3.动能 动能定理
题型1 动能的定义、性质、表达式 题型2 动能定理的简单应用
题型3 利用动能定理求解多过程问题 题型4 利用动能定理求解机车启动问题
题型5 探究功与物体速度变化的关系 题型6 探究动能定理
▉题型1 动能的定义、性质、表达式
【知识点的认识】
1．定义：物体由于运动而具有的能叫动能．
2．公式：Ek＝mv2．单位：焦耳（J）．
3．矢标性：动能是标量，只有正值．
4．动能是状态量．而动能的变化量是过程量．
5．动能具有相对性，动能的大小与参照物的选取有关，中学物理中，一般取地球为参照物．
1．改变汽车的质量和速度，都可能使汽车的动能发生改变，下列几种情形中，汽车的动能不变的是（ ）
A．质量不变，速度增大到原来的2倍
B．速度不变，质量增大到原来的2倍
C．质量减半，速度增大到原来的2倍
D．速度减半，质量增大到原来的4倍
2．一辆汽车的速度从10km/h增加到20km/h，动能的增量为ΔEk1；若速度从40km/h增加到50km/h，动能的增量为ΔEk2，则（ ）
A．ΔEk1＝ΔEk2 B．ΔEk1＜ΔEk2 C．ΔEk1＞ΔEk2 D．无法判断
3．关于动能的理解，下列说法错误的是（ ）
A．物体由于运动而具有的能叫做动能
B．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关
C．物体做曲线运动，其动能一定变化
D．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化
▉题型2 动能定理的简单应用
【知识点的认识】
1.动能定理的内容：合外力做的功等于动能的变化量。
2.表达式：W合＝ΔEk＝Ek末﹣Ek初
3.本考点针对简单情况下用动能定理来解题的情况。
4．如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速传送至高处，在此过程中，下述说法正确的是（ ）
A．摩擦力对物体做正功 B．支持力对物体做正功
C．重力对物体做正功 D．合外力对物体做正功
5．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直。质量为m、可视为质点的滑块自A的正上方P点由静止下落，从A点内侧进入轨道后，恰好能通过轨道的最高点B。若重力加速度为g，滑块克服摩擦力做功mgR，不计空气阻力，则滑块下落点P到A的高度h为（ ）
A． B．2R C． D．3R
6．一轻质弹簧固定在竖直墙上，用一质量为0.8kg的木块压缩该弹簧，释放木块后，木块沿光滑水平面运动，离开弹簧时的速度大小为2m/s。则弹簧对木块做的功为（ ）
A．0.2J B．0.4J C．0.8J D．1.6J
7．物体m用线通过光滑的水平板间小孔与砝码M相连，并且正在做匀速圆周运动，如图所示，如果减少M的重量，则物体m的轨道半径r，角速度ω，线速度v的大小变化情况是（ ）
A．r不变．v变小 B．r增大，ω减小
C．r减小，v不变 D．r减小，ω不变
8．足球比赛时，某方获得一次罚点球机会，该方一名运动员将质量为m的足球以速度v0猛地踢出，结果足球以速度v撞在球门高h的门梁上而被弹出。现用g表示当地的重力加速度，则此足球在空中飞往门梁的过程中空气阻力所做的功应等于（ ）
A．mghmv2 B．mv2mgh
C．mv2﹣mgh D．mghmv2
9．如图所示，一质量为m的滑块以初速度v0从斜面底端沿斜面向上运动，已知滑块与斜面之间的动摩擦因数为μ，滑块上升的最大高度为h，则在滑块从斜面底端滑到最高点的过程中（ ）
A．斜面支持力对滑块做的功为
B．摩擦力对滑块做的功为
C．重力对滑块做的功为mgh
D．合外力对滑块做的功为
10．质量为1kg的物体在光滑水平地面上O点，以初速度v0沿x轴正方向运动，其所受的水平力F随位移x变化的图像如图所示，当x＝7m时，物体的速度恰好为2v0，则初速度大小为（ ）
A．m/s B．m/s C．2m/s D．m/s
11．平抛运动中，保持物体平抛的高度不变，增大物体的初速度，则下列说法正确的是（ ）
A．平抛运动的时间增加
B．物体落地时的动能增大
C．重力势能的变化量增大
D．平抛运动中重力做的功增大
12．“歼﹣20”是中国自主研制的双发重型隐形战斗机，该机将担负中国未来对空、对海的主权维护任务。在某次起飞中，质量为m的“歼﹣20”以恒定的功率P起动，其起飞过程的速度随时间变化图像如图所示，经时间t0飞机的速度达到最大值为vm时，刚好起飞。关于起飞过程，下列说法正确的是（ ）
A．飞机所受合力不变，速度增加越来越慢
B．飞机所受合力增大，速度增加越来越快
C．发动机的牵引力做功为mvm2
D．飞机克服阻力所做的功为Pt0mvm2
13．如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图（b）所示。重力加速度大小取10m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为（ ）
A．m＝0.7kg，f＝0.5N B．m＝0.7kg，f＝1.0N
C．m＝0.8kg，f＝0.5N D．m＝0.8kg，f＝1.0N
14．“金山银山，不如绿水青山”，现在越来越多的环保新能源电动车出现我们的生活中。为了检测某款新型电动车的性能，让其由静止开始沿平直公路行驶，用仪器测得不同时刻电动车的牵引力F与对应的速度v，并绘出F图象如图所示（图中AB、BC均为直线，C点为实线与虚线的分界点）。假设电动车行驶中所受的阻力恒定，电动车总质量为200kg，重力加速度g取10m/s2，则由图象可知（ ）
A．电动车在AB段做匀速直线运动，在BC段做匀加速直线运动
B．电动车行驶中所受阻力为400N，最大速度为20m/s
C．BC段斜率的意义表示电动车的额定功率，大小为4000W
D．若测得BC段位移为6m，则可算得BC段经历时间为4s
15．如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R，一质量为m的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止下滑时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力做的功为（ ）
A．μmgR B．mgR C．mgR D．（1﹣μ）mgR
16．公园里一小朋友正在玩荡秋千，简化图如图所示，设大人用水平力F缓慢将秋千拉至图示位置由静止释放（图中未画出F），此时秋千绳与竖直方向的夹角为θ，小朋友到秋千悬点的距离为L，小朋友的质量为m，忽略秋千绳的质量，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．大人缓慢拉秋千的过程中拉力做的功为FLsinθ
B．大人在拉秋千的过程中小朋友的重力做正功，重力势能增加
C．由静止释放到秋千摆到最低点过程中，小朋友的重力势能减少mgL（1﹣cosθ）
D．由静止释放后到秋千摆到最低点的过程中，秋千绳的拉力对小朋友做正功
（多选）17．一物体在水平恒力F的作用下沿水平面运动，撤去F后物体在摩擦力f的作用下减速到静止，其v﹣t图像如图所示。则下列说法正确的是（ ）
A．0～t0内F、f做功大小之比为3：1
B．0～t0内F、f做功大小之比为1：1
C．0～3t0内F、f做功大小之比为3：1
D．0～3t0内F、f做功大小之比为1：1
（多选）18．在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到vm后立即关闭发动机，汽车减速运动直至停止，v﹣t图象如图所示。假设汽车行驶时受到的阻力恒为f，汽车的牵引力为F，全过程中牵引力做功W1，汽车克服阻力做功W2，则（ ）
A．F：f＝3：1 B．F：f＝4：1 C．W1：W2＝1：3 D．W1：W2＝1：1
（多选）19．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径为R＝1m，小球可看作质点且其质量为m＝1kg，g取10m/s2，则（ ）
A．小球经过B点时的速率为3m/s
B．小球经过B点时，受到管道的作用力FN＝1N，方向向上
C．若改变小球进入管道初速度使其恰好到达B点，则在B点小球对管道 的作用力为零
D．若改变小球进入管道初速度使其恰好到达B点，则在A点小球对管道的作用力为50N
（多选）20．“跳一跳”小游戏需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，其最高点离平台的高度为h，水平速度为v；若质量为m的棋子在运动过程中可视为质点，只受重力作用，重力加速度为g，则（ ）
A．棋子从最高点落到平台上所需时间t
B．若棋子在最高点的速度v变大，则其落到平台上的时间变长
C．棋子从最高点落到平台的过程中，重力势能减少mgh
D．棋子落到平台上的速度大小为
21．某同学将篮球砸向地面后竖直反弹，篮球底部刚好能到达离地高h＝3m的篮筐。假设篮球在运动过程中受到的阻力恒为其重力的0.2倍，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）篮球反弹时的速度大小；
（2）篮球从反弹到落至地面所用的时间。
22．滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来，如图是滑板运动的轨道。BC和DE是两段光滑的圆弧形轨道，BC的圆心为O点，圆心角θ＝60°，半径OC与水平轨道CD垂直，滑板与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2．某运动员从轨道上的A点以v＝4m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿着轨道的切线方向滑入圆弧轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知B、E两点与水平轨道CD的竖直高度分别为h＝2.5m和H＝4m。g＝10m/s2，求：
（1）运动员到达B点时的速度大小；
（2）A、B两点之间的高度差；
（3）水平轨道CD的长度L；
（4）通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，求出回到B点时速度的大小；如果不能，求出最后停止的位置距C点的距离。
23．如图甲所示，长为L＝3m的传送带以速度v0＝6m/s顺时针匀速转动，其左端A点与一个四分之一光滑圆轨道连接，轨道半径R＝0.8m。右端B与一个倾角为30°的斜面连接，B点到地面的高度为H＝1.8m。小滑块从光滑圆轨道高h处静止释放，到达A点时的速率v2与下落高度h的关系如图乙所示。已知小滑块质量为m＝2kg，与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.3，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）若小滑块从h＝0.5m处静止释放，小滑块到达A点时对轨道的压力；
（2）若小滑块从h＝0.8m处静止释放，小滑块到达B点时的速度大小；
（3）要使小滑块刚好平抛在斜面底端C点，小滑块从光滑圆轨道静止释放的高度。
24．如图所示，位于竖直平面上有圆弧的光滑轨道，半径为R＝0.8m，OB沿竖直方向，圆弧轨道上端A点距地面高度为H＝2.05m。当把质量为m＝1kg的钢球从A点静止释放，最后落在了水平地面的C点处，若本地的重力加速度为g＝10m/s2，且不计空气阻力。请计算：
（1）钢球运动到B点的瞬间受到的支持力。
（2）钢球落地点C距B点的水平距离s。
25．如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道（管道横截面的半径略大于小球半径），管道中心到圆心距离为R，A点与圆心O等高，AD为水平面，B点在圆心O的正下方。质量为m的小球自A点正上方某高度处由静止释放，自由下落至A点时进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的7倍，已知重力加速度为g。求；
（1）释放点距A点的竖直高度；
（2）小球在管道最高点时对管道的压力；
（3）落点C与A点的水平距离。
26．如图甲所示，在水平地面上放置一个质量m＝4kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随位移x变化的图像如图乙所示，已知物体与地面之间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2，求：
（1）出发时物体运动的加速度大小；
（2）物体能够运动的最大位移。
27．如图所示，一滑块经水平轨道AB，进入竖直平面内的四分之一圆弧轨道BC，已知滑块的质量m＝1kg，在A点的速度vA＝8m/s，AB长L＝7m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆弧轨道的半径R＝1m，滑块离开C点后竖直上升h＝0.2m。取g＝10m/s2。求：
（1）滑块恰好滑过B点对轨道的压力大小；
（2）滑块在圆弧轨道BC段克服摩擦力所做的功W克f。
28．如图所示，一个半径为R的四分之一轨道，最低点的切线水平，最高点离地面的高度为H，一质量为m的小球从A点由静止释放，小球从B点飞出后，平抛的水平距离为L，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球在B点的速度大小；
（2）小球过B点时对轨道压力的大小；
（3）小球从A到B克服摩擦力做的功。
29．如图所示，在长l＝1m的轻杆中点A和端点B各固定一质量m＝1kg的球，杆可绕轴O无摩擦地转动，使杆从水平位置无初速度释放。重力加速度取g＝10m/s2。求：
（1）杆转到竖直位置时两球的速度大小vA、vB；
（2）杆由水平位置转到竖直位置的过程中，杆对两球做的功WA、WB。
30．滑雪者从高为H的山坡上A点由静止下滑，到B点后又在水平雪面上滑行，最后停止在C点．A、C两点的水平距离为s，求滑雪板与雪面间的动摩擦因数μ．
31．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举行，冬奥会的举办掀起了全民参加冰雪运动的热潮．某滑雪场一滑道示意图如图所示，AB为弧形滑道，BC为水平滑道，CD为倾斜直滑道，滑道间连接平滑．一运动员从AB段滑下，到达B点时速度v0＝17m/s，然后保持身体姿态不变自由滑行，滑至C点时速度vC＝16m/s，后沿CD上滑至最高点P（图中未画出）．已知BC长度为x＝33m，CD与水平面夹角θ＝37°，运动员与滑道之间的动摩擦因数都相同，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）运动员与滑道之间的动摩擦因数；
（2）从B点滑至P点的时间。
32．如图所示，一质量为m＝1.0kg的物块，在与水平面成θ＝37°的F＝10N作用下，沿粗糙水平面向右运动s1＝1.0m后，撤去力F。已知物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。求：
（1）撤去力F时物块的动能；
（2）撤去力F后物块前进的最大距离。
33．如图所示，从A点以水平速度v0＝4m/s抛出一质量m＝1kg的小物块（可视为质点）。当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入∠BOC＝37°的光滑圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面上的长木板上，圆弧轨道C端的切线水平。已知长木板的质量M＝1kg，光滑圆弧轨道BC半径R＝2.75m，物块与长木板之间的动摩擦因数μ1＝0.5，长木板与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2，g＝10m/s2。求：（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
（1）小物块在B点时的速度大小；
（2）小物块滑动至C点时，对圆弧轨道的压力大小；
（3）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板。
34．运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上自由滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，投掷冰壶运动员的队友，可以用毛刷在冰壶滑行前方来回摩擦冰面，减小冰面的动摩擦因数以调节冰壶的运动。
（1）运动员以v0＝3.6m/s的速度投掷冰壶，若冰壶和冰面的动摩擦因数为0.02，冰壶能在冰面上滑行多远？g取10m/s2；
（2）若运动员仍以v0＝3.6m/s的速度将冰壶投出，其队友在冰壶自由滑行10m后开始在其滑行前方摩擦冰面，冰壶和冰面的动摩擦因数变为原来的90%，冰壶滑行了多少距离？（结果保留一位小数）
35．如图所示，质量分别为30kg和50kg的物体A、B用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8m。求：（g取10m/s2）
（1）放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；
（2）B物体着地后A物体能继续上升的高度。
36．如图甲所示，质量m＝2kg的物体静止在光滑的水平面上，t＝0时刻，物体受到一个变力F作用，t＝1s时，撤去力F，某时刻物体滑上倾角为37°的粗糙斜面；已知物体从开始运动到斜面最高点的v﹣t图像如图乙所示，不计空气阻力及连接处的能量损失，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）变力F做的功；
（2）物体从斜面底端滑到最高点过程中克服摩擦力做功的平均功率；
（3）物体回到出发点的速度大小。
▉题型3 利用动能定理求解多过程问题
【知识点的认识】
1.动能定理的内容：合外力做的功等于动能的变化量。
2.表达式：W合＝ΔEk＝Ek末﹣Ek初
3.动能定理不用考虑物体的运动过程，可以通过对全程列动能定理来简化过程比较多，运动情况比较复杂的问题。
（多选）37．在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到vmax后，立即关闭发动机直至静止，v﹣t图像如图所示，设汽车的牵引力为F，受到的摩擦力为Ff，全程中牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则（ ）
A．F：Ff＝1：3 B．W1：W2＝1：1 C．F：Ff＝4：1 D．W1：W2＝1：3
38．如图所示，圆弧AB在竖直平面内，圆弧B处的切线水平，B端高出水平地面0.8m，O点在B点的正下方。将一滑块从A端由静止释放，到B处的速度大小为2m/s，之后落在水平面上的C点处。求：
（1）求OC的长
（2）在B端接一长L＝1.0m的水平薄木板MN，滑块从A端释放后正好运动N端停止，求木板与滑块的动摩擦因数。
（3）若将木板右端截去长为b的一段，滑块从A端静止释放后将滑离木板落在水平面上P点处，要使落地点距O点的距离最远，b应为多少？
▉题型4 利用动能定理求解机车启动问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对机车启动问题中需要用到动能定理的情况。
（多选）39．一辆新能源汽车在平直的公路上由静止开始启动，在启动过程中，汽车牵引力的功率及其瞬时速度随时间的变化情况分别如图甲、乙所示，已知汽车所受阻力恒为重力的，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．该汽车的质量为1×103kg
B．最大速度v0＝6m/s
C．在前5s内，汽车克服阻力做功为2.5×104J
D．在5～15s内，汽车的位移大小约为67m
（多选）40．一辆汽车在平直的路面上发动机以恒定功率由静止开始行驶，设所受阻力大小不变，其牵引力F与速度v的关系如图所示（纵坐标单位为×104N，横坐标单位为m/s），加速过程在图中B点结束，所用的时间t＝10s，经历的路程s＝60m，10s后汽车做匀速运动。由以上数据可知（ ）
A．汽车的质量为8.0×104kg
B．汽车所受的阻力大小为1.0×104N
C．汽车运动过程中发动机功率为1.0×105W
D．汽车的速度为5.0m/s时其加速度为2.0m/s2
▉题型5 探究功与物体速度变化的关系
【知识点的认识】
一、实验：探究功与速度变化的关系
1．实验目的：
（1）探究功与物体速度变化的关系。
（2）感悟实验方案的设计和实验数据的处理方法。
2．实验的方法：如图所示，依次用1根、2根、3根…同样的橡皮筋与物体相连接，并且每次将橡皮筋拉伸相同的长度，这样操作，无须计算就可知道橡皮筋对物体所做的功依次为W、2W、3W…
而每次橡皮筋对物体做功后的速度，可用打点计时器测出。
3．实验器材：本实验需要的器材有：打点计时器（含纸带、学生电源、复写纸、连接导线）、同种橡皮条（10根）、小车、长木板、钉子、刻度尺。
4．实验步骤：
（1）按图连接好器材。橡皮筋的一端套在小车上，另一端套在钉子上，第一次用两根橡皮筋。将长木板倾斜一个角度，使重力沿斜面向下的分力平衡小车受到的摩擦力。
（2）将小车拉到靠近打点计时器的位置（在橡皮筋弹性限度内），并标记下此位置；接通电源后松手。
（3）换上纸带，并在纸带上做好标记，每次加接两根橡皮筋，然后将小车拉到同一位置，接通电源后松手。依次再做四次。
（4）根据纸带求橡皮筋对小车做功后的速度。在每条纸带上找出点间间距相等的那部分，它记录的是小车做匀速运动的情况，如图所示的计数点B、E、C部分。用刻度尺量出计数点B、C之间的距离d，设相邻两计数点间的时间间隔为T，那么，橡皮筋对小车做功后的速度：vi。
（5）分析测量数据得出实验结论。根据实验所得数据Wi与vi，猜想Wi与vi的关系，先看它们是否满足最简单的正比关系，即：Wi∝vi．接着再猜想Wi∝？大致成立后，再作Wi图进行验证。
5．实验结论：Wi∝。
6．实验中应注意事项
（1）平衡摩擦力：实验中的小车不可避免地要受到摩擦力的作用，为了保证橡皮筋对物体的功就是合外力的功，必须设法排除摩擦力的影响。可采用将木板一端垫高的方法来实现。将木板一端垫高，让自由小车（不系橡皮筋时）能在木板上匀速运动，使重力沿斜面方向的分力与摩擦力相平衡，就消除了摩擦力的影响。
（2）每次实验所用的每条橡皮筋，其长度、材料和粗细都应是相同的，并且橡皮筋拉伸的长度都保持一致。
（3）打点计时器打出的纸带上相邻各点的间距并不均匀，应选点间间距相等的一段纸带来计算小车的速度，因这一小段是橡皮筋对小车做功完毕时的情形。
41．某同学为探究“合力做功与物体动能改变的关系”，设计了如下实验，他的操作步骤是：
①按图（a）摆好实验装置，其中小车质量M＝0.20kg，钩码总质量m＝0.05kg。
②释放小车，然后接通打点计时器的电源（电源频率为f＝50Hz），打出一条纸带。
（1）他在多次重复实验得到的纸带中取出自认为满意的一条，如图（b）所示。把打下的第一点记作0，然后依次取若干个计数点，相邻计数点间还有4个点未画出，用厘米刻度尺测得各计数点到0点距离分别为d1＝0.0041m，d2＝0.055m，d3＝0.167m，d4＝0.256m，d5＝0.360m，d6＝0.480m…，他把钩码重力（当地重力加速度g＝9.8m/s2）作为小车所受合力算出打下0点到打下第5点合力做功W＝ J（结果保留三位有效数字），把打下第5点时小车动能作为小车动能的改变量，算得Ek＝ 。（结果保留三位有效数字）
（2）此次实验探究的结果，他没能得到“合力对物体做的功，等于物体动能的增量”，且误差很大。通过反思，他认为产生误差的原因如下，其中正确的是 。
A．钩码质量太大，使得合力对物体做功的测量值比真实值偏大太多
B．没有平衡摩擦力，使得合力对物体做功的测量值比真实值偏大太多
C．释放小车和接通电源的次序有误，使得动能增量的测量值比真实值偏小
D．没有使用最小刻度为毫米的刻度尺测距离也是产生此误差的重要原因。
42．某同学为探究“恒力做功与物体动能改变的关系”，设计了如图所示的实验，操作步骤是：
①摆好实验装置如图所示．
②将质量为200g的小车拉到打点计时器附近，并按住小车．
③在质量为10g、30g、50g、的三种钩码中，他挑选了一个质量为50g的钩码挂在拉线的挂钩P上．
④打开电磁打点计时器的电源，释放小车，打出一条纸带．
在多次重复实验得到的纸带中取出自认为满意的一条．经测量、计算，得到如下数据：
①第一个点到第N个点的距离为40.0cm；
②打下第N点时小车的速度大小为1.00m/s；
③将钩码的重力当作小车所受的拉力，大小约为0.5N．
（1）那么该同学处理数据的结果应该为：拉力对小车做的功W＝ J，小车动能的增量ΔEk＝ J．
（2）比较W与ΔEk，发现此次实验探究的结果，与他所预期的结果：“恒力对物体做的功等于物体动能的增量”误差很大．说明他在实验探究过程中忽视了一些重要的产生误差的因素．请你根据该同学的实验装置和操作过程帮助分析一下，造成较大误差的主要原因是： ．
43．某学习小组利用如图装置研究合外力与动能变化的关系。图中滑轮光滑，细线轻质，不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）为了较好完成该实验，下列说法正确的是 （填选项前字母）
A.打点计时器应该用低压直流电源
B.实验中必须平衡小车的摩擦力
C.应先释放小车，后接通打点计时器电源
D.滑轮与小车之间的细绳应该与长木板平行
（2）如图是该实验中打出的一条纸带，已知打点周期为T，测出OA、AB间距离分别为x1，x2，则A点速度vA＝ ；
（3）用天平测出重物质量为m、小车质量为M（M远大于m），用刻度尺测出纸带中AE间距离为s，应用（2）问的方法算出E点的速度为vE。以小车为研究对象，在A到E过程中验证动能定理的表达式为 （用m、M、g、s、vA、vE表示）
44．甲同学用如图甲所示装置做“探究合力的功与动能改变量的关系”的实验：
（1）图乙是该同学实验中得到的一条纸带，其中A、B、C、D、E、F是连续的六个计数点，相邻计数点间的时间间隔为T＝0.1s，图中s1＝4.00cm，s2＝10.00cm，s＝10.50cm。测出小车的质量为M＝0.45kg，钩码的总质量为m＝0.05kg。该同学认为绳子拉力等于钩码的重力，则从打B点到E点的过程中，合力对小车做的功是 J，小车动能的增量是 J；（取g＝9.8m/s2，结果保留2位有效数字）
（2）该同学经多次实验发现拉力做功总是要比小车动能增加量大一些，这一情况可能是下列哪些原因造成的 。
A．在接通电源的同时释放了小车
B．小车释放时离打点计时器太近
C．钩码做匀加速运动，钩码重力大于细绳拉力
D．长木板的倾角太小
45．某实验小组采用如图甲所示的装置探究功与速度变化的关系，平衡小车所受摩擦力后，小车在橡皮筋的作用下弹出，沿木板滑行．已知小车质量为250g，打点计时器工作频率为50Hz．
（1）实验中，小车在1条橡皮筋的作用下弹出，打点计时器打出如图乙所示的一段纸带，相邻两计时点距离依次为：AB＝3.50cm、BC＝3.80cm、CD＝DE＝EF＝FG＝GH＝4.00cm，则小车运动的最大速度v1＝ m/s（结果保留三位有效数字）．
（2）由（1）可知，1条橡皮筋对小车做功为W＝ J．
（3）小车在完全相同的1条、2条、3条…橡皮筋的作用下，每次均从相同位置从静止出发，根据多次实验获得的纸带数据，分别求出小车每次获得的最大速度v1、v2、v3…作出W﹣v图象，则图丙中符合实际的图象是： ．
46．晓重和晓庆两位同学准备用图所示的实验装置探究“合力做功与物体速度变化的关系”。如图所示，小钢球从水平玻璃桌面上某位置静止释放，在橡皮筋作用下从玻璃桌面边缘弹出，并直接落在斜面上。若小钢球在一条橡皮筋作用下弹出，橡皮筋对小钢球做的功记为W。当使用规格相同的2条、3条……橡皮筋并在一起，使小钢球从上述同一位置静止释放，从水平玻璃桌面边缘弹出，橡皮筋对小钢球做的功分别记为2W，3W……实验中忽略小钢球与玻璃桌面间的摩擦。
（1）本实验除了图中已给出的实验器材外，还需要的器材有 （选填“秒表”、“天平”或“刻度尺”）；
（2）①为了探究“合力做功与物体速度变化的关系”，每次实验操作时，除了记录橡皮筋的条数n外，还必需要记录的一个物理量是 ；
A．斜面的倾角大小
B．玻璃桌面离地高度
C．小钢球平抛运动位移的大小
D．小钢球平抛运动的时间
②在实验数据处理时，为了实验研究方便使图象为直线，当将橡皮筋的条数n作为纵轴时，则应将实验中测得的小钢球平抛运动的 设为横轴。
A．时间
B．位移大小
C．位移大小的平方根
D．位移大小的平方
47．为了测定滑槽对物体的摩擦力所做功的大小，利用刻度尺和如图所示的实验装置进行实验．其中，a是质量为m的小球（可视为质点），b是固定于桌面的滑槽（滑槽末端切线沿水平方向），实验时让小球a从滑槽上同一位置C点多次由静止释放滑下，落在地面上的平均落地点为p点，当地重力加速度为g，不计空气阻力．则实验时
（1）需要测量的物理量（用文字和字母表示）： 、 、 ．
（2）计算滑槽b对小球a的摩擦力所做的功的关系式（用测得的物理量的字母表示）：wf＝ ．
48．如图所示为“探究功与速度变化的关系”实验装置，让小车在橡皮筋的作用下弹出，沿木板滑行。思考该探究方案并回答下列问题：
（1）实验操作中需平衡小车受到的摩擦力，其最根本的目的是 。
A．防止小车不能被橡皮筋拉动
B．保证橡皮筋对小车做的功等于合外力对小车做的功
C．便于小车获得较大的弹射速度
D．防止纸带上打点不清晰
（2）实验中甲、乙两同学用两种不同的方法来实现橡皮筋对小车做功的变化。
甲同学：把多条相同的橡皮筋并在一起，并把小车拉到相同位置释放；
乙同学：通过改变橡皮筋的形变量来实现做功的变化。
你认为 （填“甲”或“乙”）同学的方法可行。
（3）本实验可通过作图来寻找功与速度变化的关系。若所作的W﹣v的图象如图所示，则下一步应作 （填“W﹣v2”或“W”）的关系图象。
49．某同学为探究“合力做功与物体动能改变的关系”，设计了如下实验，他的操作步骤是：
A．按如图1摆好实验装置，
B．将质量M＝0.20kg的小车拉到打点计时器附近，并按住小车，
C．在总质量m分别为10g、30g、50g的三种钩码中，挑选了一个质量为50g的钩码挂在拉线的挂钩上，
D．接通打点计时器的电源（电源频率为f＝50Hz），然后释放小车，打出一条纸带．
①多次重复实验，从中挑选一条点迹清晰的纸带如图2所示．把打下的第一点记作“0”，然后依次取若干个计数点，相邻计数点间还有4个点未画出，用毫米刻度尺测得各计数点到0点距离分别为d1＝0.0075m，d2＝0.03001m，d3＝0.0675m，d4＝0.1200m，d5＝0.1875m，d6＝0.2700m，他把钩码重力（当地重力加速度g＝9.8m/s2）作为小车所受合力算出打下“0”点到打下“5”点合力做功．则合力做功W＝ J，小车动能的改变量EK＝ J（结果保留三位有效数字）．
②此次实验探究的结果，他没能得到“合力对物体做的功等于物体动能的增量”，且误差很大，显然，在实验探究过程中忽视了各种产生误差的因素．请你根据该同学的实验装置和操作过程帮助分析一下，造成较大误差的主要原因是 ； ．（写出两条即可）
▉题型6 探究动能定理
【知识点的认识】
1．实验目的：
（1）探究功与物体速度变化的关系。
（2）感悟实验方案的设计和实验数据的处理方法。
2．实验的方法：如图所示，依次用1根、2根、3根…同样的橡皮筋与物体相连接，并且每次将橡皮筋拉伸相同的长度，这样操作，无须计算就可知道橡皮筋对物体所做的功依次为W、2W、3W…
而每次橡皮筋对物体做功后的速度，可用打点计时器测出。
3．实验器材：本实验需要的器材有：打点计时器（含纸带、学生电源、复写纸、连接导线）、同种橡皮条（10根）、小车、长木板、钉子、刻度尺。
4．实验步骤：
（1）按图连接好器材。橡皮筋的一端套在小车上，另一端套在钉子上，第一次用两根橡皮筋。将长木板倾斜一个角度，使重力沿斜面向下的分力平衡小车受到的摩擦力。
（2）将小车拉到靠近打点计时器的位置（在橡皮筋弹性限度内），并标记下此位置；接通电源后松手。
（3）换上纸带，并在纸带上做好标记，每次加接两根橡皮筋，然后将小车拉到同一位置，接通电源后松手。依次再做四次。
（4）根据纸带求橡皮筋对小车做功后的速度。在每条纸带上找出点间间距相等的那部分，它记录的是小车做匀速运动的情况，如图所示的计数点B、E、C部分。用刻度尺量出计数点B、C之间的距离d，设相邻两计数点间的时间间隔为T，那么，橡皮筋对小车做功后的速度：vi。
（5）分析测量数据得出实验结论。根据实验所得数据Wi与vi，猜想Wi与vi的关系，先看它们是否满足最简单的正比关系，即：Wi∝vi．接着再猜想Wi∝？大致成立后，再作Wi图进行验证。
5．实验结论：Wi∝。
6．实验中应注意事项
（1）平衡摩擦力：实验中的小车不可避免地要受到摩擦力的作用，为了保证橡皮筋对物体的功就是合外力的功，必须设法排除摩擦力的影响。可采用将木板一端垫高的方法来实现。将木板一端垫高，让自由小车（不系橡皮筋时）能在木板上匀速运动，使重力沿斜面方向的分力与摩擦力相平衡，就消除了摩擦力的影响。
（2）每次实验所用的每条橡皮筋，其长度、材料和粗细都应是相同的，并且橡皮筋拉伸的长度都保持一致。
（3）打点计时器打出的纸带上相邻各点的间距并不均匀，应选点间间距相等的一段纸带来计算小车的速度，因这一小段是橡皮筋对小车做功完毕时的情形。
50．某实验小组利用打点计时器和小车做探究动能定理的实验，实验装置如图甲所示．
（1）设钩码质量为m，小车质量为M，若要使细线的拉力大小近似等于钩码的重力大小，则钩码的质量与小车的质量之间的关系应满足 ；若要使小车受到的合力等于细线的拉力，需要进行的操作是 ．
（2）该实验小组在某次实验中打出了一条纸带，且给出了部分测量值，如图乙所示，已知打点计时器的打点周期为T，重力加速度为g，在满足（1）中的条件下，需要探究的表达式为 ．（用题中给出的字母表示）3.动能 动能定理
题型1 动能的定义、性质、表达式 题型2 动能定理的简单应用
题型3 利用动能定理求解多过程问题 题型4 利用动能定理求解机车启动问题
题型5 探究功与物体速度变化的关系 题型6 探究动能定理
▉题型1 动能的定义、性质、表达式
【知识点的认识】
1．定义：物体由于运动而具有的能叫动能．
2．公式：Ek＝mv2．单位：焦耳（J）．
3．矢标性：动能是标量，只有正值．
4．动能是状态量．而动能的变化量是过程量．
5．动能具有相对性，动能的大小与参照物的选取有关，中学物理中，一般取地球为参照物．
1．改变汽车的质量和速度，都可能使汽车的动能发生改变，下列几种情形中，汽车的动能不变的是（ ）
A．质量不变，速度增大到原来的2倍
B．速度不变，质量增大到原来的2倍
C．质量减半，速度增大到原来的2倍
D．速度减半，质量增大到原来的4倍
【答案】D
【解答】解：A、质量不变，速度增大到原来的2倍，根据EKmv2，可知EK′m（2v）2＝4EK，故A错误；
B、速度不变，质量增大到原来的2倍，根据EKmv2，可知EK′ 2mv2＝2EK，故B错误；
C、质量减半，速度增大到原来的2倍，根据EKmv2，可知EK′（）（2v）2＝2EK，故C错误；
C、D、速度减半，质量增大到原来的4倍，根据EKmv2，可知EK′ 4m（v）2＝EK，故D正确；
故选：D。
2．一辆汽车的速度从10km/h增加到20km/h，动能的增量为ΔEk1；若速度从40km/h增加到50km/h，动能的增量为ΔEk2，则（ ）
A．ΔEk1＝ΔEk2 B．ΔEk1＜ΔEk2 C．ΔEk1＞ΔEk2 D．无法判断
【答案】B
【解答】解：动能Ekmv2，则ΔEk1m（202﹣102）
而ΔEk2m（502﹣402））；
因为300＜900，则ΔEk1＜ΔEk2，故B正确，ACD错误；
故选：B。
3．关于动能的理解，下列说法错误的是（ ）
A．物体由于运动而具有的能叫做动能
B．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关
C．物体做曲线运动，其动能一定变化
D．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化
【答案】C
【解答】解：A、动能是物体由于运动而具有的能，故A正确；
B、动能是标量，没有方向，Ekmv2，大小由质量和速率来决定，故B正确；
C、物体做曲线运动，速度变化，但动能不一定变化，如匀速圆周运动，故C错误；
D、一定质量的物体，动能变化，其速度大小一定发生变化，故D正确；
本题选错误的，故选：C。
▉题型2 动能定理的简单应用
【知识点的认识】
1.动能定理的内容：合外力做的功等于动能的变化量。
2.表达式：W合＝ΔEk＝Ek末﹣Ek初
3.本考点针对简单情况下用动能定理来解题的情况。
4．如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速传送至高处，在此过程中，下述说法正确的是（ ）
A．摩擦力对物体做正功 B．支持力对物体做正功
C．重力对物体做正功 D．合外力对物体做正功
【答案】A
【解答】解：A、物体匀速向上运动的过程中，摩擦力的方向沿传送带向上，与运动的方向相同，所以摩擦力做正功。故A正确。
B、支持力的方向与运动的方向垂直，知支持力对物体不做功。故B错误。
C、重力竖直向下，位移斜向上，重力做负功，故C错误；
D、物体匀速上升，动能变化量为零，根据动能定理知，合力做功为零。故D错误。
故选：A。
5．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直。质量为m、可视为质点的滑块自A的正上方P点由静止下落，从A点内侧进入轨道后，恰好能通过轨道的最高点B。若重力加速度为g，滑块克服摩擦力做功mgR，不计空气阻力，则滑块下落点P到A的高度h为（ ）
A． B．2R C． D．3R
【答案】C
【解答】解：滑块从P点运动到B点的过程，由动能定理得
mg（h﹣R）﹣Wf0
在最高点B，由重力提供向心力，由牛顿第二定律得
mg＝m
据题Wf＝mgR
联立解得h，故ABD错误，C正确。
故选：C。
6．一轻质弹簧固定在竖直墙上，用一质量为0.8kg的木块压缩该弹簧，释放木块后，木块沿光滑水平面运动，离开弹簧时的速度大小为2m/s。则弹簧对木块做的功为（ ）
A．0.2J B．0.4J C．0.8J D．1.6J
【答案】D
【解答】解：离开弹簧木块动能为：Ek0.8×22J＝1.6J，根据动能定理可知，W弹＝ΔEk＝1.6J，故D正确，ABC错误；
故选：D。
7．物体m用线通过光滑的水平板间小孔与砝码M相连，并且正在做匀速圆周运动，如图所示，如果减少M的重量，则物体m的轨道半径r，角速度ω，线速度v的大小变化情况是（ ）
A．r不变．v变小 B．r增大，ω减小
C．r减小，v不变 D．r减小，ω不变
【答案】B
【解答】解：物体在线的拉力作用下，在光滑水平面上做匀速圆周运动。砝码的重力等于向心力，当砝码的重量减小，此时向心力大于砝码的重力，从而做离心运动，导致半径变大，拉力对物体做负功，物体动能减少，所以速度变小，同时半径增大，所以角速度变小。故ACD错误，B正确。
故选：B。
8．足球比赛时，某方获得一次罚点球机会，该方一名运动员将质量为m的足球以速度v0猛地踢出，结果足球以速度v撞在球门高h的门梁上而被弹出。现用g表示当地的重力加速度，则此足球在空中飞往门梁的过程中空气阻力所做的功应等于（ ）
A．mghmv2 B．mv2mgh
C．mv2﹣mgh D．mghmv2
【答案】A
【解答】解：根据动能定理，得：
﹣mgh+Wfmv2
解得：
Wfmv2mmgh．故A正确，BCD错误。
故选：A。
9．如图所示，一质量为m的滑块以初速度v0从斜面底端沿斜面向上运动，已知滑块与斜面之间的动摩擦因数为μ，滑块上升的最大高度为h，则在滑块从斜面底端滑到最高点的过程中（ ）
A．斜面支持力对滑块做的功为
B．摩擦力对滑块做的功为
C．重力对滑块做的功为mgh
D．合外力对滑块做的功为
【答案】D
【解答】解：A、斜面支持力与滑块速度垂直，支持力对滑块不做功，故A错误；
B、摩擦力对滑块做的功为
Wf，
故B错误；
C、重力对滑块做的功为
WG＝﹣mgh，
故C错误；
D、由动能定理可知合外力对滑块做的功为
，
故D正确；
故选：D。
10．质量为1kg的物体在光滑水平地面上O点，以初速度v0沿x轴正方向运动，其所受的水平力F随位移x变化的图像如图所示，当x＝7m时，物体的速度恰好为2v0，则初速度大小为（ ）
A．m/s B．m/s C．2m/s D．m/s
【答案】C
【解答】解：由F﹣x图像面积表力F做功可得：W（ 2）×2J（3+5）×2J＝6J
根据动能定理得：Wm（2v0）2
解得：v0＝2m/s，故C正确，ABD错误。
故选：C。
11．平抛运动中，保持物体平抛的高度不变，增大物体的初速度，则下列说法正确的是（ ）
A．平抛运动的时间增加
B．物体落地时的动能增大
C．重力势能的变化量增大
D．平抛运动中重力做的功增大
【答案】B
【解答】解：A、平抛运动的高度不变，根据
解得：
可知平抛运动的时间不变，故A错误；
CD、保持物体平抛的高度不变，根据重力做功
WG＝mgh
可知重力做功不变，重力势能的减小量不变，故CD错误；
B、根据动能定理可得：
解得物体落地时的动能为
保持物体平抛的高度不变，增大物体的初速度，则物体落地时的动能增大，故B正确；
故选：B。
12．“歼﹣20”是中国自主研制的双发重型隐形战斗机，该机将担负中国未来对空、对海的主权维护任务。在某次起飞中，质量为m的“歼﹣20”以恒定的功率P起动，其起飞过程的速度随时间变化图像如图所示，经时间t0飞机的速度达到最大值为vm时，刚好起飞。关于起飞过程，下列说法正确的是（ ）
A．飞机所受合力不变，速度增加越来越慢
B．飞机所受合力增大，速度增加越来越快
C．发动机的牵引力做功为mvm2
D．飞机克服阻力所做的功为Pt0mvm2
【答案】D
【解答】解：AB、飞机功率P恒定，由图示v﹣t图象可知，飞机的速度v逐渐增大，牵引力F逐渐减小，阻力f不变，飞机所受合力F﹣f不断减小，由牛顿第二定律可知，加速度减小，速度增加的越来越慢，故AB错误；
C、发动机的牵引力做功：W＝Pt0，故C错误；
D、由动能定理得：Pt0﹣Wf0，解得，克服阻力做功：Wf＝Pt0，故D正确。
故选：D。
13．如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图（b）所示。重力加速度大小取10m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为（ ）
A．m＝0.7kg，f＝0.5N B．m＝0.7kg，f＝1.0N
C．m＝0.8kg，f＝0.5N D．m＝0.8kg，f＝1.0N
【答案】A
【解答】解：对物块根据动能定理可知
在上滑过程中：﹣fs﹣mgssin30°mv2
变形可得Ek＝（f+mgsin30°）s
在下降过程中：mgssin30°﹣fsmv'2
变形可得Ek'＝（mgsin30°﹣f）s
结合图像联立解得m＝0.7kg，f＝0.5N
故A正确，BCD错误
故选：A。
14．“金山银山，不如绿水青山”，现在越来越多的环保新能源电动车出现我们的生活中。为了检测某款新型电动车的性能，让其由静止开始沿平直公路行驶，用仪器测得不同时刻电动车的牵引力F与对应的速度v，并绘出F图象如图所示（图中AB、BC均为直线，C点为实线与虚线的分界点）。假设电动车行驶中所受的阻力恒定，电动车总质量为200kg，重力加速度g取10m/s2，则由图象可知（ ）
A．电动车在AB段做匀速直线运动，在BC段做匀加速直线运动
B．电动车行驶中所受阻力为400N，最大速度为20m/s
C．BC段斜率的意义表示电动车的额定功率，大小为4000W
D．若测得BC段位移为6m，则可算得BC段经历时间为4s
【答案】D
【解答】解：A、AB段牵引力不变，根据牛顿第二定律知，加速度不变，做匀加速直线运动，BC图线的斜率表示电动车的功率，知BC段功率不变，速度增大，牵引力减小，做加速度逐渐减小的加速运动，故A错误；
B、由图可知，汽车行驶过程中，速度最大为15m/s，此时所受到的阻力等于牵引力，故f＝F＝400N，故B错误；
C、BC图线的斜率表示电动车的功率，知BC段功率不变，额定功率 P＝Fminvmax＝400×15＝6×103W，故C错误；
D、在AB段，根据P＝Fv可得
在BC段，根据动能定理可得Pt﹣fx，解得t＝4s，故D正确；
故选：D。
15．如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R，一质量为m的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止下滑时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力做的功为（ ）
A．μmgR B．mgR C．mgR D．（1﹣μ）mgR
【答案】D
【解答】解：BC段物体受摩擦力f＝μmg，位移为R，故BC段摩擦力对物体做功W＝﹣fR＝﹣μmgR；对全程由动能定理可知，mgR+W1+W＝0
解得W1＝μmgR﹣mgR；
故AB段克服摩擦力做功为W克＝﹣W1＝mgR﹣μmgR＝（1﹣μ）mgR，故ABC错误，D正确；
故选：D。
16．公园里一小朋友正在玩荡秋千，简化图如图所示，设大人用水平力F缓慢将秋千拉至图示位置由静止释放（图中未画出F），此时秋千绳与竖直方向的夹角为θ，小朋友到秋千悬点的距离为L，小朋友的质量为m，忽略秋千绳的质量，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．大人缓慢拉秋千的过程中拉力做的功为FLsinθ
B．大人在拉秋千的过程中小朋友的重力做正功，重力势能增加
C．由静止释放到秋千摆到最低点过程中，小朋友的重力势能减少mgL（1﹣cosθ）
D．由静止释放后到秋千摆到最低点的过程中，秋千绳的拉力对小朋友做正功
【答案】C
【解答】解：A、缓慢上拉过程中，小朋友处于平衡状态，故拉力是变力，根据动能定理，有：WF﹣mgL（1﹣cos θ）＝0，故WF＝mgL（1﹣cos θ），故A错误；
B、大人在拉秋千的过程中，小朋友高度上升，重力做负功，重力势能增加，故B错误；
C、由静止释放到秋千摆到最低点过程中，小朋友的重力做功为WG＝mgL（1﹣cosθ），故重力势能减少mgL（1﹣cosθ），故C正确；
D、由静止释放后到秋千摆到最低点的过程中，秋千绳的拉力方向始终与运动方向垂直，故不做功，故D错误；
故选：C。
（多选）17．一物体在水平恒力F的作用下沿水平面运动，撤去F后物体在摩擦力f的作用下减速到静止，其v﹣t图像如图所示。则下列说法正确的是（ ）
A．0～t0内F、f做功大小之比为3：1
B．0～t0内F、f做功大小之比为1：1
C．0～3t0内F、f做功大小之比为3：1
D．0～3t0内F、f做功大小之比为1：1
【答案】AD
【解答】解：v﹣t图像的斜率表示加速度，由图像可知0～t0内、0～3t0内的加速度大小之比为
v﹣t图像与坐标轴所围的面积表示位移，则0～t0内、0～3t0内位移之比为
由牛顿第二定律可知，0～t0内有F﹣f＝ma1
0～3t0内有f＝ma2
联立解得：F＝3f
所以0～t0内F、f做功大小之比
0～3t0内F、f做功大小之比
故AD正确，BC错误。
故选：AD。
（多选）18．在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到vm后立即关闭发动机，汽车减速运动直至停止，v﹣t图象如图所示。假设汽车行驶时受到的阻力恒为f，汽车的牵引力为F，全过程中牵引力做功W1，汽车克服阻力做功W2，则（ ）
A．F：f＝3：1 B．F：f＝4：1 C．W1：W2＝1：3 D．W1：W2＝1：1
【答案】BD
【解答】解：AB、汽车的初速度为0，末速度为0，由动量定理得：Ft1﹣ft2＝0，所以：F：f＝t2：t1＝4：1，故A错误、B正确；
CD、在汽车运动的整个过程中，牵引力做正功，摩擦力做负功，动能的变化量为零，则根据动能定理得：W1﹣W2＝0
则得W1：W2＝1：1，故C错误，D正确。
故选：BD。
（多选）19．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径为R＝1m，小球可看作质点且其质量为m＝1kg，g取10m/s2，则（ ）
A．小球经过B点时的速率为3m/s
B．小球经过B点时，受到管道的作用力FN＝1N，方向向上
C．若改变小球进入管道初速度使其恰好到达B点，则在B点小球对管道 的作用力为零
D．若改变小球进入管道初速度使其恰好到达B点，则在A点小球对管道的作用力为50N
【答案】ABD
【解答】解：A、小球垂直撞在斜面上，可以知道到达斜面时竖直分速度vy＝gt＝10×0.3m/s＝3m/s，根据平行四边形定则知，tan45°，计算得出小球经过B点的速度vB＝3m/s，
在B点，根据牛顿第二定律得，mg+N，代入数据解得轨道对小球的作用力：N＝﹣1N，负号代表方向向上，故AB正确。
CD、若小球恰好到达B点，可以知道B点的速度为零，此时轨道对小球的作用力等于小球的重力，根据动能定理解得A点的速度：mg 2R，根据牛顿第二定律得，N﹣mg，联立解得N＝50N，根据牛顿第三定律可知小球对管道的作用力NN'＝N＝50N，故D正确。
故选：ABD。
（多选）20．“跳一跳”小游戏需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，其最高点离平台的高度为h，水平速度为v；若质量为m的棋子在运动过程中可视为质点，只受重力作用，重力加速度为g，则（ ）
A．棋子从最高点落到平台上所需时间t
B．若棋子在最高点的速度v变大，则其落到平台上的时间变长
C．棋子从最高点落到平台的过程中，重力势能减少mgh
D．棋子落到平台上的速度大小为
【答案】AC
【解答】解：A、从最高点到平台的过程可以看作是平抛运动，根据h得：t，故A正确。
B、从最高点到平台过程为平抛运动，运动的时间由高度决定，与最高点的速度无关，故B错误。
C、棋子从最高点落到平台的过程中，下降的高度为h，重力势能减小mgh，故C正确。
D、根据动能定理得：mgh，解得棋子落到平台上的速度大小为：，故D错误。
故选：AC。
21．某同学将篮球砸向地面后竖直反弹，篮球底部刚好能到达离地高h＝3m的篮筐。假设篮球在运动过程中受到的阻力恒为其重力的0.2倍，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）篮球反弹时的速度大小；
（2）篮球从反弹到落至地面所用的时间。
【答案】（1）篮球反弹时的速度大小为6m/s；
（2）篮球从反弹到落至地面所用的时间为s。
【解答】解：（1）假设篮球的质量为m，篮球上升过程中，由动能定理得
﹣（mg+kmg）h＝0
解得篮球反弹时的速度大小为：
（2）篮球上升至篮筐，有ht1
篮球下落过程中，由牛顿第二定律有
mg﹣kmg＝ma2
又
篮球从反弹到落至地面所用的时间为
t＝t1+t2
联立解得：s
答：（1）篮球反弹时的速度大小为6m/s；
（2）篮球从反弹到落至地面所用的时间为s。
22．滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来，如图是滑板运动的轨道。BC和DE是两段光滑的圆弧形轨道，BC的圆心为O点，圆心角θ＝60°，半径OC与水平轨道CD垂直，滑板与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2．某运动员从轨道上的A点以v＝4m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿着轨道的切线方向滑入圆弧轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知B、E两点与水平轨道CD的竖直高度分别为h＝2.5m和H＝4m。g＝10m/s2，求：
（1）运动员到达B点时的速度大小；
（2）A、B两点之间的高度差；
（3）水平轨道CD的长度L；
（4）通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，求出回到B点时速度的大小；如果不能，求出最后停止的位置距C点的距离。
【答案】（1）运动员到达B点时的速度大小为8m/s；
（2）A、B两点之间的高度差为2.4m；
（3）水平轨道CD的长度L为8.5；
（4）第一次返回时，运动员不能回到B点，最后停止的位置距C点的距离为5.5m。
【解答】解：（1）由平抛运动规律及几何关系得
（2）由平抛运动规律及几何关系得
A、B的高度差
（3）第一次从B到E，由动能定理得
代入数据得L＝8.5m
（4）假设运动员能到达B点，设返回B点时的速度为v，第一次从E返回B的过程由动能定理得
代入数据得v＜0
所以假设不成立，运动员不能回到B点
设运动员在CD上通过的总路程为x，从E点到最终停下的总过程，由动能定理得mgH﹣μmgx＝0
代入数据得x＝20m
所以最后停止的位置距C点的距离为L﹣3m＝8.5m﹣3m＝5.5m
答：（1）运动员到达B点时的速度大小为8m/s；
（2）A、B两点之间的高度差为2.4m；
（3）水平轨道CD的长度L为8.5；
（4）第一次返回时，运动员不能回到B点，最后停止的位置距C点的距离为5.5m。
23．如图甲所示，长为L＝3m的传送带以速度v0＝6m/s顺时针匀速转动，其左端A点与一个四分之一光滑圆轨道连接，轨道半径R＝0.8m。右端B与一个倾角为30°的斜面连接，B点到地面的高度为H＝1.8m。小滑块从光滑圆轨道高h处静止释放，到达A点时的速率v2与下落高度h的关系如图乙所示。已知小滑块质量为m＝2kg，与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.3，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）若小滑块从h＝0.5m处静止释放，小滑块到达A点时对轨道的压力；
（2）若小滑块从h＝0.8m处静止释放，小滑块到达B点时的速度大小；
（3）要使小滑块刚好平抛在斜面底端C点，小滑块从光滑圆轨道静止释放的高度。
【答案】（1）若小滑块从h＝0.5m处静止释放，小滑块到达A点时对轨道的压力为45N，方向竖直向下；
（2）若小滑块从h＝0.8m处静止释放，小滑块到达B点时的速度大小为m/s；
（3）要使小滑块刚好平抛在斜面底端C点，小滑块从光滑圆轨道静止释放的高度为0.45m。
【解答】解：（1）由图，可知h＝0.5m时，物块到达A点的速度为
设在A点，滑块受到支持力为F，则有
代入数据得F＝45N
由牛顿第三定律，滑块对轨道的压力大小为45N，方向竖直向下。
（2）在传送带上，由牛顿第二定律得μmg＝ma
物块从h＝R＝0.8m处释放，由图乙易知到达A点的速度为v0＝4m/s
由
当v等于传送带速度时
可知道无论从哪点滑下小滑块在传送带上一直做匀加速运动
代入数据得
（3）设初速度为vB，运动时间为tB，由平抛规律，得竖直方向
水平方向
代入数据得m/s
设滑块在A点速度为v0时，从A到B，有
得v0＝3m/s
由图乙得
高度为h0＝0.45m
答：（1）若小滑块从h＝0.5m处静止释放，小滑块到达A点时对轨道的压力为45N，方向竖直向下；
（2）若小滑块从h＝0.8m处静止释放，小滑块到达B点时的速度大小为m/s；
（3）要使小滑块刚好平抛在斜面底端C点，小滑块从光滑圆轨道静止释放的高度为0.45m。
24．如图所示，位于竖直平面上有圆弧的光滑轨道，半径为R＝0.8m，OB沿竖直方向，圆弧轨道上端A点距地面高度为H＝2.05m。当把质量为m＝1kg的钢球从A点静止释放，最后落在了水平地面的C点处，若本地的重力加速度为g＝10m/s2，且不计空气阻力。请计算：
（1）钢球运动到B点的瞬间受到的支持力。
（2）钢球落地点C距B点的水平距离s。
【答案】（1）钢球运动到B点的瞬间受到的支持力为30N。
（2）钢球落地点C距B点的水平距离s为2m。
【解答】解：（1）钢球从A点到B点的过程，根据动能定理得
mgR0
可得：vB＝4m/s
钢球在B点时，由牛顿第二定律得
FN﹣mg＝m
联立解得：FN＝3mg＝3×1×10N＝30N
（2）钢球离开B点后做平抛运动，竖直方向有
H Rgt2
水平方向有 s＝vBt
联立解得：s＝2m
答：（1）钢球运动到B点的瞬间受到的支持力为30N。
（2）钢球落地点C距B点的水平距离s为2m。
25．如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道（管道横截面的半径略大于小球半径），管道中心到圆心距离为R，A点与圆心O等高，AD为水平面，B点在圆心O的正下方。质量为m的小球自A点正上方某高度处由静止释放，自由下落至A点时进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的7倍，已知重力加速度为g。求；
（1）释放点距A点的竖直高度；
（2）小球在管道最高点时对管道的压力；
（3）落点C与A点的水平距离。
【答案】（1）释放点距A点的竖直高度为2R；
（2）小球在管道最高点时对管道的压力为mg，方向竖直向上；
（3）落点C与A点的水平距离为R。
【解答】解：（1）已知在B点管壁对小球的弹力为：F＝7mg
小球做圆周运动，在B点对小球由牛顿第二定律得：
解得：
设释放点距A点的竖直高度为h，从小球开始下落到达B点的过程中，由动能定理得：
解得：h＝2R；
（2）设小球到达管道最高点的速度大小为v，从B点到达管道最高点过程中，由动能定理得：
解得：
在最高点由合力提供向心力得：
解得小球受到的弹力：FN＝mg，方向竖直向下，
则小球在管道最高点时对管道的压力F'N＝FN＝mg，方向竖直向上；
（3）小球离开管道后做平抛运动，
在竖直方向上有：
在水平方向上有：x＝vt
联立解得：x＝2R
落点C与A的水平距离为：d＝2R﹣R＝R。
答：（1）释放点距A点的竖直高度为2R；
（2）小球在管道最高点时对管道的压力为mg，方向竖直向上；
（3）落点C与A点的水平距离为R。
26．如图甲所示，在水平地面上放置一个质量m＝4kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随位移x变化的图像如图乙所示，已知物体与地面之间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2，求：
（1）出发时物体运动的加速度大小；
（2）物体能够运动的最大位移。
【答案】（1）出发时物体运动的加速度大小为20m/s2；
（2）物体能够运动的最大位移为12.5m。
【解答】解：（1）物体竖直方向受到的支持力与重力大小相等，方向相反，沿水平方向物体受到推力与摩擦力，其中摩擦力的大小：f＝μFN＝μmg＝0.5×4×10N＝20N
开始时物体受到的受力分析的推力为F＝100N，由牛顿第二定律可得物体的加速度：a
（2）物体沿水平方向受到的推力F是变力，结合W＝Fx可知在F﹣x图像中，F随x变化的曲线与x轴之间的面积可以表示力F做的功，则：J＝250J
设物体能够运动的最大位移为x，沿水平方向只有推力与摩擦力做功，由动能定理可得：WF﹣fx＝0﹣0
代入数据可得：x＝12.5m
答：（1）出发时物体运动的加速度大小为20m/s2；
（2）物体能够运动的最大位移为12.5m。
27．如图所示，一滑块经水平轨道AB，进入竖直平面内的四分之一圆弧轨道BC，已知滑块的质量m＝1kg，在A点的速度vA＝8m/s，AB长L＝7m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆弧轨道的半径R＝1m，滑块离开C点后竖直上升h＝0.2m。取g＝10m/s2。求：
（1）滑块恰好滑过B点对轨道的压力大小；
（2）滑块在圆弧轨道BC段克服摩擦力所做的功W克f。
【答案】（1）滑块恰好滑过B点对轨道的压力大小为46N；
（2）滑块在圆弧轨道BC段克服摩擦力所做的功W克f为6J。
【解答】解：（1）滑块由A到B过程，应用动能定理有：﹣μmgLmvB2mvA2
代入解得：vB＝6m/s
滑块滑到B点时的加速度大小：aB
由牛顿第二定律：FN﹣mg＝maB
又由牛顿第三定律，滑块恰好滑过B点对轨道的压力大小，
代入数据得：FN′＝FN＝46N
（2）滑块在圆弧轨道BC段克服摩擦力所做的功，利用动能定理：﹣mg（R+h）﹣Wf＝0mvB2
代入数据解得：Wf＝6J
答：（1）滑块恰好滑过B点对轨道的压力大小为46N；
（2）滑块在圆弧轨道BC段克服摩擦力所做的功W克f为6J。
28．如图所示，一个半径为R的四分之一轨道，最低点的切线水平，最高点离地面的高度为H，一质量为m的小球从A点由静止释放，小球从B点飞出后，平抛的水平距离为L，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球在B点的速度大小；
（2）小球过B点时对轨道压力的大小；
（3）小球从A到B克服摩擦力做的功。
【答案】（1）小球在B点的速度大小为L；
（2）小球过B点时对轨道压力的大小为mg；
（3）小球从A到B克服摩擦力做的功为mgR。
【解答】解：（1）平抛运动的高度为H﹣R
水平方向：L＝vBt
联立解得：vB＝L
（2）小球在B点根据牛顿第二定律有：F﹣mg＝m
解得：F＝mg
根据牛顿第三定律可知小球过B点时对轨道压力的大小F'＝F＝mg
（3）从A点到B点过程中摩擦力做的功：WfmgR
解得：WfmgR。
答：（1）小球在B点的速度大小为L；
（2）小球过B点时对轨道压力的大小为mg；
（3）小球从A到B克服摩擦力做的功为mgR。
29．如图所示，在长l＝1m的轻杆中点A和端点B各固定一质量m＝1kg的球，杆可绕轴O无摩擦地转动，使杆从水平位置无初速度释放。重力加速度取g＝10m/s2。求：
（1）杆转到竖直位置时两球的速度大小vA、vB；
（2）杆由水平位置转到竖直位置的过程中，杆对两球做的功WA、WB。
【答案】（1）杆转到竖直位置时两球的速度大小分别为m/s和2m/s；
（2）杆由水平位置转到竖直位置的过程中，杆对两球做的功为﹣2J和2J。
【解答】解：（1）两球的角速度时刻相等，根据v＝ωr，则两球的速度关系为
vB＝2vA
把两球看作整体．由机械能守恒可知
解得；
（2）由动能定理有
解得WA＝﹣2J；WB＝2J
答：（1）杆转到竖直位置时两球的速度大小分别为m/s和2m/s；
（2）杆由水平位置转到竖直位置的过程中，杆对两球做的功为﹣2J和2J。
30．滑雪者从高为H的山坡上A点由静止下滑，到B点后又在水平雪面上滑行，最后停止在C点．A、C两点的水平距离为s，求滑雪板与雪面间的动摩擦因数μ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：滑雪者从A到C运动过程，由动能定理得：
mgH﹣μmgcosθ AB﹣μmg BC＝0﹣0，
由图示可知：AB cosθ+BC＝s，
则：mgH﹣μmgs＝0﹣0，解得：μ；
答：滑雪板与雪面间的动摩擦因数μ为．
31．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举行，冬奥会的举办掀起了全民参加冰雪运动的热潮．某滑雪场一滑道示意图如图所示，AB为弧形滑道，BC为水平滑道，CD为倾斜直滑道，滑道间连接平滑．一运动员从AB段滑下，到达B点时速度v0＝17m/s，然后保持身体姿态不变自由滑行，滑至C点时速度vC＝16m/s，后沿CD上滑至最高点P（图中未画出）．已知BC长度为x＝33m，CD与水平面夹角θ＝37°，运动员与滑道之间的动摩擦因数都相同，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）运动员与滑道之间的动摩擦因数；
（2）从B点滑至P点的时间。
【答案】（1）运动员与滑道之间的动摩擦因数为0.05；
（2）从B点滑至P点的时间为4.5s。
【解答】解：（1）运动员从B点滑到C点过程，根据动能定理得
﹣μmgx
代入数据解得：μ＝0.05；
（2）对运动员从B点滑到C点、从C点滑到P点过程受力分析，取运动方向为正方向，根据牛顿第二定律得
﹣μmg＝ma1
﹣mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma2
解得：a1＝﹣0.5m/s2，a2＝﹣6.4m/s2
根据速度—时间公式得
vC＝vB+a1t1
0＝vC+a2t2
解得：t1＝2s，t2＝2.5m/s2
运动员从B点滑至P点的时间
t＝t1+t2
联立解得：t＝4.5s。
答：（1）运动员与滑道之间的动摩擦因数为0.05；
（2）从B点滑至P点的时间为4.5s。
32．如图所示，一质量为m＝1.0kg的物块，在与水平面成θ＝37°的F＝10N作用下，沿粗糙水平面向右运动s1＝1.0m后，撤去力F。已知物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。求：
（1）撤去力F时物块的动能；
（2）撤去力F后物块前进的最大距离。
【答案】（1）撤去力F时物块的动能为6J；
（2）撤去力F后物块前进的最大距离为1.2m。
【解答】解：（1）撤去F前，设物体所受地面的支持力为N1，摩擦力为f1，对物块进行受力分析，则
N1+Fsin37°＝mg
f1＝μN1
对物块应用动能定理可得（Fcos37°﹣f1）s1＝Ek
代入数据解得撤去力F时物块的动能Ek＝6J
（2）撤去力F后设物体能前进的最大距离为s2，由动能定理可得﹣μmgs2＝0﹣Ek
解得s2＝1.2m
答：（1）撤去力F时物块的动能为6J；
（2）撤去力F后物块前进的最大距离为1.2m。
33．如图所示，从A点以水平速度v0＝4m/s抛出一质量m＝1kg的小物块（可视为质点）。当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入∠BOC＝37°的光滑圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面上的长木板上，圆弧轨道C端的切线水平。已知长木板的质量M＝1kg，光滑圆弧轨道BC半径R＝2.75m，物块与长木板之间的动摩擦因数μ1＝0.5，长木板与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2，g＝10m/s2。求：（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
（1）小物块在B点时的速度大小；
（2）小物块滑动至C点时，对圆弧轨道的压力大小；
（3）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板。
【答案】（1）小物块在B点时的速度大小为5m/s；
（2）小物块滑动至C点时，对圆弧轨道的压力大小为23.1N；
（3）长木板至少为3m，才能保证小物块不滑出长木板。
【解答】解：（1）当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入∠BOC＝37°的光滑圆弧轨道BC，根据速度的分解有：vB，代入数据解得：vB＝5m/s；
（2）小物块滑动从B点至C点时，根据动能定理有：mgR（1﹣cos∠BOC）
在C点，根据牛顿第二定律有：N﹣mg＝m
代入数据解得：N＝23.1N
根据牛顿第三定律可知滑块对圆弧轨道的压力大小N'＝N＝23.1N；
（3）物块加速度为a＝μ1g＝0.5×10m/s2＝5m/s2，木板的加速度为a'，代入数据解得：a'＝1m/s2
根据（2）可解得vC＝6m/s
设经过t时间两物体共速，有：vC﹣at＝a't
共速后两物体保持相同的加速度减速，所以可知长木板的长度L＝vCt
代入数据解得：L＝3m
答：（1）小物块在B点时的速度大小为5m/s；
（2）小物块滑动至C点时，对圆弧轨道的压力大小为23.1N；
（3）长木板至少为3m，才能保证小物块不滑出长木板。
34．运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上自由滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，投掷冰壶运动员的队友，可以用毛刷在冰壶滑行前方来回摩擦冰面，减小冰面的动摩擦因数以调节冰壶的运动。
（1）运动员以v0＝3.6m/s的速度投掷冰壶，若冰壶和冰面的动摩擦因数为0.02，冰壶能在冰面上滑行多远？g取10m/s2；
（2）若运动员仍以v0＝3.6m/s的速度将冰壶投出，其队友在冰壶自由滑行10m后开始在其滑行前方摩擦冰面，冰壶和冰面的动摩擦因数变为原来的90%，冰壶滑行了多少距离？（结果保留一位小数）
【答案】（1）运动员以v0＝3.6m/s的速度投掷冰壶，若冰壶和冰面的动摩擦因数为0.02，冰壶能在冰面上滑行32.4m；
（2）冰壶滑行了34.9m。
【解答】解：（1）冰壶在滑动过程中，根据动能定理可得：，解得x＝32.4m
（2）在冰壶自由滑行10m的过程中，根据动能定理可得：
队友擦冰面后，根据动能定理可得：
联立解得x2＝24.9m
故冰壶滑行了距离x总＝x1+x2＝10m+24.9m＝34.9m
答：（1）运动员以v0＝3.6m/s的速度投掷冰壶，若冰壶和冰面的动摩擦因数为0.02，冰壶能在冰面上滑行32.4m；
（2）冰壶滑行了34.9m。
35．如图所示，质量分别为30kg和50kg的物体A、B用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8m。求：（g取10m/s2）
（1）放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；
（2）B物体着地后A物体能继续上升的高度。
【答案】（1）放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小为2m/s；
（2）B物体着地后A物体能继续上升的高度为0.2m。
【解答】解：（1）对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为参考平面，则
mBgh＝mAgh（mA+mB）v2
代入数据解得
v＝2m/s
（2）当B落地后，A以2m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度为h'，由动能定理可得
﹣mAgh′＝0mAv2
代入数据解得
h′＝0.2m
答：（1）放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小为2m/s；
（2）B物体着地后A物体能继续上升的高度为0.2m。
36．如图甲所示，质量m＝2kg的物体静止在光滑的水平面上，t＝0时刻，物体受到一个变力F作用，t＝1s时，撤去力F，某时刻物体滑上倾角为37°的粗糙斜面；已知物体从开始运动到斜面最高点的v﹣t图像如图乙所示，不计空气阻力及连接处的能量损失，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）变力F做的功；
（2）物体从斜面底端滑到最高点过程中克服摩擦力做功的平均功率；
（3）物体回到出发点的速度大小。
【答案】（1）变力F做的功为100J；
（2）物体从斜面底端滑到最高点过程中克服摩擦力做功的平均功率为40W；
（3）物体回到出发点的速度大小为2m/s。
【解答】解：（1）由图乙可知，物体的初速度为0，1s末的速度v1＝10m/s，根据动能定理得：
变力F做的功WF0J＝100J
（2）由图乙可知，2～3s物体在斜面上运动，则物体在斜面上运动的距离：x（3﹣2）×10m＝5m
物体到达斜面时的速度v2＝10m/s，到达斜面最高点的速度为零，设物体克服摩擦力做的功为Wf，根据动能定理得：
﹣mgxsin37°﹣Wf＝0
代入数据解得：Wfmgxsin37°＝（）J＝40J
则物体从斜面底端滑到最高点过程中克服摩擦力做功的平均功率W＝40W
（3）设物体重新到达斜面底端时的速度为v3，则物体从斜面最高点滑到至水平面过程中，根据动能定理得：
mgxsin37°﹣Wf0
代入数据解得：v3m/s＝2m/s；
答：（1）变力F做的功为100J；
（2）物体从斜面底端滑到最高点过程中克服摩擦力做功的平均功率为40W；
（3）物体回到出发点的速度大小为2m/s。
▉题型3 利用动能定理求解多过程问题
【知识点的认识】
1.动能定理的内容：合外力做的功等于动能的变化量。
2.表达式：W合＝ΔEk＝Ek末﹣Ek初
3.动能定理不用考虑物体的运动过程，可以通过对全程列动能定理来简化过程比较多，运动情况比较复杂的问题。
（多选）37．在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到vmax后，立即关闭发动机直至静止，v﹣t图像如图所示，设汽车的牵引力为F，受到的摩擦力为Ff，全程中牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则（ ）
A．F：Ff＝1：3 B．W1：W2＝1：1 C．F：Ff＝4：1 D．W1：W2＝1：3
【答案】BC
【解答】解：由图可知，物体先做匀加速直线运动，1s末速度为vm，由动能定理可知：
（F﹣f）L1；
减速过程中，只有阻力做功：
﹣fL2＝0；
则可得：（F﹣f）L1＝fL2；
由图象可知，L1：L2＝1：3；
解得：
F：f＝4：1；
对全程由动能定理得：
W1﹣W2＝0
故W1：W2＝1：1，故AD错误，BC正确。
故选：BC。
38．如图所示，圆弧AB在竖直平面内，圆弧B处的切线水平，B端高出水平地面0.8m，O点在B点的正下方。将一滑块从A端由静止释放，到B处的速度大小为2m/s，之后落在水平面上的C点处。求：
（1）求OC的长
（2）在B端接一长L＝1.0m的水平薄木板MN，滑块从A端释放后正好运动N端停止，求木板与滑块的动摩擦因数。
（3）若将木板右端截去长为b的一段，滑块从A端静止释放后将滑离木板落在水平面上P点处，要使落地点距O点的距离最远，b应为多少？
【答案】（1）OC的长为0.8m。
（2）木板与滑块的动摩擦因数为0.2。
（3）b应为0.16m。
【解答】解：（1）滑块离开B点后做平抛运动，则
竖直方向：hgt2
水平方向：x＝vBt
联立得到OC的长x＝vB2m＝0.8m
（2）滑块从B端运动到N端的过程，根据动能定理得
﹣μmgL＝0
代入解得μ＝0.2
（3）若将木板右端截去长为b的一段后，设滑块滑到木板最右端时速度为v，由动能定理得
﹣μmg（L﹣b）mv2
滑块离开木板后仍做平抛运动，高度不变，运动时间不变，则
落地点距O点的距离s＝L﹣b+vt
联立整理得s＝0.8b
根据数学知识得知，当0.4时，s最大，即b＝0.16m时，s最大。
答：（1）OC的长为0.8m。
（2）木板与滑块的动摩擦因数为0.2。
（3）b应为0.16m。
▉题型4 利用动能定理求解机车启动问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对机车启动问题中需要用到动能定理的情况。
（多选）39．一辆新能源汽车在平直的公路上由静止开始启动，在启动过程中，汽车牵引力的功率及其瞬时速度随时间的变化情况分别如图甲、乙所示，已知汽车所受阻力恒为重力的，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．该汽车的质量为1×103kg
B．最大速度v0＝6m/s
C．在前5s内，汽车克服阻力做功为2.5×104J
D．在5～15s内，汽车的位移大小约为67m
【答案】ACD
【解答】解：A、由图象可得，汽车匀加速阶段的加速度为：
am/s2＝1m/s2，
汽车匀加速阶段的牵引力为：
FN＝3000N，
匀加速阶段由牛顿第二定律得：
Fmg＝ma，
解得：m＝1000kg，
故A正确；
B、已知汽车所受阻力恒为重力的，即
FfmgN＝2000N，
当功率为15kW，牵引力等于阻力时，汽车行驶的最大速度为：
v0m/s＝7.5m/s，
故B错误；
C、前5s内汽车的位移为：
x5×5m＝12.5m，
克服阻力做功为：
WFf＝Ffx＝2000×12.5J＝2.5×104J，
故C正确；
D、5～15s内，由动能定理得：
Pt﹣Ffs，
解得：s＝67.1875m≈67m，
故D正确；
故选：ACD。
（多选）40．一辆汽车在平直的路面上发动机以恒定功率由静止开始行驶，设所受阻力大小不变，其牵引力F与速度v的关系如图所示（纵坐标单位为×104N，横坐标单位为m/s），加速过程在图中B点结束，所用的时间t＝10s，经历的路程s＝60m，10s后汽车做匀速运动。由以上数据可知（ ）
A．汽车的质量为8.0×104kg
B．汽车所受的阻力大小为1.0×104N
C．汽车运动过程中发动机功率为1.0×105W
D．汽车的速度为5.0m/s时其加速度为2.0m/s2
【答案】BC
【解答】解：BC、由图像可知，10s后汽车做匀速运动，
牵引力等于摩擦力F＝f＝1×104N，
匀速运动的速度vm＝10m/s，
汽车的功率P＝Fv＝fvm＝1×104N×10m/s＝1×105W，故BC正确；
A、加速过程，由动能定理，得：Pt﹣fx
解得：m＝8×103kg，故A错误；
D、当汽车的速度为5.0m/s时，设车的加速度a，根据牛顿第二定律
解得：a＝1.25m/s2，故D错误。
故选：BC。
▉题型5 探究功与物体速度变化的关系
【知识点的认识】
一、实验：探究功与速度变化的关系
1．实验目的：
（1）探究功与物体速度变化的关系。
（2）感悟实验方案的设计和实验数据的处理方法。
2．实验的方法：如图所示，依次用1根、2根、3根…同样的橡皮筋与物体相连接，并且每次将橡皮筋拉伸相同的长度，这样操作，无须计算就可知道橡皮筋对物体所做的功依次为W、2W、3W…
而每次橡皮筋对物体做功后的速度，可用打点计时器测出。
3．实验器材：本实验需要的器材有：打点计时器（含纸带、学生电源、复写纸、连接导线）、同种橡皮条（10根）、小车、长木板、钉子、刻度尺。
4．实验步骤：
（1）按图连接好器材。橡皮筋的一端套在小车上，另一端套在钉子上，第一次用两根橡皮筋。将长木板倾斜一个角度，使重力沿斜面向下的分力平衡小车受到的摩擦力。
（2）将小车拉到靠近打点计时器的位置（在橡皮筋弹性限度内），并标记下此位置；接通电源后松手。
（3）换上纸带，并在纸带上做好标记，每次加接两根橡皮筋，然后将小车拉到同一位置，接通电源后松手。依次再做四次。
（4）根据纸带求橡皮筋对小车做功后的速度。在每条纸带上找出点间间距相等的那部分，它记录的是小车做匀速运动的情况，如图所示的计数点B、E、C部分。用刻度尺量出计数点B、C之间的距离d，设相邻两计数点间的时间间隔为T，那么，橡皮筋对小车做功后的速度：vi。
（5）分析测量数据得出实验结论。根据实验所得数据Wi与vi，猜想Wi与vi的关系，先看它们是否满足最简单的正比关系，即：Wi∝vi．接着再猜想Wi∝？大致成立后，再作Wi图进行验证。
5．实验结论：Wi∝。
6．实验中应注意事项
（1）平衡摩擦力：实验中的小车不可避免地要受到摩擦力的作用，为了保证橡皮筋对物体的功就是合外力的功，必须设法排除摩擦力的影响。可采用将木板一端垫高的方法来实现。将木板一端垫高，让自由小车（不系橡皮筋时）能在木板上匀速运动，使重力沿斜面方向的分力与摩擦力相平衡，就消除了摩擦力的影响。
（2）每次实验所用的每条橡皮筋，其长度、材料和粗细都应是相同的，并且橡皮筋拉伸的长度都保持一致。
（3）打点计时器打出的纸带上相邻各点的间距并不均匀，应选点间间距相等的一段纸带来计算小车的速度，因这一小段是橡皮筋对小车做功完毕时的情形。
41．某同学为探究“合力做功与物体动能改变的关系”，设计了如下实验，他的操作步骤是：
①按图（a）摆好实验装置，其中小车质量M＝0.20kg，钩码总质量m＝0.05kg。
②释放小车，然后接通打点计时器的电源（电源频率为f＝50Hz），打出一条纸带。
（1）他在多次重复实验得到的纸带中取出自认为满意的一条，如图（b）所示。把打下的第一点记作0，然后依次取若干个计数点，相邻计数点间还有4个点未画出，用厘米刻度尺测得各计数点到0点距离分别为d1＝0.0041m，d2＝0.055m，d3＝0.167m，d4＝0.256m，d5＝0.360m，d6＝0.480m…，他把钩码重力（当地重力加速度g＝9.8m/s2）作为小车所受合力算出打下0点到打下第5点合力做功W＝ 0.176 J（结果保留三位有效数字），把打下第5点时小车动能作为小车动能的改变量，算得Ek＝ 0.125J 。（结果保留三位有效数字）
（2）此次实验探究的结果，他没能得到“合力对物体做的功，等于物体动能的增量”，且误差很大。通过反思，他认为产生误差的原因如下，其中正确的是 AB 。
A．钩码质量太大，使得合力对物体做功的测量值比真实值偏大太多
B．没有平衡摩擦力，使得合力对物体做功的测量值比真实值偏大太多
C．释放小车和接通电源的次序有误，使得动能增量的测量值比真实值偏小
D．没有使用最小刻度为毫米的刻度尺测距离也是产生此误差的重要原因。
【答案】0.176；0.125J；AB
【解答】解：（1）从打O点到打“5”点这一过程中合力做功：
W＝Fs＝mgh＝mgd5＝0.05×9.8×0.360≈0.176J；
由题意知，计数点间的时间间隔 t＝0.02s×5＝0.1s，
做匀变速直线运动中时间中点的瞬时速度等于该过程中的平均速度，
打第5个点的速度：v5 m/s＝1.12m/s，
打“5”点时小车的动能作为小车动能的改变量，EkMv520.2×1.122≈0.125（J）；
（2）A、设绳子上拉力为F，对小车根据牛顿第二定律有：
对小车：F＝Ma ①
对钩码有：mg﹣F＝ma ②
F，由此可知当M＞＞m时，钩码的重力等于绳子的拉力，因此当钩码质量太大时，会造成较大误差，故A正确；
B、实验中要进行平衡摩擦力操作，若没有平衡摩擦力直接将钩码重力做的功当做小车合外力做的功，会造成较大误差，故B正确；
C、释放小车和接通电源的顺序有误，影响打点多少，不一定会使动能的测量偏小，故C错误；
D、距离的测量产生的误差不是该实验产生的主要误差，故D错误。
故选：AB。
故答案为：（1）0.176；0.125J （2）AB
42．某同学为探究“恒力做功与物体动能改变的关系”，设计了如图所示的实验，操作步骤是：
①摆好实验装置如图所示．
②将质量为200g的小车拉到打点计时器附近，并按住小车．
③在质量为10g、30g、50g、的三种钩码中，他挑选了一个质量为50g的钩码挂在拉线的挂钩P上．
④打开电磁打点计时器的电源，释放小车，打出一条纸带．
在多次重复实验得到的纸带中取出自认为满意的一条．经测量、计算，得到如下数据：
①第一个点到第N个点的距离为40.0cm；
②打下第N点时小车的速度大小为1.00m/s；
③将钩码的重力当作小车所受的拉力，大小约为0.5N．
（1）那么该同学处理数据的结果应该为：拉力对小车做的功W＝ 0.2 J，小车动能的增量ΔEk＝ 0.1 J．
（2）比较W与ΔEk，发现此次实验探究的结果，与他所预期的结果：“恒力对物体做的功等于物体动能的增量”误差很大．说明他在实验探究过程中忽视了一些重要的产生误差的因素．请你根据该同学的实验装置和操作过程帮助分析一下，造成较大误差的主要原因是： 选取的钩码质量偏大，实际的拉力明显小于钩码重力；未平衡摩擦力 ．
【答案】0.2；0.1；选取的钩码质量偏大，实际的拉力明显小于钩码重力；未平衡摩擦力
【解答】解：（1）从打下第一点到打下第N点拉力对小车做的功：W＝mgs＝0.05×10×0.40＝0.2J；
小车的动能增量为：ΔEKMv20.2×12＝0.1J．
（2）由牛顿第二定律得：小车与钩码组成的系统：mg＝（M+m）a，对小车：F＝Ma，
解得：F，
由此可知当M＞＞m时，钩码的重力等于绳子的拉力，实验时没有满足条件：M＞＞m，造成了实验误差；
由实验步骤与图示实验可知，实验前没有平衡摩擦力，这是造成误差的另一个原因．
故答案为：（1）0.2，0.1；（2）选取的钩码质量偏大，实际的拉力明显小于钩码重力；未平衡摩擦力．
43．某学习小组利用如图装置研究合外力与动能变化的关系。图中滑轮光滑，细线轻质，不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）为了较好完成该实验，下列说法正确的是 BD （填选项前字母）
A.打点计时器应该用低压直流电源
B.实验中必须平衡小车的摩擦力
C.应先释放小车，后接通打点计时器电源
D.滑轮与小车之间的细绳应该与长木板平行
（2）如图是该实验中打出的一条纸带，已知打点周期为T，测出OA、AB间距离分别为x1，x2，则A点速度vA＝ ；
（3）用天平测出重物质量为m、小车质量为M（M远大于m），用刻度尺测出纸带中AE间距离为s，应用（2）问的方法算出E点的速度为vE。以小车为研究对象，在A到E过程中验证动能定理的表达式为 mgs （用m、M、g、s、vA、vE表示）
【答案】（1）BD（2）（3）mgs。
【解答】解：（1）A、打点计时器应该用交流电源，故A错误；
B、摩擦力会影响实验结果，实验中必须平衡小车的摩擦力，故B正确；
C、应先接通打点计时器电源，后释放小车，故C错误；
D、为减小实验误差，滑轮与小车之间的细绳应该与长木板平行，故D正确。
故选：BD。
（2）因为A为OB中点，由中间时刻瞬时速度和平均速度相等可得vA，
（3）从A到E对小车，由动能定理Fs，因为M远大于m，所以则有F＝mg，联立解得mgs；
故答案为：（1）BD（2）（3）mgs。
44．甲同学用如图甲所示装置做“探究合力的功与动能改变量的关系”的实验：
（1）图乙是该同学实验中得到的一条纸带，其中A、B、C、D、E、F是连续的六个计数点，相邻计数点间的时间间隔为T＝0.1s，图中s1＝4.00cm，s2＝10.00cm，s＝10.50cm。测出小车的质量为M＝0.45kg，钩码的总质量为m＝0.05kg。该同学认为绳子拉力等于钩码的重力，则从打B点到E点的过程中，合力对小车做的功是 0.051 J，小车动能的增量是 0.047 J；（取g＝9.8m/s2，结果保留2位有效数字）
（2）该同学经多次实验发现拉力做功总是要比小车动能增加量大一些，这一情况可能是下列哪些原因造成的 CD 。
A．在接通电源的同时释放了小车
B．小车释放时离打点计时器太近
C．钩码做匀加速运动，钩码重力大于细绳拉力
D．长木板的倾角太小
【答案】（1）0.051，0.047（2）CD。
【解答】解：（1）从打B点到E点的过程中，合力对小车做的功是W＝mgs＝0.05×9.8×10.50×10﹣2J＝0.051J；小车动能的增量是，，，解得ΔEk＝0.047J。
（2）A、在接通电源的同时释放了小车，拉力的功不会小于动能增加量，故A错误；
B、小车释放时离打点计时器太近，拉力的功不会小于动能增加量，故B错误；
C、钩码做匀加速运动，钩码重力大于细绳拉力，重力的功大于细绳拉力的功，根据动能定理，细绳拉力的功等于刊小车动能的增加量，用重力的功代替拉力的功，所以发现拉力做功总是要比小车动能增加量大UI些，故C正确；
D、长木板的倾角太小，平衡摩擦力不足，细绳的拉力大于小车的合力，所以拉力的功大于小车动能的增加量，故D正确。
故选：CD。
故答案为：（1）0.051，0.047（2）CD。
45．某实验小组采用如图甲所示的装置探究功与速度变化的关系，平衡小车所受摩擦力后，小车在橡皮筋的作用下弹出，沿木板滑行．已知小车质量为250g，打点计时器工作频率为50Hz．
（1）实验中，小车在1条橡皮筋的作用下弹出，打点计时器打出如图乙所示的一段纸带，相邻两计时点距离依次为：AB＝3.50cm、BC＝3.80cm、CD＝DE＝EF＝FG＝GH＝4.00cm，则小车运动的最大速度v1＝ 2.00 m/s（结果保留三位有效数字）．
（2）由（1）可知，1条橡皮筋对小车做功为W＝ 0.5 J．
（3）小车在完全相同的1条、2条、3条…橡皮筋的作用下，每次均从相同位置从静止出发，根据多次实验获得的纸带数据，分别求出小车每次获得的最大速度v1、v2、v3…作出W﹣v图象，则图丙中符合实际的图象是： D ．
【答案】（1）2.00；（2）0.5；（3）D。
【解答】解：已知小车质量为m＝250g＝0.250kg，
打点计时器工作频率为50Hz，打点计时器打点时间间隔Ts＝0.02s．
（1）由图示纸带可知，小车从C点开始做匀速直线运动，此时小车速度最大，
小车运动的最大速度v1m/s＝2.00m/s
（2）1条橡皮筋对小车做功：
WJ＝0.5J
（3）对小车，由动能定理得：Wmv2，W是v的二次函数，由图示图象可知，ABC错误，D正确。
故选：D。
故答案为：（1）2.00；（2）0.5；（3）D。
46．晓重和晓庆两位同学准备用图所示的实验装置探究“合力做功与物体速度变化的关系”。如图所示，小钢球从水平玻璃桌面上某位置静止释放，在橡皮筋作用下从玻璃桌面边缘弹出，并直接落在斜面上。若小钢球在一条橡皮筋作用下弹出，橡皮筋对小钢球做的功记为W。当使用规格相同的2条、3条……橡皮筋并在一起，使小钢球从上述同一位置静止释放，从水平玻璃桌面边缘弹出，橡皮筋对小钢球做的功分别记为2W，3W……实验中忽略小钢球与玻璃桌面间的摩擦。
（1）本实验除了图中已给出的实验器材外，还需要的器材有 刻度尺 （选填“秒表”、“天平”或“刻度尺”）；
（2）①为了探究“合力做功与物体速度变化的关系”，每次实验操作时，除了记录橡皮筋的条数n外，还必需要记录的一个物理量是 C ；
A．斜面的倾角大小
B．玻璃桌面离地高度
C．小钢球平抛运动位移的大小
D．小钢球平抛运动的时间
②在实验数据处理时，为了实验研究方便使图象为直线，当将橡皮筋的条数n作为纵轴时，则应将实验中测得的小钢球平抛运动的 B 设为横轴。
A．时间
B．位移大小
C．位移大小的平方根
D．位移大小的平方
【答案】（1）.刻度尺；（2）①.C；②.B。
【解答】解：（1）为了求出抛出时的速度，还需要知道抛出点到打在斜面上的距离，所以需要刻度尺测量；
（2）①由（1）可知了探究“合力做功与物体速度变化的关系”，每次实验操作时，除了记录橡皮筋的条数n外，还必需要记录的一个物理量是小钢球平抛运动位移的大小，故C正确，ABD错误。
②根据动能定理得
在平抛运动中，设位移为L，根据
Lcosθ＝vt
整理得
联立可解得：
可知为了实验研究方便使图象为直线，θ为定值，当将橡皮筋的条数n作为纵轴时，则应将实验中测得的小钢球平抛运动的位移大小L作为横轴，故B正确，ACD错误。
故答案为：（1）.刻度尺；（2）①.C；②.B。
47．为了测定滑槽对物体的摩擦力所做功的大小，利用刻度尺和如图所示的实验装置进行实验．其中，a是质量为m的小球（可视为质点），b是固定于桌面的滑槽（滑槽末端切线沿水平方向），实验时让小球a从滑槽上同一位置C点多次由静止释放滑下，落在地面上的平均落地点为p点，当地重力加速度为g，不计空气阻力．则实验时
（1）需要测量的物理量（用文字和字母表示）： C点到桌面的高度h1 、 桌面到地面高度h2 、 O点到p点的水平距离x ．
（2）计算滑槽b对小球a的摩擦力所做的功的关系式（用测得的物理量的字母表示）：wf＝ mgh1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）实验中需要测量的物理量有：C点到桌面的高度h1，桌面到地面高度h2，O点到p点的水平距离x；
（2）设小球离开滑槽时的速度是v，在空中的运动时间为t，小球离开滑槽后做平抛运动，
在水平方向上，做匀速直线运动，位移：x＝vt…①
在竖直方向上做自由落体运动：h2gt2 …②
由①②解得：v＝x
小球从C点滑到滑槽末端的过程中，由动能定理可得：mgh1﹣Wfmv2﹣0，
Wfmgh1．
故答案为：（1）C点到桌面的高度h1、桌面到地面高度h2、O点到p点的水平距离x．（2）mgh1．
48．如图所示为“探究功与速度变化的关系”实验装置，让小车在橡皮筋的作用下弹出，沿木板滑行。思考该探究方案并回答下列问题：
（1）实验操作中需平衡小车受到的摩擦力，其最根本的目的是 B 。
A．防止小车不能被橡皮筋拉动
B．保证橡皮筋对小车做的功等于合外力对小车做的功
C．便于小车获得较大的弹射速度
D．防止纸带上打点不清晰
（2）实验中甲、乙两同学用两种不同的方法来实现橡皮筋对小车做功的变化。
甲同学：把多条相同的橡皮筋并在一起，并把小车拉到相同位置释放；
乙同学：通过改变橡皮筋的形变量来实现做功的变化。
你认为 甲 （填“甲”或“乙”）同学的方法可行。
（3）本实验可通过作图来寻找功与速度变化的关系。若所作的W﹣v的图象如图所示，则下一步应作 W﹣v2 （填“W﹣v2”或“W”）的关系图象。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）小车下滑时受到重力、细线的拉力、支持力和摩擦力，要使拉力等于合力，则应该用重力的下滑分量来平衡摩擦力，使得橡皮筋做的功等于合外力对小车做的功，故B正确。
（2）橡皮筋对小车做的功我们没法直接测量，所以我们是通过改变橡皮筋的条数的方法来改变功，为了让橡皮筋的功能有倍数关系就要求将橡皮筋拉到同一位置处，故应选甲同学的方法，乙同学的方法测不出橡皮筋到底做了多少功。
（3）由动能定理得：W，观察图线发现W和v是一个2次函数关系，所以W与v2可能是线性关系，故应做W﹣v2图象
故答案为：（1）B
（2）甲；（3）W﹣v2
49．某同学为探究“合力做功与物体动能改变的关系”，设计了如下实验，他的操作步骤是：
A．按如图1摆好实验装置，
B．将质量M＝0.20kg的小车拉到打点计时器附近，并按住小车，
C．在总质量m分别为10g、30g、50g的三种钩码中，挑选了一个质量为50g的钩码挂在拉线的挂钩上，
D．接通打点计时器的电源（电源频率为f＝50Hz），然后释放小车，打出一条纸带．
①多次重复实验，从中挑选一条点迹清晰的纸带如图2所示．把打下的第一点记作“0”，然后依次取若干个计数点，相邻计数点间还有4个点未画出，用毫米刻度尺测得各计数点到0点距离分别为d1＝0.0075m，d2＝0.03001m，d3＝0.0675m，d4＝0.1200m，d5＝0.1875m，d6＝0.2700m，他把钩码重力（当地重力加速度g＝9.8m/s2）作为小车所受合力算出打下“0”点到打下“5”点合力做功．则合力做功W＝ 0.0919 J，小车动能的改变量EK＝ 0.0563 J（结果保留三位有效数字）．
②此次实验探究的结果，他没能得到“合力对物体做的功等于物体动能的增量”，且误差很大，显然，在实验探究过程中忽视了各种产生误差的因素．请你根据该同学的实验装置和操作过程帮助分析一下，造成较大误差的主要原因是 小车与桌面之间存在摩擦力 ； 钩码质量没有远小于小车质量 ．（写出两条即可）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①从打下第一点到打下第5点拉力对小车做的功：W＝mgs＝0.05×9.8×0.1875＝0.0919J；
小车的动能增量为：ΔEKmv2﹣00＝0.0563J；
②该实验产生误差的主要原因一是钩码重力大小并不等于绳子拉力的大小，设绳子上拉力为F，对小车根据牛顿第二定律有：
F＝Ma…①
对钩码有：mg﹣F＝ma…②
Fmg，
由此可知当M＞＞m时，钩码的重力等于绳子的拉力，显然该实验中没有满足这个条件；
另外该实验要进行平衡摩擦力操作，否则也会造成较大误差．
故答案为：①0.0919，0.0563；②小车与桌面之间存在摩擦力，钩码质量没有远小于小车质量．
▉题型6 探究动能定理
【知识点的认识】
1．实验目的：
（1）探究功与物体速度变化的关系。
（2）感悟实验方案的设计和实验数据的处理方法。
2．实验的方法：如图所示，依次用1根、2根、3根…同样的橡皮筋与物体相连接，并且每次将橡皮筋拉伸相同的长度，这样操作，无须计算就可知道橡皮筋对物体所做的功依次为W、2W、3W…
而每次橡皮筋对物体做功后的速度，可用打点计时器测出。
3．实验器材：本实验需要的器材有：打点计时器（含纸带、学生电源、复写纸、连接导线）、同种橡皮条（10根）、小车、长木板、钉子、刻度尺。
4．实验步骤：
（1）按图连接好器材。橡皮筋的一端套在小车上，另一端套在钉子上，第一次用两根橡皮筋。将长木板倾斜一个角度，使重力沿斜面向下的分力平衡小车受到的摩擦力。
（2）将小车拉到靠近打点计时器的位置（在橡皮筋弹性限度内），并标记下此位置；接通电源后松手。
（3）换上纸带，并在纸带上做好标记，每次加接两根橡皮筋，然后将小车拉到同一位置，接通电源后松手。依次再做四次。
（4）根据纸带求橡皮筋对小车做功后的速度。在每条纸带上找出点间间距相等的那部分，它记录的是小车做匀速运动的情况，如图所示的计数点B、E、C部分。用刻度尺量出计数点B、C之间的距离d，设相邻两计数点间的时间间隔为T，那么，橡皮筋对小车做功后的速度：vi。
（5）分析测量数据得出实验结论。根据实验所得数据Wi与vi，猜想Wi与vi的关系，先看它们是否满足最简单的正比关系，即：Wi∝vi．接着再猜想Wi∝？大致成立后，再作Wi图进行验证。
5．实验结论：Wi∝。
6．实验中应注意事项
（1）平衡摩擦力：实验中的小车不可避免地要受到摩擦力的作用，为了保证橡皮筋对物体的功就是合外力的功，必须设法排除摩擦力的影响。可采用将木板一端垫高的方法来实现。将木板一端垫高，让自由小车（不系橡皮筋时）能在木板上匀速运动，使重力沿斜面方向的分力与摩擦力相平衡，就消除了摩擦力的影响。
（2）每次实验所用的每条橡皮筋，其长度、材料和粗细都应是相同的，并且橡皮筋拉伸的长度都保持一致。
（3）打点计时器打出的纸带上相邻各点的间距并不均匀，应选点间间距相等的一段纸带来计算小车的速度，因这一小段是橡皮筋对小车做功完毕时的情形。
50．某实验小组利用打点计时器和小车做探究动能定理的实验，实验装置如图甲所示．
（1）设钩码质量为m，小车质量为M，若要使细线的拉力大小近似等于钩码的重力大小，则钩码的质量与小车的质量之间的关系应满足 M＞＞m ；若要使小车受到的合力等于细线的拉力，需要进行的操作是 平衡摩擦力 ．
（2）该实验小组在某次实验中打出了一条纸带，且给出了部分测量值，如图乙所示，已知打点计时器的打点周期为T，重力加速度为g，在满足（1）中的条件下，需要探究的表达式为 ．（用题中给出的字母表示）
【答案】（1）M＞＞m；平衡摩擦力；（2）。
【解答】解：（1）钩码下落过程中有加速度，根据牛顿第二定律有mg＝（M+m）a，细线的拉力大小为F＝Ma，要使细线的拉力大小近似等于所挂沙桶的总重量大小，则有M＞＞m；将长木板右端垫高，使小车重力沿斜面的分力等于摩擦力（即平衡摩擦力），这样小车可在没有细线拉力的作用下在长木板上做匀速运动，则小车受到的合力等于细线的拉力；
（2）拉力对小车做的功为W＝mgx，小车动能的增加量为，其中有，，根据动能定理有；
故答案为：（1）M＞＞m；平衡摩擦力；（2）。
