2025-2026学年下学期安徽合肥八中高三数学3月高考预测卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期安徽合肥八中高三数学3月高考预测卷（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 547.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-18 00:00:00 | ||
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文档简介
高三 3 月数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 若集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 椭圆 的离心率为
A. B. C. D.
3. 在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则 的面积为
A. 1 B. C. 2 D.
4. 已知复数 满足 ,则 的最大值为
A. B. 1 C. D. 2
5. 甲、乙两人计划周末各自从 5 个备选景点中选择 2 个进行游览，则他们选的景点至少有 1 个相同的选法有
A. 60 种 B. 70 种 C. 80 种 D. 100 种
6. 这 4 个数的中位数为
A. 0 B. C. D.
7. 记 为等差数列 的前 项和,若 ,则 的最大值为
A. B. C. D.
8. 在三棱台 中， 的面积是 的面积的 4 倍， 为 的中点，点 满足 ,该棱台被平面 分成不同的两部分,记 为体积较小的部分的体积, 为体积较大的部分的体积,则
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 为等比数列,其前 项和为 ,公比为 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 设函数 ,则
A. 曲线 切线斜率的最小值为 -3 B. 的图象关于点 对称
C. 是 的充要条件 D. 是 的充要条件
11. 如图，在 中， ， 的内切圆 与 相切于点 ， 的面积为 ,则下列说法正确的是
A.
B. 为定值 2
C.
D. 记 的内心为 ,则
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 若向量 满足 ,则 _____.
13. 已知 ,则 _____.
14. 已知函数 的图象关于点 对称,也关于直线 对称,且当 时, ,则
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知函数 的最大值为 1 .
(1)求 的值；
(2)将 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象，求 的单调递减区间以及 在区间 上的值域.
16. (15 分)
已知抛物线 的焦点为 ，过 上一动点 作 的准线的垂线，垂足为 . 当 时， 的面积为 8.
(1)求 的方程；
(2)直线 与 交于 两点，点 ， 均在第一象限， 为坐标原点，当 为 的中点时,求 外接圆的半径.
17. (15 分)
某新能源汽车公司为测试 A 型和 B 型两款辅助驾驶系统避让障碍物的能力, 用分别搭载 A 型和 B 型系统的汽车各测试了 100 次, 其中 A 型系统成功避让 80 次, B 型系统成功避让 75 次. 假设每次测试相互独立, 用频率估计概率.
(1)估计 A 型系统每次测试中成功避让的概率；
(2)若对 B 型系统再测试 3 次，设 为其中成功避让的次数，求 的分布列和数学期望 ；
(3)这两款辅助驾驶系统都是利用摄像头配合激光雷达来识别障碍物的，如果摄像头没有正确识别障碍物，仅依靠激光雷达，则 A 型和 B 型系统成功避让的概率都只有 ，若摄像头正确识别障碍物，则 A 型系统一定能成功避让，B 型系统成功避让的概率为 ， 设 型、 型系统中摄像头正确识别障碍物的概率分别为 ， ，试比较 ， 的大小.
18. (17 分)
如图，在 中， . 将 以 为轴旋转至 ，动点 与原来的 形成三棱锥 ,点 在棱 上,且 .
(1)证明: 平面 .
(2)记二面角 为 ，二面角 为 .
( i ) 证明: 为定值;
(ii) 当 取最大值时,求 .
19. (17 分)
已知函数 在 时取得极值.
(1)求 ，并讨论 的单调性.
(2)设 是公比为 的等比数列.
(i) 若 ,证明: .
(ii) 是否存在 满足: 均为正整数且 ,使得 成等差数列 若存在,求出所有满足条件的 ; 若不存在,请说明理由.
高三 3 月数学 答案
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1. 答案
.
2. 答案
由已知得 ,故离心率 .
3. 答案 A
由余弦定理得 ,则 ,故 的面积为 .
4. 答案
设 ,则 ,整理得 表示点 到原点的距离,根据圆的性质可知最大值为 2 .
5. 答案
根据题意,他们选的景点完全相同的选法有 种,恰有 1 个景点相同的选法有 种,故总的选法有 70 种.
6. 答案
,因为 ,所以 ,所以中位数为 .
7. 答案
由 ,可得 ,又 ,所以 . 令 ,则 ,代入 ,得 ,由 17) ,解得 ,故所求的最大值为 .
8. 答案
由于三棱台上下底面的三角形相似,所以 ,从而 ,则 是线段 的中点,平面 即平面 . 如图,连接 . 设三棱台 的高为 ,则 ,三棱台 的体积 ,而三棱锥 的体积 ,则剩余部分四棱锥 . 在梯形 内,由于 为 的中点,所以 ,所以 . 所以 ,所以 .
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 答案 BCD
对于 ,若 ,则公比 ,故 错误;
对于 ,由题意知 ,故 ,又 ,所以 ,故 正确;
对于 ,当 时, ,故 ,故 正确;
对于 ,由 ,得 ,所以 ,由 ,得 ,又因为 ,即 ,得 ,故 D 正确.
10. 答案 AD
对于 ,由题意,得 ,故 正确;
对于 ,因为 的图象的对称轴为直线 ,根据三次函数的图象特点,可知其对称中心在直线 上, 又 ,所以 的图象关于点 对称,故 错误;
对于 ,可得 在 和 上单调递增,在 上单调递减,极大值为 ,极小值为 ,当 时, ,但 也满足,所以 不是 的必要条件,故 错误;
对于 ,当 时, ,当 时, ,当 时, ,即当 时, 总有 ,所以 是 的充要条件,故 正确.
另解:因式分解可得 ,所以 或 ,故 C 错误, D 正确.
11. 答案 ACD
如图 1,设 的内切圆 与 分别相切于点 .
图1
对于 A，根据内切圆的性质，得 则 ，而 所以 ,则 ,故 正确.
对于 ,在 中,由余弦定理得 ①,又 ,即 ,得 ,代入①中,得 ,所以 ,故 ,故 B 错误.
对于 ,以 的中点为原点, 为 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系,则 , ,由前面的分析可知,点 在双曲线 的右支上 (顶点除外),设 ,则 .
当 时, ,而 ,故 ,又
,所以 . 当 时, ,所以 ,故 ,依然满足 . 综上所述, ,故 正确.
对于 ,如图 2,不妨设 ,则 ,又 ,故 ,只需证明点 在双曲线 的右支上. 由 ,联立解得交点 ,则 ,满足 ,故 D 正确.
图2
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 答案 9
,解得 .
13. 答案
由 ,解得 或 (舍去),则 .
14. 答案
命题透析 本题考查函数图象的对称性与周期性.
解析 设 ,则函数 的图象过点 .
设点 与 关于点 对称,可得 ;
设点 与 关于直线 对称,可得 ;
设点 与 关于点 对称,可得 .
由于 在 上单调递增,值域为 ,根据 图象的对称性可知 在 上单调递增,故当且仅当 时, 的值域为 ,故点 的横坐标在区间 内,即 ,由 , 即 ,解得 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(1) . (3 分)
由于 的最大值为 1,故 . (5 分)
( 2 )由 ( 1 )知 ，所以 . (7 分)
因为 的单调递减区间为 ,
所以令 ,得 ,
所以 的单调递减区间为 . (10 分)
注: 写 也对.
当 时, ,
所以 ,
即 在区间 上的值域为 . (13 分)
16.(1) 由抛物线的定义,得 ,则 . (2 分) 由 的面积为 8,知点 到直线 的距离为 ,则 .
由 ,得 ,解得 .
故 的方程为 . (6 分)
(2)由(1)可得 ，设 ，由题可知 .
由 可得 ,
则 . (8 分)
若点 为 的中点,则 ,其中 ,
所以 ,解得 (负值舍去),则 ,代入 ,得 .
(12 分)
而 ,得 ,则 ,所以 . (13 分)
由于 ,故 是直角三角形,
故所求外接圆半径 . (15 分)
17. (1)估计 型系统每次测试中成功避让的概率为 . (2 分)
(2) 的所有可能取值为0,1,2,3，
由题意知 型系统每次测试中成功避让的概率为 ，所以 . (3 分)
所以 ,
(7 分)
故 的分布列为
0 1 2 3
2 9 64 27 64 27 64
(8 分)
(10 分)
(3)利用全概率公式可得 ,解得 , (12 分)
,解得 . (14 分)
所以 . (15 分)
18. (1) 因为 ,所以 . (1 分)
因为 ,所以 ,
所以 ,即 . (3 分)
由已知可得 ，同理，在 中可证 . (4 分)
又 ,所以 平面 . (5 分)
(2)(i)由(1)知 平面 ，所以平面 平面 ，则点 在平面 内的射影 0 在直线 上. 如图，过点 分别向 ， 引垂线，垂足分别为 ， ，连接 ， ，则四边形 是矩形. (6 分)
由于 ,所以 平面 ,
从而 ,因此 ,同理 . (8 分)
因此 (9 分)
从而 ,为定值. (11 分)
(ii) 由题意可知 ,由 (i) 知 .
所以 ,
当且仅当 时等号成立. (14 分)
设此时 ( 为钝角时, 在 的延长线上, 为负).
计算可得 ,则 . (15 分)
由 ,得 ,解得 ,
所以 . (17 分)
19. (1) 的定义域为 . (1 分)
令 ,得 ,即 . (2 分)
当 时 ,当 时 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. (4 分)
(2)(i)由(1)可知 ，所以 ， . (5 分)
记 ,
则 ,
所以 . (8 分)
所以 . (9 分)
(ii) 若 成等差数列,则 ,
即 ,整理得 ,
又因为 ,所以 ,得 . (10 分)
要满足题意，只需考虑 和 .
当 时, ,所以 ,符合题意;
当 时, ,所以 ,符合题意. (12 分)
下面说明，当 时，不存在满足条件的 :
令 ,则 ,
令 ,则当 时, ,
故 在 上单调递减,当 时, ,
即 ,所以 在 上单调递减. (14 分)
因为 ,所以 随着 的增大而变小,故当 时, ,由于 ,故 或 2,
若 ,则 ,得 ,不符合题意;
若 ,则 ,
由于 (因为 ,而 (因为 ),
结合 的单调性,可知 ,无整数解,
综上,满足条件的 的取值仅有 2 和 3 . (17 分)
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 若集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 椭圆 的离心率为
A. B. C. D.
3. 在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则 的面积为
A. 1 B. C. 2 D.
4. 已知复数 满足 ,则 的最大值为
A. B. 1 C. D. 2
5. 甲、乙两人计划周末各自从 5 个备选景点中选择 2 个进行游览，则他们选的景点至少有 1 个相同的选法有
A. 60 种 B. 70 种 C. 80 种 D. 100 种
6. 这 4 个数的中位数为
A. 0 B. C. D.
7. 记 为等差数列 的前 项和,若 ,则 的最大值为
A. B. C. D.
8. 在三棱台 中， 的面积是 的面积的 4 倍， 为 的中点，点 满足 ,该棱台被平面 分成不同的两部分,记 为体积较小的部分的体积, 为体积较大的部分的体积,则
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 为等比数列,其前 项和为 ,公比为 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 设函数 ,则
A. 曲线 切线斜率的最小值为 -3 B. 的图象关于点 对称
C. 是 的充要条件 D. 是 的充要条件
11. 如图，在 中， ， 的内切圆 与 相切于点 ， 的面积为 ,则下列说法正确的是
A.
B. 为定值 2
C.
D. 记 的内心为 ,则
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 若向量 满足 ,则 _____.
13. 已知 ,则 _____.
14. 已知函数 的图象关于点 对称,也关于直线 对称,且当 时, ,则
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知函数 的最大值为 1 .
(1)求 的值；
(2)将 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象，求 的单调递减区间以及 在区间 上的值域.
16. (15 分)
已知抛物线 的焦点为 ，过 上一动点 作 的准线的垂线，垂足为 . 当 时， 的面积为 8.
(1)求 的方程；
(2)直线 与 交于 两点，点 ， 均在第一象限， 为坐标原点，当 为 的中点时,求 外接圆的半径.
17. (15 分)
某新能源汽车公司为测试 A 型和 B 型两款辅助驾驶系统避让障碍物的能力, 用分别搭载 A 型和 B 型系统的汽车各测试了 100 次, 其中 A 型系统成功避让 80 次, B 型系统成功避让 75 次. 假设每次测试相互独立, 用频率估计概率.
(1)估计 A 型系统每次测试中成功避让的概率；
(2)若对 B 型系统再测试 3 次，设 为其中成功避让的次数，求 的分布列和数学期望 ；
(3)这两款辅助驾驶系统都是利用摄像头配合激光雷达来识别障碍物的，如果摄像头没有正确识别障碍物，仅依靠激光雷达，则 A 型和 B 型系统成功避让的概率都只有 ，若摄像头正确识别障碍物，则 A 型系统一定能成功避让，B 型系统成功避让的概率为 ， 设 型、 型系统中摄像头正确识别障碍物的概率分别为 ， ，试比较 ， 的大小.
18. (17 分)
如图，在 中， . 将 以 为轴旋转至 ，动点 与原来的 形成三棱锥 ,点 在棱 上,且 .
(1)证明: 平面 .
(2)记二面角 为 ，二面角 为 .
( i ) 证明: 为定值;
(ii) 当 取最大值时,求 .
19. (17 分)
已知函数 在 时取得极值.
(1)求 ，并讨论 的单调性.
(2)设 是公比为 的等比数列.
(i) 若 ,证明: .
(ii) 是否存在 满足: 均为正整数且 ,使得 成等差数列 若存在,求出所有满足条件的 ; 若不存在,请说明理由.
高三 3 月数学 答案
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1. 答案
.
2. 答案
由已知得 ,故离心率 .
3. 答案 A
由余弦定理得 ,则 ,故 的面积为 .
4. 答案
设 ,则 ,整理得 表示点 到原点的距离,根据圆的性质可知最大值为 2 .
5. 答案
根据题意,他们选的景点完全相同的选法有 种,恰有 1 个景点相同的选法有 种,故总的选法有 70 种.
6. 答案
,因为 ,所以 ,所以中位数为 .
7. 答案
由 ,可得 ,又 ,所以 . 令 ,则 ,代入 ,得 ,由 17) ,解得 ,故所求的最大值为 .
8. 答案
由于三棱台上下底面的三角形相似,所以 ,从而 ,则 是线段 的中点,平面 即平面 . 如图,连接 . 设三棱台 的高为 ,则 ,三棱台 的体积 ,而三棱锥 的体积 ,则剩余部分四棱锥 . 在梯形 内,由于 为 的中点,所以 ,所以 . 所以 ,所以 .
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 答案 BCD
对于 ,若 ,则公比 ,故 错误;
对于 ,由题意知 ,故 ,又 ,所以 ,故 正确;
对于 ,当 时, ,故 ,故 正确;
对于 ,由 ,得 ,所以 ,由 ,得 ,又因为 ,即 ,得 ,故 D 正确.
10. 答案 AD
对于 ,由题意,得 ,故 正确;
对于 ,因为 的图象的对称轴为直线 ,根据三次函数的图象特点,可知其对称中心在直线 上, 又 ,所以 的图象关于点 对称,故 错误;
对于 ,可得 在 和 上单调递增,在 上单调递减,极大值为 ,极小值为 ,当 时, ,但 也满足,所以 不是 的必要条件,故 错误;
对于 ,当 时, ,当 时, ,当 时, ,即当 时, 总有 ,所以 是 的充要条件,故 正确.
另解:因式分解可得 ,所以 或 ,故 C 错误, D 正确.
11. 答案 ACD
如图 1,设 的内切圆 与 分别相切于点 .
图1
对于 A，根据内切圆的性质，得 则 ，而 所以 ,则 ,故 正确.
对于 ,在 中,由余弦定理得 ①,又 ,即 ,得 ,代入①中,得 ,所以 ,故 ,故 B 错误.
对于 ,以 的中点为原点, 为 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系,则 , ,由前面的分析可知,点 在双曲线 的右支上 (顶点除外),设 ,则 .
当 时, ,而 ,故 ,又
,所以 . 当 时, ,所以 ,故 ,依然满足 . 综上所述, ,故 正确.
对于 ,如图 2,不妨设 ,则 ,又 ,故 ,只需证明点 在双曲线 的右支上. 由 ,联立解得交点 ,则 ,满足 ,故 D 正确.
图2
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 答案 9
,解得 .
13. 答案
由 ,解得 或 (舍去),则 .
14. 答案
命题透析 本题考查函数图象的对称性与周期性.
解析 设 ,则函数 的图象过点 .
设点 与 关于点 对称,可得 ;
设点 与 关于直线 对称,可得 ;
设点 与 关于点 对称,可得 .
由于 在 上单调递增,值域为 ,根据 图象的对称性可知 在 上单调递增,故当且仅当 时, 的值域为 ,故点 的横坐标在区间 内,即 ,由 , 即 ,解得 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(1) . (3 分)
由于 的最大值为 1,故 . (5 分)
( 2 )由 ( 1 )知 ，所以 . (7 分)
因为 的单调递减区间为 ,
所以令 ,得 ,
所以 的单调递减区间为 . (10 分)
注: 写 也对.
当 时, ,
所以 ,
即 在区间 上的值域为 . (13 分)
16.(1) 由抛物线的定义,得 ,则 . (2 分) 由 的面积为 8,知点 到直线 的距离为 ,则 .
由 ,得 ,解得 .
故 的方程为 . (6 分)
(2)由(1)可得 ，设 ，由题可知 .
由 可得 ,
则 . (8 分)
若点 为 的中点,则 ,其中 ,
所以 ,解得 (负值舍去),则 ,代入 ,得 .
(12 分)
而 ,得 ,则 ,所以 . (13 分)
由于 ,故 是直角三角形,
故所求外接圆半径 . (15 分)
17. (1)估计 型系统每次测试中成功避让的概率为 . (2 分)
(2) 的所有可能取值为0,1,2,3，
由题意知 型系统每次测试中成功避让的概率为 ，所以 . (3 分)
所以 ,
(7 分)
故 的分布列为
0 1 2 3
2 9 64 27 64 27 64
(8 分)
(10 分)
(3)利用全概率公式可得 ,解得 , (12 分)
,解得 . (14 分)
所以 . (15 分)
18. (1) 因为 ,所以 . (1 分)
因为 ,所以 ,
所以 ,即 . (3 分)
由已知可得 ，同理，在 中可证 . (4 分)
又 ,所以 平面 . (5 分)
(2)(i)由(1)知 平面 ，所以平面 平面 ，则点 在平面 内的射影 0 在直线 上. 如图，过点 分别向 ， 引垂线，垂足分别为 ， ，连接 ， ，则四边形 是矩形. (6 分)
由于 ,所以 平面 ,
从而 ,因此 ,同理 . (8 分)
因此 (9 分)
从而 ,为定值. (11 分)
(ii) 由题意可知 ,由 (i) 知 .
所以 ,
当且仅当 时等号成立. (14 分)
设此时 ( 为钝角时, 在 的延长线上, 为负).
计算可得 ,则 . (15 分)
由 ,得 ,解得 ,
所以 . (17 分)
19. (1) 的定义域为 . (1 分)
令 ,得 ,即 . (2 分)
当 时 ,当 时 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. (4 分)
(2)(i)由(1)可知 ，所以 ， . (5 分)
记 ,
则 ,
所以 . (8 分)
所以 . (9 分)
(ii) 若 成等差数列,则 ,
即 ,整理得 ,
又因为 ,所以 ,得 . (10 分)
要满足题意，只需考虑 和 .
当 时, ,所以 ,符合题意;
当 时, ,所以 ,符合题意. (12 分)
下面说明，当 时，不存在满足条件的 :
令 ,则 ,
令 ,则当 时, ,
故 在 上单调递减,当 时, ,
即 ,所以 在 上单调递减. (14 分)
因为 ,所以 随着 的增大而变小,故当 时, ,由于 ,故 或 2,
若 ,则 ,得 ,不符合题意;
若 ,则 ,
由于 (因为 ,而 (因为 ),
结合 的单调性,可知 ,无整数解,
综上,满足条件的 的取值仅有 2 和 3 . (17 分)
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