2025-2026学年下学期青海西宁高三数学3月学情检测（含解析）

2025~2026学年度高 数 学
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 设 ,则
A. B.
C. D.
A. 0 B. 6i C. D.
3. 已知 ,则
A. B. C. D.
4. 若球的体积是 ,则此球的表面积是
A. B.
C. D.
5. 若双曲线 的虚轴长为实轴长的 倍,则 的离心率为
A. B. 2 C. D.
6. 二项式 的展开式中常数项为
A. 10 B. -10 C. 5 D. -5
26-T-477C
7. 在等差数列 中, ,则 的前 25 项和为
A. 1150 B. 575
C. 550 D. 275
8. 设函数 在区间 上单调递减，则 的最大值是
A. -3 B. -2
C. D. 3
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 的图象如图所示,则
A. 在区间 上单调递减
B. 在区间 上单调递增
C. 在区间 上单调递减
D. 在区间 上单调递增
10. 已知 ,则
A. 的最大值为 1
B. 曲线 关于点 对称
C. 在 上单调递增
D. 在 上有 5 个零点
11. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,点 是 上的动点, ,则
A. 过点 与 仅有 1 个公共点的直线有 3 条
B. 满足 的点 仅有 2 个
C. 满足 的点 仅有 3 个
D. 满足到点 距离与到 距离之和为 的点 有 2 个
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 某校高三年级有男生 490 人，女生 510 人，张华按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取 100 人测量身高，则抽取的男生人数为_____.
13. 已知单位向量 满足 ，则 _____.
14. 一袋子里有大小形状完全相同的 3 个红球, 2 个白球, 1 个黄球, 现从袋子里这 6 个球中随机摸球,每次摸一球,不放回,摸到红球就结束摸球, 表示摸球次数,则 的数学期望
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
在 中,内角 的对边分别为 的面积为 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 外接圆的半径.
16. (本小题满分 15 分)
已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证: 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式及前 10 项的和.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在直三棱柱 中， .
(1)证明: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 4 .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 与 交于 ， 两点， 为坐标原点，若 的面积为 ， 求 .
19. (本小题满分 17 分)
设函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线经过点 ，求实数 的值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若存在正实数 ，使得对 ，都有 ，求 的取值范围.
2025~2026 学年度高三学情导航卷·数学 参考答案、提示及评分细则
1. . 故选 D.
2. . 故选 A.
3. 由 ,得 . 故选 C.
4.B 设球的半径为 ,则由已知得 ,解得 ,故球的表面积 . 故选 B.
5. D 设双曲线的实轴长,虚轴长,焦距分别为 ,由题知 ,于是 ,则 ,即 . 故选 D.
6. D 二项式 展开式的通项为 ,令 ,解得 ,所以二项式 的展开式中常数项为 . 故选 D.
7. 设等差数列 的公差为 ,由 ,得 ,解得 ,所以 的前 25 项和为 . 故选 B.
8. A 因为函数 在区间 上是减函数，所以 ，即 ，所以 ，因为 时， ，所以 . 故选 A.
9.AD 由图可知函数 在区间 和 上单调递增，在区间 和 上单调递减. 故选 AD.
10. 的最大值为 的图象关于点 对称,所以 错误, 正确; 当 时， ， 在 上单调递增， 正确； 在 上的零点为 ， ,共 4 个, D 错误. 故选 BC.
11. 对于 ,由题意知点 在抛物线 外,过点 与 的对称轴平行的直线与 有 1 个公共点,过点 可作两条直线与 相切,故过 与 仅有一个公共点的直线有 3 条,故 A 正确; 对于 B,直线 的斜率为 4 ,
因为 ,所以直线 的斜率为 ,过点 斜率为 的直线与 仅有 2 个交点,故点 仅有 2 个,故 B 正确; 对于 ,易求 ,以 为直径作圆,该圆与 有 2 个交点,点 仅有 2 个,故 错误,对于 D,由抛物线定义知点 到点 距离与到 距离之和为 ,当 , 共线且点 在线段 上时取等号,故点 仅有 1 个,故 错误. 故选 AB.
12.49 抽取的男生人数为 .
13. 由单位向量 满足 ,得 .
14. 的取值为 , ,所以 .
15. 解: (1) 由余弦定理得 , 2 分由面积公式得 ，两式作比，得 ，即 ， 5 分由 ,得 . 6 分
(2)代入 ，有 ， 8 分
而 ,得到 , 11 分
记 的外接圆半径为 ,由正弦定理得 . 13 分
16.(1)证明:因为 ，所以 ， 2 分又 ,所以 , 4 分所以 ,所以 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 7 分
(2)解:由(1)得 ，即 ， 11 分设数列 的前 项和为 ,
所以 . 15 分
17. ( 1 )证明:如图，连接 ， 2 分
因为 ，四边形 为矩形，所以 ， 3 分
因为 ，所以 ， 5 分
因为 平面 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)解:因为 两两垂直，故以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系， 7 分
则 ,
. 8 分
设平面 的一个法向量为 ,
则 取 ,得 ,则 , 13 分
所以 ,故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18. 解: (1) 由题知 解得 3 分
所以 的方程为 . 4 分
(2)由题知直线 的斜率不为 0，设 ， ， ，
联立 消去 得 , 6 分
故 ,即 ,且 ,
且 , 9 分
故 , 11 分解得 , 13 分
所以 . 17 分
19. 解: (1) 因为 ,所以 , 1 分
,所以曲线 在点 处的切线为 , 2 分
又切线过点 ,所以 ,所以 . 3 分
(2) 的定义域为 ， ，
当 时, 在 上单调递增; 4 分
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 ; 由 ,得 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 6 分
(3)当 时， 在 上单调递增，由 知 时， , 7 分
当 时,由 (2) 知当 ,即 时, 对 成立, 8 分
所以 时,存在正实数 ,使得对 ,从而 化为 ; 9 分
当 ,即 时,由 (2) 知 在 上单调递减, , 化为 即 , 10 分
① 时，令 ，则 ， ，
当 时, 在 单调递增,存在正实数 ,使得对 , 11 分
当 时,由 得 ,由 得 得 ,所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,要存在正实数 ,使得对 ,则 ,所以 ; 13 分
② 当 时，令 ，要存在正实数 ，使得对 ,则存在正实数 在 上单调递减, 对 成立, 14 分当 时, ,当 时,由 得 ,从而 , 所以 . 16 分综合①②知， 的取值范围为 . 17 分