人教版（2024）八年级下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 题型专练
【题型1】判断能否构成直角三角形
【典例】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练1】有下列说法：（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1.，则它的斜边长是2；（2）一个直角三角形的两边长分别是3.4，则它的第三条边长是5；（3）“一个三角形的三条边长分别是2.3.4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
【强化训练2】下列条件：①△ABC的一个外角与其相邻内角相等；②∠A=∠B=∠C；③AC∶BC∶AB=1∶∶2；④AC=n2-1，BC=2n，AB=n2+1(n>1).能判定△ABC是直角三角形的条件有
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【强化训练3】如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，点D为BC的中点，则线段AD的长为 ．
【强化训练4】已知两条线段的长为6cm和8cm，当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
【强化训练5】如图，点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，CD=6，DE=4，AE=，求证：∠ACE=90°.
【题型2】勾股数
【典例】下列各组数中，属于勾股数的一组是（ ）
A.3，4， B.9，40，41 C.0.9，1.2，1.5 D.，，
【强化训练1】下列是勾股数的一组是
A.3，5，9 B.4，6，8 C.1，，2 D.8，15，17
【强化训练2】观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑨组勾股数： ．
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．
【强化训练3】材料阅读：给定三个数a.b.c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a.b.c这三个数为“勾股数”．例如：
①32＝9，42＝16，52＝25；∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3.4.5这三个数为勾股数．
②52＝25，122＝144，132＝196；∵25+144+169，即52+122＝132，∴5.12.13这三个数为勾股数．
若三角形的三条边a.b.c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a.b分别为直角的两条邻边．如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断8.15.17是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为7.24.25，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．
【强化训练4】观察下列各组勾股数有哪些规律：
请解答：
（1）当a＝11时，求b，c的值；
（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【题型3】勾股定理逆定理的实际应用
【典例】一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，可得出两圆孔中心A，B之间的距离为
A.110 mm B.170 mm C.200 mm D.240 mm
【强化训练1】如图，某次演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行，二号舰以16海里/时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是
A.南偏东30° B.北偏东30° C.南偏东60° D.南偏西60°
【强化训练2】如图，一根电线杆高8 m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.3 m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面 (填“垂直”或“不垂直”).
【强化训练3】木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面 .(填“合格”或“不合格”)
【强化训练4】一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
【强化训练5】如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
【题型4】两定理在网格中的综合
【典例】如图，在3×3正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是
A.AC= B.∠B=90° C.只有两条边长为无理数 D.AC边上的高为
【强化训练1】如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
【强化训练2】如图，每个小正方形的边长为1．
（1）三角形ABC是否是直角三角形？ ．（填“是”或“否”）
（2）AC边上的高为 ．
【强化训练3】如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB=2；②∠BAC=90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是 .(填序号)
【强化训练4】在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为，4的线段AB.
【题型5】两定理与其他知识综合求解
【典例】如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（ ）
A. B. C.3 D.4
【强化训练1】如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC=12，AE=5，BE=13，则CD的长为
A.10 B.18 C.6 D.4
【强化训练2】如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，，则DE＝ ．
【强化训练3】如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为 .
【强化训练4】如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．
（1）试说明△ABC为直角三角形．
（2）求CE的长．人教版（2024）八年级下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 题型专练（参考答案）
【题型1】判断能否构成直角三角形
【典例】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】
解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180，
解得：x＝30°，
∴∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵AB：BC：AC＝3：4：5，
设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
④∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝3∠A＝180，
解得：∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC不是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③共3个，
故选：C．
【强化训练1】有下列说法：（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1.，则它的斜边长是2；（2）一个直角三角形的两边长分别是3.4，则它的第三条边长是5；（3）“一个三角形的三条边长分别是2.3.4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【解析】
解：（1）一个直角三角形的两条直角边长分别为1.，则它的斜边长是2；正确；
（2）一个直角三角形的两边长分别是3.4，则它的第三条边长是5或；错误；
（3）“一个三角形的三条边长分别是2.3.4，因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．正确；
其中，正确的个数是2个，
故选：B．
【强化训练2】下列条件：①△ABC的一个外角与其相邻内角相等；②∠A=∠B=∠C；③AC∶BC∶AB=1∶∶2；④AC=n2-1，BC=2n，AB=n2+1(n>1).能判定△ABC是直角三角形的条件有
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【解析】
①三角形的一个外角与相邻内角相等可以推出这两个角都是直角，所以它是直角三角形；
②∠A=∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，可以解出∠C=90°，所以它是直角三角形；
③AC∶BC∶AB=1∶∶2，可推出AC2+BC2=AB2，所以它是直角三角形；
④AC=n2-1，BC=2n，AB=n2+1，可推出AC2+BC2=AB2，所以它是直角三角形.
【强化训练3】如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，点D为BC的中点，则线段AD的长为 ．
【答案】
【解析】
解：∵52+122＝132，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴AD＝BC＝．
故答案为：．
【强化训练4】已知两条线段的长为6cm和8cm，当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．
【答案】
10或2
【解析】
解：当6cm和8cm都是直角边时，第三边长为＝10（cm），
当8cm为斜边时，第三边长为＝＝2（cm），
故答案为：10或2．
【强化训练5】如图，点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，CD=6，DE=4，AE=，求证：∠ACE=90°.
【答案】
证明 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=2，
∴AC===.
在Rt△EDC中，∠D=90°，CD=6，DE=4，
∴CE===2，
∵AC2=13，CE2=52，AE2=65，
∴AE2=AC2+CE2，
∴△ACE是直角三角形，AE是斜边，
∴∠ACE=90°.
【题型2】勾股数
【典例】下列各组数中，属于勾股数的一组是（ ）
A.3，4， B.9，40，41 C.0.9，1.2，1.5 D.，，
【答案】B
【解析】
解：直角三角形三边a.b.c满足a2+b2＝c2的关系其中c最大．
选项A有根号，不是勾股数，故选项A错误，不符合题意；
选项B中92+402＝412，且9，40，41均为正整数，故选项B正确，符合题意；
选项C中0.92+1.22＝1.52，符合勾股定理，但不是正整数，故选项C错误，不符合题意；
选项D中，不符合勾股数，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
【强化训练1】下列是勾股数的一组是
A.3，5，9 B.4，6，8 C.1，，2 D.8，15，17
【答案】D
【强化训练2】观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑨组勾股数： ．
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．
【答案】
19，180，181
【解析】
解：∵①3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1，
②5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1，
③7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1，…，
∴第n组勾股数为：
a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，
∴第⑨组勾股数为a＝2×9+1＝19，b＝2×9×（9+1）＝180，c＝2×9×（9+1）+1＝181，即19，180，181．
故答案为：19，180，181．
【强化训练3】材料阅读：给定三个数a.b.c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a.b.c这三个数为“勾股数”．例如：
①32＝9，42＝16，52＝25；∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3.4.5这三个数为勾股数．
②52＝25，122＝144，132＝196；∵25+144+169，即52+122＝132，∴5.12.13这三个数为勾股数．
若三角形的三条边a.b.c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a.b分别为直角的两条邻边．如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断8.15.17是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为7.24.25，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．
【答案】
解：（1）因为82+152＝172，且8，15，17都是正整数，故8.15.17是为勾股数．
（2）∵72+242＝252
∴该三角形是直角三角形
∴其面积＝×7×24＝84．
（3）当8是直角边时，则另一条边＝＝10，周长为6+8+10＝24；
当8是斜边时，则另一条边＝＝2，周长为6+8+2＝14+2．
故其周长为24或14+2．
【强化训练4】观察下列各组勾股数有哪些规律：
请解答：
（1）当a＝11时，求b，c的值；
（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【答案】
解：（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2，
得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121．
解得b＝60，c＝b+1＝61；
（2）是勾股数．
理由：∵2212﹣2202＝（221+220）（221﹣220）＝441，
又∵212＝441，∴2212﹣2202＝212，
∴21，220，221是勾股数．
【题型3】勾股定理逆定理的实际应用
【典例】一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，可得出两圆孔中心A，B之间的距离为
A.110 mm B.170 mm C.200 mm D.240 mm
【答案】B
【解析】
观察题图中的数据，得出AC=120-40=80(mm)，BC=200-50=150(mm)，
在Rt△ABC中，AB===170(mm).
【强化训练1】如图，某次演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行，二号舰以16海里/时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是
A.南偏东30° B.北偏东30° C.南偏东60° D.南偏西60°
【答案】C
【解析】
如图，由题意得OA=12×0.5=6(海里)，OB=16×0.5=8(海里)，
∵AB=10海里，
∴OA2+OB2=62+82=100=102=AB2，
∴∠AOB=90°，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-30°=60°，
∴二号舰航行的方向是南偏东60°.
【强化训练2】如图，一根电线杆高8 m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.3 m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面 (填“垂直”或“不垂直”).
【答案】
不垂直
【解析】
∵62+82≠10.32，∴电线杆、地面水平距离、拉线，不能构成直角三角形.∴电线杆与地面不垂直.
【强化训练3】木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面 .(填“合格”或“不合格”)
【答案】
合格
【解析】
∵长方形桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，
∴32=9，1.82=3.24，2.42=5.76，
1.82+2.42=3.24+5.76=9，
∴1.82+2.42=32，
∴桌面的角是直角，
∴这个桌面是合格的.
【强化训练4】一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
【答案】
解：∵AD＝12，AB＝9，DC＝17，BC＝8，BD＝15，
∴AB2+AD2＝BD2，
BD2+BC2＝DC2．
∴△ABD、△BDC是直角三角形．
∴∠A＝90°，∠DBC＝90°．
故这个零件符合要求．
【强化训练5】如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
【答案】
解 根据题意，
PQ=16×1.5=24，
PR=12×1.5=18，
QR=30.
因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，所以∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
【题型4】两定理在网格中的综合
【典例】如图，在3×3正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是
A.AC= B.∠B=90° C.只有两条边长为无理数 D.AC边上的高为
【答案】C
【解析】
AC==，A选项说法正确；
AB==，BC==2，则三边长均为无理数，C选项说法错误；
则AB2+BC2=+=AC2，即∠B=90°，B选项说法正确；
设AC边上的高为h，则××2=××h，解得h=，D选项说法正确.
【强化训练1】如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】A
【解析】
解：连接AC.AB.AD.BC.CD.BD，设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，AD2＝12+32＝10，BC2＝52＝25，CD2＝12+32＝10，BD2＝12+22＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2，
∴△ABC.△ADC.△ABD是直角三角形，共3个直角三角形．
故选：A．
【强化训练2】如图，每个小正方形的边长为1．
（1）三角形ABC是否是直角三角形？ ．（填“是”或“否”）
（2）AC边上的高为 ．
【答案】
（1）是 （2）2
【解析】
解：（1）由勾股定理可得：AB＝，BC＝，AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴三角形ABC是直角三角形，
故答案为：是；
（2）∵△ABC的面积＝，
∴AC边上的高h＝，
故答案为：2．
【强化训练3】如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB=2；②∠BAC=90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是 .(填序号)
【答案】
①②④
【解析】
①∵AB2=22+42=20，
∴AB=2，故正确；
②∵AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，故正确；
③S△ABC=4×4-×3×4-×1×2-×2×4=5，故错误；
④设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2=32+42=25，
∴BC=5，
则×5·h=5，
解得h=2，即点A到直线BC的距离是2，故正确.
【强化训练4】在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为，4的线段AB.
【答案】
解 如图所示.
【题型5】两定理与其他知识综合求解
【典例】如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（ ）
A. B. C.3 D.4
【答案】A
【解析】
解：∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∴AC2+BC2＝32+42＝25＝AB2，
∴∠C＝90°，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝2，
∴，
故选：A．
【强化训练1】如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC=12，AE=5，BE=13，则CD的长为
A.10 B.18 C.6 D.4
【答案】C
【解析】
∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE=13，∵AC=12，AE=5，∴CE2=AC2+AE2，
∴△AEC是直角三角形，∴BC==6.
【强化训练2】如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，，则DE＝ ．
【答案】
2
【解析】
解：∵BD＝1，DC＝3，BC＝，
又∵12+32＝（）2，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形且∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝4，
又∵E点为AC的中点，
∴DE＝AC＝2．
故答案为：2．
【强化训练3】如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为 .
【答案】
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为点E，如图.
∵AC2+BC2=42+32=25，AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
∵△ABC的面积=△ACD的面积+△ABD的面积，
∴AC·BC=AC·CD+AB·DE，
∴AC·BC=AC·CD+AB·DE，
∴4×3=4CD+5DE，
解得CD=DE=.
【强化训练4】如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．
（1）试说明△ABC为直角三角形．
（2）求CE的长．
【答案】
（1）证明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
（2）解：设CE长为xcm，则BE＝（8﹣x）cm．
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE＝8﹣x．
在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，
解得x=，所以CE的长为．
