冀教版（2024）八年级下册 21.6 菱形 题型专练
【题型1】利用菱形的性质求角度
【典例】如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，在菱形ABCD中，边AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连结DF，若∠BAD＝80°，则∠CDF的度数为（ ）
A.80° B.70° C.65° D.60°
【强化训练2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AF平分∠BAC交BD于点E，且点E为线段AF的中点，连接FC并延长至点G，使得CF＝CG，连接AG，若∠BAC＝2α．则∠G＝（ ）
A.60° B.30°+α C.90°﹣α D.2a
【强化训练3】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝140°，连接AC，在BC的延长线上有点E，且CE＝AC，连接AE，则∠E的度数是 ．
【强化训练4】如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝BC，连接CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的度数．
【强化训练5】菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：F是CD的中点．
（2）如图2，若∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠FEC的度数．
【题型2】利用菱形的性质求线段长
【典例】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动过程中，AE+CF的长度（ ）
A.逐渐增加 B.先减小再增加 C.恒等于 D.恒等于4
【强化训练1】如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝18，则AB＝（ ）
A.15 B.30 C.18 D.13
【强化训练2】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是CD边的中点，点E是对角线BD上一动点，以AE为斜边向右侧作等腰Rt△AEF，连接PF，则线段PF的最小值为 ．
【强化训练3】如图，四边形ABCD为平行四边形，以DC为边，在平行四边形ABCD外侧作菱形DCFE，连接AE，BF．
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）当时，求BF的长．
【题型3】利用菱形的性质求点的坐标
【典例】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的边AO在y轴上．若点C的坐标为（﹣12，﹣5），则点A的坐标为（ ）
A.（0，12） B.（13，0） C.（0，13） D.（0，15）
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为，∠AOC＝60°，将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B，，将菱形OABC平移得到菱形O′A′B′C′，若点A的对应点A′的坐标为（5，3），则点B的对应点B′的坐标为 ．
【强化训练3】已知菱形ABCD的四个顶点分别为A（0，n），B（m，m+1），c（e，f），D（m，m+5），且﹣4＜m＜0，对角线交点为E．
（1）求n关于m的表达式；
（2）已知M（﹣4﹣m，﹣m﹣3），连接EM与x轴交于点F，当DF的长度最小时，求点D、C的坐标．
【题型4】利用菱形的性质求面积
【典例】小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（ ）
A. B. C.a2 D.
【强化训练1】如图，菱形ABCD中，点E是CD中点，连接AE，BE，若BE⊥CD，，则该菱形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝6，则菱形ABCD的面积为 ．
【强化训练3】如图，菱形ABCD的周长为16，对角线BD＝4，则菱形ABCD的面积为 ．
【强化训练4】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于点E、F，连接BE，DF．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若EF＝BD，BE＝8，DE＝16，求菱形ABCD的面积．
【题型5】利用菱形的性质证明
【典例】在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，下列结论不一定成立的是（ ）
A.AC⊥BD B.OB＝OD C.AB∥DC D.AC＝BD
【强化训练1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P和点Q分别在边CD和AD上运动（不与A、C、D重合），满足DP＝AQ，连接AP、CQ交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（ ）
①AP＝CQ；
②∠AEC的度数不变；
③∠APD+∠CQD＝180°；
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【强化训练2】如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的动点，BE＝AF，∠BAD＝120°，EF与AC相交于点G，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF是等边三角形；③∠AGE＝∠AFC．其中结论正确的有 个．
【强化训练3】如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E，F分别是边BC，CD上一点，连接AE，EF．
（1）如图1，当∠AEF＝60°时，求证AE＝EF；
（2）如图2，当AE＝EF时，求证：∠AEF＝60°．
【题型6】添一个条件使四边形是菱形
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
A.AC⊥BD B.AB＝BC C.AC＝BD D.∠1＝∠2
【强化训练1】如图， ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得 ABCD是菱形（ ）
A.AB＝AC B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AC＝BD
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，要使四边形ABCD为菱形可添加一个条件为 （只写出一个即可）．
【强化训练3】如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 ，使四边形AEDF是菱形．
【强化训练4】如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C，直线BE交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠CBE＝∠E．
（2）当BC＝DE时，连接DB、CE，请添加一个条件，使四边形BCED是菱形．（不用证明）
【题型7】证明四边形是菱形
【典例】判断四边形的框架（如图）是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等；②检测框架的四个角是不是相等；③检测框架对角线是否互相垂直且相等．其中方法可行的是（ ）
A.① B.② C.①③ D.②③
【强化训练1】张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有 ．（只填写序号）
【强化训练3】已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO＝MO，连接BN与ND．若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状是
【强化训练4】如图，△ABC是等边三角形，∠DCE＝60°，CD＝CE，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：四边形ABCF是菱形．
【强化训练5】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别为边AB、AC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝2DE，连接BE、CF．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当∠ACB＝60°时，求证：四边形BCFE是菱形．
【题型8】综合应用菱形的判定和性质求解
【典例】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（ ）
A.24 B.28 C.32 D.36
【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（ ）
A. B. C.40 D.24
【强化训练2】如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（ ）
A. B.8 C. D.
【强化训练3】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，P为CD上一点，连接BP，若四边形ABCD的面积为9，纸条的宽为3，CP＝2，则BP的长是 ．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，BC的中点，BF∥DE，EF∥DB．
（1）求证：四边形BDEF是菱形；
（2）连接DF交BC于点M，连接CD，若BE＝4，AC＝2，求DM，CD的长．
【题型9】综合应用菱形的判定和性质证明
【典例】下列关于菱形的说法，错误的是（ ）
A.菱形的邻边相等
B.菱形的对角线互相平分
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.四条边相等的四边形是菱形
【强化训练1】如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，得到四边形ABCD，AC，BD相交于点O．下列结论不一定成立的是（ ）
A.AB＝AD B.OA＝OC C.AC⊥BD D.AC＝AD
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F，G分别是AD，BC的中点，连接CF，EF，FG，CE与GF交于点H．下列结论：①四边形ABGF是菱形；②EF⊥CF；③EF＝CF；④AE+CD＝2FH，其中正确的结论是 .（填写所以正确结论的序号）
【强化训练3】已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＜90°，AD∥BC，AB∥CD，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，DE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）联结AC交BD于点O，联结OF，求证：∠BDC＝∠OFB．冀教版（2024）八年级下册 21.6 菱形 题型专练（参考答案）
【题型1】利用菱形的性质求角度
【典例】如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接DE，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝α，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠B＝α，
∵点A关于直线DP的对称点为E，
∴DP垂直平分AE，
∴ED＝AD，
∴ED＝CD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC，
∵∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+∠DCE+∠DEC＝360°，
∴α+2（∠DEA+∠DEC）＝360°，
∴α+2∠AEC＝360°，
∴∠AEC＝180°﹣α，
故选：D．
【强化训练1】如图，在菱形ABCD中，边AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连结DF，若∠BAD＝80°，则∠CDF的度数为（ ）
A.80° B.70° C.65° D.60°
【答案】D
【解析】解：如图，连接FB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣80°＝100°，
在菱形ABCD中，∠BAF＝∠DAF＝∠BAD＝×80°＝40°，
∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF＝40°，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠ADF＝∠ABF＝40°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF，
＝100°﹣40°，
＝60°．
故选：D．
【强化训练2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AF平分∠BAC交BD于点E，且点E为线段AF的中点，连接FC并延长至点G，使得CF＝CG，连接AG，若∠BAC＝2α．则∠G＝（ ）
A.60° B.30°+α C.90°﹣α D.2a
【答案】C
【解析】∵AF 平分∠BAC，∠BAC＝2α，
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
又∵点E为线段AF的中点，
∴OE∥CF，AC⊥BD
∴AC⊥FG，
又∵CF＝CG，
∴AF＝AG
∴∠G＝∠F＝90°﹣∠FAC＝90°﹣α
故选：C．
【强化训练3】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝140°，连接AC，在BC的延长线上有点E，且CE＝AC，连接AE，则∠E的度数是 ．
【答案】35°．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝140°，AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠BCD＝70°，
∵CE＝AC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠E+∠CAE＝∠ACB＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝35°．
故答案为：35°．
【强化训练4】如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝BC，连接CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的度数．
【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝CE；
（2）解：∵平行四边形BECD，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．
【强化训练5】菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：F是CD的中点．
（2）如图2，若∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠FEC的度数．
【答案】证明：（1）如图1所示：连接AC．
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°﹣∠B＝120°．
∴△ABC等边三角形．
∴E是BC的中点，
∴AE⊥BC．
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°﹣∠AEF＝30°．
∴∠CFE＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝180°﹣30°﹣120°＝30°．
∴∠FEC＝∠CFE．
∴EC＝CF．
∵，
∴，
∴F是CD的中点；
（2）如图2所示：连接AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°．
∴∠B＝∠ACF＝60°．
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD，∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD．
∴∠AEB＝∠AFC．
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
∴AE＝AF．
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°，
∵∠AEF+∠FEC＝∠B+∠BAE，
∴∠FEC＝20°．
【题型2】利用菱形的性质求线段长
【典例】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动过程中，AE+CF的长度（ ）
A.逐渐增加 B.先减小再增加 C.恒等于 D.恒等于4
【答案】D
【解析】连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD、△CDB是等边三角形，
∴∠CBD＝∠ADB＝60°，BC＝BD，
∵∠EBF＝60°，
∴∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°，
∴∠CBF＝∠EBD，
在△CBF和△DBE中，
，
∴△CBF≌△DBE（ASA），
∴CF＝DE，
∴AE+CF＝AE+DE＝AD，
∵AB＝4，
∴AE+CF＝4．
故选：D．
【强化训练1】如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝18，则AB＝（ ）
A.15 B.30 C.18 D.13
【答案】A
【解析】∵在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝18，
∴AO＝12，BO＝9，AO⊥BO，
∴，
故选：A．
【强化训练2】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是CD边的中点，点E是对角线BD上一动点，以AE为斜边向右侧作等腰Rt△AEF，连接PF，则线段PF的最小值为 ．
【答案】2．
【解析】如图所示，连接AP，
在△APF中，AF+PF≥AP，
∴当点A，F，P三点共线时，AP最短，则PF的值最小，如图所示，连接AC，过点E作EM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB＝30°，
∴∠ADP＝60°，且AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∵P是 CD的中点，
∴，AP⊥CD，
∴在Rt△ADP中，∠DAP＝30°，
∴，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝EF，∠FAE＝∠FEA＝45°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAP﹣∠FAE＝120°﹣30°﹣45°＝45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，AM＝EM，
∵∠MAE＝∠FAE，∠AME＝∠AFE＝90°，AE＝AE，
∴△AME≌△AFE（AAS），
∴AF＝AM，
设AM＝EM＝x，则BM＝AB﹣AM＝4﹣x，
在Rt△BEM中，∠ABE＝30°，
∴，
∴，
解得，，即，
∴，
故答案为：2．
【强化训练3】如图，四边形ABCD为平行四边形，以DC为边，在平行四边形ABCD外侧作菱形DCFE，连接AE，BF．
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）当时，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵四边形DCFE是菱形，
∴CD∥EF，CD＝EF，
∴AB∥EF，AB＝EF，
∴四边形ABFE为平行四边形；
（2）解：过点E作EG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠ADE＝135°，
∴∠EDG＝180°﹣135°＝45°，
∵四边形ABCD为平行四边形，四边形DCFE是菱形，
∴AD＝BC＝4，AB＝CD，DE＝CD＝AB＝2，
在Rt△DEG中，DG2+EG2＝DE2，∠DEG＝90°﹣45°＝∠EDG，
∴DG＝EG＝＝＝2，
∴AD+DG＝4+2＝6，
在Rt△AEG中，AG2+EG2＝AE2，
∴AE＝＝2．
由（1）知，四边形ABFE为平行四边形，
∴BF＝AE＝2．
【题型3】利用菱形的性质求点的坐标
【典例】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的边AO在y轴上．若点C的坐标为（﹣12，﹣5），则点A的坐标为（ ）
A.（0，12） B.（13，0） C.（0，13） D.（0，15）
【答案】C
【解析】如图所示，设BC与x轴交于D，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OA＝OC，OA∥BC，
∴BC⊥OD，
∵点C的坐标为（﹣12，﹣5），
∴OD＝12，CD＝5，
∴，
∴OA＝OC＝13，
∴A（0，13），
故选：C．
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为，∠AOC＝60°，将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB＝OA＝2，AB∥OC，
∴∠BAD＝∠COA＝60°，
∴AD＝AB＝，
∴BD＝＝＝3，
∴OD＝AD+OA＝3，
∴B（﹣3，3），
∵将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，
∴B'（﹣3+1，3﹣1），
即B'（1﹣3，2），
故选：A．
【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B，，将菱形OABC平移得到菱形O′A′B′C′，若点A的对应点A′的坐标为（5，3），则点B的对应点B′的坐标为 ．
【答案】（6，3+）．
【解析】∵A（2，0），点A的对应点A′的坐标为（5，3），
∴平移的规律为向右平移三个单位，再向上平移3个单位，
∴点B的对应点B′的坐标为（3+3，3+），
即（6，3+），
故答案为：（6，3+）．
【强化训练3】已知菱形ABCD的四个顶点分别为A（0，n），B（m，m+1），c（e，f），D（m，m+5），且﹣4＜m＜0，对角线交点为E．
（1）求n关于m的表达式；
（2）已知M（﹣4﹣m，﹣m﹣3），连接EM与x轴交于点F，当DF的长度最小时，求点D、C的坐标．
【答案】解：（1）∵ABCD为菱形，
∴AC，BD相互垂直，且两线段中点为同一点，
∴，
∵BD平行于y轴，
∴AC平行于x轴，
∴n＝f，
解得：n＝m+3；
（2）由（1）得 n＝m+3＝f，e＝2m，
∴A（0，m+3），B（m，m+1），C（2m，m+3），D（m，m+5），
∴E（m，m+3），
设直线EM：y＝kx+b，代入得：
，
解得直线，
∴与x轴交点F（﹣2，0），
由勾股定理得：DF＝，
即＝＝，
当m＝﹣3.5时，DF有最小值，
此时C（﹣7，﹣0.5），D（﹣3.5，1.5）．
【题型4】利用菱形的性质求面积
【典例】小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（ ）
A. B. C.a2 D.
【答案】B
【解析】过A作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝a，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AH＝AB＝a，
∴菱形ABCD的面积＝BC AH＝a2．
故选：B．
【强化训练1】如图，菱形ABCD中，点E是CD中点，连接AE，BE，若BE⊥CD，，则该菱形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵点E是CD中点，
∴CE＝BC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠ABE＝90°，
∴BE＝，
在Rt△AEB中，
∵AE2＝AB2+BE2，
∴7＝，
∴AB＝2，
∵AB＝CD＝BC，
∴BE＝，
∴菱形的面积＝CD BE＝2×．
故选：B．
【强化训练2】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝6，则菱形ABCD的面积为 ．
【答案】96．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝2OA＝16，
∵DH⊥BC，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH＝2×6＝12，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝×16×12＝96，
故答案为：96．
【强化训练3】如图，菱形ABCD的周长为16，对角线BD＝4，则菱形ABCD的面积为 ．
【答案】8．
【解析】∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，且OA＝OC，OB＝OD＝2，
在直角三角形ABO中，由勾股定理得：
AO＝＝2，
∴AC＝4，
∴S菱形ABCD＝×4×4＝8，
故答案为：8．
【强化训练4】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于点E、F，连接BE，DF．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若EF＝BD，BE＝8，DE＝16，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴DE∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝DC，AD∥BC，
由（1）可得，△AEO≌△CFO，
∴AE＝CF，
∴AD+AE＝BC+CF，即DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵EF＝BD，
∴四边形EBFD是矩形，
∴∠DEB＝90°，
设AD＝x，则AB＝x，AE＝16﹣x，
在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，
即（16﹣x）2+82＝x2，
解得x＝10，
∴AD＝10，
∴S菱形ABCD＝BE AD＝8×10＝80．
【题型5】利用菱形的性质证明
【典例】在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，下列结论不一定成立的是（ ）
A.AC⊥BD B.OB＝OD C.AB∥DC D.AC＝BD
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，AB∥DC，
AC不一定等于BD，D符合题意，
故选：D．
【强化训练1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P和点Q分别在边CD和AD上运动（不与A、C、D重合），满足DP＝AQ，连接AP、CQ交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（ ）
①AP＝CQ；
②∠AEC的度数不变；
③∠APD+∠CQD＝180°；
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【答案】D
【解析】∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°，DP＝AQ，
∴∠ACP＝∠D＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD＝AC
∴AD﹣AQ＝CD﹣DP，即DQ＝CP
∴△ACP≌△CDQ（SAS），
∴∠APC＝∠CQD，∠APC＝∠CQD，AP＝CQ，故①正确；
∵∠APD+∠APC＝180°，
∴∠APD+∠CQD＝180°，故③正确；
∵∠D＝60°，∠APD+∠CQD＝180°，
∴∠QEP＝120°，
∴∠AEC＝∠QEP＝120°，故②正确．
故选：D．
【强化训练2】如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的动点，BE＝AF，∠BAD＝120°，EF与AC相交于点G，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF是等边三角形；③∠AGE＝∠AFC．其中结论正确的有 个．
【答案】3．
【解析】①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAC＝∠CAD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠CAD＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴∠B＝∠CAD＝60°，BC＝AC，
∵BE＝AF，
∴△BEC≌△AFC （SAS），
故①正确；
②∵△BEC≌△AFC，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ACF+∠ECA＝60，
∴△CEF是等边三角形，
故②正确；
③∵∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；
∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，
∴∠AGE＝∠AFC，
故③正确正确．
故答案为：3．
【强化训练3】如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E，F分别是边BC，CD上一点，连接AE，EF．
（1）如图1，当∠AEF＝60°时，求证AE＝EF；
（2）如图2，当AE＝EF时，求证：∠AEF＝60°．
【答案】证明：（1）在AB上截取BH＝BE，连接HE，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠DCB＝120°，∠B＝60°＝∠AEF，
∵BH＝BE，
∴△BEH是等边三角形，AH＝EC，
∴BE＝BH＝HE，∠BHE＝60°，
∴∠AHE＝∠DCB＝120°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△AEH和△EFC中，
，
∴△AEH≌△EFC（ASA），
∴AE＝EF；
（2）如图，过点A作AM⊥直线HE于M，过点E作EN⊥直线CD于N，
∵△BEH是等边三角形，
∴∠BHE＝60°＝∠AHM，
∵∠BCD＝120°，
∴∠ECN＝60°＝∠AHM，
又∵∠M＝∠N＝90°，AH＝EC，
∴△AMH≌△ENC（AAS），
∴AM＝EN，∠MAH＝∠CEN，
又∵AE＝EF，
∴Rt△AME≌Rt△ENF（HL），
∴∠MAE＝∠FEN，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∴∠B＝∠AEF＝60°，
【题型6】添一个条件使四边形是菱形
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
A.AC⊥BD B.AB＝BC C.AC＝BD D.∠1＝∠2
【答案】C
【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠DCA，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCA，
∴CD＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【强化训练1】如图， ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得 ABCD是菱形（ ）
A.AB＝AC B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AC＝BD
【答案】B
【解析】当AC⊥BD时， ABCD是菱形，
故选：B．
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，要使四边形ABCD为菱形可添加一个条件为 （只写出一个即可）．
【答案】AB＝CD（答案不唯一）．
【解析】添加一个条件为AB＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAC＝∠DCA，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
【强化训练3】如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 ，使四边形AEDF是菱形．
【答案】DF∥AB，理由见解析．
【解析】DF∥AB，理由如下：
∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
【强化训练4】如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C，直线BE交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠CBE＝∠E．
（2）当BC＝DE时，连接DB、CE，请添加一个条件，使四边形BCED是菱形．（不用证明）
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDE，
∵∠A＝∠C，
∴∠CDE＝∠C，
∴BC∥AD，
∴∠CBE＝∠E；
（2）解：添加条件BD＝BC，证明如下：
由（1）可知，BC∥AD，
∵BC＝DE，
∴四边形BCED是平行四边形，
又∵BD＝BC，
∴平行四边形BCED是菱形．
【题型7】证明四边形是菱形
【典例】判断四边形的框架（如图）是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等；②检测框架的四个角是不是相等；③检测框架对角线是否互相垂直且相等．其中方法可行的是（ ）
A.① B.② C.①③ D.②③
【答案】A
【解析】∵四条边都相等的四边形是菱形，
∴通过检测框架的四条边是不是相等可以判断四边形的框架是不是菱形，
故方法①可行；
∵四边角都相等的四边形，它的四个角都是直角，
∴这样的四边形是矩形，但不一定是菱形，
∴通过检测框架的四个角是不是相等不能判断四边形的框架是不是菱形，
故方法②不可行；
∵对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，
∴通过检测框架的对角线是否互相垂直且相等不能判断四边形的框架是不是菱形，
故方法③不可行，
故选：A．
【强化训练1】张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、四条边相等的四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；
B、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；
C、不能判定四边形是平行四边形，故不能判定形状，符合题意；
D、两组对边平行，能判定平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，则能判定菱形，不符合题意．
故选：C．
【强化训练2】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有 ．（只填写序号）
【答案】①③．
【解析】∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，故②错误；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形，
不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
【强化训练3】已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO＝MO，连接BN与ND．若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状是
【答案】菱形
【解析】∵O是BD的中点，
∴BO＝DO，且NO＝MO，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝AC＝DM，
∴平行四边形BNDM是菱形，
故答案为：菱形．
【强化训练4】如图，△ABC是等边三角形，∠DCE＝60°，CD＝CE，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：四边形ABCF是菱形．
【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC＝60°，
∵∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△ACE与△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠B＝60°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠B＝60°，
∴∠B+∠BAF＝60°+60°+60°＝180°，
∴BC∥AF，
∵AB∥CF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCF是菱形．
【强化训练5】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别为边AB、AC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝2DE，连接BE、CF．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当∠ACB＝60°时，求证：四边形BCFE是菱形．
【答案】证明：（1）∵D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，DE∥BC，即EF∥BC．
∵BC＝2DE，EF＝2DE，
∴EF＝BC，
∴四边形BCFE为平行四边形．
（2）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝30°，
∴，
∵点E为△ABC的斜边上的中点，
∴，
∴BE＝BC，
∴平行四边形BCFE是菱形．
【题型8】综合应用菱形的判定和性质求解
【典例】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（ ）
A.24 B.28 C.32 D.36
【答案】A
【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，
∴FA＝FD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
∵AF＝6，
∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24．
故选：A．
【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（ ）
A. B. C.40 D.24
【答案】B
【解析】∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
∵点E，F分别为AD，AO的中点，
∴AO＝2AF＝4，EF是△AOD的中位线，
∴OD＝2EF＝6，
∵平行四边形ABCD中，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AB＝AD，
∴，
∴菱形ABCD的周长＝．
故选：B．
【强化训练2】如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（ ）
A. B.8 C. D.
【答案】C
【解析】∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，
∵AC＝，BC＝4，AB＝，
∴（）2+42＝2+16＝18＝（3）2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴DC＝AD＝DB＝AB＝，
∴四边形CEBD是菱形，
四边形CEBD的周长＝4DB＝4×＝6．
故选：C．
【强化训练3】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，P为CD上一点，连接BP，若四边形ABCD的面积为9，纸条的宽为3，CP＝2，则BP的长是 ．
【答案】．
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，过点P作PG⊥BC于点G，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD＝BC AE＝CD AF，
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD，AB∥CD，
∴∠PCG＝∠ABC，
∵S菱形ABCD＝BC AE＝BC×3＝9，
∴BC＝3，
∴AB＝3，
∴BE＝＝＝3，
∴AE＝BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠PCG＝45°，
∵PG⊥BC，
∴∠PGC＝90°，
∴△PCG是等腰直角三角形，
∴PG＝CG＝CP＝×2＝，
∴BG＝BC+CG＝4，
在Rt△BPG中，由勾股定理得：BP＝＝＝，
故答案为：．
【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，BC的中点，BF∥DE，EF∥DB．
（1）求证：四边形BDEF是菱形；
（2）连接DF交BC于点M，连接CD，若BE＝4，AC＝2，求DM，CD的长．
【答案】（1）证明：如图1，连接AE，
∵BF∥DE，EF∥DB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵AB＝AC，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴DE＝AB＝BD，
∴四边形BDEF是菱形；
（2）解：如图2，
∵四边形BDEF是菱形，BE＝4，
∴BE⊥DF，BM＝ME＝2，
∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE＝AC＝，
∴DM＝＝＝1，
又∵BE＝CE＝4，
∴MC＝6，
∴CD＝＝＝．
【题型9】综合应用菱形的判定和性质证明
【典例】下列关于菱形的说法，错误的是（ ）
A.菱形的邻边相等
B.菱形的对角线互相平分
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.四条边相等的四边形是菱形
【答案】C
【解析】∵菱形的性质有：四边相等，对角线互相垂直平分，
菱形的判定有：四边相等的四边形是平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴C选项不符合题意，
故答案为：C．
【强化训练1】如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，得到四边形ABCD，AC，BD相交于点O．下列结论不一定成立的是（ ）
A.AB＝AD B.OA＝OC C.AC⊥BD D.AC＝AD
【答案】D
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S ABCD＝BC AE＝CD AF，
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，OA＝OC，AC⊥BD，
不能得出AC＝AD，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F，G分别是AD，BC的中点，连接CF，EF，FG，CE与GF交于点H．下列结论：①四边形ABGF是菱形；②EF⊥CF；③EF＝CF；④AE+CD＝2FH，其中正确的结论是 .（填写所以正确结论的序号）
【答案】①③④．
【解析】①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵点点F，G分别是AD，BC的中点，
∴AD＝2AF＝2FD，BC＝2BG＝2CG，
∴AF＝BG，
∴四边形ABGF为平行四边形，
∵AD＝2AB，
∴AF＝AB，
∴平行四边形ABGF为菱形，
故结论①正确；
②连接BF，GD，如图所示：
显然∠EFC＞∠BFC，
同理可证四边形CDFG为菱形，
∴GD⊥CF，FD＝CG＝BG，
∴FD∥BG，FD＝BG，
∴四边形BGDF为平行四边形，
∴BF∥GD，
∴BF⊥CF，
即∠BFC＝90°，
∴∠EFC＞90°，
故结论②不正确；
③∵四边形ABGF为菱形，
∴FG∥AB，
∵点G为BC的中点，
∴HG为△BCE的中位线，
∴点H为CE的中点，
又∵CE⊥AB，
∴FG⊥CE，
∴FG是线段CE的垂直平分线，
∴EF＝CF，
故结论③正确；
④∵AB∥CD，
∴四边形AECD为梯形，
∵点F为AD的中点，点H为CE的中点，
∴FH为梯形AECD的中位线，
∴FH＝（AE+CD），
即AE+CD＝2FH，
故结论④正确．
综上所述：正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
【强化训练3】已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＜90°，AD∥BC，AB∥CD，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，DE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）联结AC交BD于点O，联结OF，求证：∠BDC＝∠OFB．
【答案】证明：（1）∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴S平行四边形ABCD＝AB DE＝BC DF，
∵DE＝DF，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）如图，由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，BC＝DC，
∴∠BDC＝∠DBC，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∴OF＝BD＝OB，
∴∠DBC＝∠OFB，
∴∠BDC＝∠OFB．
