【培优方案】10.1.1　两角和与差的余弦（课件）苏教版数学必修第二册

(共59张PPT)
10.1.1　
两角和与差的余弦
新课程标准解读 核心素养
1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程，理解用向量法导出公式的主要步骤 数学抽象、逻辑推理
2.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值 逻辑推理、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　设向量a＝（ cos 75°， sin 75°），b＝（ cos 15°， sin
15°），则向量a与向量b的夹角θ＝60°.
【问题】　（1）分别用公式a·b＝｜a｜·｜b｜ cos θ及a·b＝x1x2
＋y1y2计算a·b的值，比较两次计算的结果，你能发现什么？
（2）上述结论能否进行推广？即已知向量a＝（ cos α， sin α），
b＝（ cos β， sin β），你能得到什么结论？
知识点　两角和与差的余弦公式
名称 公式 简记符
号 条件
两角差的 余弦公式 cos （α－β）＝
C（α－
β） α，
β∈R
两角和的 余弦公式 cos （α＋β）＝
C（α＋
β） cos α cos β
＋ sin α sin β　
cos α cos β
－ sin α sin β　
提醒　（1）公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数
表示复角的三角函数， cos （α－β）， cos （α＋β）是一个整
体；（2）公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接
符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、号相反”记
忆公式.
【想一想】
诱导公式 cos ＝ sin α与两角差的余弦公式有何联系？
提示：诱导公式 cos ＝ cos cos α＋ sin sin α＝ sin α，是两
角差的余弦公式的特殊情况.
1. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. cos （60°－30°）＝ cos 60°－ cos 30°
B. α，β∈R， cos （α－β）＝ cos α－ cos β成立
C. 对 α，β∈R， cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β都
成立
D. α，β∈R， cos （α＋β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β成立
√
√
√
解析： 　对于A， cos （60°－30°）＝ ， cos 60°－ cos
30°＝ － ，故A错误；对于B，若α＝ ，β＝ ， cos （α－
β）＝ cos （－ ）＝ ， cos α－ cos β＝ ，故B正确；对于
C，由两角差的余弦公式，C正确；对于D，若α＝β＝0，则 cos
（α＋β）＝1， cos α cos β＋ sin α sin β＝1，故D正确.故选
B、C、D.
2. cos cos － sin sin ＝（　　）
A. B.
C. D. 1
解析： 　 cos cos － sin sin ＝ cos ＝ cos ＝ ，故
选B.
√
3. 已知 sin ＝ ，α∈ ，则 cos ＝ 　－ 　.
解析：由已知得 cos α＝ ， sin α＝－ ，所以 cos ＝
cos α＋ sin α＝－ .
－ 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两角和与差的余弦公式的直接应用
【例1】　（1）（链接教科书第54页例1）利用两角和（差）的余弦
公式证明：
① cos （ ＋α）＝－ sin α；② cos （ ＋α）＝ sin α.
解： 证明：① cos （ ＋α）＝ cos cos α－ sin sin α＝
－ sin α.
② cos （ ＋α）＝ cos cos α－ sin sin α＝ sin α.
（2）利用两角和（差）的余弦公式化简：
① cos （ ＋α）＋ cos （ －α）；② sin （α－β） sin α＋
cos （β－α） cos α.
解： ①原式＝（ cos cos α－ sin sin α）＋（ cos · cos
α＋ sin sin α）＝ cos α.
②原式＝ cos α cos （β－α）－ sin α sin （β－α）＝ cos
[α＋（β－α）]＝ cos β.
通性通法
1. 利用两角和与差的余弦公式可对一些等式进行证明.
2. 对有些复杂的式子，要先化简或变形，只有当式子结构与公式结构
完全一致时，才可使用两角和（差）的余弦公式.
【跟踪训练】
1. cos （30°＋α）－ cos （30°－α）＝（　　）
A. sin α B. cos α
C. － sin α D. － cos α
解析： 　原式＝（ cos 30° cos α－ sin 30° sin α）－（ cos
30° cos α＋ sin 30° sin α）＝－2 sin 30° sin α＝－ sin α.故
选C.
√
2. cos （α－β） cos （α＋β）＋ sin （α＋β） sin （α－β）＝
（　　）
A. cos 2α B. － cos 2α
C. cos 2β D. － cos 2β
解析： 　原式＝ cos [（α－β）－（α＋β）]＝ cos （α－β
－α－β）＝ cos （－2β）＝ cos 2β.故选C.
√
题型二 给角求值
【例2】　（链接教科书第55页例2）计算：
（1） cos （－75°）；
解： 原式＝ cos （45°－120°）＝ cos 45° cos 120°＋
sin 45° sin 120°＝ × ＋ × ＝ .
（2） cos 15° cos 105°＋ sin 15° sin 105°；
解： 原式＝ cos （15°－105°）＝ cos （－90°）＝ cos
90°＝0.
（3） sin 34° sin 26°－ cos 34° cos 26°；
解： 原式＝－（ cos 34° cos 26°－ sin 34° sin 26°）＝
－ cos （34°＋26°）＝－ cos 60°＝－ .
解： 原式＝ cos 80° cos 35°＋ sin 80° sin 35°＝ cos
（80°－35°）＝ cos 45°＝ .
（4） cos 80° cos 35°＋ cos 10° cos 55°.
通性通法
利用公式C（α±β）求值的方法技巧
　　在利用两角差（和）的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的
求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（和）（或同一个非
特殊角与特殊角的差（和）），运用公式直接化简求值，在转化过程
中，充分利用诱导公式，构造出两角差（和）的余弦公式的结构形
式，正确地顺用公式或逆用公式求值.
【跟踪训练】
1. cos （－15°）＝（　　）
A. B.
C. D. －
解析： 　 cos （－15°）＝ cos 15°＝ cos （60°－45°）＝ cos
60° cos 45°＋ sin 60° sin 45°＝ × ＋ × ＝ ，故
选C.
√
2. （2024·徐州月考） cos 105°＋ sin 105°＝ 　 　.
解析： cos 105°＋ sin 105°＝ cos 60° cos 105°＋ sin 60°
sin 105°＝ cos （60°－105°）＝ cos （－45°）＝ .
　
题型三 给值求值
【例3】　（1）（链接教科书第55页例3）已知 sin α＝ ，α∈
（0， ）， cos β＝－ ，β∈（π， ），求 cos （α－β）
的值；
解： 由 sin α＝ ，α∈（0， ），得 cos α＝
＝ ＝ .
又由 cos β＝－ ，β∈（π， ），得 sin β＝－
＝－ ＝－ .
∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ ×（－ ）
＋ ×（－ ）＝－ .
（2）已知α，β∈（0， ），且 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－
，求 cos β的值.
解： ∵α，β∈（0， ），∴0＜α＋β＜π.
由 cos （α＋β）＝－ ，得 sin （α＋β）＝
＝ ＝ .
又∵ cos α＝ ，∴ sin α＝ .
∴ cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin
（α＋β） sin α＝ × ＋ × ＝ .
通性通法
给值求值的解题策略
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注
意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角；
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵
活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－
β）＋β；②α＝ ＋ ；③2α＝（α＋β）＋（α－
β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）.
【跟踪训练】
　（2024·泰州月考）已知 cos α＝ ， sin （α－β）＝ ，且
α，β∈（0， ），则 cos （2α－β）＝ 　 　.
　
解析：因为α，β∈（0， ），所以α－β∈（－ ， ）.又因为
sin （α－β）＝ ＞0，所以0＜α－β＜ .又 cos α＝ ，所以
sin α＝ ＝ ， cos （α－β）＝ ＝
.所以 cos （2α－β）＝ cos [α＋（α－β）]＝ cos α cos （α
－β）－ sin α sin （α－β）＝ × － × ＝ .
题型四 给值求角
【例4】　已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ， sin β＝ ，则α
－β＝ .
　
解析：∵α，β均为锐角，∴ cos α＝ ， cos β＝ .∴ cos （α
－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ .又
∵ sin α＞ sin β，∴0＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ .故α－β＝
.
【母题探究】
（变条件）若本例中“ sin α”变为“ cos α”，“ sin β ”变为
“ cos β ”，则α－β＝ .
解析：∵α，β均为锐角，∴ sin α＝ ， sin β＝ ，∴ cos
（α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝
.又∵ sin α＜ sin β，∴0＜α＜β＜ ，∴－ ＜α－β＜0，故
α－β＝－ .
－ 　
通性通法
已知三角函数值求角的解题步骤
（1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
（2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围
内单调的三角函数；
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
【跟踪训练】
（2024·无锡月考）若 cos （α＋β）＝ ， sin （α－β）＝ ，且
＜α＋β＜2π， ＜α－β＜π，则2β＝ .
π　
解析：因为 cos （α＋β）＝ ，且 ＜α＋β＜2π，所以 sin （α
＋β）＝－ .因为 sin （α－β）＝ ，且 ＜α－β＜π，所以 cos
（α－β）＝－ .所以 cos 2β＝ cos [（α＋β）－（α－β）]＝
cos （α＋β） cos （α－β）＋ sin （α＋β） sin （α－β）＝
× ＋ × ＝－1.又易得 ＜2β＜ ，所以2β＝π.
1. cos 105°＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　原式＝－ cos 75°＝－ cos （45°＋30°）＝－（ cos
45° cos 30°－ sin 45° sin 30°）＝－ × ＋ × ＝ .
√
2. （多选）若 cos 5x cos （－2x）－ sin （－5x） sin 2x＝0，则x的
值可能是（　　）
A. B. C. D.
解析： 　由题意知 cos 5x cos 2x＋ sin 5x sin 2x＝0，即 cos
（5x－2x）＝0， cos 3x＝0，∴3x＝ ＋kπ，k∈Z，x＝ ＋
kπ，k∈Z，经检验B、D成立，A、C不成立.故选B、D.
√
√
3. 化简： cos （60°－θ）－ cos （60°＋θ）＝ .
解析：原式＝ cos 60° cos θ＋ sin 60° sin θ－（ cos 60°· cos θ
－ sin 60° sin θ）＝2 sin 60° sin θ＝ sin θ.
　
4. （2024·苏州月考）若x∈ ，且 sin x＝ ，则2 cos ＋
2 cos x＝ .
解析：因为x∈ ， sin x＝ ，所以 cos x＝－ .所以2 cos
＋2 cos x＝2（ cos x· cos ＋ sin x sin ）＋2 cos x＝2
（－ cos x＋ sin x）＋2 cos x＝ sin x＋ cos x＝ － ＝
.
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. cos 15° cos 105°－ sin 15° sin 105°＝（　　）
A. B.
C. － D. －
解析： 原式＝ cos （15°＋105°）＝ cos 120°＝－ cos 60°
＝－ .故选C.
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2. 已知点P（1， ）是角α终边上一点，则 cos ＝（　　）
A. B.
C. － D.
解析： 　由题意知 cos α＝ ＝ ， sin α＝ ＝ ，∴ cos
＝ cos cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ .
故选A.
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3. 已知 cos α＝－ ，α∈ ， sin β＝－ ，β是第三象限
角，则 cos （β－α）＝（　　）
A. － B. C. D. －
解析： 　因为α∈ ，所以 sin α＝ ，因为β是第三象限
角，所以 cos β＝－ ，所以 cos （β－α）＝ cos α cos β＋ sin
α sin β＝－ .故选A.
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4. （2024·苏州月考）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，设x＝ sin A sin B，y＝ cos A cos B，则x，y的大小关
系为（　　）
A. y＜x B. y＜－x
C. x＜y D. x≤y
解析： 　因为x＝ sin A sin B，y＝ cos A cos B，所以y－x＝ cos A
cos B－ sin A sin B＝ cos （A＋B），因为△ABC为锐角三角形，
所以 ＜A＋B＜π，所以 cos （A＋B）＜0，即y－x＜0，所以y
＜x.故选A.
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5. （多选）下面各式中正确的是（　　）
A. cos ＝ cos cos － sin
B. cos ＝ sin － cos cos
C. cos ＝ cos cos ＋
D. cos ＝ cos － cos
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解析： 　∵ cos ＝ cos cos － sin sin ＝ cos cos
－ sin ，∴A正确；∵ cos ＝－ cos ＝－ cos ＝ sin
－ cos cos ，∴B正确；∵ cos ＝ cos （ － ）＝ cos
cos ＋ ，∴C正确；∵ cos ＝ cos ≠ cos － cos ，∴D
错误.∴故选A、B、C.
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6. （多选）（2024·宿迁如东中学期中）下面各式化简正确的是
（　　）
A. cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°＝ cos 60°
B. cos 45° cos 30°－ sin 45° sin 30°＝ cos 15°
C. sin （α＋45°） sin α＋ cos （α＋45°） cos α＝ cos 45°
D. cos （α－ ）＝ cos α＋ sin α
√
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解析： 　对于A， cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°＝ cos
（80°－20°）＝ cos 60°，故A正确；对于B， cos 45° cos 30°
－ sin 45° sin 30°＝ cos （45°＋30°）＝ cos 75°≠ cos 15°，
故B错误；对于C， sin （α＋45°） sin α＋ cos （α＋45°）
cos α＝ cos （α＋45°） cos α＋ sin （α＋45°） sin α＝ cos
[（α＋45°）－α]＝ cos 45°，故C正确；对于D， cos （α－
）＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin α，故D错误.故
选A、C.
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7. 化简： cos （20°＋x） cos （25°－x）－ cos （70°－x）· sin
（25°－x）＝ .
解析：原式＝ cos [（20°＋x）＋（25°－x）]＝ cos 45°＝ .
　
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8. 已知 cos α＝ ，且α为第一象限角，则 cos （ ＋α）
＝ .
解析：∵ cos α＝ ，α为第一象限角，∴ sin α＝ ＝
，∴ cos ＝ cos cos α－ sin sin α＝ × － × ＝
.
　
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9. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝ ，则 cos α cos β
＝ 　 　， sin α sin β＝ 　－ 　.
　
－ 　
解析：因为所以两式相加得 cos α cos β＝ ，两式相减得 sin α sin β＝－ .
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10. （2024·南京六校联合体期中）已知 cos α＝ ，α∈（－ ，
0）.
（1）求 cos （α－ ）的值；
解： 由 sin 2α＋ cos 2α＝1， cos α＝ ，α∈（－
，0），可得 sin α＝－ ，
∴ cos （α－ ）＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ × ＋（－
）× ＝ .
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（2）若 sin （α＋β）＝－ ，β∈（0， ），求β的值.
解： 由α∈（－ ，0），β∈（0， ），可得α＋
β∈（－ ， ），
又 sin 2（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1， sin （α＋β）
＝－ ，∴ cos （α＋β）＝ ，
则 cos β＝ cos （α＋β－α）＝ cos （α＋β） cos α＋
sin （α＋β） sin α＝ × ＋（－ ）×（－ ）＝ ，
由β∈（0， ），可得β＝ .
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11. （2024·泗阳实验高中月考）已知角α，β满足tan αtan β＝－
3， cos （α＋β）＝ ，则 cos （α－β）＝（　　）
A. － B. －1 C. － D.
解析： 　∵tan αtan β＝ ＝－3，∴ sin α sin β＝－3
cos α cos β，∵ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝
4 cos α cos β＝ ，∴ cos α cos β＝ ，∴ cos （α－β）＝
cos α cos β＋ sin α sin β＝－2 cos α cos β＝－ .故选A.
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12. （多选）满足 cos α cos β＝ ＋ sin α sin β的一组α，β的值
是（　　）
A. α＝ ，β＝ B. α＝ ，β＝
C. α＝ ，β＝ D. α＝ ，β＝－
√
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解析： 　由 cos α cos β＝ ＋ sin α sin β，得 cos α cos β
－ sin α sin β＝ cos （α＋β）＝ .选项A中，α＝ ，β＝
， cos （α＋β）＝ cos ＝ cos ＝ ，所以A正确；选项B
中，α＝ ，β＝ ， cos （α＋β）＝ cos ＝－ ，所以B不
正确；选项C中，α＝ ，β＝ ， cos （α＋β）＝ cos ＝－
，所以C不正确；选项D中，α＝ ，β＝－ ， cos （α＋β）＝ cos ＝ ，所以D正确.故选A、D.
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13. 已知α∈ ，且 cos ＝－ ，则 sin
＝ 　 　， cos α＝ 　 　.
解析：∵α∈ ，∴α＋ ∈ ，∴ sin ＝
＝ ，∴ cos α＝ cos ＝ cos
cos ＋ sin （α＋ ） sin ＝ × ＋ × ＝ .
　
　
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14. 若 sin ＝－ ， sin ＝ ，其中 ＜α＜ ， ＜β
＜ ，求角α＋β的值.
解：因为 ＜α＜ ，所以－ ＜ －α＜0，
因为 ＜β＜ ，所以 ＜ ＋β＜ ，
由已知可得 cos ＝ ， cos ＝－ ，
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则 cos （α＋β）＝ cos ＝ cos cos
＋ sin （ ＋β） sin ＝ × ＋ ×
＝－ .
因为 ＜α＋β＜π，所以α＋β＝ .
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15. 如图，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重
合，它的终边过点P .
（1）求 cos （α＋π）的值；
解： 因为α的终边过点P ，所
以OP＝ ＝5，由三角函数的
定义得 cos α＝ ＝ ，所以 cos （α＋π）
＝－ cos α＝－ .
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（2）将点P与原点距离保持不变，逆时针旋转β（0＜β＜π）角
到点Q（－3，4），求 cos β的值.
解： 由题意知 cos （α＋β）＝－ ，
sin （α＋β）＝ ，由（1）知 sin α＝ ＝ ，
所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos
（α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝
× ＋ × ＝－ .
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