2025-2026学年下学期湖北黄石高三数学3月模拟考试（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期湖北黄石高三数学3月模拟考试（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 505.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-18 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年全市高三 (3月) 模拟考试 数学试卷
全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、革稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 若复数 ( 为虚数单位),则
A. -i B. i
C. D.
3. 已知向量 ，则向量 与 夹角的余弦值为
A. B. C. D.
4. 已知平面 ,两条不重合的直线 ,则 “存在直线 ,使 ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 某次考试有 10000 人参加,若他们的成绩近似服从正态分布 ,则分数在 之间的考生约有 (参考数据: 若 ,则有
A. 1360 人 B. 1570 人 C. 2720 人 D. 3410 人
6. 若实数 满足 ,则 的最小值是
A. 0 B. C. D.
7. 已知等比数列 的首项为 1,前 项和为 ,若 ,则
A. 1 或 2 B. 1 或 4 C. 2 或 4 D. 4
8. 已知曲线 ，将 绕坐标原点逆时针旋转 后所得的曲线是某个函数的图像,则正实数 的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ，则下列命题正确的有
A. 函数 的图像关于点 对称
B. 函数 的最大值是 2
C. 若实数 使得方程 在 上恰好有三个实数解 ,则
D. 是函数 的单调递减区间
第n行
10. 如图，在正方体 中，记各面的对角线为它的面对角线， 为它的体对角线. 设 分别为 的中点,则
A. 存在面对角线与平面 平行
B. 存在面对角线与平面 垂直
C. 存在体对角线与平面 平行
D. 存在体对角线与平面 垂直
11. 如图所示为杨辉三角, 是二项式系数在三角形中的一种几何排列,第 行的第 个数可以表示为 . 在欧洲, 这个表被认为是帕斯卡 (1623-1662) 首先发现的. 我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》 一书中就已经出现了这个表, 这是我国数学史上的一个伟大成就. 同学们开展了数学探究, 则下列命题正确的有
A. 第 2026 行共有 2026 个数
B. 从第 4 行起到第 19 行，每一行的第 4 个数字之和为
C. 第 48 行的所有数字之和被 7 除的余数为 1
D. 去除所有为 1 的项,依次构成数列 ,则此数列前 135 项的和为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知正实数 满足 ，则 的取值范围为_____.
13. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为8π_____， 则圆柱的底面半径为_____.
14. 已知点 在 轴上，其既是椭圆 的焦点,也是双曲线 的焦点. 设椭圆 和双曲线 在第二象限的交点为 ,点 在第一象限的双曲线 上,且 , 若 为等轴双曲线，则椭圆 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在 中，角 的对边分别 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
16. (15分)
已知数列 满足 .
(1)设 ，证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)判断数列 的单调性.
17. (15分)
袋中有 5 个除了颜色外完全相同的小球, 其中有 1 个红球, 2 个黑球, 2 个白球. 现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量 .
(1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率;
(2)求 的分布列和期望.
18.(17分)
设函数 ，e 为自然对数的底数.
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，记 ，
证明: ① ; (注: )
② .
19.(17分)
如图 1 所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为 ，截面与圆锥的轴线的夹角为 ,当 时,截线是圆; 当 时,截线是椭圆; 当 时,截线是抛物线; 当 时,截线为双曲线.
图 1
图 2
如图②所示， 为圆锥的顶点， 为底面圆心， 为圆 的一条直径，且 为弧 的中点，点 满足 ，点 为线段 的中点；
(1)求直线 与平面 所成角的大小；
(2)平面 与圆锥 的截线记为曲线 ，在平面 内，以 所在的直线为 轴 (设以 的方向为 轴正方向)，以线段 的中垂线为 轴(设以 逆时针旋转 后的方向为 轴正方向)，建立平面直角坐标系.
①求出曲线 的标准方程；
②设 为曲线 上两动点,若 的平分线与 轴垂直，求证:直线 的斜率是定值，并求出这个定值.
数学试题参考答案与评分细则
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
1. C 2. D 3. A 4. B
5. A 6. C 7. B 8. D
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. BC 10. AD 11. BCD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 13.
14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解:
(1)由 ，
得 , 2 分
即 ,因为 ,
所以 ,即 , 4 分
故 (舍) 或 ,
由于 ,所以 . 6 分
(2) ，由 ， 8 分
得 ,又 ,
解得 (负值舍),故 , 11 分
又 ，故 的面积为 . 13 分
16. 解:
(1) 由 ,得:
, 3 分
故 ,即 ,又 , 5 分
故 是以 -1 为首项, 为公比的等比数列,且 . 7 分
(2)由 ，解得
11 分
即 ,故数列 为递增数列. 15 分
17. 解:
(1)记事件 “第二次取出的是黑球”,事件 “第三次取出的是红球”,
事件 可分为 “第一次取出的是黑球” 和 “第一次取出的不是黑球” 两种情况，
故 , 2 分
事件 “第二次取出的是黑球,第三次取出的是红球”,可分为 “第一次取出的是黑球” 和 “第一次取出是白球” 两种情况,
故 , 4 分
故所求 . 6 分
(2)易知随机变量 可能的取值为 3,4,5, 7 分
当 时,前三次分别取出 1 个红球、 1 个黑球和 1 个白球,
9 分
当 时,前四次分别取出 2 个黑球和 2 个白球,
11 分
当 时, , 13 分
故随机变量 的分布列为:
3 4 5
2 5 2 5 1 5
期望为 . 15 分
18. 解:
(1) ,
易知 ,当且仅当 ,即 时取等号,
故当 时, ,此时 在 上单调递增; 2 分
当 时,令 ,
解得 ,易知 , 4 分
当 或 时, ,当 时, ,
故此时 在 和 上单调递增,
在 上单调递减. 6 分
(2)由(1)知，当 时， 在 上单调递增，
故当 时, ,即有 . 7 分
① 令 ，则有 ，即 ，
可得 ,
由 ,
累加可得
11 分
② 令 ，则有 ，
即 ,化简得 , 13 分
当 时
由
累加可得
即 ,
即有 , 16 分
当 时 ,
故有 . 17 分
19. 解:
(1)以 为原点，分别以 所在直线和正方向为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系,则 ,
故 2 分
设平面 的法向量为 ,
由 令 ,则 3 分
故
故直线 与平面 所成角的大小为 . 5 分
(2)①由(1)知，直线 与圆锥母线所成的角为 ，且 ，故曲线 为椭圆, 7 分
设该椭圆的方程为 ,故 ; 8 分
由(1)可得 ,设 与 的交点为 ,则
易得 ,即 ,且 ,
设 的中点为 ,易得 ,故 ,
故点 在平面 内的坐标为 ,
因为点 在曲线 上,故有
故曲线 的标准方程为 . 12 分
②易知直线 的斜率存在，设其方程为: ，
联立 得 ，
设点 ，由韦达定理与 点坐标，则 14 分
的平分线与 轴垂直,故直线 与直线 的斜率互为相反数,
设直线 的方程为: ,
设点 ,同理可得 , 15 分
故直线 的斜率为:
,为一个定值. 17 分
全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、革稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 若复数 ( 为虚数单位),则
A. -i B. i
C. D.
3. 已知向量 ，则向量 与 夹角的余弦值为
A. B. C. D.
4. 已知平面 ,两条不重合的直线 ,则 “存在直线 ,使 ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 某次考试有 10000 人参加,若他们的成绩近似服从正态分布 ,则分数在 之间的考生约有 (参考数据: 若 ,则有
A. 1360 人 B. 1570 人 C. 2720 人 D. 3410 人
6. 若实数 满足 ,则 的最小值是
A. 0 B. C. D.
7. 已知等比数列 的首项为 1,前 项和为 ,若 ,则
A. 1 或 2 B. 1 或 4 C. 2 或 4 D. 4
8. 已知曲线 ，将 绕坐标原点逆时针旋转 后所得的曲线是某个函数的图像,则正实数 的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ，则下列命题正确的有
A. 函数 的图像关于点 对称
B. 函数 的最大值是 2
C. 若实数 使得方程 在 上恰好有三个实数解 ,则
D. 是函数 的单调递减区间
第n行
10. 如图，在正方体 中，记各面的对角线为它的面对角线， 为它的体对角线. 设 分别为 的中点,则
A. 存在面对角线与平面 平行
B. 存在面对角线与平面 垂直
C. 存在体对角线与平面 平行
D. 存在体对角线与平面 垂直
11. 如图所示为杨辉三角, 是二项式系数在三角形中的一种几何排列,第 行的第 个数可以表示为 . 在欧洲, 这个表被认为是帕斯卡 (1623-1662) 首先发现的. 我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》 一书中就已经出现了这个表, 这是我国数学史上的一个伟大成就. 同学们开展了数学探究, 则下列命题正确的有
A. 第 2026 行共有 2026 个数
B. 从第 4 行起到第 19 行，每一行的第 4 个数字之和为
C. 第 48 行的所有数字之和被 7 除的余数为 1
D. 去除所有为 1 的项,依次构成数列 ,则此数列前 135 项的和为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知正实数 满足 ，则 的取值范围为_____.
13. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为8π_____， 则圆柱的底面半径为_____.
14. 已知点 在 轴上，其既是椭圆 的焦点,也是双曲线 的焦点. 设椭圆 和双曲线 在第二象限的交点为 ,点 在第一象限的双曲线 上,且 , 若 为等轴双曲线，则椭圆 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在 中，角 的对边分别 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
16. (15分)
已知数列 满足 .
(1)设 ，证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)判断数列 的单调性.
17. (15分)
袋中有 5 个除了颜色外完全相同的小球, 其中有 1 个红球, 2 个黑球, 2 个白球. 现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量 .
(1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率;
(2)求 的分布列和期望.
18.(17分)
设函数 ，e 为自然对数的底数.
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，记 ，
证明: ① ; (注: )
② .
19.(17分)
如图 1 所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为 ，截面与圆锥的轴线的夹角为 ,当 时,截线是圆; 当 时,截线是椭圆; 当 时,截线是抛物线; 当 时,截线为双曲线.
图 1
图 2
如图②所示， 为圆锥的顶点， 为底面圆心， 为圆 的一条直径，且 为弧 的中点，点 满足 ，点 为线段 的中点；
(1)求直线 与平面 所成角的大小；
(2)平面 与圆锥 的截线记为曲线 ，在平面 内，以 所在的直线为 轴 (设以 的方向为 轴正方向)，以线段 的中垂线为 轴(设以 逆时针旋转 后的方向为 轴正方向)，建立平面直角坐标系.
①求出曲线 的标准方程；
②设 为曲线 上两动点,若 的平分线与 轴垂直，求证:直线 的斜率是定值，并求出这个定值.
数学试题参考答案与评分细则
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
1. C 2. D 3. A 4. B
5. A 6. C 7. B 8. D
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. BC 10. AD 11. BCD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 13.
14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解:
(1)由 ，
得 , 2 分
即 ,因为 ,
所以 ,即 , 4 分
故 (舍) 或 ,
由于 ,所以 . 6 分
(2) ，由 ， 8 分
得 ,又 ,
解得 (负值舍),故 , 11 分
又 ，故 的面积为 . 13 分
16. 解:
(1) 由 ,得:
, 3 分
故 ,即 ,又 , 5 分
故 是以 -1 为首项, 为公比的等比数列,且 . 7 分
(2)由 ，解得
11 分
即 ,故数列 为递增数列. 15 分
17. 解:
(1)记事件 “第二次取出的是黑球”,事件 “第三次取出的是红球”,
事件 可分为 “第一次取出的是黑球” 和 “第一次取出的不是黑球” 两种情况，
故 , 2 分
事件 “第二次取出的是黑球,第三次取出的是红球”,可分为 “第一次取出的是黑球” 和 “第一次取出是白球” 两种情况,
故 , 4 分
故所求 . 6 分
(2)易知随机变量 可能的取值为 3,4,5, 7 分
当 时,前三次分别取出 1 个红球、 1 个黑球和 1 个白球,
9 分
当 时,前四次分别取出 2 个黑球和 2 个白球,
11 分
当 时, , 13 分
故随机变量 的分布列为:
3 4 5
2 5 2 5 1 5
期望为 . 15 分
18. 解:
(1) ,
易知 ,当且仅当 ,即 时取等号,
故当 时, ,此时 在 上单调递增; 2 分
当 时,令 ,
解得 ,易知 , 4 分
当 或 时, ,当 时, ,
故此时 在 和 上单调递增,
在 上单调递减. 6 分
(2)由(1)知，当 时， 在 上单调递增，
故当 时, ,即有 . 7 分
① 令 ，则有 ，即 ，
可得 ,
由 ,
累加可得
11 分
② 令 ，则有 ，
即 ,化简得 , 13 分
当 时
由
累加可得
即 ,
即有 , 16 分
当 时 ,
故有 . 17 分
19. 解:
(1)以 为原点，分别以 所在直线和正方向为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系,则 ,
故 2 分
设平面 的法向量为 ,
由 令 ,则 3 分
故
故直线 与平面 所成角的大小为 . 5 分
(2)①由(1)知，直线 与圆锥母线所成的角为 ，且 ，故曲线 为椭圆, 7 分
设该椭圆的方程为 ,故 ; 8 分
由(1)可得 ,设 与 的交点为 ,则
易得 ,即 ,且 ,
设 的中点为 ,易得 ,故 ,
故点 在平面 内的坐标为 ,
因为点 在曲线 上,故有
故曲线 的标准方程为 . 12 分
②易知直线 的斜率存在，设其方程为: ，
联立 得 ，
设点 ，由韦达定理与 点坐标，则 14 分
的平分线与 轴垂直,故直线 与直线 的斜率互为相反数,
设直线 的方程为: ,
设点 ,同理可得 , 15 分
故直线 的斜率为:
,为一个定值. 17 分
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