第三章 4.人造卫星 宇宙速度
题型1 第一、第二和第三宇宙速度的物理意义 题型2 同步卫星的特点及相关计算
题型3 近地卫星 题型4 卫星或行星运行参数的计算
题型5 不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较 题型6 卫星的发射及变轨问题
题型7 卫星的追及相遇问题 题型8 双星系统及相关计算
题型9 中子星与黑洞
▉题型1 第一、第二和第三宇宙速度的物理意义
【知识点的认识】
一、宇宙速度
1．第一宇宙速度（环绕速度）
（1）大小：7.9km/s．
（2）意义：
①卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度．
②使卫星绕地球做匀速圆周运动的最小地面发射速度．
2．第二宇宙速度
（1）大小：11.2 km/s
（2）意义：使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度．
第二宇宙速度（脱离速度）
在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为v＝11.2 km/s．
3．第三宇宙速度
（1）大小：16.7km/s
（2）意义：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度．
第三宇宙速度（逃逸速度）
在地面上发射物体，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为v＝16.7km/s．
1．下列数据中，地球的第二宇宙速度是（ ）
A．7.9km/s B．7.9m/s C．11.2km/s D．16.7km/s
2．假设地球质量不变，而地球的半径增大到原来的2倍，那么从地球发射人造卫星的第一宇宙速度的大小应为原来的（ ）
A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍
3．假设宇航员登上某一星球，该星球的半径为R＝3×106m。他在该星球表面将一小球从与水平面成30°角的斜面上水平抛出，如图所示，抛出的初速度大小为，经过时间t＝2s小球又落在斜面上。忽略星球的自转，不计星球表面的大气阻力，求：
（1）该星球表面的重力加速度为多大；
（2）该星球的第一宇宙速度为多大。
▉题型2 同步卫星的特点及相关计算
【知识点的认识】
同步卫星的特点
（1）轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．
（2）周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400 s．
（3）角速度一定：与地球自转的角速度相同．
（4）高度一定：据，得r＝4.24×104 km，卫星离地面高度h＝r﹣R≈6R（为恒量）．
（5）速率一定：运动速度v3.08 km/s（为恒量）．
（6）绕行方向一定：与地球自转的方向一致．
（多选）4．地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是（ ）
A． B．（）2
C． D．（）
（多选）5．在无地面网络时，某手机可通过天通一号卫星系统进行通话。如图所示，天通一号目前由01、02、03共三颗地球静止卫星组网而成，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，静止卫星运行的周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．地球的质量为
B．三颗卫星运行的半径为
C．三颗卫星运行的线速度大小均为
D．若01星减速，一定会与正常运行的02星相撞
6．据中国气象局表示，针对我国出现的持续性雾霾天气，风云三号卫星已经成为及时监测雾霾覆盖省份、覆盖面积和强度等情况的重要手段。风云三号卫星属于极地轨道气象卫星，已知风云三号在距地球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，已知地球的半径为R，风云三号卫星的质量为m，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。求：
（1）地球的质量M；
（2）风云三号卫星做匀速圆周运动的周期T。
▉题型3 近地卫星
【知识点的认识】
1.近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径。
2.因为脱离了地面，近地卫星受到的万有引力就完全等于重力，所以有Gmg，化简得GM＝gR2，即近地卫星也满足黄金代换公式。
3.对于近地卫星而言，因为轨道半径近似等于地球半径，所以有
Gmg＝mmω2R＝m
7．2020年，中国航天再一次开启“超级模式”，成功实施了以嫦娥五号首次地外天体采样返回、北斗三号卫星导航系统部署完成并面向全球提供服务、天问一号探测器奔向火星为代表的航天任务（已知火星半径约为地球半径的），一系列航天重大事件有力地推动了航天强国建设，引发全球关注。关于航天知识下列说法正确的是（ ）
A．嫦娥五号从椭圆轨道的近月点进入正圆轨道时应减速
B．北斗导航系统的卫星发射时速度大于11.2km/s
C．火星绕太阳运行的周期小于地球绕太阳运行的周期
D．天问一号环绕火星做匀速圆周运动时轨道半径越小，线速度越小
8．“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则“天问一号”（ ）
A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间
B．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
C．从P点转移到Q点的时间小于6个月
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
9．下列说法中正确的是（ ）
A．周期为24小时的卫星一定是静止卫星
B．漂浮在空间站的宇航员不受重力作用
C．为避免同步卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同轨道上
D．“月—地检验”表明地面物体受到地球引力与月球受到地球的引力遵从同样的规律
10．2021年10月16日0时23分许，我国在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十三号载人飞船，约6个半小时后，飞船与天和核心舱顺利完成快速自主交会对接。飞船在近地点高度200公里，远地点高度356公里的轨道上运行。若将神舟十三号绕地球运动视做匀速圆周运动，则下列关于神舟十三号载人飞船的分析正确的是（ ）
A．飞船发射速度大于11.2km/s
B．飞船绕地球飞行速度大于7.9km/s
C．飞船绕地球飞行周期小于24h
D．飞船绕地飞行过程中宇航员不再受重力作用
11．某次模拟航天器即将返回地面的部分飞行轨迹如图所示，航天器先在距地面2R高的圆轨道Ⅱ上做周期为T的匀速圆周运动。某次，航天器运动到P点时控制室迅速操作使其变轨到与轨道Ⅱ相切于P点的椭圆轨道Ⅰ．已知地球半径为R．则航天器变轨时的操作和变轨后周期为（ ）
A．加速，T B．减速，T
C．加速，T D．减速，T
12．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，随后与天和核心舱进行对接，标志着中国人首次进入自己的空间站。如图所示，已知空间站在距地球表面高约400km的近地轨道上做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．空间站的运行速度大于第一宇宙速度
B．空间站里所有物体的加速度均为零
C．对接时飞船要与空间站保持在同一轨道并进行加速
D．若已知空间站的运行周期则可以估算出地球的平均密度
13．2021年4月29日，我国在海南文昌用长征五号B运载火箭成功将空间站天和核心舱送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为400km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000km。则该核心舱的（ ）
A．角速度比地球同步卫星的小
B．周期比地球同步卫星的长
C．向心加速度比地球同步卫星的大
D．线速度比地球同步卫星的小
（多选）14．2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（ ）
A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的（）2倍
B．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9km/s
C．核心舱在轨道上飞行的周期小于24h
D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
（多选）15．轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星被称为极地轨道卫星，它运行时能到达南北极区的上空，需要在全球范围内进行观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道。如图，若某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟，则（ ）
A．该卫星运行速度一定小于7.9km/s
B．该卫星绕地球运行的周期与同步卫星的周期之比为1：4
C．该卫星轨道半径与同步卫星轨道半径之比为1：4
D．该卫星加速度与同步卫星加速度之比为2：1
（多选）16．嫦娥工程分为三期，简称“绕、落、回”三步走。我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，该卫星先在距月球表面高度为h的轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，再经变轨后成功落月。已知月球的半径为R，引力常量为G，忽略月球自转及地球对卫星的影响。则以下说法正确的是（ ）
A．物体在月球表面自由下落的加速度大小为
B．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为
C．月球的平均密度为ρ
D．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为
（多选）17．2021年10月19日，中科院发布“嫦娥五号”月球样品研究成果，揭示20亿年前月球演化奥秘。前期“嫦娥五号”探测器成功着陆在月球正面预选着陆区。如图所示，“嫦娥五号”在一个环绕月球的椭圆轨道Ⅰ上运行，周期为T1，飞行一段时间后实施近月制动，进入距月球表面高度为h的环月圆轨道Ⅱ，运行周期为T2。已知月球的半径为R，下列说法正确的是（ ）
A．根据题中数据，无法求出“嫦娥五号”的质量
B．“嫦娥五号”在椭圆轨道Ⅰ上远月点的速度大于近月点的速度
C．椭圆轨道Ⅰ的半长轴为
D．“嫦娥五号”在椭圆轨道Ⅰ上运行的最大速度为
（多选）18．“北斗来了不迷路”，从跟跑到并跑，随着中国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗、也就是第55颗组网卫星2020年6月23日成功发射，中国北斗卫星导航系统终于来到了和世界其他系统并肩前行的位置。北斗卫星导航系统空间段由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜地球同步轨道卫星。其中中地球轨道卫星离地高度约2.1万千米，静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星离地高度均相同。以下说法正确的是（ ）
A．倾斜地球同步轨道卫星和静止轨道卫星速率相同
B．地球赤道上的随地球一起自转的石块线速度比中地球轨道卫星线速度要大
C．中地球轨道卫星的运行周期小于地球自转周期
D．静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星的发射速度一定要超过7.9km/s，中地球轨道卫星的发射速度可以小于7.9km/s
19．已知某卫星在赤道上空的圆形轨道运行，轨道半径为r1，运行周期为T，卫星运动方向与地球自转方向相同，不计空气阻力，万有引力常量为G。求：
（1）地球质量M的大小；
（2）如图所示，假设某时刻，该卫星在A点变轨进入椭圆轨道，近地点B到地心距离为r2，求卫星在椭圆轨道上的周期T1；
（3）卫星在赤道上空轨道半径为r1的圆形轨道上运行，小明住在赤道上某城市，某时刻，该卫星正处于小明的正上方，在后面的一段时间里，小明观察到每两天恰好三次看到卫星掠过其正上方，求地球自转周期T0。
▉题型4 卫星或行星运行参数的计算
【知识点的认识】
对于一般的人造卫星而言，万有引力提供其做圆周运动的向心力。于是有：
①Gm→v
②Gmω2r→ω
③Gm→T
④Gma→a＝G
在卫星运行的过程中，根据题目给出的参数，选择恰当的公式求解相关物理量。
（多选）20．据报道，美国国家航空航天局（NASA）首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler﹣186f。若宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h自由释放一个小球（引力视为恒力），落地时间为t，已知该行星半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．该行星的第一宇宙速度为
B．该行星的平均密度为
C．如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面高度为
D．宇宙飞船绕该星球做圆周运动的周期大于πt
（多选）21．地球静止卫星距地面高度为h，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，地球自转的角速度为ω，那么下列表达式表示静止卫星绕地球转动的线速度正确的是（ ）
A．v＝（R+h）ω B．
C． D．
▉题型5 不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较
【知识点的认识】
1.卫星运行的一般规律如下：
①Gm→v
②Gmω2r→ω
③Gm→T
④Gma→a＝G
由此可知，当运行半径r增大时，卫星运行的线速度v减小，角速度ω减小，加速度a减小，周期T变大。所以可总结出一条规律为“高轨低速长周期”。即轨道大时，速度（“所有的速度”：线速度、角速度、加速度）较小、周期较大。
2.卫星的运行参数如何与赤道上物体运行的参数相比较？
赤道上运行的物体与同步卫星处在同一个轨道平面，并且运行的角速度相等，所以比较赤道上物体与一般卫星的运行参数时，可以通过同步卫星建立联系。
22．关于近地卫星和地球静止卫星，下列说法正确的是（ ）
A．近地卫星的发射速度小于7.9km/s
B．近地卫星在轨道上的运行速度大于7.9km/s
C．地球静止卫星距地面的高度是确定的
D．地球静止卫星运行时可能会经过地球北极点的正上方
23．如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．甲的线速度比乙的大
B．甲的角速度比乙的大
C．甲的运行周期比乙的小
D．甲的向心加速度比乙的小
24．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能增大为原来的4倍，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（ ）
A．向心加速度大小之比为1：4
B．轨道半径之比为4：1
C．周期之比为4：1
D．角速度大小之比为1：2
（多选）25．2018年2月6日，马斯克的SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆跑车发射到太空，其轨道示意图如图中椭圆Ⅱ所示，其中A、C分别是近日点和远日点，图中Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则以下说法正确的是（ ）
A．跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率
B．跑车经过B点时的加速度等于火星经过B点时的加速度
C．跑车在C点的速率一定大于火星绕日的速率
D．跑车在C点的速率一定小于火星绕日的速率
（多选）26．如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则（ ）
A．a所需向心力最小
B．b，c的周期相同且大于a的周期
C．b，c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b，c的线速度大小相等，且小于a的线速度
▉题型6 卫星的发射及变轨问题
【知识点的认识】
1.卫星从发射到入轨运行不是一蹴而就的，要经过多次的轨道变化才能实现。
2.一般来说卫星的发射包括以下步骤：
①发射地球卫星，如下图
a、先进入近地轨道Ⅲ
b、在B点加速进入椭圆轨道Ⅱ
c、在远地点A加速进入高轨道Ⅰ
②发射其他行星的卫星，如下图（以月球为例）
a、先进入近地轨道
b、加速进入椭圆轨道
c、多次在近地点加速增加远地点高度，从而进入地月转移轨道
d、在地月转移轨道上的某点被月球引力俘获进入月球轨道
e、在近地点减速减小远地点高度
f、进入环月轨道
27．2020年10月1日，国家航天局发布“天问一号”火星探测器在深空自拍的飞行图像，如图所示。已知地球的质量约为火星质量的10倍，半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9km/s，小于11.2m/s
B．“天问一号”探测器在火星附近制动减速时需要向速度的反方向喷气
C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1：5
D．物体分别在火星和地球表面附近做自由落体运动，下落相同高度用时之比为
▉题型7 卫星的追及相遇问题
【知识点的认识】
一、卫星的对接问题
1.在卫星运行的过程中，会遇到这样的一类问题，那就是处于低轨道的物体要和高轨道的物体相会和；或处于高轨道的物体要和低轨道的物体相会和。在现实中的应用比如卫星的对接。
2.卫星对接的原理可以简单概括为：加速进高轨，减速进低轨。本质上是近心和离心作用。
3.现实生活中的卫星对接常常一般采用从低轨加速进入高轨的方式完成对接。
二、卫星角速度不同引起的共线问题
1.不同轨道的卫星运行的速度不同，如果某一个时刻两个卫星与中心天体在一条直线上（卫星在天体同一侧），一定时间后它们还会再次共线。这种情况也可以认为卫星发生了追及相遇现象。
2.这类问题的本质可以看成卫星运行的角速度不同引起的，根据角速度与角度的关系可以得出，每一次卫星与中心天体在一条直线上（卫星在天体同一侧）时有：
（ω1﹣ω2）t＝2nπ，n＝1，2，3，...
（多选）28．三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，则下列说法正确的是（ ）
A．C加速可追上同一轨道上的A
B．经过时间，A、B相距最远
C．A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度
D．卫星A、C受到地球的万有引力大小一定相等
▉题型8 双星系统及相关计算
【知识点的认识】
1.模型特点：众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星。
2.模型特点
（1）两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点；
（2）两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供；
（3）两星的运动周期、角速度相同；
（4）两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1+r2＝L。
3.处理方法
（1）双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即。
（2）两个结论：
①运动半径：m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
②质量之和：由于，r1+r2＝L，所以两恒星的质量之和为m1+m2。
29．双星系统由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，设质量分别用m1、m2表示，且m1：m2＝5：3。则可知（ ）
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为5：3
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为5：3
C．双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大
D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
30．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA：rB＝1：2，则两颗天体的（ ）
A．质量之比mA：mB＝2：1
B．角速度之比ωA：ωB＝1：2
C．线速度大小之比vA：vB＝2：1
D．向心力大小之比FA：FB＝2：1
31．2012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中（ ）
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
（多选）32．2019年12月20日，国防科技大学领衔研制的我国天基网络低轨试验双星在太原卫星发射中心搭载C Z﹣4B火箭成功发射，双星顺利进入预定轨道，假设两个质量分别为m1和m2（m1＞m2）的星体A和B组成一双星系统，二者中心之间的距离为L，运动的周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．因为m1＞m2，所以星体A对星体B的万有引力大于星体B对星体A的万有引力
B．星体A做圆周运动的半径为L
C．星体B的线速度大小为
D．两星体的质量之和为
（多选）33．2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（ ）
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
（多选）34．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若AO＜OB，则（ ）
A．星球A的向心力一定大于B的向心力
B．星球A的线速度一定大于B的线速度
C．星球A的质量一定大于B的质量
D．双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
35．如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常数为G。
（1）求两星球做圆周运动的周期；
（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
36．如图是卡文迪什扭矩实验装置，此实验被评为两千多年来十大最美物理实验之一。卡文迪什运用最简单的仪器和设备精确测量了万有引力常数G，这对天体力学、天文观测学，以及地球物理学具有重要的实际意义。人们还可以在卡文迪什实验的基础上可以“称量”天体的质量。
（1）已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，若忽略地球自转的影响，求地球的质量；
（2）若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”。已知月球的公转周期为T，月球、地球球心间的距离为L。结合（1）中的信息，求月球的质量。
▉题型9 中子星与黑洞
【知识点的认识】
本考点以中子星或黑洞为背景考查万有引力定律。
37．人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞（质量分别为26个和39个太阳质量）互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞间的距离为L，其运动周期为T，则（ ）
A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量
B．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力
C．两个黑洞间的距离L一定时，M越大，T越大
D．两个黑洞的总质量M一定时，L越大，T越小
38．科学家通过研究双中子星合并的引力波，发现：两颗中子星在合并前相距为L时，两者绕连线上的某点每秒转n圈；经过缓慢演化一段时间后，两者的距离变为kL，每秒转pn圈，则演化前后（ ）
A．两中子星运动周期为之前kp倍
B．两中子星运动的角速度为之前倍
C．两中子星质量之和为之前k3p2倍
D．两中子星运动的线速度平方之和为之前倍第三章 4.人造卫星 宇宙速度
题型1 第一、第二和第三宇宙速度的物理意义 题型2 同步卫星的特点及相关计算
题型3 近地卫星 题型4 卫星或行星运行参数的计算
题型5 不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较 题型6 卫星的发射及变轨问题
题型7 卫星的追及相遇问题 题型8 双星系统及相关计算
题型9 中子星与黑洞
▉题型1 第一、第二和第三宇宙速度的物理意义
【知识点的认识】
一、宇宙速度
1．第一宇宙速度（环绕速度）
（1）大小：7.9km/s．
（2）意义：
①卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度．
②使卫星绕地球做匀速圆周运动的最小地面发射速度．
2．第二宇宙速度
（1）大小：11.2 km/s
（2）意义：使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度．
第二宇宙速度（脱离速度）
在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为v＝11.2 km/s．
3．第三宇宙速度
（1）大小：16.7km/s
（2）意义：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度．
第三宇宙速度（逃逸速度）
在地面上发射物体，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为v＝16.7km/s．
1．下列数据中，地球的第二宇宙速度是（ ）
A．7.9km/s B．7.9m/s C．11.2km/s D．16.7km/s
【答案】C
【解答】解：地球的第二宇宙速度的大小为11.2km/s，7.9km/s是第一宇宙速度，16.7km/s是第三宇宙速度，故C正确，ABD错误。
故选：C。
2．假设地球质量不变，而地球的半径增大到原来的2倍，那么从地球发射人造卫星的第一宇宙速度的大小应为原来的（ ）
A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍
【答案】D
【解答】解：地球的第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，根据万有引力提供向心力有
解得
可知地球的第一宇宙速度是
假设地球质量不变，而地球的半径增大到原来的2倍，那么从地球发射人造卫星的第一宇宙速度为
可得
，故D正确，ABC错误。
故选：D。
3．假设宇航员登上某一星球，该星球的半径为R＝3×106m。他在该星球表面将一小球从与水平面成30°角的斜面上水平抛出，如图所示，抛出的初速度大小为，经过时间t＝2s小球又落在斜面上。忽略星球的自转，不计星球表面的大气阻力，求：
（1）该星球表面的重力加速度为多大；
（2）该星球的第一宇宙速度为多大。
【答案】（1）该星球表面的重力加速度为3m/s2；
（2）该星球的第一宇宙速度为3×103m/s。
【解答】解：（1）设该星球表面的重力加速度为g，小球做平抛运动运动过程，有
解得
（2）设该星球的第一宇宙速度为v，由万有引力提供向心力可得
又
解得
答：（1）该星球表面的重力加速度为3m/s2；
（2）该星球的第一宇宙速度为3×103m/s。
▉题型2 同步卫星的特点及相关计算
【知识点的认识】
同步卫星的特点
（1）轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．
（2）周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400 s．
（3）角速度一定：与地球自转的角速度相同．
（4）高度一定：据，得r＝4.24×104 km，卫星离地面高度h＝r﹣R≈6R（为恒量）．
（5）速率一定：运动速度v3.08 km/s（为恒量）．
（6）绕行方向一定：与地球自转的方向一致．
（多选）4．地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是（ ）
A． B．（）2
C． D．（）
【答案】AD
【解答】解：同步卫星和地球自转的周期相同，运行的角速度亦相等，则根据向心加速度a＝rω2可知，同步卫星的加速度与地球赤道上物体随地球自转的向心加速度之比等于半径比，；
同步卫星绕地于做匀速圆周运动，第一宇宙速度是近地轨道上绕地球做匀速圆周运动的线速度，两者都满足万有引力提供圆周运动的向心力；
即：Gm
由此可得：v
所以有：，
故AD正确，BC错误。
故选：AD。
（多选）5．在无地面网络时，某手机可通过天通一号卫星系统进行通话。如图所示，天通一号目前由01、02、03共三颗地球静止卫星组网而成，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，静止卫星运行的周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．地球的质量为
B．三颗卫星运行的半径为
C．三颗卫星运行的线速度大小均为
D．若01星减速，一定会与正常运行的02星相撞
【答案】AB
【解答】解：A、在地球表面，根据万有引力与重力的关系有，
解得地球的质量为，故A正确；
B、设静止卫星轨道半径为r，根据万有引力提供向心力可得，其中，
解得，故B正确；
C、静止卫星线速度的大小为，
根据上述结论解得，故C错误；
D、若01星减速，其做圆周运动需要的向心力小于卫星受到的万有引力，因此其轨道半径减小，不可能与02星相撞，故D错误。
故选：AB。
6．据中国气象局表示，针对我国出现的持续性雾霾天气，风云三号卫星已经成为及时监测雾霾覆盖省份、覆盖面积和强度等情况的重要手段。风云三号卫星属于极地轨道气象卫星，已知风云三号在距地球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，已知地球的半径为R，风云三号卫星的质量为m，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。求：
（1）地球的质量M；
（2）风云三号卫星做匀速圆周运动的周期T。
【答案】（1）地球的质量M为；
（2）风云三号卫星做匀速圆周运动的周期T为。
【解答】解：（1）设地面上物体的质量为m′，对地面物体质量m′有
整理得地球质量为
（2）由引力作为向心力可得
联立可解得
。
答：（1）地球的质量M为；
（2）风云三号卫星做匀速圆周运动的周期T为。
▉题型3 近地卫星
【知识点的认识】
1.近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径。
2.因为脱离了地面，近地卫星受到的万有引力就完全等于重力，所以有Gmg，化简得GM＝gR2，即近地卫星也满足黄金代换公式。
3.对于近地卫星而言，因为轨道半径近似等于地球半径，所以有
Gmg＝mmω2R＝m
7．2020年，中国航天再一次开启“超级模式”，成功实施了以嫦娥五号首次地外天体采样返回、北斗三号卫星导航系统部署完成并面向全球提供服务、天问一号探测器奔向火星为代表的航天任务（已知火星半径约为地球半径的），一系列航天重大事件有力地推动了航天强国建设，引发全球关注。关于航天知识下列说法正确的是（ ）
A．嫦娥五号从椭圆轨道的近月点进入正圆轨道时应减速
B．北斗导航系统的卫星发射时速度大于11.2km/s
C．火星绕太阳运行的周期小于地球绕太阳运行的周期
D．天问一号环绕火星做匀速圆周运动时轨道半径越小，线速度越小
【答案】A
【解答】解：A．嫦娥五号在椭圆轨道的近月点进入正圆轨道时速度应减小，才能被月球捕获，故A正确。
B．发射速度大于11.2km/s，卫星会脱离地球，11.2km/s是第二宇宙速度。北斗导航系统的卫星发射时速度应该在7.9km/s至11.2km/s之间，故B错误。
C．火星绕太阳运行的半径大于地球绕太阳运行的半径，根据
知半径越大，周期越大，故C错误；
D．天问一号环绕火星做匀速圆周运动时，由
知轨道半径越小，线速度越大，故D错误。
故选：A。
8．“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则“天问一号”（ ）
A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间
B．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
C．从P点转移到Q点的时间小于6个月
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【答案】B
【解答】解：A、“天问一号”需要脱离地球引力的束缚，第二宇宙速度11.2km/s为脱离地球的引力，在地球发射“天问一号”的速度要大于第二宇宙速度，故A错误。
C、地球公转周期为12个月，根据开普勒第三定律可知，k，“天问一号”在地火转移轨道的轨道半径大于地球公转半径，则运行周期大于12个月，从P点转移到Q点的时间大于6个月，故C错误；
B、同理，环绕火星的停泊轨道半径小于调相轨道半径，则在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故B正确；
D、“天问一号”在Q点点火加速进入火星轨道，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于火星轨道的速度，根据万有引力提供向心力可知，m，解得线速度：v，地球公转半径小于火星公转半径，则地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误。
故选：B。
9．下列说法中正确的是（ ）
A．周期为24小时的卫星一定是静止卫星
B．漂浮在空间站的宇航员不受重力作用
C．为避免同步卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同轨道上
D．“月—地检验”表明地面物体受到地球引力与月球受到地球的引力遵从同样的规律
【答案】D
【解答】解：B、宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重状态，此时并不是说人不受重力的作用，故B错误；
A、周期是24小时的卫星，不一定在赤道的正上方，不一定是静止卫星，故A错误；
C、因为同步卫星要和地球自转同步，即ω相同，根据可知，ω一定，轨道半径也一定，故C错误；
D、万有引力定律建立后，经历过“月—地检验”，表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律，故D正确。
故选：D。
10．2021年10月16日0时23分许，我国在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十三号载人飞船，约6个半小时后，飞船与天和核心舱顺利完成快速自主交会对接。飞船在近地点高度200公里，远地点高度356公里的轨道上运行。若将神舟十三号绕地球运动视做匀速圆周运动，则下列关于神舟十三号载人飞船的分析正确的是（ ）
A．飞船发射速度大于11.2km/s
B．飞船绕地球飞行速度大于7.9km/s
C．飞船绕地球飞行周期小于24h
D．飞船绕地飞行过程中宇航员不再受重力作用
【答案】C
【解答】解：A、飞船发射速度必定大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，第二宇宙速度是飞船脱离地球束缚的最小速度，故A错误；
B、第一宇宙速度7.9km/s是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，在同步轨道Ⅱ上的速度小于7.9km/s，故B错误；
C、飞船运行轨道半径小于同步卫星的轨道半径，根据“高轨低速长周期”来确定，飞船绕地球飞行周期小于24h，故C正确；
D、飞船绕地飞行过程中，宇航员仍受重力作用，故D错误；
故选：C。
11．某次模拟航天器即将返回地面的部分飞行轨迹如图所示，航天器先在距地面2R高的圆轨道Ⅱ上做周期为T的匀速圆周运动。某次，航天器运动到P点时控制室迅速操作使其变轨到与轨道Ⅱ相切于P点的椭圆轨道Ⅰ．已知地球半径为R．则航天器变轨时的操作和变轨后周期为（ ）
A．加速，T B．减速，T
C．加速，T D．减速，T
【答案】D
【解答】解：航天器在P点由轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ需在P点减速，使得万有引力大于向心力，航天器做近心运动；
在圆轨道Ⅱ上航天器的轨道半径r＝R+2R＝3R，在椭圆轨道Ⅰ上航天器轨道的半长轴a，
根据开普勒第三定律得
联立解得航天器的周期 ，故D正确，ABC错误。
故选：D。
12．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，随后与天和核心舱进行对接，标志着中国人首次进入自己的空间站。如图所示，已知空间站在距地球表面高约400km的近地轨道上做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．空间站的运行速度大于第一宇宙速度
B．空间站里所有物体的加速度均为零
C．对接时飞船要与空间站保持在同一轨道并进行加速
D．若已知空间站的运行周期则可以估算出地球的平均密度
【答案】D
【解答】解：A、第一宇宙速度是物体绕地球附近做匀速圆周运动的速度，也是近地卫星的运行速度，根据v知绕地球做匀速圆周运动的空间站速度小于近地卫星的速度，即小于第一宇宙速度，故A错误；
B、由于空间站里所有物体所受重力用于提供绕地球做匀速圆周运动的向心力，导致空间站里所有物体均处于完全失重状态，但重力加速度并不为零且等于其向心加速度，故B错误；
C、对接时飞船不能和空间站保持在同一轨道并进行加速，因为同一轨道上的速度是固定为某一值的，若飞船加速将做离心运动，则将偏离轨道，故C错误；
D、由和可推出中心天体的平均密度，由于空间站距地面的高度较小，空间站的轨道半径近似等于地球半径，故若已知空间站的运行周期则可以估算出地球的平均密度，故D正确。
故选：D。
13．2021年4月29日，我国在海南文昌用长征五号B运载火箭成功将空间站天和核心舱送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为400km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000km。则该核心舱的（ ）
A．角速度比地球同步卫星的小
B．周期比地球同步卫星的长
C．向心加速度比地球同步卫星的大
D．线速度比地球同步卫星的小
【答案】C
【解答】解：核心舱和同步卫星都是受万有引力，万有引力提供向心力而做匀速圆周运动，有
可得：；；；
而核心舱运行轨道距地面的高度为400km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000km，即核心舱的半径比地球同步卫星的半径小
由此可知：核心舱的角速度比地球同步卫星的大，周期比同步卫星短，向心加速度比地球同步卫星大，线速度比地球同步卫星的大，故ABD错误，C正确；
故选：C。
（多选）14．2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（ ）
A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的（）2倍
B．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9km/s
C．核心舱在轨道上飞行的周期小于24h
D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
【答案】AC
【解答】解：A、由题意知，核心舱进入轨道后所受地球的万有引力为F，而在地面上的引力大小为F0，所以，故A正确；
B、v1＝7.9km/s 是第一宇宙速度，是圆轨道最大的环绕速度，根据环绕速度公式v，因为r＞R所以核心舱的飞行速度应小于7.9km/s，故B错误；
C、与同步卫星相比，核心舱的轨道半径远小于同步卫星，根据周期公式T，故核心舱的运动周期小于同步卫星的周期，故C正确；
D、后续加挂实验舱后，根据上述环绕速度公式知，与环绕天体的质量m无关，但只要运行速度不变，则轨道半径不变，故D错误。
故选：AC。
（多选）15．轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星被称为极地轨道卫星，它运行时能到达南北极区的上空，需要在全球范围内进行观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道。如图，若某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟，则（ ）
A．该卫星运行速度一定小于7.9km/s
B．该卫星绕地球运行的周期与同步卫星的周期之比为1：4
C．该卫星轨道半径与同步卫星轨道半径之比为1：4
D．该卫星加速度与同步卫星加速度之比为2：1
【答案】AC
【解答】解：A、第一宇宙速度是卫星做圆周运动的最大环绕速度，可知卫星的运行速度一定小于7.9km/s，故A正确。
B、极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟，可知极地卫星的周期T＝4×45＝180min＝3h，而同步卫星的周期为24h，则该卫星与同步卫星的周期之比为1：8，故B错误。
CD、根据得，T，a，周期之比为1：8，则轨道半径之比为1：4，加速度之比为16：1，故C正确，D错误。
故选：AC。
（多选）16．嫦娥工程分为三期，简称“绕、落、回”三步走。我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，该卫星先在距月球表面高度为h的轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，再经变轨后成功落月。已知月球的半径为R，引力常量为G，忽略月球自转及地球对卫星的影响。则以下说法正确的是（ ）
A．物体在月球表面自由下落的加速度大小为
B．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为
C．月球的平均密度为ρ
D．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为
【答案】AC
【解答】解：A、在月球表面，重力等于万有引力，则得：mg…①
对于“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动过程，由万有引力提供向心力得：m（R+h）…②
由①②解得：g，故A正确。
B、“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为r＝R+h，则它绕月球做匀速圆周运动的速度大小为 v，故B错误。
C、由②得：月球的质量为M，月球的平均密度为ρ，而V，解得月球的平均密度为ρ，故C正确。
D、设在月球上发射卫星的最小发射速度为v，则有：m，即v，故D错误。
故选：AC。
（多选）17．2021年10月19日，中科院发布“嫦娥五号”月球样品研究成果，揭示20亿年前月球演化奥秘。前期“嫦娥五号”探测器成功着陆在月球正面预选着陆区。如图所示，“嫦娥五号”在一个环绕月球的椭圆轨道Ⅰ上运行，周期为T1，飞行一段时间后实施近月制动，进入距月球表面高度为h的环月圆轨道Ⅱ，运行周期为T2。已知月球的半径为R，下列说法正确的是（ ）
A．根据题中数据，无法求出“嫦娥五号”的质量
B．“嫦娥五号”在椭圆轨道Ⅰ上远月点的速度大于近月点的速度
C．椭圆轨道Ⅰ的半长轴为
D．“嫦娥五号”在椭圆轨道Ⅰ上运行的最大速度为
【答案】AC
【解答】解：A.利用万有引力对探测器研究时，探测器的质量会被消去，则根据题中数据，无法求出“嫦娥五号”的质量，故A正确；
B.根据开普勒第二定律可知，“嫦娥五号”在椭圆轨道I上远月点的速度小于近月点的速度，故B错误；
C.根据开普勒第三定律有
解得，椭圆轨道I的半长轴为a＝（R+h）
故C正确；
D.“嫦娥五号”在圆轨道上的运行速度为v，“嫦娥五号”在椭圆轨道I上运行时，在近月点的速度最大，由于“嫦娥五号”在近月点制动后进入圆轨道，则“嫦娥五号”在椭圆轨道近月点的速度大于在圆轨道的速度，故D错误。
故选：AC。
（多选）18．“北斗来了不迷路”，从跟跑到并跑，随着中国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗、也就是第55颗组网卫星2020年6月23日成功发射，中国北斗卫星导航系统终于来到了和世界其他系统并肩前行的位置。北斗卫星导航系统空间段由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜地球同步轨道卫星。其中中地球轨道卫星离地高度约2.1万千米，静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星离地高度均相同。以下说法正确的是（ ）
A．倾斜地球同步轨道卫星和静止轨道卫星速率相同
B．地球赤道上的随地球一起自转的石块线速度比中地球轨道卫星线速度要大
C．中地球轨道卫星的运行周期小于地球自转周期
D．静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星的发射速度一定要超过7.9km/s，中地球轨道卫星的发射速度可以小于7.9km/s
【答案】AC
【解答】解：A、倾斜地球同步轨道卫星和静止轨道卫星线速度大小相同，故A正确；
B、根据万有引力提供向心力可得线速度v，由于中圆轨道卫星的轨道半径小于同步轨道半径，则中圆轨道卫星的线速度大于同步卫星的线速度；对于地球赤道上的石块与地球同步卫星的角速度相同，根据v＝rω可知，同步卫星的线速度大于地球赤道上石块的线速度，
所以地球赤道上的石块的线速度比中圆轨道卫星线速度小，故B错误；
C、由开普勒第三定律可知，由于r中圆＜r同步，所以中轨道卫星周期小于地球同步卫星周期，而同步卫星周期等于地球自转周期，故C正确；
D、第一宇宙速度7.9km/s是卫星绕地球圆周运动的最大速度，是卫星发射的最小速度，则两种卫星的发射速度均大于7.9km/s，故D错误。
故选：AC。
19．已知某卫星在赤道上空的圆形轨道运行，轨道半径为r1，运行周期为T，卫星运动方向与地球自转方向相同，不计空气阻力，万有引力常量为G。求：
（1）地球质量M的大小；
（2）如图所示，假设某时刻，该卫星在A点变轨进入椭圆轨道，近地点B到地心距离为r2，求卫星在椭圆轨道上的周期T1；
（3）卫星在赤道上空轨道半径为r1的圆形轨道上运行，小明住在赤道上某城市，某时刻，该卫星正处于小明的正上方，在后面的一段时间里，小明观察到每两天恰好三次看到卫星掠过其正上方，求地球自转周期T0。
【答案】（1）地球质量M为；
（2）卫星在椭圆轨道上的周期T1为T；
（3）地球自转周期T0为T。
【解答】解：（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：，解得：M
（2）从圆轨道变为椭圆轨道时，椭圆轨道的半长轴为a，根据开普勒第三定律：，解得：T1T
（3）每2T0时间小明与卫星相遇3次，即每时间相遇一次，解得：2π，解得：T0T
答：（1）地球质量M为；
（2）卫星在椭圆轨道上的周期T1为T；
（3）地球自转周期T0为T。
▉题型4 卫星或行星运行参数的计算
【知识点的认识】
对于一般的人造卫星而言，万有引力提供其做圆周运动的向心力。于是有：
①Gm→v
②Gmω2r→ω
③Gm→T
④Gma→a＝G
在卫星运行的过程中，根据题目给出的参数，选择恰当的公式求解相关物理量。
（多选）20．据报道，美国国家航空航天局（NASA）首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler﹣186f。若宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h自由释放一个小球（引力视为恒力），落地时间为t，已知该行星半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．该行星的第一宇宙速度为
B．该行星的平均密度为
C．如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面高度为
D．宇宙飞船绕该星球做圆周运动的周期大于πt
【答案】AB
【解答】解：A、根据h得，行星表面的重力加速度g，根据mg＝m得，行星的第一宇宙速度v，故A正确。
B、根据mg得，行星的质量M，则行星的平均密度ρ，故B正确。
C、根据得，又GM＝gR2，解得hR，故C错误。
D、根据mg得，最小周期T′＝πt，故D错误。
故选：AB。
（多选）21．地球静止卫星距地面高度为h，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，地球自转的角速度为ω，那么下列表达式表示静止卫星绕地球转动的线速度正确的是（ ）
A．v＝（R+h）ω B．
C． D．
【答案】ACD
【解答】解：A.静止卫星与地球同步，做匀速圆周运动，地球自转的角速度为ω，则线速度定义可得：，故A正确；
B.静止卫星做匀速圆周运动，地球的引力提供向心力，则有，解之得，故B错误；
C.由黄金代换式，可得，故C正确；
D.根据及得：，则，故D正确。
故选：ACD。
▉题型5 不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较
【知识点的认识】
1.卫星运行的一般规律如下：
①Gm→v
②Gmω2r→ω
③Gm→T
④Gma→a＝G
由此可知，当运行半径r增大时，卫星运行的线速度v减小，角速度ω减小，加速度a减小，周期T变大。所以可总结出一条规律为“高轨低速长周期”。即轨道大时，速度（“所有的速度”：线速度、角速度、加速度）较小、周期较大。
2.卫星的运行参数如何与赤道上物体运行的参数相比较？
赤道上运行的物体与同步卫星处在同一个轨道平面，并且运行的角速度相等，所以比较赤道上物体与一般卫星的运行参数时，可以通过同步卫星建立联系。
22．关于近地卫星和地球静止卫星，下列说法正确的是（ ）
A．近地卫星的发射速度小于7.9km/s
B．近地卫星在轨道上的运行速度大于7.9km/s
C．地球静止卫星距地面的高度是确定的
D．地球静止卫星运行时可能会经过地球北极点的正上方
【答案】C
【解答】解：AB、地球的第一宇宙速度为7.9km/s，是卫星的最小发射速度，也是卫星在轨道上的最大运行速度，所以近地卫星的发射速度应大于7.9km/s，近地卫星在轨道上的运行速度小于7.9km/s，故AB错误；
CD、地球静止卫星的轨道高度、周期、角速度是一定的，轨道平面只能在赤道平面内，不可能经过北极点的正上方，故C正确，D错误。
故选：C。
23．如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．甲的线速度比乙的大
B．甲的角速度比乙的大
C．甲的运行周期比乙的小
D．甲的向心加速度比乙的小
【答案】D
【解答】解：设中心天体的质量为M′，环绕卫星的质量为m，轨道半径为r。
A、由万有引力提供向心力有：m，解得：v，轨道半径r相等，中心天体的质量M乙＞M甲，故甲的线速度比乙的小，故A错误；
B、由万有引力提供向心力有：mrω2，解得：ω，轨道半径r相等，M乙＞M甲，故甲的角速度比乙的小，故B错误；
C、根据万有引力提供向心力，则有：mr，解得T，中心天体的质量M乙＞M甲，甲的运行周期比乙的大，故C错误；
D、根据牛顿第二定律可得ma，解得a，轨道半径r相等，M乙＞M甲，故a乙＞a甲，甲的向心加速度比乙的小，故D正确；
故选：D。
24．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能增大为原来的4倍，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（ ）
A．向心加速度大小之比为1：4
B．轨道半径之比为4：1
C．周期之比为4：1
D．角速度大小之比为1：2
【答案】B
【解答】解：B、动能增大为原来的4倍，则线速度增大为原来的2倍，
根据万有引力提供向心力得，
v，
则轨道半径变为原来的倍。则轨道半径之比为4：1．故B正确；
ACD、根据mω2r
解得a
ω
T＝2π
轨道半径之比为4：1，
则向心加速度大小之比为1：16，角速度大小之比为1：8，周期之比为8：1，故ACD错误。
故选：B。
（多选）25．2018年2月6日，马斯克的SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆跑车发射到太空，其轨道示意图如图中椭圆Ⅱ所示，其中A、C分别是近日点和远日点，图中Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则以下说法正确的是（ ）
A．跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率
B．跑车经过B点时的加速度等于火星经过B点时的加速度
C．跑车在C点的速率一定大于火星绕日的速率
D．跑车在C点的速率一定小于火星绕日的速率
【答案】ABD
【解答】解：ACD、Ⅰ、Ⅲ轨道分别是地球、火星围绕太阳做匀速圆周运动的轨道，对地球、火星绕日运动，根据万有引力提供向心力，有
G ＝ m
解得v ＝
因地球公转的轨道半径小于火星公转的轨道半径，故地球绕日的线速度大于火星绕日的线速度，而跑车从Ⅰ轨道变轨到Ⅱ轨道需要在A点加速，即跑车经过A点时的速率大于跑车在轨道Ⅰ的线速度，所以跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率；
同理，若跑车在过C点的圆周上做绕太阳的圆周运动，运动速率小于火星绕日的速度，跑车在C点将做近心运动，则速度比在过C点圆周上绕太阳做圆周运动的速度更小，则跑车在C点的速率一定小于火星绕日的速率，故AD正确，C错误；
B、根据牛顿第二定律得
G ＝ ma
解得
a ＝
因同一点离太阳的距离一样，故跑车经过B点时的加速度等于火星经过B点时的加速度，故B正确。
故选：ABD。
（多选）26．如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则（ ）
A．a所需向心力最小
B．b，c的周期相同且大于a的周期
C．b，c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b，c的线速度大小相等，且小于a的线速度
【答案】BD
【解答】解：A．万有引力作为向心力可得，可知卫星a、卫星b质量相等，卫星a的轨道半径较小，故卫星a所需向心力大于卫星b所需向心力，所以卫星a的向心力不是最小的，故A错误；
BCD．由引力作为向心力可得
整理得，，
故卫星b、卫星c的周期相同大于卫星a的周期，卫星b、卫星c的向心加速度大小相等，且小于卫星a的向心加速度，卫星b、卫星c的线速度大小相等，且小于卫星a的线速度，故BD正确，C错误。
故选：BD。
▉题型6 卫星的发射及变轨问题
【知识点的认识】
1.卫星从发射到入轨运行不是一蹴而就的，要经过多次的轨道变化才能实现。
2.一般来说卫星的发射包括以下步骤：
①发射地球卫星，如下图
a、先进入近地轨道Ⅲ
b、在B点加速进入椭圆轨道Ⅱ
c、在远地点A加速进入高轨道Ⅰ
②发射其他行星的卫星，如下图（以月球为例）
a、先进入近地轨道
b、加速进入椭圆轨道
c、多次在近地点加速增加远地点高度，从而进入地月转移轨道
d、在地月转移轨道上的某点被月球引力俘获进入月球轨道
e、在近地点减速减小远地点高度
f、进入环月轨道
27．2020年10月1日，国家航天局发布“天问一号”火星探测器在深空自拍的飞行图像，如图所示。已知地球的质量约为火星质量的10倍，半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9km/s，小于11.2m/s
B．“天问一号”探测器在火星附近制动减速时需要向速度的反方向喷气
C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1：5
D．物体分别在火星和地球表面附近做自由落体运动，下落相同高度用时之比为
【答案】D
【解答】解：A、“天问一号”探测器需要脱离地球的引力才能奔向火星绕火星运行，所以其发射的最小速度为第二宇宙速度11.2km/s，故A错误；
B、“天问一号”探测器在火星附近时应朝速度方向喷气，即向前喷气，才能获得阻力实现制动减速，故B错误；
C、卫星在行星表面附近运行的速度即为该行星的第一宇宙速度，由万有引力提供向心力得
可得
故火星与地球的第一宇宙速度之比为v火：v地：：1：，故C错误；
D、在行星表面附近，有
由自由落体运动的规律有
可得
解得：，故D正确。
故选：D。
▉题型7 卫星的追及相遇问题
【知识点的认识】
一、卫星的对接问题
1.在卫星运行的过程中，会遇到这样的一类问题，那就是处于低轨道的物体要和高轨道的物体相会和；或处于高轨道的物体要和低轨道的物体相会和。在现实中的应用比如卫星的对接。
2.卫星对接的原理可以简单概括为：加速进高轨，减速进低轨。本质上是近心和离心作用。
3.现实生活中的卫星对接常常一般采用从低轨加速进入高轨的方式完成对接。
二、卫星角速度不同引起的共线问题
1.不同轨道的卫星运行的速度不同，如果某一个时刻两个卫星与中心天体在一条直线上（卫星在天体同一侧），一定时间后它们还会再次共线。这种情况也可以认为卫星发生了追及相遇现象。
2.这类问题的本质可以看成卫星运行的角速度不同引起的，根据角速度与角度的关系可以得出，每一次卫星与中心天体在一条直线上（卫星在天体同一侧）时有：
（ω1﹣ω2）t＝2nπ，n＝1，2，3，...
（多选）28．三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，则下列说法正确的是（ ）
A．C加速可追上同一轨道上的A
B．经过时间，A、B相距最远
C．A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度
D．卫星A、C受到地球的万有引力大小一定相等
【答案】BC
【解答】解：A、卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的A点，故A错误；
B、卫星A、B由相距最近到相距最远，圆周运动转过的角度差为π，所以可得ωBt﹣ωAt＝π，其中，，则经历的时间t，故B正确；
C、根据牛顿第二定律可知，ma，解得a，卫星A和C的轨道半径相同且小于B的轨道半径，则卫星A和C的向心加速度相等且小于B的向心加速度，故C正确；
D、根据万有引力公式可知，F，卫星A、C的质量不一定相等，星A、C受到地球的万有引力大小也不一定相等，故D错误。
故选：BC。
▉题型8 双星系统及相关计算
【知识点的认识】
1.模型特点：众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星。
2.模型特点
（1）两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点；
（2）两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供；
（3）两星的运动周期、角速度相同；
（4）两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1+r2＝L。
3.处理方法
（1）双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即。
（2）两个结论：
①运动半径：m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
②质量之和：由于，r1+r2＝L，所以两恒星的质量之和为m1+m2。
29．双星系统由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，设质量分别用m1、m2表示，且m1：m2＝5：3。则可知（ ）
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为5：3
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为5：3
C．双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大
D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
【答案】D
【解答】解：AB．双星具有相同的角速度，设为ω，靠相互间的万有引力提供向心力，则有，r1+r2＝L
解得轨道半径之比等于质量的反比，即r1：r2＝m2：m1＝3：5
根据线速度与角速度关系v＝ωr可知，m1、m2做圆周运动的线速度之比等于轨道半径之比为v1：v2＝3：5
故AB错误；
CD．根据角速度与周期的关系可知
由上式可得
则总质量
可知双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小；双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故C错误，D正确。
故选：D。
30．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA：rB＝1：2，则两颗天体的（ ）
A．质量之比mA：mB＝2：1
B．角速度之比ωA：ωB＝1：2
C．线速度大小之比vA：vB＝2：1
D．向心力大小之比FA：FB＝2：1
【答案】A
【解答】解：双星都绕O点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω．根据牛顿第二定律，有：
对A星：GmAω2rA ①
对B星：GmBω2rB ②
故：mA：mB＝rB：rA＝2：1。
根据双星的条件有：角速度之比ωA：ωB＝1：1
由v＝ωr得：线速度大小之比vA：vB＝rA：rB＝1：2
向心力大小之比FA：FB＝1：1，故A正确，BCD错误。
故选：A。
31．2012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中（ ）
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
【答案】C
【解答】解：A、设体积较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，体积大的星体质量为m2，轨道半径为r2．双星间的距离为L．转移的质量为Δm。
则它们之间的万有引力为F＝G，根据数学知识得知，随着Δm的增大，F先增大后减小。故A错误。
B、对m1：G（m1+Δm）ω2r1 ①
对m2：G（m2﹣Δm）ω2r2 ②
由①②得：ω，总质量m1+m2不变，两者距离L不变，则角速度ω不变。故B错误。
C、D由②得：ω2r2，ω、L、m1均不变，Δm增大，则r2 增大，即体积较大星体圆周运动轨迹半径变大。
由v＝ωr2得线速度v也增大。故C正确。D错误。
故选：C。
（多选）32．2019年12月20日，国防科技大学领衔研制的我国天基网络低轨试验双星在太原卫星发射中心搭载C Z﹣4B火箭成功发射，双星顺利进入预定轨道，假设两个质量分别为m1和m2（m1＞m2）的星体A和B组成一双星系统，二者中心之间的距离为L，运动的周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．因为m1＞m2，所以星体A对星体B的万有引力大于星体B对星体A的万有引力
B．星体A做圆周运动的半径为L
C．星体B的线速度大小为
D．两星体的质量之和为
【答案】BD
【解答】解：A、两者之间的万有引力提供彼此的向心力，此为相互作用力，大小相等，方向相反，故A错误；
B、对A、B两星体，根据牛顿第二定律有和，
因为r1+r2＝L，
联立解得星体A和星体B的运动半径分别为，，故B正确；
C、星体B的线速度为v，故C错误；
D、有、将和简化后相加，结合r1+r2＝L可得m1+m2，故D正确。
故选：BD。
（多选）33．2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（ ）
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
【答案】BC
【解答】解：AB、设两颗星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，相距L＝400km＝4×105m，
根据万有引力提供向心力可知：
m1r1ω2
m2r2ω2，
整理可得：，解得质量之和（m1+m2），其中周期Ts，故A错误、B正确；
CD、由于Ts，则角速度为：ω24π rad/s，这是公转角速度，不是自转角速度
根据v＝rω可知：v1＝r1ω，v2＝r2ω
解得：v1+v2＝（r1+r2）ω＝Lω＝9.6π×106m/s，故C正确，D错误。
故选：BC。
（多选）34．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若AO＜OB，则（ ）
A．星球A的向心力一定大于B的向心力
B．星球A的线速度一定大于B的线速度
C．星球A的质量一定大于B的质量
D．双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
【答案】CD
【解答】解：A、双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故A错误；
B、双星系统角速度相等，根据v＝ωr，且AO＜OB，可知，A的线速度小于B的线速度，故B错误；
C、根据万有引力提供向心力公式得：Gm1ω2r1＝m2ω2r2，因为r1＜r2，所以m1＞m2，即A的质量一定大于B的质量，故C正确；
D、根据万有引力提供向心力公式得：Gm1（）2r1＝m2（）2r2，解得周期为T＝2π，由此可知双星的总质量一定，双星之间的距离越大，转动周期越大，故D正确；
故选：CD。
35．如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常数为G。
（1）求两星球做圆周运动的周期；
（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的万有引力大小为F，运行周期为T．根据万有引力定律有：F＝G ①
由匀速圆周运动的规律得F＝m（）2r ②
F＝M（）2R ③
由题意有 L＝R+r ④
联立①②③④式得：T＝2π ⑤
（2）在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，由题意知，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
T1＝2π ⑥
式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离。若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则Gm′（）2L′⑦
式中，T2为月球绕地心运动的周期。由⑦式得：
T2＝2π ⑧
由⑥⑧式得：（）2＝1 ⑨
代入题给数据得：（）2＝1.012 ⑩
答：（1）两星球做圆周运动的周期为2π；
（2）T2与T1两者平方之比为1.012。
36．如图是卡文迪什扭矩实验装置，此实验被评为两千多年来十大最美物理实验之一。卡文迪什运用最简单的仪器和设备精确测量了万有引力常数G，这对天体力学、天文观测学，以及地球物理学具有重要的实际意义。人们还可以在卡文迪什实验的基础上可以“称量”天体的质量。
（1）已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，若忽略地球自转的影响，求地球的质量；
（2）若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”。已知月球的公转周期为T，月球、地球球心间的距离为L。结合（1）中的信息，求月球的质量。
【答案】（1）已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，若忽略地球自转的影响，地球的质量；
（2）若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”。已知月球的公转周期为T，月球、地球球心间的距离为L。结合（1）中的信息，月球的质量为。
【解答】解：（1）设地球的质量为M，地球表面某物体质量为m，忽略地球自转的影响，则有
解得
（2）设地球的质量为M1，地球圆周运动的半径为r1，设月球的质量为M2，月球圆周运动的半径为r2，对地球
对月球
又因为L＝r1+r2，
解得
则月球的质量
答：（1）已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，若忽略地球自转的影响，地球的质量；
（2）若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”。已知月球的公转周期为T，月球、地球球心间的距离为L。结合（1）中的信息，月球的质量为。
▉题型9 中子星与黑洞
【知识点的认识】
本考点以中子星或黑洞为背景考查万有引力定律。
37．人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞（质量分别为26个和39个太阳质量）互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞间的距离为L，其运动周期为T，则（ ）
A．黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量
B．黑洞A的向心力一定小于黑洞B的向心力
C．两个黑洞间的距离L一定时，M越大，T越大
D．两个黑洞的总质量M一定时，L越大，T越小
【答案】A
【解答】解：AB、两个黑洞A、B组成双星系统，两者周期相同，各自由相互的万有引力提供向心力，黑洞A和B的向心力大小相等。设黑洞A、B的轨道半径分别为rA、rB，由牛顿第二定律得
对A，有GmArA
对B，有GmBrB
又rA+rB＝L
联立解得：，M＝mA+mB
因为rA＞rB，所以mA＜mB，即黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量，故A正确，B错误；
CD、两个黑洞间的距离L一定时，M越大，T越小，两个黑洞的总质量M一定时，L越大，T越大，故CD错误。
故选：A。
38．科学家通过研究双中子星合并的引力波，发现：两颗中子星在合并前相距为L时，两者绕连线上的某点每秒转n圈；经过缓慢演化一段时间后，两者的距离变为kL，每秒转pn圈，则演化前后（ ）
A．两中子星运动周期为之前kp倍
B．两中子星运动的角速度为之前倍
C．两中子星质量之和为之前k3p2倍
D．两中子星运动的线速度平方之和为之前倍
【答案】C
【解答】解：A．合并前相距为L时，周期
缓慢演化一段时间后，周期
故A错误；
B．角速度之比即转速之比，两中子星运动的角速度为之前p倍，故B错误；
C．对m，根据牛顿第二定律有：
对M，根据牛顿第二定律有：
可得G（M+m）＝4π2n2L3
转速之比为p且距离变为kL，所以总质量（M+m）'＝k3p2（M+m）
故C正确；
D．根据万有引力提供向心力：
可得，
解得：
只有当M＝m时，
两者的距离变为kL时，线速度平方之和为之前倍，但现在质量关系不确定，则线速度平方之和不一定为之前倍，故D错误。
故选：C。
