∩B）∪（ ∩ ）表示的是第
一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，所以事
件D表示“产品不合格”.
产品不合格
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8. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率
是 ，都是白子的概率是 ，则从中任意取出2粒恰好是同色的概
率是 .
解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是
白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同色”为事件C，则C＝
A＋B，且事件A与B互斥.所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝
＋ ＝ .即任意取出2粒恰好是同色的概率为 .
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9. （2024·苏州月考）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不
等于0，且P（A）＝2－a，P（B）＝4a－5，则实数a的取值范
围是 .
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解析：因随机事件A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P
（B）＝3a－3，依题意及概率的性质得即
解得 ＜a≤ ，所以实数a的取值范围是 .
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10. 某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，
每1 000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，
二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别
为A，B，C.
（1）求P（A），P（B），P（C）；
解： 由题意，每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖
10个，二等奖50个，
故P（A）＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（C）＝
＝ .
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（2）求抽取1张奖券中奖的概率；
解： 设“抽取1张奖券中奖”为事件D，
则P（D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝ ＋ ＋
＝ .
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（3）求抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
解： 设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事
件E，
则P（E）＝1－P（A）－P（B）＝1－ － ＝
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11. 如果事件A，B互斥，那么（ ）
A. A＋B是必然事件
B. ＋ 是必然事件
C. 与 一定互斥
D. 与 一定不互斥
解析： 如图所示，因为事件A，B互斥，所以
＋ ＝Ω是必然事件，故选B.
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12. 某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为 ，响第二声
时被接的概率为 ，响第三声时被接的概率为 ，响第四声时被
接的概率为 .则电话在响前四声内被接的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 记“电话响第一声被接”为事件A，“电话响第二声被
接”为事件B，“电话响第三声被接”为事件C，“电话响第四
声被接”为事件D，则A，B，C，D两两互斥，从而P（A＋B
＋C＋D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝ ＋
＋ ＋ ＝ .故选B.
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13. （2024·盐城月考）从1，2，3，…，30这30个数中任意取出一个
数，则取出的数是偶数或能被5整除的数的概率是 .
解析：设事件A＝“取出的数为偶数”，事件B＝“取出的数能
被5整除”，则P（A）＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝
＝ ，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝ ＋
－ ＝ .
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14. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片
除标记数字不同外其他完全相同.现随机有放回地抽取3次，每次
抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
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解： 由题意，得（a，b，c）所有可能的结果为
（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），
（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），
（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），
（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），
（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），
（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），
（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事
件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3
种，所以P（A）＝ ＝ .
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为 .
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（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.
解： 设“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”为
事件 ，则事件 包括（1，1，1），（2，2，2），（3，
3，3），共3种，所以P（B）＝1－P（ ）＝1－ ＝ .
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概
率为 .
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15. （2024·镇江月考）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分
别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概
率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，试求：
（1）袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？
解： 从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为
事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知，
得解得
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所以任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ，
， .
所以黑球的个数为9× ＝3，黄球的个数为9× ＝2，绿球
的个数为9× ＝4，
所以袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3，2，4.
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（2）从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概
率是多少？
解： 由（1）知黑球、黄球个数分别为3，2， 所以从
所有黑球、黄球中任取两个球的样本空间中共有10个样本
点，记黑球与黄球各得一个的事件为D，得D中包含6个样
本点，则P（D）＝ ＝ .
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（3）经计算从袋中任取两个球可得36个样本点，则两个球颜色不
相同的概率是多少？
解： 因为从袋中任取两个球可得36个样本点，其中两
个黑球的样本点有3个，两个黄球的样本点有1个，两个绿球
的样本点有6个，于是，两个球同色的概率为 ＝ ，
则两个球颜色不相同的概率是1－ ＝ .
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第2课时 独立事件
新课程标准解读 核心素养
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念 数学抽象、
逻辑推理
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些
简单的实际问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一
名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖
券”.
【问题】 （1）上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？
（2）上述问题中事件A和事件B相互独立吗？
知识点 相互独立事件
1. 定义：一般地，对于两个随机事件A，B，如果P（AB）＝P
（A）P（B），那么称A，B为相互独立事件.
2. 相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，事件A与事件 ，事件
与事件B ，事件 与事件 .
相互独立
相互独立
相互独立
3. 相互独立事件的概率公式
（1）若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）；
（2）如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P（A1A2…An）＝
P（A1）P（A2）…P（An）.
提醒 当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）
＝P（A）P（B）P（C）一般不成立，事件相互独立与事
件两两独立是不等同的.
4. 相互独立事件与互斥事件的区别与联系
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A（或B）是否发生对事
件B（或A）发生的概率没有
影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发
生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发
生，记作：A＋B
计算
公式 P（AB）＝ P（A）P（B） P（A＋B）＝P（A）＋P
（B）
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）不可能事件与任何一个事件相互独立. （ √ ）
（2）必然事件与任何一个事件相互独立. （ √ ）
（3）“P（AB）＝P（A）P（B）”是“事件A，B相互独立”
的充要条件. （ √ ）
（4）如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.
（ √ ）
√
√
√
√
2. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断
的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险
丝都熔断的概率为（ ）
A. 1 B. 0.629
C. 0 D. 0.74或0.85
√
3. 某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是
等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，
他们就不会淋雨.则他们淋雨的概率是 .
解析：由题意，设事件A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P
（A）＝P（B）＝ ，易知A，B相互独立，所以A与 相互独
立.所以淋雨的可能性为P（A ）＝P（A）P（ ）＝ × ＝
.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 相互独立事件的判断
【例1】 （链接教科书第295页例1）判断下列每组事件A，B是否是
相互独立事件：
（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙
两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”
记为事件A，“从乙组中选出1名女生”记为事件B；
解： “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对
“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以
事件A与B是相互独立事件.
（2）一个袋子中有标号分别为1， 2， 3， 4的4个球，除标号外没有
其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.“第一次摸出球
的标号小于3”记为事件A，“第二次摸出球的标号小于3”记
为事件B；
解： 因为样本空间Ω＝{（1， 2）， （1， 3）， （1，
4）， （2， 1）， （2， 3）， （2， 4）， （3， 1）， （3，
2）， （3， 4）， （4， 1）， （4， 2）， （4， 3）}，
A＝{（1， 2）， （1， 3）， （1， 4）， （2， 1）， （2，
3）， （2， 4）}，B＝{（1， 2）， （2， 1）， （3， 1），
（3， 2）， （4， 1）， （4， 2）}，
所以P（A）＝P（B）＝ ＝ ， P（AB）＝ ＝ ，此时P
（AB）≠P（A）P（ B ），
因此，事件A与B不是相互独立事件.
（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”记为事件A，“出现3点或6
点”记为事件B.
解： 因为P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）
＝ .
所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立.
通性通法
判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件A，B相互独立 P（AB）＝P（A）·P
（B）；
（2）直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互
影响.
【跟踪训练】
1. 甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，
事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B（ ）
A. 相互独立但不互斥
B. 互斥但不相互独立
C. 相互独立且互斥
D. 既不相互独立也不互斥
√
解析： 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影
响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手
可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件
A与B不是互斥事件.故选A.
2. （多选）下列事件中，A，B不是相互独立事件的是（ ）
A. 一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B. 袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白
球”，B＝“第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D. A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
√
√
√
解析： 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其
结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，
显然事件A与事件B不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，
不相互独立；对于D，事件B受事件A的影响，也不相互独立.故选
B、C、D.
题型二 相互独立事件同时发生的概率
【例2】 （链接教科书第298页习题2题）某同学语文、数学、英语
三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数
学为0.8，英语为0.85.求：
（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（1）“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示，P（
）＝P（ ）P（ ）P（ ）＝[1－P（A）][1－P
（B）]·[1－P（C）]＝（1－0.9）×（1－0.8）×（1－
0.85）＝0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
解：记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件分
别为A，B，C，则A，B，C两两相互独立，且P（A）＝
0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.85.
（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解：“恰有一科成绩未获得第一名”可以用（ BC）＋（A
C）＋（AB ）表示.
由于事件 BC，A C和AB 两两互斥，根据概率加法公式和
相互独立事件的概率公式，所求的概率为P（ BC）＋P（A
C）＋P（AB ）＝P（ ）P（B）·P（C）＋P（A）P
（ ）·P（C）＋P（A）P（B）P（ ）＝[1－P（A）]·P
（B）P（C）＋P（A）·[1－P（B）]·P（C）＋P（A）P
（B）[1－P（C）]＝（1－0.9）×0.8×0.85＋0.9×（1－
0.8）×0.85＋0.9×0.8×（1－0.85）＝0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
通性通法
求相互独立事件同时发生的概率的关注点
（1）公式：若事件A与事件B相互独立，则P（AB）＝P（A）P
（B）；
（2）性质：若A，B相互独立，则 与B，A与 ， 与 也相互独
立；
（3）注意：公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们
同时发生.
【跟踪训练】
在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、
绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分
别为 ， ， ，且三个项目是否成功相互独立.
（1）求恰有两个项目成功的概率；
解： 只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率
为 × ×（1－ ）＝ ，
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 ×（1－
）× ＝ ，
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为（1－ ）
× × ＝ ，
所以恰有两个项目成功的概率为 ＋ ＋ ＝ .
（2）求至少有一个项目成功的概率.
解： 三个项目全部失败的概率为（1－ ）×（1－ ）×
（1－ ）＝ ，
所以至少有一个项目成功的概率为1－ ＝ .
题型三 相互独立事件概率的综合应用
【例3】 为了庆祝“五四”青年节，某班组织了一次学生爱国主义
知识竞赛，由甲、乙两队参与竞赛，规定每队3人，每人回答一个问
题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答问题正确的概率均为
，乙队每人回答问题正确的概率分别为 ， ， ，且两队各人回答
正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
解： 记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1
分”为事件B，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P（A）＝ × ×
＝ .
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人回答错误，
其概率为P（B）＝ × × ＋（1－ ）×
× ＋ × × ＝ .
故甲队总得分为3分与1分的概率分别为 ， .
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
解： 记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1
分”为事件D，
事件C即甲队有2人答对，其余1人答错，
则P（C）＝ × × ＋ × × ＋ ×
× ＝ .
事件D即乙队只有1人答对，其余2人答错，
则P（D）＝ × × ＋ × × ＋
× × ＝ .
由题得事件C与事件D相互独立，
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P（CD）＝
P（C）P（D）＝ × ＝ .
通性通法
求较复杂事件的概率的一般步骤
（1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；
（2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互
独立的），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算
其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
【跟踪训练】
（2024·盐城质检）11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成
10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结
束.已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，
甲先发球，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概
率为0.4，各球的结果相互独立.
（1）求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率；
解： 设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝
1，2，3，…），又打了X个球比赛结束，
则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（ ）＝P（A1）·P（A2）
＋P（ ）P（ ）＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
（2）求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率.
解： P（X＝4且甲获胜）＝P（A1 A3A4）＋P（
A2A3A4）
＝P（A1）P（ ）P（A3）P（A4）＋P（ ）P（A2）·P
（A3）P（A4）
＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1.
1. 对于两个相互独立的事件A与B，若P（A）＝0.3，P（B）＝
0.4，则P（A ）＝（ ）
A. 0.42 B. 0.28
C. 0.12 D. 0.18
解析： 由相互独立事件的性质知A与 也相互独立，所以P
（A ）＝P（A）[1－P（B）]＝0.18.
√
2. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地
随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是
1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两
次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字
之和是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
√
解析： 事件甲发生的概率P（甲）＝ ，事件乙发生的概率P
（乙）＝ ，事件丙发生的概率P（丙）＝ ，事件丁发生的概率
P（丁）＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）
≠P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率
为 ＝ ，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与
事件丙同时发生的概率为 ＝ ，P（乙丙）≠P（乙）P
（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事
件，故D错误.故选B.
3. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，
0.85，且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪，则
目标没有被击中的概率为 .
解析：3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目
标没有被击中的概率P＝（1－0.7）×（1－0.8）×（1－0.85）
＝0.3×0.2×0.15＝0.009.
0.009
4. （2024·无锡月考）甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白
球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同.从每袋中任取1个球，
则取得同色球的概率为 .
解析：设事件A为“从甲袋中任取1个球，取得白球”，则事件
为“从甲袋中任取1个球，取得红球”；设事件B为“从乙袋中任
取1个球，取得白球”，则事件 为“从乙袋中任取1个球，取得红
球”.∵事件A与B相互独立，∴事件 与 也相
互独立.∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P（AB＋
）＝P（AB）＋P（ ）＝P（A）P（B）＋P（ ）P
（ ）＝ × ＋ × ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4.若两人考试相
互独立，则甲未通过而乙通过的概率为（ ）
A. 0.28 B. 0.12
C. 0.42 D. 0.16
解析： 甲、乙两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率
P＝（1－0.7）×0.4＝0.12.故选B.
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√
2. 设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独
立，则下列命题一定成立的是（ ）
A. A与B相互独立 B. A与C互斥
C. B与C互斥 D. 与 相互独立
解析： 注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指
的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件
是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独
立，由两事件相互独立的性质易知D正确.
√
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3. 在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿
灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行
驶，则三处都不停车的概率为（ ）
A. B.
C. D.
√
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解析： 由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为 ，
， .在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为 ×
× ＝ .故选C.
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4. （2024·南京月考）甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比
赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结
束），假设每场比赛甲班获胜的概率为 ，每场比赛结果互不影
响，则甲班最终获胜的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 甲班最终获胜有三种情况：①甲班前两场获胜；②甲班
第1场和第3场获胜，第2场输；③甲班第1场输，第2场和第3场获
胜.故甲班最终获胜的概率为 ＋ × × ＋
× ＝ .故选D.
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5. （多选）下列各对事件中，不是相互独立事件的有（ ）
A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙
都没有射中目标”
D. 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中
目标但乙未射中目标”
√
√
√
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解析： 在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两
个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B中，甲、
乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率
没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，
“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发
生，二者是互斥事件，不独立；在D中，记“至少有1人射中目
标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB
＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P（A）P（B），故不
独立.故选A、C、D.
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6. （多选）已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若P
（AB）＝ ，P（A）＝ ，P（B）＝ ，则（ ）
A. 事件A与B互为对立
B. 事件A与B相互独立
C. P（A＋B）＝
D. P（ ）＝
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解析： 因为P（AB）＝ ≠0，所以事件A与B不互斥，所
以事件A与B不互为对立，A错误；因为P（A）P（B）＝ ×
＝ ，所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独
立，B正确；P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝ ＋
－ ＝ ，C正确；P（ ）＝1－P（A＋B）＝1－ ＝ ，D正
确.故选B、C、D.
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7. （2024·徐州月考）在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙
盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，
则能配成A型螺栓的概率为 .
解析：“从甲盒内取一个A型螺杆”记为事件M，“从乙盒内取一
个A型螺母”记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型
螺栓（即一个A型螺杆与一个A型螺母）的概率为P（MN）＝P
（M）P（N）＝ × ＝ .
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8. 明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他准备
用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙
闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟都不准时响的概率
是 ，两个闹钟至少有一个准时响的概率是 .
解析：两个闹钟都不准时响的概率为（1－0.80）×（1－0.90）＝
0.20×0.10＝0.02，设两个闹钟至少有一个准时响为事件A，则P
（A）＝1－（1－0.80）×（1－0.90）＝1－0.20×0.10＝0.98.
0.02
0.98
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9. 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品互不
影响.已知师傅加工一个零件是精品的概率为 ，师徒二人各加工2
个零件都是精品的概率为 ，则徒弟加工2个零件都是精品的概率
为 .
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解析：记师傅加工2个零件都是精品的概率为P（A），则P（A）
＝ × ＝ ，记徒弟加工2个零件都是精品的概率为P（B），则
师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为P（AB）＝P（A）·P
（B）＝ ，求得P（B）＝ ，故徒弟加工2个零件都是精品的概
率为 .
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10. 在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有
关生活小常识的问题，已知甲答对这道题的概率是 ，甲、乙两
人都回答错误的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 .设
每人回答问题正确与否相互独立.
（1）求乙答对这道题的概率；
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解： 记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对
这道题”分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P
（B）＝x，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此
A，B，C是相互独立事件.
由题意可知，P（A）＝ ，P（ ）＝P（ ）P（ ）
＝ ×（1－x）＝ ，解得x＝ ，
所以乙答对这道题的概率为P（B）＝ .
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（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
解： 设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道
题”为事件M，丙答对这道题的概率P（C）＝y，由题可
知，P（BC）＝P（B）P（C）＝ ×y＝ ，解得y＝ .
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P（ ）＝P（ ）
P（ ）P（ ）＝ × ×（1－ ）＝ .
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是
“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”，
所以P（M）＝1－ ＝ .
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11. 专家甲独立地破译一个密码成功的概率为 ，为提高破译概率需
增加专家数量，若要达到译出密码的概率为99%（各专家相互独
立互不交流），至少需要像甲这样的专家的个数为（参考数据：
lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（ ）
A. 15 B. 16
C. 17 D. 18
√
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解析： 设需要像甲这样的专家x个， 要达到译出密码的概率
为99%，则 ≤ ，则xlg ≤lg ，即x≥ ＝
≈16.01，故至少需要17个像甲这样的专家.
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12. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 ，且每个开关是否闭
合是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D
开关闭合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条
线路同时断开的概率为P（ ）P（ ）[1－P（AB）]＝ ×
×（1－ × ）＝ ，所以灯亮的概率为1－ ＝ .故选C.
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13. （2024·湛江月考）在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷
叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片跳到另一片），而且逆时
针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现
在青蛙在A片荷叶上，则跳三次之后停在A片荷叶上的概率
是 .
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解析：由题意知逆时针方向跳的概率为 ，顺时针方向跳的概率
为 ，青蛙跳三次要回到A片荷叶只有两条途径：第一条：
A→B→C→A，P1＝ × × ＝ ；第二条：A→C→B→A，
P2＝ × × ＝ ，所以跳三次之后停在A片荷叶上的概率P＝
P1＋P2＝ ＋ ＝ .
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14. 为刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样
调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消
费额及其概率如表：
200元 300元 400元 500元
老年 0.4 0.3 0.2 0.1
中年 0.3 0.4 0.2 0.1
青年 0.3 0.3 0.2 0.2
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到
该旅游景点.
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（1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；
解： 设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率
为P1，
则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.
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（2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率.
解： 消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，
消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）
2×0.1＝0.01，
消费总额为1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋
0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋（0.2）3＋2×（0.2）
2×0.1＝0.033，
因为0.002＋0.01＋0.033＝0.045，
所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.
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15. （2024·苏州质检）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛
制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人
轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮
空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比
赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都
为 .
（1）求甲连胜四场的概率；
解： 甲连胜四场的概率为 .
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（2）求需要进行第五场比赛的概率；
解： 根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进
行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为 ；
乙连胜四场的概率为 ；
丙上场后连胜三场的概率为 .
所以需要进行第五场比赛的概率为1－ － － ＝ .
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（3）求丙最终获胜的概率.
解： 丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按
照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空
胜，负空胜胜，概率分别为 ， ， .
因此丙最终获胜的概率为 ＋ ＋ ＋ ＝ .
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