2025-2026学年甘肃省武威市某校九年级（下）开学数学试卷（含答案）

2025-2026学年甘肃省武威市某校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.4的算术平方根是（　　）
A. ±2 B. 2 C. -2 D. ±
2.根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力.数据451420000000用科学记数法可以表示为（　　）
A. 4.5142×109 B. 4.5142×1010 C. 4.5142×1011 D. 4.5142×1012
3.（x-5）（x-3）是多项式x2-px+15分解因式的结果，则p的值是（　　）
A. 2 B. -2 C. 8 D. -8
4.如图，数轴上点A表示的数可能是（　　）
A. B. C. D.
5.在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　　）
A. ∠ADB=∠ADC B. ∠B=∠C C. BD=CD D. AD平分∠BAC
6.现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d,t,l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a,e,f的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）.若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.如图，AB∥CD∥EF，若BC=5，CE=8，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（　　）
A. 20°
B. 35°
C. 55°
D. 70°
9.《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一.“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x,一头牛价格为y,则可列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
10.如图，在 ABCD中，∠A=30°，AB=6，AD=3.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AD→DC运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设△BPQ的面积为y,运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在函数y=中，自变量x的取值范围是 .
12.把多项式3m2-12分解因式的结果是 .
13.不等式组的解集是 .
14.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE=CE.若，则AF= .
15.数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米.
16.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算：（a+2）（a-2）+a（3-a）.
18.解方程：=．
四、解答题：本题共9小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
先化简，再求值：（-x-1）÷，其中x=3．
20.(本小题6分)
随着电动车技术的日益发展和环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，而影响新能源汽车发展的重要瓶颈是续航里程及充电时间.如图①，某公司用快速充电桩和普通电桩分别对目前电量为20%的甲、乙两台新能源汽车同时充电.经测试，在用快速充电桩和普通充电桩对汽车充电时，各自的电量y与充电时间x（小时）的函数图象分别为图②中的线段AB和AC.
（1）求线段AB对应的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
（2）当甲车充完电后，乙车改为快速充电桩（交换的时间忽略不计）.求乙车还需多长时间充满电.
21.(本小题6分)
为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样跳绳，D.踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动.
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率.
22.(本小题6分)
小聪和小兰想测量学校实验楼的高度，于是他们带着皮尺来到实验楼前进行测量，如图，小聪站在距离实验楼AB为97米的点C处，小兰从C点沿AC方向向前走3米到点D处，发现教学楼的顶端B，小聪的头顶F，和自己的眼睛点E在同一直线上，已知小聪的身高CF为1.8米，小兰眼睛到地面AD的距离DE为1.5米，AB⊥AD，CF⊥AD，ED⊥AD，且A，C，D在同一条直线上.请根据以上数据，求实验楼AB的高度.
23.(本小题6分)
跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展.颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图.
A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98
组别 次数x（单位：次） 频数
A组 60≤x＜100° 9
B组 100≤x＜140 m
C组 140≤x＜180 12
D组 180≤x＜220 3
根据以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）A组学生跳绳次数的中位数是______，m的值是______；
（3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有多少名.
24.(本小题6分)
如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=3，BC=5，CE平分∠ACD，求DE的长.
25.(本小题6分)
如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P.
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若，BP=4，求CD的长.
26.(本小题6分)
在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C，D重合），连接BE.
【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE；（不需要证明）
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.
（1）求证：BE=FG.
（2）连结CM.若CM=1，求FG的长.
27.(本小题12分)
如图，抛物线与x轴交于A（-2，0），B两点，与y轴交于点C（0，-4）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点P为第四象限内抛物线上一动点，连接AP，BP，当S△ABP=9时，求点P的坐标；
（3）如图②，连接AC，M，N是线段AC上的两个动点，且AM=CN，连接OM，ON，求OM+ON的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】x≠7
12.【答案】3（m+2）（m-2）
13.【答案】2＜x＜7
14.【答案】4
15.【答案】12
16.【答案】π
17.【答案】3a-4．
18.【答案】解：= ，
方程两边都乘x（x+1），得3x=2（x+1），
解得：x=2，
检验：当x=2时，x（x+1）≠0，
所以x=2是原分式方程的解，
即分式方程的解是x=2．
19.【答案】解：原式=
=-
=-，
当x=3时，
原式=-
=-5．
20.【答案】线段AB解析式为y=0.8x+0.2（0≤x≤1） 乙车还需小时充满电
21.【答案】解：（1） ；
（2）树状图如下所示：
由上可得，一共有16种等可能性，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的可能性有4种，
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为=．
22.【答案】实验楼AB的高度为11.5米．
23.【答案】60名；
85，36；
900名
24.【答案】解：（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴EA=FC，
∴EA=EC=FA=FC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：过点B作BP⊥AC于点P，在AC上截取PQ=PA，连接BQ，如图所示：
设PA=x,∠ACB=α，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=3，BC=5，
∴AD=BC=5，AB∥CD，OA=OC=AC
∵四边形AFCE是菱形，
∴∠ACB=∠ACE=α，AE=CF，EF⊥AC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=α，
∴∠ACD=2α，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=2α，
∵BP⊥AC，PQ=PA=x,
∴BP是AQ的垂直平分线，
∴BQ=AB=3，
∴∠BQA=∠BAC=2α，
∵∠BQA是△QBC的外角，
∴∠BQA=∠QBC+∠ACB，
∴2α=∠QBC+α，
∴∠QBC=α，
∴∠QBC=∠ACB=α，
∴BQ=CQ=3，
∴CP=CQ+PQ=3+x,
在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理得：BP2=AB2-AP2=BC2-CP2，
∴32-x2=52-（3+x）2，
解得：x=，
∴AP=x=，CP=3+x=，
∴AC=AP+PC==，
∴OC=AC=，
∴BP===，
∵EF⊥AC，BP⊥AC，
∴EF∥BP，
∴△OCF∽△PCB，
∴=，
∴CP OF=OC BP，
∴，
∴OF=，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF===，
∴AE=CF=，
∴DE=AD-AE==．
25.【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE=∠DAE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠DAE=∠OEA，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AC，
∴OE⊥PD，
∵OE是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：∵=，BP=4，OB=OE，
∴=，
∴OE=2，
∴AB=2OE=4，
∴AP=AB+BP=8，
在Rt△APD中，sin∠P==，
∴AD=AP=，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°=∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
在△AEB和△AEC中
∵
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB=AC=4，
∴CD=AC-AD=4-=，
∴CD的长为．
26.【答案】解：【探究】：（1）如图②，
过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，AB=BC，
∴四边形ABPG是矩形，
∴AB=PG，
∴BC=PG，
同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，
在△PGF和△CBE中，∠PGF=∠CBE，PG=BC，∠PFG=∠ECB=90°，
∴△PGF≌△CBE（ASA），
∴FG=BE．
（2）由（1）知，FG=BE，
连接CM，
∵点M是BE的中点，∠BCE=90°，
∴BE=2CM=2，
∴FG=2．
27.【答案】解：（1）由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：y=x2-x-4；
（2）由抛物线的表达式知，点B（4，0），则AB=6，
设点P（x,x2-x-4），x＞0，
则S△ABP=9=6×|x2-x-4|，
整理得x2-x-4=±3，
解得：x=1±或x=1±，
∵x＞0，
∴x=1-或x=1-，不合题意，舍去，
当x=1+时，x2-x-4=3，
此时点P（1+，3）在第一象限，不符合题意舍去；
当x=1+时，x2-x-4=-3，
则点P（1+，-3）；
（3）过点C作CD=AO且CD∥AO，连接DN、OD，
则∠DCN=∠OAM，点D（-2，-4），
∵AM=CN，
则△CND≌△AMO（SAS），
则OM=DN，
则OM+ON=ND+ON≤OD，
当O、N、D共线时，取等号，
即OM+ON的最小值OD==2．
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