【培优方案】12.4　复数的三角形式（课件）苏教版数学必修第二册

(共59张PPT)
12.4　复数的三角形式*
新课程标准解读 核心素养
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，
了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 数学抽象
2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
由复数的几何意义可以知道，复数z＝a＋bi（a，b∈R），复平面
内的点Z（a，b）和平面向量 之间存在着一一对应的关系，如果
以x轴的非负半轴为始边，向量 所在直线为终边的角为θ，向量
的模为r.
【问题】　复数z＝a＋bi（a，b∈R）能否用r，θ来表示呢？
知识点一　复数的三角形式
1. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）的辐角及辐角主值
（1）辐角：以x轴的非负半轴为 、向量 所在的射线
（起点是原点O）为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi的辐角；
（2）辐角主值：适合于 的辐角θ的值叫作复数z＝
a＋bi的辐角主值，记作 ，即0≤arg z＜2π.
始边　
0≤θ＜2π　
arg z　
2. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）的三角形式
设复数z＝a＋bi（z≠0）的辐角为θ，模为r，则z＝
称为复数z的三角形式.其中r＝ ， cos θ
＝ ， sin θ＝ ，而a＋bi称为复数z的代数形式.
r（ cos
θ＋i sin θ）　
知识点二　复数三角形式乘、除运算法则及其几何意义
1. 复数三角形式的乘（除）法运算法则
设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2）：
（1）乘法法则：z1z2＝r1（ cos θ1＋i sin θ1）·r2（ cos θ2＋i sin
θ2）＝ .
即两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积
的辐角等于这两个复数的辐角的和；
r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]　
（2）除法法则： ＝ ＝ 　 [ cos （θ1－θ2）
.
即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得
的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
[ cos （θ1－θ2）
＋i sin （θ1－θ2）]　
2. 复数乘（除）法运算的三角形式的几何意义
（1）复数乘法运算三角形式的几何意义
复数z1，z2对应的向量为 ， ，把向量 绕点O
按 方向旋转θ2（如果θ2＜0，就要把 绕点O
按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来
的 倍，得到向量 ， 表示的复数就是积z1z2.
逆时针　
r2　
（2）复数除法运算三角形式的几何意义
复数z1，z2对应的向量为 ， ，把向量 绕点O
按 方向旋转θ2，再把它的模变为原来的 ，
得到向量 ， 表示的复数就是商 .
顺时针　
　
【想一想】
对于多个复数相乘，能得到什么结论？
提示：z1z2…zn＝r1 （ cos θ1＋i sin θ1）·r2（ cos θ2＋i sin
θ2）·…·rn （ cos θn＋i sin θn）＝r1r2·…·rn[ cos （θ1＋θ2＋…＋
θn）＋i sin （θ1＋θ2＋…＋θn）].
当z1＝z2＝…＝zn＝r（ cos θ＋i sin θ）时，[r（ cos θ＋i sin
θ）]n＝rn .
1. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 任意一个复数都有三角形式
B. 复数的三角形式也可以进行四则运算
C. 任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π的整
数倍
D. 0的辐角主值为0
解析： 复数的三角形式不能进行四则运算，故B错误，A、
C、D正确.故选A、C、D.
√
√
√
2. 复数1＋i的辐角主值为（　　）
A. B. － C. D. －
解析： 　1＋i＝ （ cos ＋i sin ）.故选A.
√
3. 复数－2－2i化为三角形式为 ；复数
3 化为代数形式为 　 ＋ i　.
解析：因为r＝ ＝2 ，所以
故arg（－2－2i）＝π＋ ＝ π，从而－2－2i
＝2 .
3 ＝3 ＝ ＋ i.
2 　
＋ i　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的辐角及辐角主值
【例1】　（1）（链接教科书第134页例1）复数 －i的辐角主值为
（　　）
A. B. π C. π D. π
解析：D　∵ －i＝2 ＝2（ cos ＋i sin π），又
∵ ∈[0，2π），故 －i的辐角主值为 π.
√
解：∵z＝1＋i，∴ω＝ ＝ ＝
＝1－i，∴r＝ ＝ ，
∴arg z＝ .
（2）已知z＝1＋i，求复数ω＝ 的模和辐角主值.
通性通法
　　对于给定的复数z＝a＋bi，根据r＝ 可以求出该复数的
模，根据 cos θ＝ ， sin θ＝ 就可以确定该复数的辐角主值.
【跟踪训练】
已知z＝1＋ cos θ＋i sin θ（π＜θ＜2π），求arg z.
解：z＝1＋ cos θ＋i sin θ＝2 cos 2 ＋i（2× sin cos ）＝2 cos
＝－2 cos .
∵π＜θ＜2π，∴ ＜ ＜π，
∴ cos ＜0， ＜π＋ ＜2π，
∴arg z＝π＋ .
题型二 复数的代数形式化为三角形式
【例2】　（1）下列复数是复数三角形式表示的是（　D　）
A. B. －
C. D. cos π＋i sin π
解析： 选项A， cos 与i sin 之间用“－”连接，不是用
“＋”连接；选项B，－ ＜0不符合r≥0要求；选项C，是 sin
π与i cos π用“＋”连接而不是 cos ＋i sin π的形式.故A、
B、C均不是复数的三角形式.故选D.
D
（2）（链接教科书第135页例2）复数2 ＋2i的三角形式
为 .
解析： ∵r＝ ＝4，∴
∴arg z＝ ，∴2 ＋2i＝4 .
4 　
通性通法
将复数的代数形式转化为三角形式的步骤
（1）求复数的模；
（2）确定辐角所在的象限；
（3）根据象限求出辐角；
（4）求出复数的三角形式.
【跟踪训练】
　复数z＝i sin 10°的三角形式是（　　）
A. cos 10°＋i sin 10°
B. i sin 10°
C. sin 10°（ cos 90°＋i sin 90°）
D. sin 10°（ cos 0°＋i sin 0°）
解析： 　z＝i sin 10°＝ sin 10°（0＋i）＝ sin 10°（ cos 90°＋i
sin 90°）.
√
题型三 复数的三角形式化为代数形式
【例3】　把下列复数的三角形式化为代数形式：
（1）2（ cos ＋i sin ）；
解： 2（ cos ＋i sin ）＝2（ ＋ i）＝ ＋i.
（2）8（ cos ＋i sin ）.
解： 8（ cos ＋i sin ）＝8［ cos （－ ）＋i sin （－
）］＝8（ － i）＝4 －4i .
通性通法
　　把复数的三角形式化为代数形式只需将三角函数计算求值，然后
写成z＝x＋yi的形式即可.
【跟踪训练】
　复数 的代数形式为 .
解析： （ cos π＋i sin π）＝ ［ cos （π＋ π）＋i sin （π＋
π）］＝ ＝ （ － i）＝1－i.
1－i　
题型四 复数三角形式的乘、除法运算
【例4】　（链接教科书第137页例4）计算：
（1）2 × ；
解： 原式＝2 ＝－2 i.
（2）[6（ cos 160°＋i sin 160°）]÷[（ cos 25°＋i sin 25°）].
解： 原式＝3 [ cos （160°－25°）＋i sin （160°－
25°）]
＝3 （ cos 135°＋i sin 135°）＝3
＝－3＋3i.
通性通法
　　在进行复数三角形式的乘、除法运算时，注意先将复数化为三角
形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也
可以用三角形式表示.
【跟踪训练】
　计算：2i÷ .
解：2i÷
＝[2（ cos 90°＋i sin 90°）]÷
＝4（ cos 60°＋i sin 60°）＝2＋2 i.
题型五 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例5】　（链接教科书第139页习题8题）在复平面内，把复数3－
i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转 ，求所得向量对应
的复数.
解：因为3－ i＝2
＝2 .
所以2 ×
＝2
＝2
＝2 ＝3＋ i，
2 ÷
＝2
＝2 ＝－2 i.
故把复数3－ i对应的向量按逆时针方向旋转 得到的复数为3＋
i，按顺时针方向旋转 得到的复数为－2 i.
通性通法
　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量 ，
，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，
就要把 绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原
来的r2倍，得到向量 ， 表示的复数就是积z1z2.即z1z2＝
r1r2·[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]，当z1，z2相除时， ＝
·[ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）].
【跟踪训练】
在复平面内，把与复数 ＋ i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋
转 ，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数.
解： ＋ i＝ ，
由题意得 （ cos ＋i sin ）×2（ cos ＋i sin ）
＝ ×2
＝3 ＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i.
1. 设复数z＝a＋bi＝r（ cos θ＋i sin θ），其中a，b∈R，
＝r，arg z＝θ，下列说法正确的是（　　）
A. r＞0，θ∈[0，2π） B. r≥0，θ∈（0，2π）
C. r∈R，θ∈（－π，π） D. r≥0，θ∈[0，2π）
解析： 　由复数三角形式的特征知，r≥0，0≤θ＜2π.∴D正
确，A、B、C均不正确，故选D.
√
2. 复数－2 的辐角主值是（　　）
A. B. π C. π D. π
解析： 　∵－2 ＝2（ cos π＋i sin π），∴辐角主
值为 π，故选C.
√
3. 复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（　　）
A. z＝ （ sin 45°＋i cos 45°）
B. z＝ （ cos 45°＋i sin 45°）
C. z＝ [ cos （－45°）－i sin （－45°）]
D. z＝ [ cos （－45°）＋i sin （－45°）]
解析： 　依题意得r＝ ＝ ，复数z＝1＋i对应的点在
第一象限，且 cos θ＝ ，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确.
故选B.
√
4. 计算：（1）8 × ；
解： 原式＝8
＝8（ cos ＋i sin ）＝－4 ＋4 i.
（2）2 （ cos －i sin ）÷［ （ cos ＋i sin ）］.
解： 原式＝2 ÷［ （ cos
＋i sin ）］＝2［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］＝－2i.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 复数（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）的三角形式
是（　　）
A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 160°＋i sin 160°
C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 160°＋i cos 160°
解析： 　（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）
＝（ cos 80°＋i sin 80°）（ cos 80°＋i sin 80°）
＝ cos 160°＋i sin 160°.故选B.
√
2. 若｜z｜＝2，arg z＝ ，则复数z的代数形式为（　　）
A. 1－ i B. －1－ i
C. 1＋ i D. －1＋ i
解析： 　由题意知，z＝2 ＝1＋ i.故选C.
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3. 若a＜0，则a的三角形式为（　　）
A. a（ cos 0＋i sin 0）
B. a（ cos π＋i sin π）
C. －a（ cos π＋i sin π）
D. －a（ cos π－i sin π）
解析： 　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a
（ cos π＋i sin π）.故选C.
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4. 将复数i对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转 ，得到向量
，则 对应的复数是（　　）
A. ＋ i B. － ＋ i
C. － － i D. － i
解析： 　i＝ cos ＋i sin ，将 绕原点按顺时针方向旋转 得
到 对应的复数为 cos ＋i sin ＝ ＋ i.
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5. （多选）设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，
则（　　）
A. p q B. p q
C. q p D. q p
解析： 　当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成
立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故
p q，q p.故选A、D.
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6. （多选）已知复数z＝ cos ＋i sin ，则下列关于复数z的结论中
正确的是（　　）
A. ｜z｜＝1
B. ＝ cos ＋i sin
C. 复数z是方程x3－1＝0的一个根
D. 复数－z的辐角主值为－
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解析： 　∵z＝－ ＋ i，∴｜z｜＝ ＝1，故A正确；
∵ ＝－ － i＝ cos ＋i sin ，故B正确；∵z3＝ cos ＋i sin
＝1，∴z3－1＝0，故C正确；∵－z＝ － i，∴复数－z的辐
角主值为 ，故D错误.故选A、B、C.
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7. 计算2÷2（ cos 60°＋i sin 60°）＝ .
解析：2÷2（ cos 60°＋i sin 60°）＝[2（ cos 0°＋i sin
0°）]÷[2（ cos 60°＋i sin 60°）]＝ cos （0°－60°）＋i sin
（0°－60°）＝ cos （－60°）＋i sin （－60°）＝ － i.
－ i　
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8. 如果θ∈ ，则复数（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）的辐角主值
为 .
解析：（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）＝ · ·（ cos
θ＋i sin θ）＝ ［ cos （θ＋ ）＋i sin ］，
∵θ∈ ，∴θ＋ ∈ ，∴该复数的辐角主值是θ
＋ .
θ＋ 　
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9. 在复平面内，将复数 ＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转
90°，则所得向量对应的复数三角形式为
，代数形式为 .
解析：由题意知，（ ＋i）×（ cos 90°＋i sin 90°）
＝2（ cos 30°＋i sin 30°）×（ cos 90°＋i sin 90°）
＝2（ cos 120°＋i sin 120°）
＝－1＋ i.
2（ cos 120°＋i sin
120°）　
－1＋ i　
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10. 把下列复数表示成代数形式：
（1）4 ；
解： 4
＝4 ＝2－2 i.
（2）2 .
解： 2 ＝2
＝－ ＋ i.
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11. 复数z＝ cos ＋i sin 是方程x5＋α＝0的一个根，那么α的值为
（　　）
A. ＋ i B. ＋ i
C. － － i D. － － i
解析： 　因为z＝ cos ＋i sin 是方程x5＋α＝0的一个根，所
以α＝－x5＝－（ cos ＋i sin ）5＝－ cos －i sin ＝－ －
i.故选D.
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12. （多选）复数 cos ＋i sin 经过n（n∈N*）次乘方后，所得的复
数等于它的共轭复数，则n的值可以为（　　）
A. 3 B. 5 C. 11 D. 12
解析： 　由题意，得（ cos ＋i sin ）n＝ cos ＋i sin ＝
cos －i sin ，由复数相等的定义，得结
合各选项，可知n＝5或11.故选B、C.
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13. 复数z＝（1－ i）5，则z的模等于 ，辐角主值为 　 　.
解析：∵（1－ i）5＝25 ＝32（ cos ＋i sin ）5＝
32（ cos ＋i sin ）＝32（ cos ＋i sin ）.∴复数z的模为
32，辐角主值为 .
32　
　
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14. 将tan θ＋i，θ∈ 表示成三角形式.
解：tan θ＋i＝ ＋i＝ （ sin θ＋i cos θ），
∵θ∈ ，
∴ cos θ＞0，
∴tan θ＋i＝ .
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15. 设复数z1＝ ＋i，复数z2满足｜z2｜＝2，且z1· 在复平面内对
应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈（0，π），求z2的代数形式.
解：因为z1＝ ＋i＝2 ，
设z2＝2（ cos α＋i sin α），α∈（0，π），
所以z1· ＝2 ×4（ cos 2α＋i sin 2α）＝
8 .
由题设知2α＋ ＝2kπ＋ （k∈Z），
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所以α＝kπ＋ （k∈Z）.
又α∈（0，π），
所以α＝ ，
所以z2＝2 ＝－1＋ i.
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