【培优方案】11.1　余弦定理（课件）苏教版数学必修第二册

(共56张PPT)
11.1　余弦定理
新课程标准解读 核心素养
理解余弦定理的证明，并会运用余
弦定理解决相关问题 逻辑推理、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.
工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的
距离，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC
（即线段BC）的张角∠BAC＝150°.
【问题】　（1）我们知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知两条直
角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也
有相似的结论？
（2）你能通过上面的结论求出山脚的长度BC吗？
知识点　余弦定理
1. 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余 弦 定 理 语言叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减
去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达 a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝
b2＋c2－2bc cos A　
c2＋a2－2ca cos B　
a2＋b2－2ab cos C　
余 弦 定 理 推论 cos A＝ ，
cos B＝ ，
cos C＝
　
　
　
2. 解三角形
我们把三角形的 和 叫作三角形的元素.已知
三角形的几个元素求 的过程叫作解三角形.
三个角　
三条边　
其他元素　
1. 在△ABC中，符合余弦定理的是（　　）
A. c2＝a2＋b2－2ab cos C
B. c2＝a2－b2－2bc cos A
C. b2＝a2－c2－2bc cos A
D. cos C＝
解析： 　由余弦定理及其推论知只有A正确.故选A.
√
2. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 余弦定理适用于任何三角形
B. 在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一
C. 在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角
D. 在△ABC中，若a2＋b2－c2＞0，则角C为钝角
√
√
解析： 　对于A，余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关
系，它适用于任何三角形，故A正确；对于B，已知两边及夹角
时，△ABC唯一，故B错误；对于C，a2＋b2＝c2，由勾股定理的
逆定理知C＝90°，故C正确；对于D，若a2＋b2－c2＞0， cos C
＝ ＞0，又C∈（0，π），则角C为锐角，故D错误.故选
A、C.
3. 在△ABC中，已知a＝9，b＝2 ，C＝150°，则c＝ 　7 　.
解析：由余弦定理，得c＝
＝ ＝7 .
7 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 已知两边及一角解三角形
【例1】　（链接教科书第92页例1（1））根据下列条件解三角形：
（1）在△ABC中，已知b＝8，c＝3， A＝60°，求a的值；
解： 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，则a2＝82＋
32－2×8×3× cos 60°＝49，所以a＝7.
解：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
则32＝a2＋（3 ）2－2a×3 × cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
当a＝6时，由余弦定理得 cos A＝ ＝0，A＝90°，C
＝60°.
（2）在△ABC中，已知b＝3，c＝3 ，B＝30°，解这个三角形.
通性通法
已知两边及一角解三角形的两种情况
（1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，
再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角；
（2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的
一元二次方程求解.
【跟踪训练】
1. （2024·无锡月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若a＝3，b＝2， cos （A＋B）＝ ，则c＝（　　）
A. 4 B. C. 3 D.
解析： 　 cos C＝ cos [π－（A＋B）]＝－ cos （A＋B）＝－ .
又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2×
＝17，所以c＝ .故选D.
√
2. 已知△ABC中，AB＝ ，BC＝1，A＝30°，则AC＝ .
解析：在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则
AB＝c＝ ，BC＝a＝1， cos A＝ ，所以由余弦定理a2＝b2＋
c2－2bc cos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或
AC＝2.
1或2　
题型二 已知三边解三角形
【例2】　（链接教科书第92页例1（2））在△ABC中，已知a＝
2 ，b＝6＋2 ，c＝4 ，求A，B，C.
解：根据余弦定理，得 cos A＝
＝ ＝ ，
∵A∈（0，π），∴A＝ .
cos C＝
＝ ＝ ，
∵C∈（0，π），∴C＝ .
∴B＝π－A－C＝π－ － ＝ ，
∴A＝ ，B＝ ，C＝ .
通性通法
已知三角形三边解三角形的方法
　　先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；
再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理
求出第三个角.
【跟踪训练】
1. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2
－ bc，则A＝（　　）
A. 135° B. 60°或120°
C. 45° D. 135°或45°
解析： 　a2－b2＝c2－ bc，由余弦定理的推论得 cos A＝
＝ ，故A＝45°.故选C.
√
2. （2024·盐城联盟校期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边
长分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝3∶4∶6，则 cos A＝
（　　）
A. B. － C. D. －
解析： 　由题意，不妨设a＝3k，b＝4k，c＝6k，k＞0，由余
弦定理得， cos A＝ ＝ ＝ .故选C.
√
题型三 判断三角形的形状
【例3】　（链接教科书第94页例5）（1）在△ABC中，（a＋b＋
c）（a＋b－c）＝3ab且2 cos A· sin B＝ sin C，试判断△ABC的形
状；
解： ∵A＋B＋C＝180°，∴ sin C＝ sin （A＋B）.
∵2 cos A sin B＝ sin C，
∴2 cos A sin B＝ sin A cos B＋ cos A sin B，
∴ sin A cos B－ cos A sin B＝0，∴ sin （A－B）＝0.
∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，
∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0°，即A＝B.
又（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∴ cos C＝ .
∵0°＜C＜180°，∴C＝60°，
∴△ABC为等边三角形.
（2）在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断△ABC的形
状.
解： 由a cos B＋a cos C＝b＋c，结合余弦定理得
a· ＋a· ＝b＋c，即 ＋ ＝
b＋c，整理得（b＋c）（a2－b2－c2）＝0.
∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
通性通法
判断三角形形状的方法
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”
入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量
关系；
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量
关系.
（2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋
c2；
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2
＞b2；
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜
b2；
④若 sin 2A＝ sin 2B，则A＝B或A＋B＝ .
【跟踪训练】
　在△ABC中，若b2 sin 2C＋c2 sin 2B＝2bc cos B· cos C，试判断
△ABC的形状.
解：将已知等式变形为b2（1－ cos 2C）＋c2（1－ cos 2B）＝2bc cos
B cos C.
由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2 － ＝
2bc· · ，
∴b2＋c2＝ ＝ ＝a2.
∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形.
题型四 余弦定理在实际问题中的应用
【例4】　（链接教科书第93页例4）一艘轮船按照北偏东40°方向，
以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向
上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为6 海里，求灯塔与轮
船原来的距离.
解：如图，设轮船原来在A处，航行20分钟后到达
B处，C为灯塔的位置，
根据条件可得∠BAC＝120°，AB＝18× ＝6
（海里），BC＝6 海里，
由余弦定理可得 cos 120°＝ ＝
＝－ ，
解得AC＝6（AC＝－12舍去）.
因此，灯塔与轮船原来的距离为6海里.
通性通法
利用余弦定理解决实际问题的方法技巧
　　解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的
量纳入到三角形中.这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语.
【跟踪训练】
某观测站C与两灯塔A，B的距离分别为3 km和5 km，测得灯塔A在
观测站C北偏西50°，灯塔B在观测站C北偏东70°，求两灯塔A，
B之间的距离.
解：依题意知△ABC中，AC＝3 km，BC＝5 km，∠ACB＝120°.
由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC× cos ∠ACB＝32＋52
－2×3×5× cos 120°＝49.
∴AB＝7 km.即两灯塔A，B之间的距离为7 km.
1. 在△ABC中，若AB＝ ，BC＝3，C＝120°，则AC＝（　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　在△ABC中，若AB＝ ，BC＝3，C＝120°，由
AB2＝BC2＋AC2－2AC·BC cos C，可得13＝9＋AC2＋3AC，解得
AC＝1或AC＝－4（舍去）.故选A.
√
2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝
，b＝1，c＝2，则A＝（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
解析： 　由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ＝ ，又
A为△ABC的内角，所以A＝60°.
√
3. 如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测
得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝
120°，则A，B两点间的距离为 km.
解析：在△ABC中，AC＝BC＝1 km，C＝120°.由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝1＋1－2×1×1× cos 120°
＝3，∴AB＝ km.
　
4. （2024·苏州月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，若c2＝bc cos A＋ca cos B＋ab cos C，则△ABC是
三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）.
解析：由余弦定理得c2＝bc· ＋ac· ＋
ab· ，即c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形.
直
角　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则边长b＝（　　）
A. 5 B. 8 C. 5或－8 D. －5或8
解析： 　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即49＝9＋b2－
3b，所以（b－8）（b＋5）＝0.因为b＞0，所以b＝8.
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2. 在△ABC中， cos B＝ （a，b，c分别为角A，B，C的对
边），则△ABC的形状为（　　）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 　 cos B＝ ，由余弦定理得 ＝ ，整理得b2＋a2
＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形.
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3. 在△ABC中， cos C＝ ，AC＝4，BC＝3，则 cos B＝（　　）
A. B. C. D.
解析： 　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC× cos C＝16
＋9－2×4×3× ＝9，AB＝3，所以 cos B＝ ＝ ，故选A.
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4. （2024·宿迁月考）在△ABC中，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，则
· ＝（　　）
A. 79 B. 69 C. 5 D. －5
解析： 　由AB＝5，BC＝7，AC＝8，得 cos B＝ ＝
，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （π－B）＝5×7×（－ ）＝
－5.故选D.
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5. （多选）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a
＝2，c＝2 ， cos A＝ ，且b＜c，则（　　）
A. b＝2 B. b＝2
C. B＝60° D. B＝30°
解析： 　由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b
＋8＝0 （b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2.又a＝2， cos
A＝ ，所以B＝A＝30°.故选A、D.
√
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6. （多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若
c2＜a2＋b2＋2ab cos 2C，则C的取值可能为（　　）
A. B. C. D.
解析： 　由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＜a2＋b2＋2ab
cos 2C，整理得 cos 2C＋ cos C＞0，即2 cos 2C＋ cos C－1＞0，
所以（2 cos C－1）（ cos C＋1）＞0，解得 cos C＞ 或 cos C＜－
1（舍去），因此 cos C＞ .又因为C为△ABC的内角，所以
C∈ .故选A、B.
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7. 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝ ，则AB＝ .
解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝ ，设AB＝
x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，化简得x2－
2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1.
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8. （2024·无锡第一中学期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边
分别为a，b，c，D为边AC的中点，c＝1，BD＝ ，∠ABD
＝ ，则a＝ 　 　.
解析：由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD· cos ∠ABD＝1＋
2－2×1× × ＝1，所以AD＝1，AC＝2AD＝2，此时AB2＋
AD2＝BD2，即AB⊥AD，所以a＝BC＝ ＝ .
　
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9. 在△ABC中，若（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），则A
＝ .
解析：∵（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），∴a2－c2＝b2＋
bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴ cos A＝ ＝ ＝－ .∵0°
＜A＜180°，∴A＝120°.
120°　
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解：因为 sin C＝ ，且0＜C＜π，所以C＝ 或C＝ .
当C＝ 时， cos C＝ ，此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4，所以c
＝2；
当C＝ 时， cos C＝－ ，此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝28，所
以c＝2 .
综上所述，c的值为2或2 .
10. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin C
＝ ，a＝2 ，b＝2，求c.
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11. （2024·梅村高中月考）黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的
等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.其中顶角为
36°的等腰三角形的底与腰之比为 ，这种黄金三角形被认为
是最美的三角形.根据这些信息，则 cos 36°＝（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　在△ABC中，A＝36°，AB＝AC， ＝ .设AB
＝2x，BC＝（ －1）x，则 cos 36°＝
＝ ＝ .故
选B.
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12. （多选）在△ABC中，下列结论一定成立的是（　　）
A. c＝a cos B＋b cos A
B. sin （A＋B）＝ sin C
C. cos （A＋B）＝ cos C
D. b2＝（a－c）2＋2ac（1－ cos B）
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解析： 　对于A，a cos B＋b cos A＝a· ＋
b· ＝ ＝ ＝c，故A正确；对
于B，由诱导公式得B正确；对于C， cos （A＋B）＝－ cos C，
故C错误；对于D，（a－c）2＋2ac（1－ cos B）＝a2＋c2－2ac
＋2ac－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos B＝b2，故D正确.故选A、
B、D.
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13. 在非等边三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，且a为最大边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围
为 .
解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，则 cos A＝ ＞
0.∴A＜90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.故A的取值范围是
（60°，90°）.
（60°，90°）　
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14. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2 x＋2＝0
的两个根，且2 cos （A＋B）＝1.
（1）求角C的度数；
解： cos C＝ cos [π－（A＋B）]＝－ cos （A＋B）
＝－ ，又0°＜C＜180°，所以C＝120°.
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（2）求AB的长度.
解： 因为a，b是方程x2－2 x＋2＝0的两个根，
所以
所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝b2
＋a2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab＝
（2 ）2－2＝10.
所以AB＝ .
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15. （2024·南通月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，已知 cos C＋（ cos A－ sin A） cos B＝0.
（1）求B的大小；
解： 由已知得，－ cos （A＋B）＋ cos A cos B－
sin A· cos B＝0，
即 sin A sin B－ sin A cos B＝0.
因为 sin A≠0，所以 sin B－ cos B＝0.
又 cos B≠0，所以tan B＝ .
又0＜B＜π，所以B＝ .
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（2）若a＋c＝1，求b的取值范围.
解： 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B.
因为a＋c＝1， cos B＝ ，所以b2＝3（a－ ）2＋ .
又0＜a＜1，所以 ≤b2＜1，即 ≤b＜1，
即b的取值范围为［ ，1）.
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