第二章 2.匀速圆周运动的向心力和向心加速度
题型1 向心力的定义及物理意义（受力分析方面） 题型2 向心力的表达式及影响向心力大小的因素
题型3 通过受力分析求解向心力 题型4 牛顿第二定律与向心力结合解决问题
题型5 向心加速度的概念、方向及物理意义 题型6 向心加速度的表达式及影响向心加速度大小的因素
题型7 探究圆周运动的相关参数问题
▉题型1 向心力的定义及物理意义（受力分析方面）
【知识点的认识】
1.定义：做匀速圆周圆周的物体所受的指向圆心的力。
2.作用效果：不改变速度的大小，只改变速度的方向。
3．大小：Fn＝man＝＝mω2r＝。
4．方向：总是沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
5．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，甚至可以由一个力的分力提供，因此向心力的来源要根据物体受力的实际情况判定。
注意：向心力是一种效果力，受力分析时，切不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力。
（多选）1．关于向心力的说法正确的是（ ）
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变圆周运动物体速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体所受的合力即为其向心力
D．做匀速圆周运动的物体所受的向心力是不变的
▉题型2 向心力的表达式及影响向心力大小的因素
【知识点的认识】
1.向心力的表达式为：Fn＝man＝mω2r＝mm
2.由表达式可以看出：
（1）在其他因素不变时，向心力与质量成正比；
（2）在质量和半径不变时，向心力与角速度的平方成正比，与线速度的平方成正比，与周期的平方成反比；
（3）在质量和角速度不变时，向心力与半径成正比；
（4）在质量和线速度不变时，向心力与半径成反比；
（5）在质量和周期不变时，向心力与半径成正比。
2．在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，如图所示，当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是（ ）
A．物体所受弹力增大，摩擦力不变
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C．物体所受弹力和摩擦力都减小
D．物体所受弹力减小，摩擦力增大
（多选）3．如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则（ ）
A．绳的拉力可能为零
B．桶对物块的弹力可能为零
C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
▉题型3 通过受力分析求解向心力
【知识点的认识】
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，甚至可以由一个力的分力提供，由此可以得到向心力的一种求解方法：受力分析法。如果物体在做圆周运动，通过对物体受力分析，得到沿半径方向的力即为物体所受的向心力。
4．质量分别为M和m的两个小球，分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，拴M和m的悬线与竖直方向夹角分别为α和β，如图所示，则（ ）
A．cosα B．cosα＝2cosβ
C．tanα D．tanα＝tanβ
▉题型4 牛顿第二定律与向心力结合解决问题
【知识点的认识】
圆周运动的过程符合牛顿第二定律，表达式Fn＝man＝mω2r＝mm也是牛顿第二定律的变形，因此可以将牛顿第二定律与向心力结合起来求解圆周运动的相关问题。
5．辽宁舰质量m＝6×107kg，它在海上转弯的照片如图所示，假设整个过程中辽宁舰做匀速圆周运动（g取10m/s2），速度大小为20m/s，圆周运动的半径为1000m，下列说法中正确的是（ ）
A．在A点时水对舰的合力指向圆心
B．在A点时水对舰的合力大小约为6.0×108N
C．在A点时水对舰的合力大小约为2.4×107N
D．在A点时水对舰的合力大小为0
6．如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动，卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点，细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动，若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内，要使卷轴转动不停止，v的最大值为（ ）
A．r B．l C．r D．l
7．一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2kg的木块，它与转台间最大静摩擦力fmax＝6.0N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O孔光滑），另一端悬挂一个质量m＝1.0kg的物体，当转台以角速度ω＝5rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是（g取10m/s2，M、m均视为质点）（ ）
A．0.04m B．0.06m C．0.16m D．0.50m
9．如图甲所示，在问天实验舱中的变重力科学实验柜，可为科学实验提供零重力到两倍重力范围的高精度模拟重力环境，用以研究不同重力环境下的科学现象。变重力科学实验柜的主要装置是如图乙所示的两套离心机。离心机旋转过程中，由于惯性作用，实验载荷会有沿着旋转半径向外飞出的趋势，可以等效为物体在圆周运动中受到一个与向心力等大反向的“离心力”，而这个“离心力”就可以用来模拟物体受到的重力。某次实验中，需要给距离圆心450mm的实验载荷模拟2g的重力环境（g取9.8m/s2），则离心机的转速最接近以下哪个值（ ）
A．0.1r/s B．1r/s C．10r/s D．100r/s
10．一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，质量分别为m1、m2的两个小球A和B紧贴着内壁分别在图示的水平面内做匀速圆周运动。若m1＞m2，则（ ）
A．球A的角速度大于球B的角速度
B．球A的角速度小于球B的角速度
C．球A的向心力小于球B的向心力
D．球A的向心力等于球B的向心力
11．两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（ ）
A．运动的线速度大小相等
B．运动的角速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．向心力大小相等
12．如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法正确的是（ ）
A．在竖直方向汽车只受两个力：重力和桥面的支持力
B．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
C．汽车对桥面的压力等于汽车的重力
D．汽车对桥面的压力大于汽车的重力
13．如图所示为“感受向心力”的实验，用一根轻绳，一端拴着一个小球，在光滑桌面上抡动细绳，使小球做圆周运动，通过拉力来感受向心力。下列说法正确的是（ ）
A．只减小旋转角速度，拉力增大
B．只加快旋转速度，拉力减小
C．只更换一个质量较大的小球，拉力增大
D．突然放开绳子，小球仍做曲线运动
14．如图所示，物块A随水平圆盘一起匀速转动，不计空气阻力，则物块所受力的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的圆形轨道滑行，经过最低点的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为（ ）
A．μmg B． C．μm（g） D．μm（g）
16．下列说法正确的是（ ）
A．做曲线运动的物体，受到的合外力一定不为零
B．物体受到的合外力方向变化，一定做曲线运动
C．两个互成角度的直线运动的合运动一定是直线运动
D．物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定能做匀速圆周运动
17．如图所示的装置叫做圆锥摆，用细绳悬挂的小球在水平面上做匀速圆周运动．如果圆锥摆悬绳与竖直方向的夹角为θ，悬线长为l，小球质量为m，则下列说法正确的是（ ）
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B．细绳的拉力为mgtanθ
C．向心力的大小可以表示为Fn＝mrω2，也可以表示为Fn＝mgtanθ
D．小球所受合力为恒力
18．如图所示，用长为L的细线控住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ＝30°角，重力加速度为g。则（ ）
A．小球受到3个力的作用
B．绳子的拉力等于2mg
C．小球做圆周运动的向心力等于mg
D．小球做圆周运动的角速度等于
（多选）19．如图甲所示，一水平放置的内表面光滑对称“V”形二面体AB﹣CD﹣EF，可绕其竖直中心轴OO'在水平面内匀速转动，其二面角为120°，截面图如图乙所示。面ABCD和面CDEF的长和宽均为L＝20cm。置于AB中点P的小物体（视为质点）恰好在ABCD面上没有相对滑动，取重力加速度g＝10m/s2。（ ）
A．“V”形二面体匀速转动的角速度ω＝5rad/s
B．“V”形二面体匀速转动的角速度
C．若“V”形二面体突然停止转动，小物体从二面体上离开的位置距离AB边距离2.5cm
D．若“V”形二面体突然停止转动，小物体从二面体上离开的位置距离AB边距离5cm
（多选）20．如图所示，两相同木块A和B放在水平转盘上，二者用长为3L的不可伸长的细绳连接，A到转盘中心的距离为L，两木块与转盘的最大静摩擦力等于各自重力的k倍，重力加速度为g。整个装置能绕通过转盘中心的竖直转轴O1O2转动，开始时绳刚好伸直，现使装置的角速度ω由零开始缓慢增大，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．当时，绳上开始产生张力
B．当时，A所受的摩擦力为零
C．当时，A、B相对转盘开始滑动
D．从转盘开始转动到A、B相对转盘开始滑动，A的摩擦力先增大后减小，再增大
（多选）21．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
A．A的线速度比B的大
B．A的向心加速度比B的小
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
（多选）22．如图所示，半径为R的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合，转台以一定角速度ω匀速旋转。甲、乙两个小物块（可视为质点）质量均为m，分别在转台的A、B两处随陶罐一起转动且始终相对罐壁静止，OA、OB与OO′间的夹角分别为a＝30°和β＝60°，重力加速度大小为g。当转台的角速度为ω0时，小物块乙受到的摩擦力恰好为零，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当转台的角速度为ω0时，甲有上滑的趋势
C．当角速度从0.5ω0缓慢增加到1.5ω0的过程中，甲受到的摩擦力一直增大
D．当角速度从0.5ω0缓慢增加到1.5ω0的过程中，甲受到的支持力一直增大
（多选）23．双人花样滑冰比赛是一项极具观赏性的项目。比赛中，女运动员有时会被男运动员拉着离开冰面在空中做水平面内的匀速圆周运动，如图所示。此时，通过目测估计男运动员的手臂与水平冰面的夹角约为45°，女运动员与其身上的装备总质量约为45kg，重力加速度g取10m/s2。仅根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．女运动员速度不变
B．男运动员对女运动员的拉力约为450N
C．女运动员旋转的向心加速度大小约为10m/s2
D．若女运动员做匀速圆周运动的半径r＝1m，其转动的角速度大小ω约为rad/s
（多选）24．关于下列四幅图的说法，正确的是（ ）
A．甲图中的汽车在过最高点时处于失重状态
B．乙图中的两个小球A，B的角速度相同
C．丙图中的直筒洗衣机脱水时，被用出去的水滴受到离心力作用
D．如图丁，火车转弯速度小于规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用
（多选）25．用一根细线一端系一可视为质点的小球，小球质量为m，另一端固定在一光滑锥顶上，如左图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线长为L，线的张力为FT，FT随ω2变化的图像如右图所示。（ ）
A．当0＜ω＜ω0时斜率k1＝mL（sinθ）2
B．当ω0＜ω时斜率k2＝mLsinθ
C．右图与纵轴的交点为mgcosθ
D．小球一定受到圆锥的弹力
（多选）26．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起，如图所示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，让圆盘从角速度为0开始转动，角速度缓慢增大，直到两物体与圆盘刚要发生相对滑动，（两物体均可看作质点，重力加速度为g）则下列说法正确的是（ ）
A．角速度增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加后不变
B．角速度增大的过程中，物块M始终不受摩擦力
C．圆盘旋转的角速度最大不得超过
D．圆盘旋转的角速度最大不得超过
27．用如图所示的向心力演示器探究向心力的表达式，已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1：2：1．
（1）在这个实验中，利用了 来探究向心力的大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系．
A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法
（2）探究向心力大小F与质量m的关系时，选择两个质量 （选填“相同”或“不同”）的小球，分别放在挡板 （选填“A”或“B”）和挡板C处．
28．某小组的同学设计了一个研究汽车通过凹形桥最低点时的速度与其对桥面压力关系的实验装置。所用器材有小钢球、压力式托盘秤、凹形桥模拟器（圆弧部分的半径R＝0.30m）。完成下列填空：
（1）将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图甲所示，托盘秤的示数为1.10kg。
（2）将小钢球静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图乙所示，则该小钢球的重力为 N（重力加速度取10m/s2）。
（3）将小钢球从凹形桥模拟器某一位置释放，小钢球经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m；多次从同一位置释放小钢球，记录各次的m值如表所示：
序号 1 2 3 4 5
m（kg） 1.80 1.78 1.83 1.76 1.84
（4）根据以上数据，可求出小钢球经过凹形桥最低点时对桥的压力为 N（重力加速度取10m/s2）；小钢球通过最低点时的速度大小为 m/s；小钢球处于 （选填“超重”或“失重”）状态。
29．如图所示，倾角（θ＝53°）的窄斜面ABC固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点A在转轴OO1上。转台以一定角速度ω匀速转动时，质量为m的小物块（可视为质点）放置于斜面上，与斜面一起转动且相对斜面静止在AB上。小物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，物块与A点间的距离为L，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。
（1）求ω为多大时，小物块与斜面之间没有摩擦力；
（2）若μ＝0.5为了使小物块始终相对斜面静止在AB上，求ω。
30．一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2m，杆与竖直转轴的夹角α始终为60°，弹簧原长x0＝0.1m，弹簧劲度系数k＝100N/m，圆环质量m＝1kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10m/s2，摩擦力可忽略不计。
（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
31．如图所示，水平转台上有一个质量m＝2kg的小物块，用长L＝0.5m的细线将物块连接到转轴上，此时细线恰好绷直无拉力，细线与竖直转轴的夹角θ＝37°，物块与转台间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现使转台由静止开始逐渐加速转动。g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）当绳子刚好出现拉力时，转台角速度ω1为多大？
（2）当物块刚要离开转台时，转台角速度ω2为多大？
（3）当转台角速度为时，细线的拉力为多大？
32．如图所示，质量为m的小球用细线悬挂于天花板的O点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度大小为g。
（1）若悬挂小球的细线长为L，小球做匀速圆周运动的角速度为ω，求细线对小球的拉力F的大小；
（2）设小球运动的轨迹圆的圆心O'到悬挂点O的距离为h，请写出小球做匀速圆周运动的角速度ω与h的函数关系式；
（3）已知悬挂点O到水平地面（图中未画出）的高度H＝2L，细线长为L，细线能承受的最大拉力是小球所受重力的2倍，缓慢增大小球的角速度，若角度θ已知，求小球的落地点到悬挂点O的距离s0。
33．一个半径为R＝0.5m的水平转盘可以绕竖直轴O′O″转动，水平转盘中心O′处有一个光滑小孔，用一根长L＝1m细线穿过小孔将质量分别为mA＝0.2kg、mB＝0.5kg的小球A和小物块B连接，小物块B放在水平转盘的边缘且与转盘保持相对静止，如图所示。现让小球A在水平面做角速度ωA＝5rad/s的匀速圆周运动，小物块B与水平转盘间的动摩擦因数μ＝0.3（取g＝10m/s2），求：
（1）细线与竖直方向的夹角θ；
（2）小球A运动不变，现使水平转盘转动起来，要使小物块B与水平转盘间保持相对静止，求水平转盘角速度ωB的取值范围；（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
（3）在水平转盘角速度ωB为（2）问中的最大值的情况下，当小球A和小物块B转动至两者速度方向相反时，由于某种原因细线突然断裂，经过多长时间小球A和小物块B的速度相互垂直。（可能使用到的sin30°，cos30°，sin37°，cos37°）
34．“魔盘”是一种神奇的游乐设施，它是一个能绕中心轴转动的带有竖直侧壁的大型转盘，随着“魔盘”转动角速度的增大，“魔盘”上的人可能向盘的边缘。如图所示，质量为50kg的彬彬（视为质点）坐在转盘上与转盘中心相距r＝1m，转盘的半径R＝3m，彬彬与盘面及侧壁间的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力视为等于滑动摩擦力。
（1）当转盘的角速度大小为ω1＝1rad/s时，彬彬未滑动，求此时人受到的摩擦力大小；
（2）使转盘的转速缓慢增大，求彬彬与转盘刚发生相对滑动时转盘的角速度大小ω2；
（3）当彬彬滑至“魔盘”侧壁时，只要转盘的角速度不小于某一数值ω3，就可以紧贴着侧壁一起转动而不受到地面支持力，试求角速度ω3的大小。
35．如图所示，斜槽轨道下端与一个半径为0.4m的圆形轨道相连接．一个质量为0.1kg的物体从高为H＝2m的A点由静止开始滑下，运动到圆形轨道的最高点C处时，对轨道的压力等于物体的重力．求物体从A运动到C的过程中克服摩擦力所做的功（g取10m/s2）．
36．如图所示，一根长L＝0.1m的细线，一端系着一个质量m＝0.18kg的小球，拉住线的另一端，使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动。现使小球的角速度缓慢地增大，当小球的角速度增大到开始时的3倍时，细线断开，细线断开前的瞬间受到的拉力比开始时大40N．取g＝10m/s2。
（1）求细线断开前的瞬间，小球受到的拉力大小；
（2）求细线断开前的瞬间，小球的线速度大小；
（3）若小球离开桌面时，速度方向与桌面右边缘间的夹角为30°，桌面高出水平地面0.8m，求小球飞出后的落地点到桌面右边缘的水平距离。
37．甲、乙两辆完全相同的汽车，它们以相同的速率v＝10m/s匀速率行驶，分别通过一个凸形桥和一个凹形桥，两桥半径都是R＝40m，当它们分别通过凸形桥的最高点和凹形桥的最低点时，受到的支持力大小之比为多少？（g＝10m/s2）
38．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4rad/s，盘面上有一个质量为2.5kg的小物块随圆盘一起运动（二者未发生相对滑动），小物块与转轴的距离为R＝0.3m。求：
（1）小物块运动的线速度大小；
（2）小物块受到的静摩擦力大小和方向。
（3）若圆盘对小物块的最大静摩擦力为18.75N，要使二者不发生相对滑动，圆盘转动的角速度不能超过多大？
39．长为L＝18cm的细线，拴一质量为2kg的小球，一端固定于O点。让其在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，摆线与竖直方向的夹角为α＝37°，g＝10m/s2，求：
（1）小球的向心力F的大小；
（2）小球的线速度的大小。
40．如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球从轨道口B飞出后，小球落地点C距A处的距离为4R（AB为圆的直径，重力加速度为g），求：
（1）小球经过B点的速度大小；
（2）小球在B点对轨道的压力大小。
41．如图所示，质量为0.8kg的小球用长为0.5m的细线悬挂在O点，O点距水平地面高度为2m，如果使小球绕竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，若细线受力为10N时就会被拉断，g取10m/s2，求：
（1）当小球的角速度为多大时细线将断裂；
（2）线刚好拉断时小球落地点与悬点O的水平距离。
42．旋转木马被水平钢杆拴住，绕转台的中心轴做匀速圆周运动，若相对两个木马间的杆长为6m，木马的质量为30kg，骑木马的儿童质量为40kg，当木马旋转的速度为6m/s时，试问：
（1）此时木马和儿童的向心力分别由哪个物体提供．
（2）此时儿童受到的向心力是多大？
43．如图所示，质量m＝1×104kg的汽车以相同的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为80m，如果桥面承受的压力不超过3.0×105N，则：（g取10m/s2）
（1）汽车允许的最大速率是多少？
（2）若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
44．如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R＝0.2m的光滑圆形轨道，BC段为高为h＝5m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一质量为0.2kg的小球从A点由静止开始下滑，到达B点时速度的大小为2m/s，离开B点做平抛运动（g＝10m/s2），求：
（1）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C点的水平距离；
（2）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小；
（3）如果在BCD轨道上放置一个倾角θ＝45°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B点后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置距离B点有多远．如果不能，请说明理由。
▉题型5 向心加速度的概念、方向及物理意义
【知识点的认识】
1.概念：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。
2.物理意义：向心加速度在匀速圆周运动中是用来描述速度变化快慢的物理量。
3.变速圆周运动中的加速度：变速圆周运动中，线速度的大小与方向均在变化，加速度的大小与方向均在变化，且加速度的方向不再指向圆心。
4.圆周运动中的外力与加速度
牛顿第二定律适用于任何运动形式，圆周运动也不例外。匀速圆周运动中向心力即是合力，向心加速度即是总的加速度，故有Fn＝man。
变速圆周运动的合力一般不指向圆心，可产生两个效果：沿半径方向上的合力改变物体速度的方向而产生向心加速度，沿切线方向上的合力改变物体速度的大小而产生切向加速度。合力与总的加速度、向心力与向心加速度，切向力与切向加速度均遵从牛顿第二定律。
45．关于向心加速度的物理意义，下列说法中正确的是（ ）
A．它只改变线速度的方向
B．它描述的是线速度大小变化的快慢
C．它描述的是角速度变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度是恒定不变的
46．断电后，风扇慢慢停下过程中，关于图中扇叶上A、B两点的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．A、B两点的线速度始终相同
B．A、B两点的转速不相同
C．A点的加速度始终指向圆心
D．A、B两点的向心加速度比值保持不变
▉题型6 向心加速度的表达式及影响向心加速度大小的因素
【知识点的认识】
1.向心加速度的表达式为an＝ω2r4π2n2r＝ωv
2.由表达式可知，向心加速度与物体的质量无关，与线速度、角速度、半径、周期、转速等参数有关。
3.对于公式an
该公式表明，对于匀速圆周运动，当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比；当运动半径一定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及线速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的线速度相同的情景。
4.对于公式an＝ω2r
该公式表明，对于匀速圆周运动，当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比；当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及角速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的角速度相同的情景。
5.向心加速度与半径的关系
根据上面的讨论，加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定，an与r成反比；若角速度（或周期、转速）一定，an与r成正比。如图所示。
47．关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．匀速圆周运动的物体所受的向心力一定指向圆心，非匀速圆周运动的物体所受的向心力可能不指向圆心
B．做曲线运动的物体一定有加速度
C．只要物体做圆周运动，它所受的合外力一定指向圆心
D．做曲线运动的物体，速度也可以保持不变
48．如图所示是一台长臂挖掘机。在驾驶员的操作下，挖掘机的机械臂关节点O静止不动，机械臂OB绕O点在竖直平面内逆时针转动，机械臂BC始终保持水平。已知A点为机械臂OB的中点，两臂长度OB：BC＝3：2。在此运动过程中（ ）
A．ωB＝2ωA
B．vB＝0.6vC
C．aB＝4aA
D．C点的轨迹为一段圆弧
49．下列说法正确的是（ ）
A．由P可知，只要做功多，功率就大
B．由P＝Fv可知，汽车牵引力一定时，它的功率与速度成正比
C．由an＝ω2r可知，向心加速度一定与圆周运动的半径成正比
D．由an可知，向心加速度一定与圆周运动的半径成反比
50．如图所示是中国古代玩具饮水鸟的示意图，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rPO＞rQO，则在摆动过程中（ ）
A．P点的线速度小于Q点的线速度
B．P点的角速度等于Q点的角速度
C．P点的向心加速度小于Q点的向心加速度
D．P、Q两点的线速度方向相反
51．洗手后我们往往都有“甩水”的动作，如图所示是摄像机拍摄甩水视频后制作的频闪画面，A、B、C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置。最后3帧照片中，指尖先以肘关节M为圆心做圆周运动，到接近B的最后时刻，指尖以腕关节N为圆心做圆周运动。测得A、B之间的距离约为24cm，B、N之间的距离为15cm，相邻两帧之间的时间间隔为0.04s，则指尖（ ）
A．经过B点速率约为3m/s
B．经过B点的角速度约为10rad/s
C．在BC段的向心加速度约为240m/s2
D．AB段与BC段相比更容易将水甩出
（多选）52．如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60kg的学员在A点位置，质量为70kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0m，B点的转弯半径为4.0m，则学员和教练员（均可视为质点）（ ）
A．运动周期之比为1：1
B．运动线速度大小之比为1：1
C．向心加速度大小之比为4：5
D．受到的合力大小之比为15：14
（多选）53．如图所示是两个做圆锥摆运动的小球1、小球2，摆线跟竖直方向的夹角分别为53°和37°，两球做匀速圆周运动所在的水平面到各自悬点的距离之比为2：1．下列有关判断正确的是（ ）
A．两球运动周期之比为1：
B．两球运动线速度之比为16：9
C．两球运动角速度之比为1：
D．两球运动向心加速度之比为16：9
（多选）54．如图，内壁光滑的细圆管一端弯成半圆形APB，另一端BC伸直，水平放置在桌面上并固定。半圆形APB半径R＝1.0m，BC长L＝1.5m，桌子高度h＝0.8m，质量1.0kg的小球以一定的水平初速度从A点沿过A点的切线射入管内，从C点离开管道后水平飞出，落地点D离点C的水平距离s＝2m，不计空气阻力，g取10m/s2．则以下分析正确的是（ ）
A．小球做平抛运动的初速度为10m/s
B．小球在圆轨道P点的角速度ω＝10rad/s
C．小球在P点的向心加速度为a＝25m/s2
D．小球从B运动到D的时间为0.7s
▉题型7 探究圆周运动的相关参数问题
【知识点的认识】
一、实验仪器
1.转动手柄；2、3.变速塔轮；4.长槽；5.短槽；6.横臂；7.弹簧测力套筒；8.标尺
二、实验步骤
匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也随之做匀速圆周运动。这时，小球向外挤压挡板，挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时，小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套简里的弹簧，弹簧的压缩量可以从标尺上读出，该读数显示了向心力大小。
（1）把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。探究向心力的大小与角速度的关系。
（2）保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与半径的关系。
（3）换成质量不同的小球，分别使两个小球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。
（4）重复几次以上实验。
三、数据处理
（1）m、r一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
ω
ω2
（2）m、ω一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
r
（3）r、ω一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
m
（4）分别作出F向﹣ω2、F向﹣r、F向﹣m的图像。
（5）实验结论
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比；
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比；
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。
55．某实验小组用如图甲所示的装置来探究小球做匀速圆周运动时所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
（1）在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到了物理学中 的方法。
A．理想实验法
B．等效替代法
C．控制变量法
D．演绎法
（2）在探究向心力F与角速度ω的关系时，若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力之比为1：9，则与皮带连接的两个变速塔轮的半径之比为 （填选项前的字母）。
A．1：3
B．3：1
C．1：9
D．9：1
（3）为验证做匀速圆周运动物体的向心力的定量表达式，实验组内某同学设计了如图乙所示的实验装置，电动机带动转轴OO′匀速转动，改变电动机的电压可以改变转轴的转速；其中AB是固定在竖直转轴OO′上的水平凹槽，A端固定的压力传感器可测出小球对其压力的大小，B端固定一宽度为d的挡光片，光电门可测量挡光片每一次的挡光时间。
实验步骤：
①测出挡光片与转轴的距离为L；
②将小钢球紧靠传感器放置在凹槽上，测出此时小钢球球心与转轴的距离为r；
③启动电动机，使凹槽AB绕转轴OO′匀速转动；
④记录下此时压力传感器示数F和挡光时间Δt。
（a）小钢球转动的角速度ω＝ （用L、d、Δt表示）；
（b）该同学为了探究向心力大小F与角速度ω的关系，多次改变转速后，记录了一系列力与对应角速度的数据，作出F﹣ω2图像如图丙所示，若忽略小钢球所受摩擦且小钢球球心与转轴的距离为r＝0.30m，则小钢球的质量m＝ kg（结果保留2位有效数字）。
56．“探究向心力大小的表达式”的实验装置如图甲所示。已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1：2：1，变速塔轮自上而下有如图乙所示三种组合方式传动，左右每层半径之比由上至下分别为1：1、2：1和3：1。
（1）在研究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时，我们主要用到的物理学研究方法是 ；
A.理想实验法
B.等效替代法
C.控制变量法
D.演绎推理法
（2）某次实验中，把传动皮带调至第一层塔轮，将两个质量相等的钢球放在B、C位置，可探究向心力的大小与 的关系；
（3）匀速摇动手柄时，若两个钢球的质量和运动半径相等，左、右两标尺显示的格数之比为1：4，则与皮带连接的左塔轮和右塔轮的半径之比为 。
57．某实验小组通过如图所示的装置验证向心力公式。一个体积较小，质量为m的滑块套在水平杆上（不会翻到），力传感器通过一根细绳连接滑块，用来测量绳中拉力F的大小，最初整个装置静止，细绳刚好伸直但无张力，然后让整个装置逐渐加速转动，最后滑块随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动。滑块的中心固定一块挡光片，宽度为d，滑块的中心到转轴的距离为L，每经过光电门一次，通过力传感器和光电计时器就同时获得一组细绳拉力F和挡光片经过光电门时的挡光时间的数据。
（1）某次旋转过程中挡光片经过光电门时的挡光时间为Δt，则滑块转动的线速v＝ 。
（2）认为绳的张力充当向心力，如果F＝ （用已知量和待测量的符号表示），则向心力的表达式得到验证。
（3）该小组验证向心力的表达式时，经多次实验，仪器正常，操作和读数均没有问题，发现拉力F的测量值与滑块的向心力的理论值相比 （填“偏大”或“偏小”），主要原因是 。
58．如图所示，是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图，转动手柄1，可使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在轮塔2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。那么：
（1）现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法中正确的是 。
A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验
D．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验
（2）在该实验中应用了 （选填“理想实验法”、“控制变量法”、“等效替代法”）来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
（3）当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边轮塔与右边轮塔之间的角速度之比为 。
59．如图所示，图甲为“利用向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图，图乙为其俯视图，图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。当a、b两轮在皮带的带动下匀速转动时，
（1）本实验采用的科学方法是 ；
（2）两槽转动的角速度ωA ωB（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）现有两个质量相同的钢球，球1放在A槽的横臂挡板处，球2放在B槽的横臂挡板处，它们到各自转轴的距离之比为2：1。则钢球1、2的线速度之比为 ；当钢球1、2各自对应的标尺露出的格数之比为 时，向心力公式F＝mω2r得到验证。
60．用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
（1）本实验采用的科学方法是 ；
A．控制变量法
B．累积法
C．微元法
D．放大法
（2）通过本实验可以得到的结果是 。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比第二章 2.匀速圆周运动的向心力和向心加速度
题型1 向心力的定义及物理意义（受力分析方面） 题型2 向心力的表达式及影响向心力大小的因素
题型3 通过受力分析求解向心力 题型4 牛顿第二定律与向心力结合解决问题
题型5 向心加速度的概念、方向及物理意义 题型6 向心加速度的表达式及影响向心加速度大小的因素
题型7 探究圆周运动的相关参数问题
▉题型1 向心力的定义及物理意义（受力分析方面）
【知识点的认识】
1.定义：做匀速圆周圆周的物体所受的指向圆心的力。
2.作用效果：不改变速度的大小，只改变速度的方向。
3．大小：Fn＝man＝＝mω2r＝。
4．方向：总是沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
5．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，甚至可以由一个力的分力提供，因此向心力的来源要根据物体受力的实际情况判定。
注意：向心力是一种效果力，受力分析时，切不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力。
（多选）1．关于向心力的说法正确的是（ ）
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变圆周运动物体速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体所受的合力即为其向心力
D．做匀速圆周运动的物体所受的向心力是不变的
【答案】BC
【解答】解：A、物体做圆周运动就需要有向心力，向心力是由外界提供的，不是物体本身产生的。故A错误。
B、向心力总是与速度方向垂直，不做功，不能改变速度的大小，但改变速度的方向。故B正确。
C、做匀速圆周运动的物体向心力是以效果命名的。是由物体所受合外力提供的，故C正确。
D、向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，则向心力是变化的。故D错误。
故选：BC。
▉题型2 向心力的表达式及影响向心力大小的因素
【知识点的认识】
1.向心力的表达式为：Fn＝man＝mω2r＝mm
2.由表达式可以看出：
（1）在其他因素不变时，向心力与质量成正比；
（2）在质量和半径不变时，向心力与角速度的平方成正比，与线速度的平方成正比，与周期的平方成反比；
（3）在质量和角速度不变时，向心力与半径成正比；
（4）在质量和线速度不变时，向心力与半径成反比；
（5）在质量和周期不变时，向心力与半径成正比。
2．在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，如图所示，当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是（ ）
A．物体所受弹力增大，摩擦力不变
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C．物体所受弹力和摩擦力都减小
D．物体所受弹力减小，摩擦力增大
【答案】A
【解答】解：物体随圆筒做匀速圆周运动，在水平方向上有：，在竖直方向上：mg＝f
随着角速度ω增大，物体所受弹力FN增大，但摩擦力f始终等于重力大小，故摩擦力不变。故BCD错误，A正确。
故选：A。
（多选）3．如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则（ ）
A．绳的拉力可能为零
B．桶对物块的弹力可能为零
C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
【答案】BC
【解答】解：A、由于桶的内壁光滑，所以桶不能提供给物体竖直向上的摩擦力，所以绳子的拉力一定不能等于0．故A错误；
B、由于桶的内壁光滑，所以桶不能提供给物体竖直向上的摩擦力，绳子沿竖直向上的方向的分力与重力的大小相等，若绳子沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力可能为零。故B正确；
C、由题目的图中可知，绳子与竖直方向的夹角不会随桶的角速度的增大而增大，所以绳子的拉力也不会随角速度的增大而增大。故C正确，D错误。
故选：BC。
▉题型3 通过受力分析求解向心力
【知识点的认识】
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，甚至可以由一个力的分力提供，由此可以得到向心力的一种求解方法：受力分析法。如果物体在做圆周运动，通过对物体受力分析，得到沿半径方向的力即为物体所受的向心力。
4．质量分别为M和m的两个小球，分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，拴M和m的悬线与竖直方向夹角分别为α和β，如图所示，则（ ）
A．cosα B．cosα＝2cosβ
C．tanα D．tanα＝tanβ
【答案】A
【解答】解：设转轴稳定转动时角速度为ω。
根据牛顿第二定律得：
对于M：Mgtanα＝Mω2 2lsinα，①
对于m：mgtanβ＝mω2 lsinβ，②
联立①②解得：cosα
故选：A。
▉题型4 牛顿第二定律与向心力结合解决问题
【知识点的认识】
圆周运动的过程符合牛顿第二定律，表达式Fn＝man＝mω2r＝mm也是牛顿第二定律的变形，因此可以将牛顿第二定律与向心力结合起来求解圆周运动的相关问题。
5．辽宁舰质量m＝6×107kg，它在海上转弯的照片如图所示，假设整个过程中辽宁舰做匀速圆周运动（g取10m/s2），速度大小为20m/s，圆周运动的半径为1000m，下列说法中正确的是（ ）
A．在A点时水对舰的合力指向圆心
B．在A点时水对舰的合力大小约为6.0×108N
C．在A点时水对舰的合力大小约为2.4×107N
D．在A点时水对舰的合力大小为0
【答案】B
【解答】解：A．在A点时，水对舰有向上的浮力、指向圆心方向的推力，两个力的合力指向斜上方，故A错误；
BCD．辽宁舰做匀速圆周运动，水对舰的合力大小为
代入数据解得F≈6.0×108N
故B正确，CD错误。
故选：B。
6．如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动，卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点，细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动，若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内，要使卷轴转动不停止，v的最大值为（ ）
A．r B．l C．r D．l
【答案】A
【解答】解：卷轴的角速度为：
插销与卷轴属于同轴传动模型，角速度相等，要使卷轴转动不停止，则弹簧对插销的弹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：
联立解得：，故A正确，BCD错误；
故选：A。
7．一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：根据题意质点做匀速圆周运动，所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比：Fn∝rn
运动周期与轨道半径成反比可知： 为常数）
解得：，其中 均为常数，r 的指数为3，故n＝3，故C正确，ABD错误。
故选：C。
8．如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2kg的木块，它与转台间最大静摩擦力fmax＝6.0N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O孔光滑），另一端悬挂一个质量m＝1.0kg的物体，当转台以角速度ω＝5rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是（g取10m/s2，M、m均视为质点）（ ）
A．0.04m B．0.06m C．0.16m D．0.50m
【答案】C
【解答】解：物体的摩擦力和绳子的拉力的合力提供向心力，根据向心力公式得
代入数据解得rm＝0.32m
当M受到背向圆心的最大静摩擦力时，木块相对转台静止做圆周运动的合力最小，由牛顿第二定律有
代入数据解得rmin＝0.08m
则则木块到O点的距离的取值范围为0.08m≤r≤0.32m。
故ABD错误，C正确。
故选：C。
9．如图甲所示，在问天实验舱中的变重力科学实验柜，可为科学实验提供零重力到两倍重力范围的高精度模拟重力环境，用以研究不同重力环境下的科学现象。变重力科学实验柜的主要装置是如图乙所示的两套离心机。离心机旋转过程中，由于惯性作用，实验载荷会有沿着旋转半径向外飞出的趋势，可以等效为物体在圆周运动中受到一个与向心力等大反向的“离心力”，而这个“离心力”就可以用来模拟物体受到的重力。某次实验中，需要给距离圆心450mm的实验载荷模拟2g的重力环境（g取9.8m/s2），则离心机的转速最接近以下哪个值（ ）
A．0.1r/s B．1r/s C．10r/s D．100r/s
【答案】B
【解答】解：根据向心加速度公式有：2g＝r（2πn）2
代入数据解得：n＝1.1r/s，接近1r/s；
故ACD错误，B正确；
故选：B。
10．一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，质量分别为m1、m2的两个小球A和B紧贴着内壁分别在图示的水平面内做匀速圆周运动。若m1＞m2，则（ ）
A．球A的角速度大于球B的角速度
B．球A的角速度小于球B的角速度
C．球A的向心力小于球B的向心力
D．球A的向心力等于球B的向心力
【答案】B
【解答】解：AB、依题意，小球在运动过程中受到垂直于锥面的支持力和重力，合力提供了向心力，如图所示有
Nsinθ＝mg
Ncosθ＝mω2r
解得
因为小球A的轨道半径大于小球B的轨道半径，则球A的角速度小于球B的角速度，故A错误，B正确；
C D、因为是合力充当了向心力，结合受力分析图有F向＝Ncosθ＝mgcotθ
因为m1＞m2，所以球A的向心力大于球B的向心力，故CD错误。
故选：B。
11．两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（ ）
A．运动的线速度大小相等
B．运动的角速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．向心力大小相等
【答案】B
【解答】解：BD、对其中一个小球受力分析，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得，合力：F＝mgtanθ
由向心力公式得到F＝mω2r
设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htanθ；
联立可得：ω，与绳子的长度转动半径无关，角速度相等，向心力不相等，故B正确，D错误；
A、由v＝ωr，两球转动半径不等，则线速度大小不等，故A错误；
C、由a＝ω2r，两球转动半径不等，向心加速度不同，故C错误；
故选：B。
12．如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法正确的是（ ）
A．在竖直方向汽车只受两个力：重力和桥面的支持力
B．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
C．汽车对桥面的压力等于汽车的重力
D．汽车对桥面的压力大于汽车的重力
【答案】A
【解答】解：A、汽车过拱桥，做圆周运动，在最高点，重力和支持力的合力提供向心力，方向指向圆心，不受向心力，故A正确，B错误；
C、根据向心力公式得：
mg﹣N＝m
解得：N＝mg﹣mmg，故CD错误。
故选：A。
13．如图所示为“感受向心力”的实验，用一根轻绳，一端拴着一个小球，在光滑桌面上抡动细绳，使小球做圆周运动，通过拉力来感受向心力。下列说法正确的是（ ）
A．只减小旋转角速度，拉力增大
B．只加快旋转速度，拉力减小
C．只更换一个质量较大的小球，拉力增大
D．突然放开绳子，小球仍做曲线运动
【答案】C
【解答】解：A、小物体在光滑的水平桌面上做圆周运动时，由绳子的拉力F提供向心力，由F＝mω2r，知只减小旋转角速度，拉力F减小，故A错误。
B、只加快旋转速度，由F＝m知拉力增大，故B错误。
C、由F＝m知只更换一个质量较大的小球，拉力增大，故C正确。
D、突然放开绳子，小球将做离心运动，由于水平桌面光滑，所以小球做匀速直线运动，故D错误。
故选：C。
14．如图所示，物块A随水平圆盘一起匀速转动，不计空气阻力，则物块所受力的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：小木块做匀速圆周运动，合力指向圆心，对木块受力分析，受重力、支持力和静摩擦力，重力和支持力为平衡力，静摩擦力提供向心力，共三个力，故B正确，ACD错误。
故选：B。
15．一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的圆形轨道滑行，经过最低点的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为（ ）
A．μmg B． C．μm（g） D．μm（g）
【答案】C
【解答】解：物块滑到轨道最低点时，由重力和轨道的支持力提供物块的向心力，由牛顿第二定律得
FN﹣mg＝m
得到FN＝m（g）
则当小物块滑到最低点时受到的摩擦力为f＝μFN＝μm（g），故C正确，ABD错误；
故选：C。
16．下列说法正确的是（ ）
A．做曲线运动的物体，受到的合外力一定不为零
B．物体受到的合外力方向变化，一定做曲线运动
C．两个互成角度的直线运动的合运动一定是直线运动
D．物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定能做匀速圆周运动
【答案】A
【解答】解：A.物体做曲线运动的条件是合力方向与速度方向不在同一条直线上，故合外力一定不为零，故A正确；
B.物体做曲线运动的条件是合力的方向与速度方向不在同一条直线上，但合外力方向变化并不一定做曲线运动，如直线运动的物体合力反向，依旧做直线运动，故B错误；
C.两个互成角度的直线运动的合运动不一定是直线运动，如平抛运动，故C错误；
D.匀速圆周运动的向心力是始终指向圆心的，合力垂直于初速度方向的方向的运动，并不一定始终与速度的方向垂直，如平抛运动，故D错误。
故选：A。
17．如图所示的装置叫做圆锥摆，用细绳悬挂的小球在水平面上做匀速圆周运动．如果圆锥摆悬绳与竖直方向的夹角为θ，悬线长为l，小球质量为m，则下列说法正确的是（ ）
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B．细绳的拉力为mgtanθ
C．向心力的大小可以表示为Fn＝mrω2，也可以表示为Fn＝mgtanθ
D．小球所受合力为恒力
【答案】C
【解答】解：A、小球受重力和拉力，两个力的合力提供向心力，方向指向圆心。故A错误。
B、根据合成法知，拉力F．故B错误。
C、根据合力提供向心力有：Fn＝mgtanθ＝mrω2，故C正确。
D、小球的合力提供向心力，方向指向圆心，不断改变，故D错误；
故选：C。
18．如图所示，用长为L的细线控住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ＝30°角，重力加速度为g。则（ ）
A．小球受到3个力的作用
B．绳子的拉力等于2mg
C．小球做圆周运动的向心力等于mg
D．小球做圆周运动的角速度等于
【答案】C
【解答】解：A、小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析，如图
小球受重力和绳子的拉力，由于它们的合力总是指向圆心并使得小球在水平面内做圆周运动，故在物理学上，将这个合力就叫做向心力，即向心力是按照力的效果命名的，所以小球只受到重力和绳子的拉力，故A错误；
BCD、受力分析可得Tmg
Fn＝mgtan30°mg
由Fn＝mω2r＝mω2Lsin30°
可求出ω，故BD错误，C正确。
故选：C。
（多选）19．如图甲所示，一水平放置的内表面光滑对称“V”形二面体AB﹣CD﹣EF，可绕其竖直中心轴OO'在水平面内匀速转动，其二面角为120°，截面图如图乙所示。面ABCD和面CDEF的长和宽均为L＝20cm。置于AB中点P的小物体（视为质点）恰好在ABCD面上没有相对滑动，取重力加速度g＝10m/s2。（ ）
A．“V”形二面体匀速转动的角速度ω＝5rad/s
B．“V”形二面体匀速转动的角速度
C．若“V”形二面体突然停止转动，小物体从二面体上离开的位置距离AB边距离2.5cm
D．若“V”形二面体突然停止转动，小物体从二面体上离开的位置距离AB边距离5cm
【答案】BC
【解答】解：AB、设物体受到的支持力为F，受力分析如图所示：
根据牛顿第二定律得：Fsin60°＝mg
Fcos60°＝mω2Lsin60°
联立代入数据解得：，故A错误，B正确；
CD、“V”型二面体突然停止转动，设小物体在二面体上运动的时间为t，运动的初速度大小为v0，加速度大小为a，沿AD方向向下运动在距离为y，则有：
由平衡条件可得：F′＝mgsin60°
由牛顿第二定律可得：mgcos60°＝ma
又，v0＝ωLsin60°
由运动学规律可得：
联立代入数据解得：y＝0.025m＝2.5cm，故C正确，D错误。
故选：BC。
（多选）20．如图所示，两相同木块A和B放在水平转盘上，二者用长为3L的不可伸长的细绳连接，A到转盘中心的距离为L，两木块与转盘的最大静摩擦力等于各自重力的k倍，重力加速度为g。整个装置能绕通过转盘中心的竖直转轴O1O2转动，开始时绳刚好伸直，现使装置的角速度ω由零开始缓慢增大，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．当时，绳上开始产生张力
B．当时，A所受的摩擦力为零
C．当时，A、B相对转盘开始滑动
D．从转盘开始转动到A、B相对转盘开始滑动，A的摩擦力先增大后减小，再增大
【答案】CD
【解答】解：A．AB通过绳子相连，角速度相同，开始时静摩擦力提供向心力，则有：kmg＝mω2r，可知角速度与半径二次方成反比，由题可知B到转盘中心的距离大。B先达到最大静摩擦力，绳上开始出现张力，此时对B有
解得，故A错误；
BD．由A知，当时两木块相对转盘静止，由各自静摩擦力提供向心力，且静摩擦力随着角速度的增大而增大；
当后，绳上开始出现张力且在增大，A的向心力由绳张力和静摩擦力提供，因而静摩擦力开始减小，直到减小为0。此时，
可得
可知当时A的摩擦力随角速度的增大而减小。
当后A的摩擦力开始反向增大，达到最大静摩擦力后A、B相对转盘开始滑动，故B错误，D正确；
C．当A达到最大静摩擦力时，A、B相对转盘开始滑动；此时对A有
对B有
解得，故C正确。
故选：CD。
（多选）21．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
A．A的线速度比B的大
B．A的向心加速度比B的小
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
【答案】BD
【解答】解：AB两个座椅具有相同的角速度。
A、根据公式：v＝ω r，A的运动半径小，A的速度就小。故A错误；
B、根据公式：a＝ω2r，A的运动半径小，A的向心加速度就小，故B正确；
C、如图，对任一座椅，受力如图，由绳子的拉力与重力的合力提供向心力，则得：mgtanθ＝mω2r，则得tanθ，A的半径r较小，ω相等，可知A与竖直方向夹角θ较小，故C错误。
D、A的向心加速度小，A的向心力就小，则A对缆绳的拉力就小，故D正确。
故选：BD。
（多选）22．如图所示，半径为R的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合，转台以一定角速度ω匀速旋转。甲、乙两个小物块（可视为质点）质量均为m，分别在转台的A、B两处随陶罐一起转动且始终相对罐壁静止，OA、OB与OO′间的夹角分别为a＝30°和β＝60°，重力加速度大小为g。当转台的角速度为ω0时，小物块乙受到的摩擦力恰好为零，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当转台的角速度为ω0时，甲有上滑的趋势
C．当角速度从0.5ω0缓慢增加到1.5ω0的过程中，甲受到的摩擦力一直增大
D．当角速度从0.5ω0缓慢增加到1.5ω0的过程中，甲受到的支持力一直增大
【答案】BD
【解答】解：A、小物块乙受到的摩擦力恰好为零，重力和支持力的合力提供向心力，即mgtanβ＝mω02Rsinβ
解得：ω0
故A错误；
B、设转台角速度为ω时，物块甲受到的摩擦力为零，重力和支持力的合力提供向心力，mgtanα＝mω2Rsinα
解得：ωω0
所以当转速为ω0时，支持力和重力的合力不足以提供向心力，甲有沿内壁切线上滑的趋势，故B正确；
C、甲的临界角速度ω0.5ω0，所以当角速度从0.5ω0缓慢增大到时，甲有沿内壁切线下滑的趋势，角速度从缓慢增大到1.5ω0时，甲有沿内壁切线上滑的趋势，摩擦力方向发生了变化，其大小先减小再反向增大，故C错误；
D、将甲收到的力分解为水平方向和竖直方向，竖直方向的合力为0，即mg＝Ncosα+fsinα，由C可知，角速度从0.5ω0缓慢增加到1.5ω0的过程中，先减小再反向增大，则支持力一直在增大，故D正确；
故选：BD。
（多选）23．双人花样滑冰比赛是一项极具观赏性的项目。比赛中，女运动员有时会被男运动员拉着离开冰面在空中做水平面内的匀速圆周运动，如图所示。此时，通过目测估计男运动员的手臂与水平冰面的夹角约为45°，女运动员与其身上的装备总质量约为45kg，重力加速度g取10m/s2。仅根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．女运动员速度不变
B．男运动员对女运动员的拉力约为450N
C．女运动员旋转的向心加速度大小约为10m/s2
D．若女运动员做匀速圆周运动的半径r＝1m，其转动的角速度大小ω约为rad/s
【答案】CD
【解答】解：A、女运动员速度方向不断变化，故A错误；
BC、女运动员在水平面内做匀速圆周运动，对女运动员受力分析如图所示，竖直方向根据平衡条件可得Fsin45°＝mg，解得：拉力Fmg45×10N＝450N；水平方向的合力提供匀速圆周运动的向心力，有F向＝Fcos45°＝Fsin45°＝mg＝ma向，解得：F向＝mg＝45×10N＝450N，a向＝g＝10m/s2，故C正确，B错误；
D、根据a向＝ω2r，r约为1m，则女运动员旋转的角速度约为rad/s，故D正确。
故选：CD。
（多选）24．关于下列四幅图的说法，正确的是（ ）
A．甲图中的汽车在过最高点时处于失重状态
B．乙图中的两个小球A，B的角速度相同
C．丙图中的直筒洗衣机脱水时，被用出去的水滴受到离心力作用
D．如图丁，火车转弯速度小于规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用
【答案】AD
【解答】解：A、甲图中的汽车在过最高点时，受到路面支持力及重力作用，由牛顿第二定律得mg﹣F＝m，可知F＜mg，故汽车处于失重状态，故A正确；
B、乙图中的小球受到支持力和重力作用，设支持力与竖直方向夹角为θ，由牛相第二定律可得mgtanθ＝mrω2，解得ω，小球A轨道半径较大，故相应角速度较小，故B错误；
C、丙图中的直筒洗衣机脱水时，水滴被甩出去是由于受到的附着力不足以提供向心力，导致水滴做离心运动，水滴没有受到离心力的作用，故C错误；
D、丁图中的火车受到支持力和重力作用，由牛顿第二定律可得mgtanθ＝m，解得规定速度v，当火车转弯速度小于规定速度行驶时，所需向心力较小，火车有向内轨滑动的势，故内轨对轮缘会有挤压作用，故D正确。
故选：AD。
（多选）25．用一根细线一端系一可视为质点的小球，小球质量为m，另一端固定在一光滑锥顶上，如左图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线长为L，线的张力为FT，FT随ω2变化的图像如右图所示。（ ）
A．当0＜ω＜ω0时斜率k1＝mL（sinθ）2
B．当ω0＜ω时斜率k2＝mLsinθ
C．右图与纵轴的交点为mgcosθ
D．小球一定受到圆锥的弹力
【答案】AC
【解答】解：A、小球未脱离圆锥体时，有：FTsinθ﹣Ncosθ＝mLsinθω2，FTcosθ+Nsinθ＝mg，联立两式解得FT＝mgcosθ+mLsin2θω2，可知当0＜ω＜ω0时的斜率k1＝mL2sinθ，故A正确；
BD、当小球脱离圆锥体后，小球不受到圆锥的弹力，有：FTsinα＝mLsinαω2，即FT＝mLω2，即当ω0＜ω时的斜率k2＝mL，故BD错误；
C、当角速度为零时，FT＝mgcosθ，右图与纵轴的交点为mgcosθ，故C正确。
故选：AC。
（多选）26．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起，如图所示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，让圆盘从角速度为0开始转动，角速度缓慢增大，直到两物体与圆盘刚要发生相对滑动，（两物体均可看作质点，重力加速度为g）则下列说法正确的是（ ）
A．角速度增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加后不变
B．角速度增大的过程中，物块M始终不受摩擦力
C．圆盘旋转的角速度最大不得超过
D．圆盘旋转的角速度最大不得超过
【答案】AD
【解答】解：AB、乙物体随圆盘做圆周运动，刚开始由静摩擦力充当向心力，随着角速度的增大，所需向心力增大，则静摩擦逐渐增大，当达到最大静摩擦力时，角速度再增大，绳上出现拉力，向心力由最大静摩擦力及绳的拉力的合力充当，所以，乙物体所受摩擦力先增大后不变，随角速度的增大，绳上的拉力逐渐增大，根据平衡条件，甲物体与圆盘的摩擦力等于绳上的拉力，所以，甲物体所受摩擦力先是为零，后逐渐增大，故A正确，B错误；
CD、当两物体刚要滑动时，乙的向心力由其受到的最大静摩擦力及绳上的拉力合力充当，而此时绳上的拉力等于甲物体所受最大静摩擦力μmg+μMg＝mω2L
解得，故C错误，D正确。
故选：AD。
27．用如图所示的向心力演示器探究向心力的表达式，已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1：2：1．
（1）在这个实验中，利用了 C 来探究向心力的大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系．
A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法
（2）探究向心力大小F与质量m的关系时，选择两个质量 不同 （选填“相同”或“不同”）的小球，分别放在挡板 A （选填“A”或“B”）和挡板C处．
【答案】（1）C；（2）不同，A。
【解答】解：（1）在研究向心力的大小F与质量m的关系时，控制角速度ω和半径r不变，在研究向心力的大小F与角速度ω的关系时，控制质量m和半径r不变，在研究向心力的大小F与和半径r之间的关系时，控制角速度ω和质量m不变，主要用到了物理学中的控制变量法，故AB错误，C正确。
故选：C。
（2）在探究向心力大小F与质量m的关系时，应控制角速度ω和半径r不变，选择两个质量不同的小球，并将两个小球分别放在挡板A处和C处。
故答案为：（1）C；（2）不同，A。
28．某小组的同学设计了一个研究汽车通过凹形桥最低点时的速度与其对桥面压力关系的实验装置。所用器材有小钢球、压力式托盘秤、凹形桥模拟器（圆弧部分的半径R＝0.30m）。完成下列填空：
（1）将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图甲所示，托盘秤的示数为1.10kg。
（2）将小钢球静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图乙所示，则该小钢球的重力为 3.0 N（重力加速度取10m/s2）。
（3）将小钢球从凹形桥模拟器某一位置释放，小钢球经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m；多次从同一位置释放小钢球，记录各次的m值如表所示：
序号 1 2 3 4 5
m（kg） 1.80 1.78 1.83 1.76 1.84
（4）根据以上数据，可求出小钢球经过凹形桥最低点时对桥的压力为 7.0 N（重力加速度取10m/s2）；小钢球通过最低点时的速度大小为 2 m/s；小钢球处于 超重 （选填“超重”或“失重”）状态。
【答案】（2）3.0；（4）7.0；2；超重。
【解答】解：（2）托盘秤的示数是1.40kg，则小钢球的质量是0.30kg，小钢球的重力是G＝mg＝0.30×10N＝3.0N；
（4）将5组实验数据取平均值为1.80kg，则小钢球对桥的压力F压＝（1.80﹣1.10）×10N＝7.0N，
根据FN﹣mg＝m，可得vm/s＝2m/s；小钢球对桥的压力大于自身重力，处于超重状态。
故答案为：（2）3.0；
（4）7.0；2；超重。
29．如图所示，倾角（θ＝53°）的窄斜面ABC固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点A在转轴OO1上。转台以一定角速度ω匀速转动时，质量为m的小物块（可视为质点）放置于斜面上，与斜面一起转动且相对斜面静止在AB上。小物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，物块与A点间的距离为L，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。
（1）求ω为多大时，小物块与斜面之间没有摩擦力；
（2）若μ＝0.5为了使小物块始终相对斜面静止在AB上，求ω。
【答案】（1）ω为时，小物块与斜面之间没有摩擦力；
（2）若μ＝0.5为了使小物块始终相对斜面静止在AB上，ω为。
【解答】解：（1）当摩擦力为0时，重力与支持力提供向心力
mgtanθ＝mω2Lcosθ
解得
（2）当角速度最小时，物块恰好不下滑，受力分析如下图甲所示，y轴方向根据平衡得
N1cosθ+f1sinθ＝mg
x轴方向根据牛顿第二定律得
又f1＝μN1
联立解得
当角速度最大时，物块恰好不上滑，受力分析如图乙所示，y轴方向根据平衡条件得
N2cosθ＝f2sinθ+mg
x轴方向根据牛顿第二定律得
又
f2＝μN2
联立解得
由以上分析可知，角速度取值范围为
答：（1）ω为时，小物块与斜面之间没有摩擦力；
（2）若μ＝0.5为了使小物块始终相对斜面静止在AB上，ω为。
30．一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2m，杆与竖直转轴的夹角α始终为60°，弹簧原长x0＝0.1m，弹簧劲度系数k＝100N/m，圆环质量m＝1kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10m/s2，摩擦力可忽略不计。
（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
【答案】（1）细杆和圆环处于静止状态，圆环到O点的距离为0.05m；
（2）弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小rad/s；
（3）圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小为10rad/s。
【解答】解：（1）细杆和圆环处于静止状态，圆环受力如图1所示：
根据平衡条件结合数学知识F＝mgcosα
根据胡克定律F＝kx
代入数据联立解得x＝0.05m
圆环到O点的距离s＝x0﹣x＝0.1m﹣0.05m＝0.05m；
（2）弹簧处于原长时，圆环所受重力和支持力的合力提供向心力，如图2所示：
小球做圆周运动的半径
小球做圆周运动的向心力
根据向心力公式
代入数据联立解得
（3）圆环处于细杆末端P时，圆环受力如图3所示：
小球做圆周运动的半径
弹簧的弹力F弹＝k（L﹣x0）＝100（0.2﹣0.1）N＝10N
建立如图所示的坐标系，y轴方向FNsinα＝mg+F弹cosα
x轴方向F向＝FNcosα+F弹sinα
根据向心力公式
联立解得ω2＝10rad/s。
答：（1）细杆和圆环处于静止状态，圆环到O点的距离为0.05m；
（2）弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小rad/s；
（3）圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小为10rad/s。
31．如图所示，水平转台上有一个质量m＝2kg的小物块，用长L＝0.5m的细线将物块连接到转轴上，此时细线恰好绷直无拉力，细线与竖直转轴的夹角θ＝37°，物块与转台间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现使转台由静止开始逐渐加速转动。g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）当绳子刚好出现拉力时，转台角速度ω1为多大？
（2）当物块刚要离开转台时，转台角速度ω2为多大？
（3）当转台角速度为时，细线的拉力为多大？
【答案】（1）当绳子刚好出现拉力时，转台角速度ω1为rad/s；
（2）当物块刚要离开转台时，转台角速度ω2为5rad/s；
（3）当转台角速度为时，细线的拉力为10N。
【解答】解：（1）当绳子刚好出现拉力时，由最大静摩擦力提供向心力，物块所受的最大静摩擦力大小为
fm＝μmg
根据牛顿第二定律得
解得：
（2）物块刚要离开转台时，转台对物块的支持力恰好为零，在水平方向上，根据牛顿第二定律得
竖直方向上，根据平衡条件得
Tcos37°＝mg
联立解得：ω2＝5rad/s
（3）由于，所以物块受力如图所示。
水平方向上，由牛顿第二定律有
竖直方向上，由平衡条件有
Tcosθ+N＝mg
其中f＝μN
联立解得：T＝10N
答：（1）当绳子刚好出现拉力时，转台角速度ω1为rad/s；
（2）当物块刚要离开转台时，转台角速度ω2为5rad/s；
（3）当转台角速度为时，细线的拉力为10N。
32．如图所示，质量为m的小球用细线悬挂于天花板的O点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度大小为g。
（1）若悬挂小球的细线长为L，小球做匀速圆周运动的角速度为ω，求细线对小球的拉力F的大小；
（2）设小球运动的轨迹圆的圆心O'到悬挂点O的距离为h，请写出小球做匀速圆周运动的角速度ω与h的函数关系式；
（3）已知悬挂点O到水平地面（图中未画出）的高度H＝2L，细线长为L，细线能承受的最大拉力是小球所受重力的2倍，缓慢增大小球的角速度，若角度θ已知，求小球的落地点到悬挂点O的距离s0。
【答案】（1）细线对小球的拉力F的大小为mω2L；
（2）小球做匀速圆周运动的角速度ω与h的函数关系式为ω；
（3）小球的落地点到悬挂点O的距离为。
【解答】解：（1）小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析，如图所示。小球受重力和绳子的拉力，由合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
Fsinθ＝mω2 Lsinθ
得 F＝mω2L
（2）保持轨迹圆的圆心O到悬点P的距离h，根据牛顿第二定律得：
mgtanθ＝mω2 htanθ
得ω。
（3）细线能承受的最大拉力是小球所受重力的2倍，细线恰好断裂时，根据牛顿第二定律有：
2mgsinβ＝m
2mgcosβ＝mg，解得：β＝60°
小球做平抛运动有：2H﹣Lcosβ
x＝vt
解得：x2＝6HLL2
由空间几何关系得：s0
联立解得：s0
答：（1）细线对小球的拉力F的大小为mω2L；
（2）小球做匀速圆周运动的角速度ω与h的函数关系式为ω；
（3）小球的落地点到悬挂点O的距离为。
33．一个半径为R＝0.5m的水平转盘可以绕竖直轴O′O″转动，水平转盘中心O′处有一个光滑小孔，用一根长L＝1m细线穿过小孔将质量分别为mA＝0.2kg、mB＝0.5kg的小球A和小物块B连接，小物块B放在水平转盘的边缘且与转盘保持相对静止，如图所示。现让小球A在水平面做角速度ωA＝5rad/s的匀速圆周运动，小物块B与水平转盘间的动摩擦因数μ＝0.3（取g＝10m/s2），求：
（1）细线与竖直方向的夹角θ；
（2）小球A运动不变，现使水平转盘转动起来，要使小物块B与水平转盘间保持相对静止，求水平转盘角速度ωB的取值范围；（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
（3）在水平转盘角速度ωB为（2）问中的最大值的情况下，当小球A和小物块B转动至两者速度方向相反时，由于某种原因细线突然断裂，经过多长时间小球A和小物块B的速度相互垂直。（可能使用到的sin30°，cos30°，sin37°，cos37°）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）对小球A受力分析如图所示，由F＝ma得
，①
由几何关系知：，②
由①②解得：，
即θ＝37°．③
（2）对物块B受力分析，由F＝ma得，
当物块受到的最大静摩擦力fmax向左时，转盘ωB最大。
④
当物块受到的最大静摩擦力fmax向右时，转盘ωB最小。
⑤
又由（1）对A知， ⑥
联合③④⑤⑥解得ωBmin＝2rad/s，ωBmax＝4rad/s。
即ωB的取值范围为2rad/s＜ωB＜4rad/s。
（3）绳断后A、B均做平抛运动，设经时间t，A和B速度垂直，由平抛运动规律知此时A、B竖直方向速度均为vy＝gt⑦
水平方向：vOA＝rAωA＝1.5m/s
vOB＝rBωBmin＝2m/s。
作图，由几何关系得，，
即t，
代入数据解得t。
答：（1）细线与竖直方向的夹角为37°；
（2）水平转盘角速度ωB的取值范围为2rad/s＜ωB＜4rad/s。
（3）经过时间小球A和小物块B的速度相互垂直。
34．“魔盘”是一种神奇的游乐设施，它是一个能绕中心轴转动的带有竖直侧壁的大型转盘，随着“魔盘”转动角速度的增大，“魔盘”上的人可能向盘的边缘。如图所示，质量为50kg的彬彬（视为质点）坐在转盘上与转盘中心相距r＝1m，转盘的半径R＝3m，彬彬与盘面及侧壁间的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力视为等于滑动摩擦力。
（1）当转盘的角速度大小为ω1＝1rad/s时，彬彬未滑动，求此时人受到的摩擦力大小；
（2）使转盘的转速缓慢增大，求彬彬与转盘刚发生相对滑动时转盘的角速度大小ω2；
（3）当彬彬滑至“魔盘”侧壁时，只要转盘的角速度不小于某一数值ω3，就可以紧贴着侧壁一起转动而不受到地面支持力，试求角速度ω3的大小。
【答案】（1）此时人受到的摩擦力大小为50N；
（2）彬彬与转盘刚发生相对滑动时转盘的角速度大小为rad/s；
（3）角速度ω3的大小为2.58rad/s。
【解答】解：（1）人做圆周运动，根据摩擦力提供向心力有：f＝mrω12＝50×1×12N＝50N；
（2）静摩擦力提供圆周运动所需的向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，此时的角速度为最大角速度，
则：μmg＝mω22r
解得：ω2rad/s
（3）人可以离开盘面，贴着侧壁一起转动时，竖直方向受力平衡，水平方向侧壁对人的支持力提供向心力，则有：N＝mR
竖直方向：mg＝μN
解得：ω3≈2.58rad/s．
答：（1）此时人受到的摩擦力大小为50N；
（2）彬彬与转盘刚发生相对滑动时转盘的角速度大小为rad/s；
（3）角速度ω3的大小为2.58rad/s。
35．如图所示，斜槽轨道下端与一个半径为0.4m的圆形轨道相连接．一个质量为0.1kg的物体从高为H＝2m的A点由静止开始滑下，运动到圆形轨道的最高点C处时，对轨道的压力等于物体的重力．求物体从A运动到C的过程中克服摩擦力所做的功（g取10m/s2）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据牛顿第三定律可知，小球在C点受到轨道的压力大小与重力相等N＝mg，方向竖直向下，又小球在C点时在竖直方向所受合力提供圆周运动向心力有：
①
小球从A到C的过程中只有重力和摩擦力做功，根据动能定理有：
Wf ②
联列①②两式代入m＝0.1kg，H＝2m，R＝0.4m，可解得：
Wf＝﹣0.8J
因为摩擦力做负功所以克服摩擦力做0.8J的功．
答：物体克服摩擦力做功0.8J．
36．如图所示，一根长L＝0.1m的细线，一端系着一个质量m＝0.18kg的小球，拉住线的另一端，使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动。现使小球的角速度缓慢地增大，当小球的角速度增大到开始时的3倍时，细线断开，细线断开前的瞬间受到的拉力比开始时大40N．取g＝10m/s2。
（1）求细线断开前的瞬间，小球受到的拉力大小；
（2）求细线断开前的瞬间，小球的线速度大小；
（3）若小球离开桌面时，速度方向与桌面右边缘间的夹角为30°，桌面高出水平地面0.8m，求小球飞出后的落地点到桌面右边缘的水平距离。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）细线的拉力提供小球做圆周运动所需的向心力，设开始时小球的角速度为ω0，细线的拉力大小为F0，细线断开前的瞬间，小球角速度为ω，细线的拉力大小为F，有：
F0＝mω02L
F＝mω2L
根据题意可知：
ω＝3ω0
F﹣F0＝40N
解得：F＝45N。
（2）设细线断开前的瞬间，小球的线速度大小为v，有：
解得：v＝5m/s。
（3）设小球离开桌面后做平抛运动的时间为t，有：
其中h＝0.8m
小球飞出后的落地点与飞出桌面点间的水平距离为：x＝vt
设小球飞出后的落地点到桌面右边缘的水平距离为l，有：l＝xsin30°
解得：l＝1m。
答：（1）细线断开前的瞬间，小球受到的拉力大小为45N；
（2）细线断开前的瞬间，小球的线速度大小为5m/s；
（3）小球飞出后的落地点到桌面右边缘的水平距离为1m
37．甲、乙两辆完全相同的汽车，它们以相同的速率v＝10m/s匀速率行驶，分别通过一个凸形桥和一个凹形桥，两桥半径都是R＝40m，当它们分别通过凸形桥的最高点和凹形桥的最低点时，受到的支持力大小之比为多少？（g＝10m/s2）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：汽车在圆形拱桥桥顶时，由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mg﹣N＝m
解得：N＝mg﹣m①
过凹形桥时，根据牛顿第二定律得：N′﹣mg＝m
得：N′＝mg+m②
由①②解得：
答：当它们分别通过凸形桥的最高点和凹形桥的最低点时，受到的支持力大小之比为．
38．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4rad/s，盘面上有一个质量为2.5kg的小物块随圆盘一起运动（二者未发生相对滑动），小物块与转轴的距离为R＝0.3m。求：
（1）小物块运动的线速度大小；
（2）小物块受到的静摩擦力大小和方向。
（3）若圆盘对小物块的最大静摩擦力为18.75N，要使二者不发生相对滑动，圆盘转动的角速度不能超过多大？
【答案】（1）小物块运动的线速度大小为1.2m/s；
（2）小物块受到的静摩擦力大小为12N，方向水平指向转轴。
（3）圆盘转动的角速度不能超过5rad/s。
【解答】解：（1）小物块的线速度大小v＝ωR＝4×0.3m/s＝1.2m/s
（2）小物块受到静摩擦力的大小
代入数据解得：Ff＝12N
方向水平指向转轴
（3）二者不发生相对滑动，由最大静摩擦力提供向心力有：
代入数据得ωm＝5rad/s
答：（1）小物块运动的线速度大小为1.2m/s；
（2）小物块受到的静摩擦力大小为12N，方向水平指向转轴。
（3）圆盘转动的角速度不能超过5rad/s。
39．长为L＝18cm的细线，拴一质量为2kg的小球，一端固定于O点。让其在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，摆线与竖直方向的夹角为α＝37°，g＝10m/s2，求：
（1）小球的向心力F的大小；
（2）小球的线速度的大小。
【答案】（1）小球的向心力F的大小为15N；
（2）小球的线速度的大小为0.9m/s。
【解答】解：（1）对小球受力分析如图所示，
小球受重力mg和绳子的拉力F；因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O'，且沿水平方向；由平行四边形定则得小球受到的向心力大小为：
Fn＝mgtanα＝2×10×0.75N＝15N；
（2）由牛顿第二定律得：Fn＝m，
由几何关系得：r＝Lsinα＝0.18×0.6m＝0.108m，
代入数据解得小球做匀速圆周运动的线速度的大小为：vm/s＝0.9m/s；
答：（1）小球的向心力F的大小为15N；
（2）小球的线速度的大小为0.9m/s。
40．如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球从轨道口B飞出后，小球落地点C距A处的距离为4R（AB为圆的直径，重力加速度为g），求：
（1）小球经过B点的速度大小；
（2）小球在B点对轨道的压力大小。
【答案】（1）小球经过B点的速度为2；
（2）小球在B点对轨道的压力为3mg。
【解答】解：（1）小球从B点飞出后，做平抛运动：
水平方向：x＝vBt
竖直方向：2R
解得：vB＝2
小球小球从B点飞出时速度方向水平向左
（2）当小球在B点时由向心力的公式可得：N+mg＝m
解得：N＝3mg
根据牛顿第三定律可知小球在B点对轨道的压力大小为3mg。
答：（1）小球经过B点的速度为2；
（2）小球在B点对轨道的压力为3mg。
41．如图所示，质量为0.8kg的小球用长为0.5m的细线悬挂在O点，O点距水平地面高度为2m，如果使小球绕竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，若细线受力为10N时就会被拉断，g取10m/s2，求：
（1）当小球的角速度为多大时细线将断裂；
（2）线刚好拉断时小球落地点与悬点O的水平距离。
【答案】（1）当小球的角速度为5rad/s时细线将断裂；
（2）线刚好拉断时小球落地点与悬点O的水平距离为0.9m。
【解答】（1）对小球受力分析如图
绳的拉力和重力的合力充当向心力。绳即将断裂时有
F合6N
由向心力公式有
F合＝mω2r
由相似三角形有
解得：r＝0.3m，h1＝0.4m，ω＝5rad/s
（2）线断后小球做平抛运动，初速度
v0＝ωr＝1.5m/s
下落高度为
h2＝h﹣h1＝2m﹣0.4m＝1.6m
由平抛运动知识
h2gt2
解得运动时间：t＝0.4s
水平距离
x＝v0t＝v00.6m
则落地点与悬点的水平距离
s0.9m
答：（1）当小球的角速度为5rad/s时细线将断裂；
（2）线刚好拉断时小球落地点与悬点O的水平距离为0.9m。
42．旋转木马被水平钢杆拴住，绕转台的中心轴做匀速圆周运动，若相对两个木马间的杆长为6m，木马的质量为30kg，骑木马的儿童质量为40kg，当木马旋转的速度为6m/s时，试问：
（1）此时木马和儿童的向心力分别由哪个物体提供．
（2）此时儿童受到的向心力是多大？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）木马受骑在木马上的儿童对它的压力、重力和钢杆对它的作用力做匀速圆周运动．
由匀速圆周运动条件知，钢杆对木马作用力的竖直分力等于人和木马的重力，而水平分力提供木马做圆周运动的向心力，故木马受到的向心力由钢杆提供；
同理可得出儿童受到的向心力由木马提供．
（2）儿童所受向心力由木马提供且指向圆心，大小为 Fn＝m40N＝480N
答：
（1）木马受到的向心力由钢杆提供；儿童受到的向心力由木马提供．
（2）此时儿童受到的向心力是480N．
43．如图所示，质量m＝1×104kg的汽车以相同的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为80m，如果桥面承受的压力不超过3.0×105N，则：（g取10m/s2）
（1）汽车允许的最大速率是多少？
（2）若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
【答案】（1）汽车允许的最大速率是20m/s；
（2）若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是1.0×105N。
【解答】解：（1）在最低点，汽车对桥面的压力最大，即桥面对汽车的支持力最大。
在最低点根据牛顿第二定律有FN﹣mg＝m
当汽车受到桥面的支持力FN＝3×105N时，汽车在该处具有最大行驶速度，解得v＝40m/s
在凸形桥面运动时的最大速度为vm/s＝20m/s＜40m/s
所以可知汽车允许的最大速度为20m/s。
（2）当汽车以20m/s的速度行驶时，在凸形桥的最高点时恰好是重力作为向心力，
即mg＝m
对桥面的压力为零。
答：（1）汽车允许的最大速率是20m/s；
（2）若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是零。
44．如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R＝0.2m的光滑圆形轨道，BC段为高为h＝5m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一质量为0.2kg的小球从A点由静止开始下滑，到达B点时速度的大小为2m/s，离开B点做平抛运动（g＝10m/s2），求：
（1）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C点的水平距离；
（2）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小；
（3）如果在BCD轨道上放置一个倾角θ＝45°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B点后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置距离B点有多远．如果不能，请说明理由。
【答案】（1）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C点的水平距离为2m；
（2）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小为6N；
（3）能落在斜面上，距离B点的距离为m。
【解答】解：根据动能定理得，mgR，
解得vBm/s＝2m/s，
（1）根据h得，ts＝1s，
则落地点与C点的水平距离x＝vBt＝2×1m＝2m．
（2）根据牛顿第二定律得，N﹣mg＝m，解得N＝mg+m2+0.2N＝6N，由牛顿第三定律
所以小球对圆轨道的压力大小为6N．
（3）因为d＝h＝5m＞s＝2m，所以小球离开B点后能落在斜面上，
根据tan1，解得t′s＝0.4s，
此时水平距离x′＝vBt′＝2×0.4m＝0.8m，
则距离B点的距离s′x′m．
答：（1）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C点的水平距离为2m；
（2）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小为6N；
（3）能落在斜面上，距离B点的距离为m。
▉题型5 向心加速度的概念、方向及物理意义
【知识点的认识】
1.概念：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。
2.物理意义：向心加速度在匀速圆周运动中是用来描述速度变化快慢的物理量。
3.变速圆周运动中的加速度：变速圆周运动中，线速度的大小与方向均在变化，加速度的大小与方向均在变化，且加速度的方向不再指向圆心。
4.圆周运动中的外力与加速度
牛顿第二定律适用于任何运动形式，圆周运动也不例外。匀速圆周运动中向心力即是合力，向心加速度即是总的加速度，故有Fn＝man。
变速圆周运动的合力一般不指向圆心，可产生两个效果：沿半径方向上的合力改变物体速度的方向而产生向心加速度，沿切线方向上的合力改变物体速度的大小而产生切向加速度。合力与总的加速度、向心力与向心加速度，切向力与切向加速度均遵从牛顿第二定律。
45．关于向心加速度的物理意义，下列说法中正确的是（ ）
A．它只改变线速度的方向
B．它描述的是线速度大小变化的快慢
C．它描述的是角速度变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度是恒定不变的
【答案】A
【解答】解：A、B、圆周运动的向心加速度只改变速度的方向，不改变速度大小，向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢的物理量；
做圆周运动物体的切向加速度改变线速度的大小，描述线速度大小变化的快慢。故A正确，B错误；
C、角速度的方向垂直圆周所在的平面，始终与向心加速度垂直，向心加速度不改变角速度的大小和方向，故C错误；
D、匀速圆周运动的向心加速度大小不变而方向不断发生变化，所以的匀速圆周运动的向心加速度是变化的。故D错误。
故选：A。
46．断电后，风扇慢慢停下过程中，关于图中扇叶上A、B两点的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．A、B两点的线速度始终相同
B．A、B两点的转速不相同
C．A点的加速度始终指向圆心
D．A、B两点的向心加速度比值保持不变
【答案】D
【解答】解：A．A、B两点同轴转动，角速度相同，转动半径不同，根据线速度和角速度关系v＝ωr可得二者线速度不相同，故A错误；
B．A、B两点同轴转动，角速度相同，转速相同，故B错误；
C．风扇慢慢停下，不是匀速圆周运动，A点的加速度不指向圆心，故C错误；
D．根据a＝ω2r，风扇慢慢停下过程中，A、B转动半径比值保持不变，则A、B两点的向心加速度比值保持不变，故D正确。
故选：D。
▉题型6 向心加速度的表达式及影响向心加速度大小的因素
【知识点的认识】
1.向心加速度的表达式为an＝ω2r4π2n2r＝ωv
2.由表达式可知，向心加速度与物体的质量无关，与线速度、角速度、半径、周期、转速等参数有关。
3.对于公式an
该公式表明，对于匀速圆周运动，当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比；当运动半径一定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及线速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的线速度相同的情景。
4.对于公式an＝ω2r
该公式表明，对于匀速圆周运动，当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比；当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及角速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的角速度相同的情景。
5.向心加速度与半径的关系
根据上面的讨论，加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定，an与r成反比；若角速度（或周期、转速）一定，an与r成正比。如图所示。
47．关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．匀速圆周运动的物体所受的向心力一定指向圆心，非匀速圆周运动的物体所受的向心力可能不指向圆心
B．做曲线运动的物体一定有加速度
C．只要物体做圆周运动，它所受的合外力一定指向圆心
D．做曲线运动的物体，速度也可以保持不变
【答案】B
【解答】解：A.根据向心力的定义可知，向心力一定指向圆心，故A错误；
B.做曲线运动的物体所受的合力不为零，故加速度不为零，故B正确；
C.当物体做匀速圆周运动时，合力提供向心力，合力一定指向圆心，当物体做变速圆周运动时，例如竖直面内的圆周运动只有在最高点和最低点合力指向圆心，故C错误；
D.做曲线运动的物体，加速度可以不变，但速度一定变化，故D错误。
故选：B。
48．如图所示是一台长臂挖掘机。在驾驶员的操作下，挖掘机的机械臂关节点O静止不动，机械臂OB绕O点在竖直平面内逆时针转动，机械臂BC始终保持水平。已知A点为机械臂OB的中点，两臂长度OB：BC＝3：2。在此运动过程中（ ）
A．ωB＝2ωA
B．vB＝0.6vC
C．aB＝4aA
D．C点的轨迹为一段圆弧
【答案】D
【解答】解：
A.A点B点同轴转动，角速度相等，故A错误；
B.机械臂BC始终保持水平，故点B点C相对静止，线速度相等，故B错误；
C.A点B点同轴转动，角速度相等，根据a＝ω2r，A点为机械臂OB的中点，aB＝2aA，故C错误；
D.点B点C相对静止，线速度相等，OB绕O点在竖直平面内逆时针转动，故C点的轨迹为一段圆弧，故D正确；
故选：D。
49．下列说法正确的是（ ）
A．由P可知，只要做功多，功率就大
B．由P＝Fv可知，汽车牵引力一定时，它的功率与速度成正比
C．由an＝ω2r可知，向心加速度一定与圆周运动的半径成正比
D．由an可知，向心加速度一定与圆周运动的半径成反比
【答案】B
【解答】解：A、由P 可知，做功多，功率不一定大，还与时间有关，故A错误；
B、由P＝Fv可知，当牵引力不变时，汽车牵引力的功率一定与它的速度成正比，故B正确；
C、由an＝ω2r可知，在角速度一定的条件下，向心加速度与圆周运动的半径成正比，故C错误；
D、由an可知，在线速度一定的条件下，向心加速度与圆周运动的半径成反比，故D错误
故选：B。
50．如图所示是中国古代玩具饮水鸟的示意图，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rPO＞rQO，则在摆动过程中（ ）
A．P点的线速度小于Q点的线速度
B．P点的角速度等于Q点的角速度
C．P点的向心加速度小于Q点的向心加速度
D．P、Q两点的线速度方向相反
【答案】B
【解答】解：AB、根据同轴转动角速度相等知，P、Q两点的角速度大小相同，根据v＝ωr可知P点的线速度大于Q点的线速度，故A错误，B正确；
C、P点半径大，根据a＝ω2r知，向心加速度较大，故C错误；
D、线速度方向就是该点的运动方向，P、Q不在同一轴线上，所以两者线速度的方向不相反，故D错误。
故选：B。
51．洗手后我们往往都有“甩水”的动作，如图所示是摄像机拍摄甩水视频后制作的频闪画面，A、B、C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置。最后3帧照片中，指尖先以肘关节M为圆心做圆周运动，到接近B的最后时刻，指尖以腕关节N为圆心做圆周运动。测得A、B之间的距离约为24cm，B、N之间的距离为15cm，相邻两帧之间的时间间隔为0.04s，则指尖（ ）
A．经过B点速率约为3m/s
B．经过B点的角速度约为10rad/s
C．在BC段的向心加速度约为240m/s2
D．AB段与BC段相比更容易将水甩出
【答案】C
【解答】解：A、指尖在AB之间的线速度约为vB，不接近3m/s，故A错误；
B、指尖到接近B的最后时刻，指尖以腕关节N为圆心做圆周运动，半径为B、N间的距离lBN＝15cm＝0.15m，所以在B点的角速度约为rad/s＝40rad/s，不接近10rad/s，故B错误；
C、指尖在BC段的向心加速度a2m/s2＝240m/s2，故C正确。
D、指尖在AB段的向心加速度a1，AM的长度大约为BN长度的3倍，即a1m/s2＝80m/s2＜a2，故BC段与AB段相比更容易将水甩出，故D错误；
故选：C。
（多选）52．如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60kg的学员在A点位置，质量为70kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0m，B点的转弯半径为4.0m，则学员和教练员（均可视为质点）（ ）
A．运动周期之比为1：1
B．运动线速度大小之比为1：1
C．向心加速度大小之比为4：5
D．受到的合力大小之比为15：14
【答案】AD
【解答】解：A、做匀速圆周运动的周期为T，因为他们的角速度相等，所以周期相等，即周期之比为1：1，故A正确；
B、学员和教练员具有相同的角速度，根据v＝rω可得，学员和教练员的线速度大小之比为：vA：vB＝rA：rB＝5：4，故B错误；
C、向心加速度a＝rω2，所以他们的向心加速度之比为：aA：aB＝rA：rB＝5：4，故C错误；
D、受到的向心力F＝mrω2，所以他们受到的向心力大小之比为：，故D正确。
故选：AD。
（多选）53．如图所示是两个做圆锥摆运动的小球1、小球2，摆线跟竖直方向的夹角分别为53°和37°，两球做匀速圆周运动所在的水平面到各自悬点的距离之比为2：1．下列有关判断正确的是（ ）
A．两球运动周期之比为1：
B．两球运动线速度之比为16：9
C．两球运动角速度之比为1：
D．两球运动向心加速度之比为16：9
【答案】CD
【解答】解：由题可知，可以设两个小球的质量都是m；设1球做匀速圆周运动所在的水平面到悬点的距离为2h，则2球做匀速圆周运动所在的水平面到悬点的距离为h，则1球做圆周运动的半径：r1＝h1tanθ1＝2h tan53°，2球做圆周运动的半径：
以1球为研究对象，根据重力与绳子的拉力的合力提供向心力，可得：
可得：
同理，以2球为研究对象，可得：
AC、两球运动的角速度之比：；
根据T，两球的周期之比：，故A错误，C正确；
B、两球的线速度之比：，故B错误；
D、根据公式：an＝ω v．则：，故D正确。
故选：CD。
（多选）54．如图，内壁光滑的细圆管一端弯成半圆形APB，另一端BC伸直，水平放置在桌面上并固定。半圆形APB半径R＝1.0m，BC长L＝1.5m，桌子高度h＝0.8m，质量1.0kg的小球以一定的水平初速度从A点沿过A点的切线射入管内，从C点离开管道后水平飞出，落地点D离点C的水平距离s＝2m，不计空气阻力，g取10m/s2．则以下分析正确的是（ ）
A．小球做平抛运动的初速度为10m/s
B．小球在圆轨道P点的角速度ω＝10rad/s
C．小球在P点的向心加速度为a＝25m/s2
D．小球从B运动到D的时间为0.7s
【答案】CD
【解答】解：A．根据hgt2得：ts＝0.4s。则小球平抛运动的初速度为：v0m/s＝5m/s。故A错误。
B．小球在圆轨道P点的角速度为：ω5rad/s。故B错误。
C．小球在P点的向心加速度为：a25m/s2．故C正确。
D．小球在BC段的时间为：t′0.3s，则小球从B运动到D的时间为0.3+0.4s＝0.7s。故D正确；
故选：CD。
▉题型7 探究圆周运动的相关参数问题
【知识点的认识】
一、实验仪器
1.转动手柄；2、3.变速塔轮；4.长槽；5.短槽；6.横臂；7.弹簧测力套筒；8.标尺
二、实验步骤
匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也随之做匀速圆周运动。这时，小球向外挤压挡板，挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时，小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套简里的弹簧，弹簧的压缩量可以从标尺上读出，该读数显示了向心力大小。
（1）把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。探究向心力的大小与角速度的关系。
（2）保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与半径的关系。
（3）换成质量不同的小球，分别使两个小球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。
（4）重复几次以上实验。
三、数据处理
（1）m、r一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
ω
ω2
（2）m、ω一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
r
（3）r、ω一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
m
（4）分别作出F向﹣ω2、F向﹣r、F向﹣m的图像。
（5）实验结论
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比；
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比；
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。
55．某实验小组用如图甲所示的装置来探究小球做匀速圆周运动时所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
（1）在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到了物理学中 C 的方法。
A．理想实验法
B．等效替代法
C．控制变量法
D．演绎法
（2）在探究向心力F与角速度ω的关系时，若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力之比为1：9，则与皮带连接的两个变速塔轮的半径之比为 B （填选项前的字母）。
A．1：3
B．3：1
C．1：9
D．9：1
（3）为验证做匀速圆周运动物体的向心力的定量表达式，实验组内某同学设计了如图乙所示的实验装置，电动机带动转轴OO′匀速转动，改变电动机的电压可以改变转轴的转速；其中AB是固定在竖直转轴OO′上的水平凹槽，A端固定的压力传感器可测出小球对其压力的大小，B端固定一宽度为d的挡光片，光电门可测量挡光片每一次的挡光时间。
实验步骤：
①测出挡光片与转轴的距离为L；
②将小钢球紧靠传感器放置在凹槽上，测出此时小钢球球心与转轴的距离为r；
③启动电动机，使凹槽AB绕转轴OO′匀速转动；
④记录下此时压力传感器示数F和挡光时间Δt。
（a）小钢球转动的角速度ω＝ （用L、d、Δt表示）；
（b）该同学为了探究向心力大小F与角速度ω的关系，多次改变转速后，记录了一系列力与对应角速度的数据，作出F﹣ω2图像如图丙所示，若忽略小钢球所受摩擦且小钢球球心与转轴的距离为r＝0.30m，则小钢球的质量m＝ 0.30±0.02 kg（结果保留2位有效数字）。
【答案】：（1）C；（2）B；（3）（a）；（b）0.30±0.02。
【解答】解：（1）在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到了物理学中控制变量法的方法，故选C。
（2）在探究向心力F与角速度ω的关系时，两个小球所受向心力之比为1：9，根据
F＝mω2r
可知角速度之比为1：3；与皮带连接的两个变速塔轮边缘的线速度相等，根据v＝ωR
可知两个变速塔轮边缘的半径之比为3：1，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（3）（a）小钢球转动的角速度
（b）根据
F＝mω2r
由图像可知
解得
m＝0.30kg
故答案为：（1）C；（2）B；（3）（a）；（b）0.30±0.02。
56．“探究向心力大小的表达式”的实验装置如图甲所示。已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1：2：1，变速塔轮自上而下有如图乙所示三种组合方式传动，左右每层半径之比由上至下分别为1：1、2：1和3：1。
（1）在研究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时，我们主要用到的物理学研究方法是 C ；
A.理想实验法
B.等效替代法
C.控制变量法
D.演绎推理法
（2）某次实验中，把传动皮带调至第一层塔轮，将两个质量相等的钢球放在B、C位置，可探究向心力的大小与 半径 的关系；
（3）匀速摇动手柄时，若两个钢球的质量和运动半径相等，左、右两标尺显示的格数之比为1：4，则与皮带连接的左塔轮和右塔轮的半径之比为 2：1 。
【答案】（1）C；（2）半径；（3）2：1。
【解答】解：（1）由于影响向心力的大小的因素有小球质量、小球做圆周运动的角速度和半径，因此在研究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时，我们主要用到的物理学研究方法是控制变量法，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2）实验中，把传动皮带调至第一层塔轮，塔轮的半径R相同，塔轮边缘的线速度大小相等；
根据线速度与角速度的关系可知，小球做圆周运动的角速度相同，根据控制变量法的原理，将两个质量相等的钢球放在B、C位置，可探究向心力的大小与半径的关系；
（3）根据实验原理可知左、右两标尺显示的格数之比等于向心力之比，即
若两个钢球的质量和运动半径相等，根据向心力公式F＝mrω2
可得
塔轮边缘的线速度大小相等，根据线速度与角速度的关系
与皮带连接的左塔轮和右塔轮的半径之比为。
故答案为：（1）C；（2）半径；（3）2：1。
57．某实验小组通过如图所示的装置验证向心力公式。一个体积较小，质量为m的滑块套在水平杆上（不会翻到），力传感器通过一根细绳连接滑块，用来测量绳中拉力F的大小，最初整个装置静止，细绳刚好伸直但无张力，然后让整个装置逐渐加速转动，最后滑块随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动。滑块的中心固定一块挡光片，宽度为d，滑块的中心到转轴的距离为L，每经过光电门一次，通过力传感器和光电计时器就同时获得一组细绳拉力F和挡光片经过光电门时的挡光时间的数据。
（1）某次旋转过程中挡光片经过光电门时的挡光时间为Δt，则滑块转动的线速v＝ 。
（2）认为绳的张力充当向心力，如果F＝ （用已知量和待测量的符号表示），则向心力的表达式得到验证。
（3）该小组验证向心力的表达式时，经多次实验，仪器正常，操作和读数均没有问题，发现拉力F的测量值与滑块的向心力的理论值相比 偏小 （填“偏大”或“偏小”），主要原因是 滑块与水平杆间有摩擦力 。
【答案】（1）；（2）；（3）偏小；滑块与水平杆间有摩擦力
【解答】解：（1）挡光片宽度为d，挡光片经过光电门时的挡光时间为Δt，则滑块转动的线速
（2）绳的张力充当向心力，由向心力公式，如果
则向心力的表达式得到验证。
（3）滑块做圆周运动时，滑块受到水平杆的摩擦力，设滑块受水平杆的摩擦力大小是Ff，方向沿水平杆指向圆心，对滑块由牛顿第二定律可得
解得
可知拉力F的测量值与滑块的向心力的理论值相比偏小。
偏小的主要原因是由于滑块与水平杆间有摩擦力，因此会产生实验误差。
故答案为：（1）；（2）；（3）偏小；滑块与水平杆间有摩擦力
58．如图所示，是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图，转动手柄1，可使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在轮塔2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。那么：
（1）现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法中正确的是 A 。
A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验
D．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验
（2）在该实验中应用了 控制变量法 （选填“理想实验法”、“控制变量法”、“等效替代法”）来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
（3）当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边轮塔与右边轮塔之间的角速度之比为 1：2 。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据F＝mrω2，知要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和半径不变。
故A正确，BCD错误。
（2）由前面分析可知该实验采用的是控制变量法。
（3）根据F＝mrω2，则角速度与半径成反比，故可知左边轮塔与右边轮塔之间的角速度之比为1：2。
故答案为：（1）A；（2）控制变量法；（3）1：2。
59．如图所示，图甲为“利用向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图，图乙为其俯视图，图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。当a、b两轮在皮带的带动下匀速转动时，
（1）本实验采用的科学方法是 控制变量法 ；
（2）两槽转动的角速度ωA ＝ ωB（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）现有两个质量相同的钢球，球1放在A槽的横臂挡板处，球2放在B槽的横臂挡板处，它们到各自转轴的距离之比为2：1。则钢球1、2的线速度之比为 2：1 ；当钢球1、2各自对应的标尺露出的格数之比为 2：1 时，向心力公式F＝mω2r得到验证。
【答案】（1）控制变量法；（2）＝；（3）2：1；2：1
【解答】解：（1）该实验控制两物体角速度一样，控制半径不同，来验证向心力公式，为控制变量法。
（2）a、b轮用皮带连接，所以线速度相等。同时a、b轮的半径相同
故v＝ωr
ωA＝ωB
（3）A、B槽的角速度相等，半径之比为2：1，所以球1、2的线速度之比为2：1。
（3）向心力
F＝mω2r
两球的质量，角速度都相等，所以向心力之比为2：1，故当钢球1、2各自对应的标尺露出的格数之比为2：1，向心力公式得到验证。
故答案为：（1）控制变量法；（2）＝；（3）2：1；2：1
60．用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
（1）本实验采用的科学方法是 A ；
A．控制变量法
B．累积法
C．微元法
D．放大法
（2）通过本实验可以得到的结果是 C 。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在这两个装置中，控制半径，角速度，不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，故采用的控制变量法，故选：A
（2）通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，故选：C
故答案为：（1）A；（2）C；
