【培优方案】9.3.1　平面向量基本定理（课件）苏教版数学必修第二册

(共63张PPT)
9.3.1　
平面向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例抽象出平面向量基本定理 数学抽象
2.理解平面向量基本定理的含义，了解基底的
含义 数学抽象
3.能应用平面向量基本定理解决相应问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
木块放置在斜面上，设F1是垂直于斜面向下的力，F2是平行于斜面向
下的力，则G＝F1＋F2（如图），即重力G分解为力F1和F2，从而
G可以用力F1和F2来表示.这里F1和F2是不共线的两个力.
【问题】　平面内任一向量是否都可以用两个不共线的向量来表示？
知识点一　平面向量基本定理
1. 定理：如果e1，e2是同一平面内两个 的向量，那么对于
这一平面内的 向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a
＝ .
2. 基底：两个 的向量e1，e2叫作这个平面的一组
.
不共线　
任一　
λ1e1＋λ2e2　
不共线　
基
底　
提醒　（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都
可以作为一组基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；
（2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确
定的数值.
知识点二　平面向量的正交分解
　平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝
的形式.我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解.当e1，e2所在直
线 时，这种分解也称为向量a的 .
λ1e1＋
λ2e2　
互相垂直　
正交分解　
【想一想】
平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上
有什么区别和联系吗？
提示：由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线
的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的.因此平面向量基本
定理是向量共线定理的推广，它们都是向量分解“唯一性”定理.
1. 下列说法正确的个数是（　　）
①一个平面内只有一对不共线向量可组成表示该平面所有向量的一
组基底；②一个平面内有无数对不共线向量可组成该平面所有向量
的基底；③零向量不能作为基底向量.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： 　因为一个平面内的基底不唯一，即可以有无数对不共线
向量组成该平面的基底，所以说法①不正确，说法②正确；因为零
向量与任一向量都共线，所以它不能作为基底中的向量，说法③正
确.故选C.
2. （多选）若向量e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中不
能作为一组基底的是（　　）
A. e1－e2，e2－e1 B. e1－e2，e1＋e2
C. 2e2－e1，－2e2＋e1 D. 2e1＋e2，4e1＋2e2
√
√
√
解析： 　不共线的向量能作为基底，对于A，因为e1－e2＝－
（e2－e1），所以向量e1－e2，e2－e1共线，故A正确；对于B，e1
－e2与e1＋e2不共线，能作为一组基底，故B错误；对于C，因为
2e2－e1＝－（－2e2＋e1），所以2e2－e1，－2e2＋e1共线，故C正
确；对于D，因为2e1＋e2＝ （4e1＋2e2），所以2e1＋e2，4e1＋
2e2共线，故D正确.故选A、C、D.
3. 如图所示，向量 可用向量e1，e2表示为 .
解析：如图， ＝3e2， ＝4e1，∴ ＝4e1＋3e2.
4e1＋3e2　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量基本定理的理解
【例1】　（1）设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2
与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的是
（填序号）；
①②④　
解析： ①设e1＋e2＝λe1（λ∈R），则无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1，e1＋e2能作为一组基底；②设e1－
2e2＝k（e2－2e1）（k∈R），则e1－2e2＝－2ke1＋ke2，
∴无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2，
e2－2e1能作为一组基底；③∵e1－2e2＝－ （4e2－2e1），
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2，4e2－2e1不能作为一组
基底；④设e1＋e2＝n（e1－e2）（n∈R），则e1＋e2＝ne1－
ne2，∴无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2，
e1－e2能作为一组基底.
（2）（2024·镇江月考）已知a，b是一组基底，实数x，y满足（3x
－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y＝ .
解析： 因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，由平面
向量基本定理得所以所以x－y＝3.
3　
通性通法
对基底的理解
（1）两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线.若
共线，则不能作基底，反之，则可作基底；
（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由
这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线
的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
【跟踪训练】
1. （多选）设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作
为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是
（　　）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
解析： 　寻找不共线的向量组即可，在 ABCD中， 与
不共线， 与 不共线；而 ∥ ， ∥ ，故A、C选项
可作为基底.
√
√
2. 已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作
为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为
.
解析：若a，b能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，则
a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴实
数λ的取值范围为（－∞，4）∪（4，＋∞）.
（－∞，4）∪
（4，＋∞）　
题型二 用基底表示向量
【例2】　（链接教科书第27页例1）如图，在平行四边形ABCD中，
设 ＝a， ＝b，用a，b表示 ， .
解：法一　设AC，BD交于点O，
则有 ＝ ＝ ＝ a， ＝ ＝ ＝ b.
所以 ＝ ＋ ＝ － ＝ a－ b，
＝ ＋ ＝ a＋ b.
法二　设 ＝x， ＝y，则 ＝ ＝y.
又所以
解得x＝ a－ b，y＝ a＋ b，
即 ＝ a－ b， ＝ a＋ b.
通性通法
用基底表示向量的两种基本方法
（1）运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直到用基底
表示为止；
（2）通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即
若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则来构建方
程（组），使得问题获解.
【跟踪训练】
1. 如图，在正方形ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则以
a，b为基底时， 可表示为 ，以a，c为基底时，
可表示为 .
a＋b　
2a＋c　
解析：以a，b为基底时， ＝ ＋ ＝a＋b；以a，c为基
底时，将 平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形
法则即得 ＝2a＋c.
2. 如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试用
＝e1， ＝e2表示 .
解： ＝ － ＝e1－e2，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以 ＝ ＝ （e1－e2），
所以 ＝ ＋ ＝e2＋ （e1－e2）＝ e1＋ e2.
题型三 平面向量基本定理的应用
【例3】　（1）（链接教科书第29页练习3题）如图，在正方形
ABCD中，F是边CD上靠近D的三等分点，连接BF交AC于点E，若
＝m ＋n （m，n∈R），则m＋n＝（　　）
A. － B.
C. － D.
√
解析： 　∵△ABE∽△CFE，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ （ － ）＝ ［－ －（ － ）］
＝ （－ ＋ ）＝－ ＋ .又∵ ＝m ＋n ，
∴m＝－1，n＝ ，∴m＋n＝－ .故选C.
（2）用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
证明：如图，设 ＝a， ＝b，D，E，F
分别为△ABC三边的中点，则 ＝a－b，
＝a－ b， ＝－ a＋b.
设AD与BE相交于点G1，且 ＝λ ， ＝μ ，
则 ＝λa－ b， ＝－ a＋μb.
因为 ＝ ＋ ＝（1－ ）a＋（μ－1）b，
所以解得即 ＝ .
再设AD与CF相交于点G2，
同理可得 ＝ ，
故点G1，G2重合，即AD，BE，CF相交于同一点，
故三角形的三条中线交于一点.
通性通法
平面向量基本定理的应用
（1）平面向量基本定理的正用，就是已知一个基底，对平面内任一
向量都可以沿这个基底的两个不共线向量的方向分解成两个向
量和的形式，且分解是唯一的；
（2）平面向量基本定理的逆用，就是选择一个基底并运用该基底将
条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算解决问题.
【跟踪训练】
1. （2024·南京月考）已知△ABC中，点D在BC边上，且 ＝4
＝r ＋s ，则3r＋s＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　如图所示， ＝ － ， ＝
－ ，∵ ＝4 ，∴ － ＝4（ －
），∴ ＝ ＋ ，∴ ＝（ ＋ ）－ ＝ － .又 ＝r ＋s ，∴r＝ ，s＝－ ，∴3r＋s＝3× － ＝ .故选C.
2. 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
解：设 ＝e1， ＝e2，
则 ＝ ＋ ＝－3e2－e1， ＝ ＋ ＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得 ＝λ ＝－λe1－3λe2， ＝μ
＝2μe1＋μe2.
故 ＝ ＋ ＝ － ＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.
而 ＝ ＋ ＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得
解得
∴ ＝ ， ＝ ，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝ .
1. 如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的是
（　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
解析： 由题图可知 与 ， 与 ， 与 共线，不能
作为基底， 与 不共线，可作为基底.故选B.
√
2. 在△ABC中， ＝c， ＝b，若点D满足 ＝2 ，以b，c
作为基底，则 ＝（　　）
A. b＋ c B. c－ b
C. b－ c D. b＋ c
解析： 　如图， ＝ ＋ ＝c＋ （b－c）
＝ b＋ c.故选A.
√
3. （2024·徐州月考）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为线
段AM的中点， ＝λ ＋μ ，求λ＋μ＝ .
解析：∵M为BC边上任意一点，∴可设 ＝x ＋y （x＋y
＝1）.∵N为线段AM的中点，∴ ＝ ＝ x ＋ y ＝
λ ＋μ .∴λ＋μ＝ （x＋y）＝ .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝（　　）
A. －2e1－4e2
B. －4e1－2e2
C. e2－3e1
D. －e2＋3e1
解析： 　如图所示，a－b＝ ＝ － ＝e2
－3e1.故选C.
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2. （2024·无锡月考）已知非零向量 ， 不共线，且2 ＝x
＋y ，若 ＝λ （λ∈R），则x，y满足的关系式是
（　　）
A. x＋y－2＝0 B. 2x＋y－1＝0
C. x＋2y－2＝0 D. 2x＋y－2＝0
解析： 　∵ ＝λ ，∴ － ＝λ（ － ），即
＝（1＋λ） －λ ＝ ＋ ，∴∴x＋y
－2＝0.故选A.
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3. 在△ABC中， ＝ ，DE∥BC，且与AC相交于点E，
△ABC的中线AM与DE相交于点N，设 ＝a， ＝b，则用
a，b表示 ＝（　　）
A. （a－b） B. （b－a）
C. （a－b） D. （b－a）
解析： 　如图所示，∵DE∥BC，∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ × ＝ （b－a）.故选D.
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4. 在四边形ABCD中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－
3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（　　）
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 梯形 D. 菱形
解析： 　因为 ＝ ＋ ＋ ＝a＋2b－4a－b－5a－3b
＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2 ，即 ＝2 ，所以
AD∥BC且AD≠BC. 故四边形ABCD为梯形.选C.
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5. （多选）如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法
中不正确的是（　　）
A. a＝λe1＋μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量
B. 对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对（λ，μ）
有无穷多个
C. 若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则 ＝
D. 若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
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解析： 　由平面向量的基本定理可知，A、D是正确的；对于
B，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平
面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于C，当λ1＝
λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立.故选B、C.
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6. （多选）点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中
点，且 ＝a， ＝b，则有（　　）
A. ＝－ a－b B. ＝a－ b
C. ＝ a＋ b D. ＝－ a
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解析： 　如图，在△ABC中， ＝ ＋ ＝
－ ＋ ＝－b－ a，故A正确； ＝ ＋
＝a＋ b，故B错误； ＝ ＋ ＝－b－a，
＝ ＋ ＝b＋ （－b－a）＝－ a＋ b，故C错误； ＝ ＝－ a，故D正确.故选A、D.
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7. 在四边形ABCD中， 与 平行，P是BC的中点，AP∩DC＝
Q，则 ＝ （用 ， 表示）.
解析： ＝2 ＝2（ ＋ ）＝2 ＋ .
2 ＋ 　
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8. 在△ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD的中点，若 ＝x ＋y ，则x＝ .
－ 　
解析：因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以 ＝ ＋
.又E为AD的中点，所以 ＝ － ＝ （ ＋
）－ ＝－ ＋ .所以x＝－ .
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9. （2024·淮安月考）设四边形ABCD为平行四边形，｜ ｜＝
6，｜ ｜＝4.若点M，N满足 ＝3 ， ＝2 ，则
· ＝ .
解析：考虑以 ， 为基底来计算.∵ ＝3 ， ＝
2 ，∴ ＝ ＋ ， ＝ － ＝－ ＋ ，
∴ · ＝（ ＋ ）·（－ ＋ ）＝ －
＝ ×36－ ×16＝9.
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10. 设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
（1）证明：a，b可以作为一组基底；
解： 证明：假设a＝λb（λ∈R），
则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）.
由e1，e2不共线，得方程组无解，
所以λ不存在.
故a与b不共线，可以作为一组基底.
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（2）以a，b为基底表示向量c＝3e1－e2.
解： 设c＝ma＋nb（m，n∈R），
则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1
＋（－2m＋3n）e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
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11. 在△ABC中，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别是a，
b，c，若c ＋a ＋b ＝0，则△ABC的形状为（　　）
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形但不是等边三角形
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解析： 　因为P是BC边的中点，所以 ＝ － ＝－ －
.因为c ＋a ＋bPB＝0，所以c（－ － ）＋a
＋b ＝0.所以（a－c） ＋（b－c） ＝0.因为 与
不共线，所以a－c＝0且b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC
为等边三角形.
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12. （多选）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线
段AB交于圆内一点P，若 ＝λ ， ＝μ ＋3μ ，
则（　　）
A. P为线段OC的中点时，μ＝
B. P为线段OC的中点时，μ＝
C. 无论μ取何值，恒有λ＝
D. 存在μ∈R，λ＝
√
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解析： 　 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（ －
）＝（1－λ） ＋λ ，因为 与 共线，所以 ＝
，解得λ＝ ，故C正确，D错误；当P为线段OC中点时，则
＝ ＝ μ ＋ ×3μ ，则1－λ＝ μ，λ＝
×3μ，解得μ＝ ，故A正确，B错误.故选A、C.
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13. （2024·常州月考）已知在△ABC中，点O满足 ＋ ＋ ＝
0，点P是OC上异于端点的任意一点，且 ＝m ＋n ，则
m＋n的取值范围是 .
解析：依题意，设 ＝λ （0＜λ＜1），由 ＋ ＋
＝0，知 ＝－（ ＋ ），所以 ＝－λ －λ ，由
平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，
0）.
（－2，0）　
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14. 如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°， ＝
2 ， ＝2 .
（1）求CD的长；
解： 因为 ＝2 ，所以 ＝ ，
所以 ＝ － ＝ － ，
所以｜ ｜＝
＝
＝
＝ ，即CD的长为 .
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（2）求 · 的值.
解： ＝ － ＝－ ＋
＝－ （ － ）＋
＝ ＋ ，
所以 · ＝ ·（ ＋ ）＝
＋ · ＝ ＋ ×2×3× ＝ .
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15. （2024·扬州质检）已知O是线段AB外一点，若 ＝a，
＝b.
（1）设点G是△OAB的重心，证明： ＝ （a＋b）；
解： 证明：设AB的中点为E，则 ＝ ＝ ×
（a＋b）＝ （a＋b）.
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（2）设点A1，A2是线段AB的三等分点，△OAA1，△OA1A2及
△OA2B的重心依次为G1，G2，G3，试用向量a，b表示
＋ ＋ ；
解： 点A1，A2是线段AB的三等分点，
＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ），
＝ （ ＋ ），
则 ＋ ＋ ＝ （a＋b）＋ （ ＋ ）＝
（a＋b）＋ ［a＋ （b－a）＋a＋ （b－a）］＝a＋b.
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（3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结
论？（不必证明）
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.
解： 设A1是AB的二等分点，则 ＝ （a＋b），
＋ ＝ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ （a＋
b）＋ ＝ （a＋b）＋ × （a＋b）＝ （a＋b），
设A1、A2、A3是线段AB的四等分点，则 ＋ ＋
＝ （a＋b），
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或设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋
＝a＋b（k＝1，2，…，n－1），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋
＋…＋ ＝ （a＋b），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋
＋…＋ ＝ （a＋b）.
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