2025-2026学年甘肃省兰州八十一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2025-2026学年甘肃省兰州八十一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四个有理数-1，0，-3，4，其中最小的有理数是（　　）
A. -1 B. 0 C. -3 D. 4
2.计算所得结果是（　　）
A. B. C. 2 D.
3.如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的度数是（　　）
A. 15°
B. 20°
C. 30°
D. 70°
4.如图，矩形ABCD，A1B1C1D1是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知AB=2A1B1，若点C1的坐标为（2，1），则点C的坐标为（　　）
A. （6，3）
B. （4，2）
C. （-4，2）
D. （3，1.5）
5.如图，一个正方形的四周恰好被四个正n边形（阴影部分为正n边形的一部分）无缝铺满，则n=（　　）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
6.关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有实数根 D. 没有实数根
7.已知点A（-2，y1）和B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　）
A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1=y2 D. y1=2y2
8.“千门万户瞳瞳日，总把新桃换旧符”.春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件.礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品，现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是（　　）
A. B. C. D.
9.《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为（　　）
A. B. C. D.
10.如图，在矩形ABCD中进行如下操作：①以点A为圆心，AD长为半径作弧交BC于点E，连接AE；②再以E为圆心，EC长为半径作弧交AE于点F，连接DF.下列结论不一定成立的是（　　）
A. AE=BC
B. DF⊥AE
C. AF=AB
D. DF=DC
11.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE=BF=x.若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1-S2与x的函数关系为（　　）
A. 正比例函数关系
B. 一次函数关系
C. 反比例函数关系
D. 二次函数关系
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.因式分解18x2y-12xy+2y= .
13.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为3，则数据x1-3，x2-3，x3-3，x4-3，x5-3的方差为 .
14.如图，在菱形ABCD中，∠B=50°，点E在CD上，若AE=AC，则∠BAE= °．
15.已知顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形ABCDE的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则DE的长为 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：.
四、解答题：本题共10小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
化简：（x-1）（x+1）-x（x+2）.
18.(本小题6分)
解不等式组：.
19.(本小题6分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，2），B（n,-1）两点，与x轴交于点C.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式kx+b＞的解集.
20.(本小题6分)
如图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图.台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为4cm,支架BC长为20cm,支架AB长为25cm.若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离h（精确到1cm）.（参考数据：sin46°=cos44°≈0.72，）
21.(本小题6分)
吉林省教育厅为了推进冰雪运动在学校的普及，计划在2025年底前实现全省中小学校冰雪体育课全面普及，并将冰雪运动纳入中考体育测试选项.为了响应省厅精神，某九年级研究小组展开主题为“推测滑行距离与滑行时间关系”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题：
【研究对象】推测滑行距离与滑行时间有什么关系？
【数据收集】一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得一些数据（如下表）.
滑行时间t/s 0 1 2 3 4
滑行距离s/m 0 4.5 14 28.5 48
【数据分析】如图，小组成员以表中各对应的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点并描画出大致图象.
【数学建模】请你结合所学知识解答下列问题：
（1）观察上述各点分布规律，可得s关于t的函数类型是______；（填“一次函数”或“二次函数”）
（2）求出s关于t的函数解析式；
（3）当滑行距离为270m时，求出滑行时间.
22.(本小题6分)
阅读与证明
三大作图问题之三等分角三等分任意角是古希腊学者们于公元前5世纪提出并研究的三大作图问题之一.两千多年以来，数学家们为此耗费了许多心血.直到1837年，法国数学家闻脱兹尔证明了，只使用直尺和圆规无法三等分一个任意角，至此人类才走出了这座数学迷宫，在探究过程中发现，有些特殊度数的角如角，角，角等可用尺规三等分，任意角采用特殊的工具也可三等分.
如图（1），∠ABC，下面是两种三等分角的方法；
（1）阿基米德创设的方法是：在图（2）中，预先在直尺上作了一个记号点P，点O为直尺的端点，以B为圆心，OP为半径作半圆，与边BA和BC分别交于点N和M；移动直尺，使直尺上的点O在边BC的反向延长线上移动，点P在圆周上，当直尺正好经过点N时，过点B画ON的平行线BE.求证：；
（2）用“有刻度的勾尺”的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点P，MN⊥PR于点Q，PQ=QR.画直线DE∥BC，并且DE与BC之间的距离等于PQ，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在DE上，使勾尺的边MN经过点B，同时让点R落在边BA上.求证：.
23.(本小题6分)
3月份是安全教育月，某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：
选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：
七年级85 79 89 83 89 98 68 89 79 59 99 87 85 89 97 86 89 90 89 77
八年级71 94 87 92 55 94 98 78 86 94 62 99 94 51 88 97 94 98 85 91
分组整理，描述数据：
（说明：成绩90分及以上为优秀，80-89为良好，80分以下为不合格）
分析数据：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 85.3 88 89 20%
八年级 85.4 a b 55%
得出结论，说明理由.
（1）a=______，b=______；
（2）请补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图；
（3）哪个年级的整体成绩较好？（至少从两个不同的角度说明合理性）.
24.(本小题6分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过C点作⊙O的切线CD，且BD=BC，直线CD与直径AB的反向延长线交于P点.
（1）探究∠CBD与∠ABC之间的数量关系，并说明理由；
（2）若AB=6，sinP=，求CD的长.
25.(本小题6分)
综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现.在矩形纸片ABCD中，AD=2，.
【数学思考】如图1，圆圆将矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD，使得点E落在BC边上，点A作AH⊥DE.求证：△ADH≌△DEC；
【解决问题】如图2，连结AG，求线段AG的长.
【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形EFGD绕着点D逆时针转动一周，若直线ED恰好经过线段AG中点O时，连结AE，AG，求△AEG的面积.
26.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”.
（1）已知点A（1，2），求点A的“关联三角形”的面积；
（2）如图，已知点B（m,m），⊙T的圆心为T（2，2），半径为2.若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r,OP=2r,若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】B
12.【答案】2y（3x-1）2
13.【答案】3
14.【答案】115
15.【答案】5-
16.【答案】x=3．
17.【答案】-2x-1．
18.【答案】解：，
解①，得x＜；
解②，得x≤1．
∴原不等式组的解集为x≤1．
19.【答案】解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，2），B（n,-1）两点，
∴m=1×2=n×（-1），
∴n=-2，m=2，
∴反比例函数解析式为：y=，
∵A（1，2），B（-2，-1）在一次函数y=kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：y=x+1．
（2）在一次函数y=x+1中，令y=0，则x=-1，
∴OC=1，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC==；
（3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b＞的解集为：-2＜x＜0或x＞1．
20.【答案】39cm．
21.【答案】二次函数 s=2.5t2+2t 10 s
22.【答案】∵OP=PB=BN，
∴∠BPN=∠BNP，∠POB=∠PBO，
∵∠ABC是△OBN的外角，∠BPN是△POB的外角，
∴∠ABC=∠BOP+∠BNP=3∠POB，∠BPN=∠POB+∠PBO=2∠POB，
∴，
∵BE∥ON，
∴∠POB=∠EBC，
∴；
如图，连接BP，过点P作PF⊥BC于点F，
∵MN⊥PR于点Q，PQ=OR，
∴MQ是PR的垂直平分线，
∴BR=BP，
∴∠ABQ=∠PBQ，
∵DE∥BC，并且DE与BC间的距离等于PQ，
∴PQ=PE，
∵PQ⊥MQ，PF⊥BC，
∴BP平分∠QBC，
∴∠QBP=∠PBF，
∴∠ABQ=∠QBP=∠PBF，
∴
23.【答案】91.5;94 补全八年级20 名学生安全教育频数分布直方图如图所示，
整体成绩较好的年级为八年级，理由为八年级的平均数，中位数和优秀率都高于七年级
24.【答案】解：（1）∠CBD=2∠ABC，理由如下：
作BH⊥DC于H，连接OC，
∵PD切⊙O于C，
∴OC⊥PD，
∴OC∥BH，
∴∠OCB=∠CBH，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBH=∠OBC，
∵BC=BD，BH⊥CD于H，
∴∠CBD=2∠CBH，CD=2CH，
∴∠CBD=2∠ABC；
（2）∵∠OCP=90°，
∴sinP==，
∵AB=6，
∴OC=AB=×6=3，
∴OP=9，
∴PC==6，
∵OC∥BH，
∴PC：CH=PO：OB，
∴6：CH=9：3，
∴CH=2，
∴CD=2CH=4．
25.【答案】【数学思考】证明：∵将矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD，
∴AD=DE，∠C=∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADH=90°，
∵AH⊥DE，
∴∠AHD=90°，
∴∠HDA+∠DAHl=90°，
∴∠DAHl=∠CDE，
∴△ADH≌△DEC（AAS）；
【解决问题】解：∵△ADH≌△DEC，
∴AH=CD=，
∵矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD，
∴CD=DG=，∠GDE=90°，
∴DH==1，
∴DH=AD，
∴∠DAH=30°，
∴∠ADH=60°，
过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于点M，
∴∠GDM=30°，
∴GM=DG=，
∴DM==，
∴AM=DM+AD=，
∴AG==；
【拓展研究】解：当线段DE与AG交于点O时，作AV⊥DE于V，
∵O是AG的中点，
∴OG=OA，
∵∠GDO=∠AVO=90°，∠DOG=∠AOV，
∴△DOG≌△VOA（AAS），
∴DG=AV=，OD=OV，
∴DV==1，
∴OV==，VE=DE-DV=2-1=1，
∴OE=OV+EV=，
∴=2×=，
当ED的延长线交AG于点O时，由上知OV=OD=，
∴OE=DE+OD=2+1=3，
∴S△AEG=2S△AEO=2×=2×=3，
综上所述，△AEG的面积是或3．
26.【答案】解：（1）∵点A（1，2）关于x轴对称的对称点（1，-2），点A关于yz轴对称的点A2（-1，2），
∴=×2×4=4；
（2）∵⊙T的圆心为T（2，2），半径为2，
∴四边形OADC是⊙T的外接四边形（如图1中），
∴D（4，4），
∵点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，且B（m,m），
∴2-≤m≤4；
（3）当PP2与⊙O相切于点E时，如图2中，
∵OE=r,OP=2r,
∴∠OPE=30°，
∴∠OPP1=∠OP1P=60°，
∴当60°＜∠OP1P＜90°时，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点．
当PP1与⊙O相切于点F时，如图3中，
∵OF=r,OP=2r,
∴∠OPF=∠OP1P=30°，
∴当0°＜∠OP1P＜30°时，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，
综上所述，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，∠PP1P2的取值范围为：0°＜∠OP1P＜30°或60°＜∠OP1P＜90°．
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