安徽六安市城南中学2025-2026学年高二下学期3月数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 安徽六安市城南中学2025-2026学年高二下学期3月数学试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 167.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-19 00:00:00 | ||
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文档简介
高二数学试卷
2026. 3.16
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法中正确的有( )
A. B. C. D.
2. 已知函数 ，则 ( )
A. -12 B. 12 C. -26 D. 26
3. 若 ,则 的值为( )
A. 45 B. 55 C. 120 D. 165
4. 某国际旅行社有 11 名对外翻译人员，其中有 5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又会法语，现从这 11 人中选出 4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则不同的选法种数为( )
A. 225 B. 185 C. 145 D. 110
5. 如图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色， 现有 5 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有( )种
A. 72 B. 48 C. 360 D. 420
6. 有 6 位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排 3 人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高, 则不同的站法种数为( )
A. 90 B. 120 C. 270
7. 已知 是定义在 上连续可导函数,其导函数为 ,若 ,且 ,则不等式 的解集为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 有两个不同的零点,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 将 4 个编号分别为 1,2,3,4 的小球放入 4 个编号分别为 1,2,3,4 的盒子中,下列说法正确的是 ( )
A. 共有 256 种放法
B. 若每个盒子都有小球, 则有 24 种放法
C. 若恰好有一个空盒,则有 144 种放法
D. 若每个盒内放一个小球,且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同,则有 24 种放法
10. 现将 9 把相同的椅子排成一排,5 位同学随机就座,则下列说法中正确的是( )
A. 4 把空椅子全部相邻的排法有 720 种
B. 4 把空椅子中只有 3 把相邻的排法有 1800 种
C. 4 把空椅子均不相邻的排法有 1800 种
D. 4 把空椅子中至多有 2 把相邻的排法有 9 000 种
11. 设函数 ，则()
A. 是 的极小值点
B. 当 时,
C. 当 时,
D. 当 时,
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 把 6 个不同的小球随机放入 3 个不同的盒子中,若每个盒子中至少有 1 个小球,则不同放法的种数为_____.
13. 某班联欢会原定 3 个节目已排成节目单, 开演前又增加了 2 个节目, 如果将这 2 个新节目插入到节目单中，那么不同的插法种数为_____.
14. 将 2 个“0”、2 个“1”和 2 个“2”这 6 个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成_____个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为 1 的所有自然数之和为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 从包含甲、乙 2 人的 8 人中选 4 人参加 4×100 米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法 (结果用数字作答)
(1)甲、乙 2 人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙 2 人都被选中且必须跑相邻两棒；
(3)甲、乙 2 人都被选中且不能相邻两棒；
(4)甲、乙 2 人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
16. (15 分) 已知函数 .
(1)设 是函数 的极值点,求 的值;
(2) 设 ,讨论函数 的单调性.
17. (15 分) 已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求函数 的极值；
(2)若 ，对于任意 ， ，当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
18.(17分)已知 .
(1)求证: ， 恒成立；
(2)若 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
19. (17 分) 已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称,证明:当 时, ;
(3) 如果 ,且 ,证明: .
参考答案
1.B 2.C 3.D 因为 ,所以 ,解得 ,
4.B 分三类:①既会英语又会法语的 2 人均未入选,有 种选法. ②既会英语又会法语的 2 人中有 1 人入选，分这个人当英语翻译和法语翻译两种情况，有 种选法. ③既会英语又会法语的 2 人均入选，分三种情况:2 人都当英语翻译；2 人都当法语翻译，一人当英语翻译，一人当法语翻译，有 种选法. 故共有 种不同的选法.
5.D当使用颜色为 3 种时,如图 区域同色， 区域同色，则不同的着色方法有 种; 当使用颜色为 4 种时, 区域同色且 区域不同色, 或 区域不同色且 区域同色,则不同的着色方法有 种当使用颜色为 5 种时, 各区域颜色均不相同, 则不同的着色方法有 A 种; 所以不同的着色方法共有 60 + 240 + 120 = 420 种.
6. A先给第 1 列选 2 人，从 6 人中选 2 人后，仪需把矮的放前排、 高的放后排，只有 1 种符合要求的排法，共 种选法，再给第 2 列从剩余 4 人中选 2 人， 同理也只有 1 种排法，共 种选法，最后剩余 2 人自动为第 3 列，设 1 种排法，即 ， 即总站法数为: .
7.D令 ,则 ,因为 ,则 ,所以 ,则 在区间 上单调递减,
又 ,由 ,得到 ,解得 , 故选: D.
8. 令 ，可得 ，则 ，即 .
令 ,则 ,当 时, ,
单调递减，当 时， 单调递增，易知 时，
,当 时, ,所以由 ,可得 ,即 ,所以 有两个不同的零点等价于关于 的方程 有两个不相等的正实数解,
即 解得 .
9. ABC 对于 A，每个小球有 4 种放法，所以共有 种放法，故 A 正确
对于 ，若每个盒子都有小球，则有 种放法，故 B 正确.
对于 ，先从 4 个小球中任选 2 个放入其中 1 个盒子中，有 种放法，再在剩下的 3 个盒子中任选 2 个放入剩下的 2 个小球,有 种放法,所以共有 种放法,故 C 正确.
对于 ,先从 4 个小球中任选 1 个,放入编号相同的盒子中,有 种放法,再将剩下的 3 个小球放入编号不同的盒子中,有 2 种放法,所以共有 种放法,故 错误.
10. AC 对于 A,将 4 把空椅子看成一个整体,则排法有 种,故 A 正确;
对于 ,先排 5 位同学,有 种排法,然后将 3 把相邻的空椅子看成一个整体,和另 1 把空椅子插入 5 位同学形成的 6 个空中,有 种排法,所以共有 种排法,故 B 错误;
对于 C，先排 5 位同学，有 种排法，然后将 4 把空椅子插入 5 位同学形成的 6 个空中，因为 4 把空椅子是一样的，所以有 种排法，所以共有 种排法，故 C 正确；
对于 D，至多有 2 把空椅子相邻，即都不相邻或者有 2 把相邻，由 C 的分析可知，4 把空椅子都不相邻有 1800 种排法,2 把空椅子相邻,另 2 把空椅子也相邻,且 4 把空椅子不都相邻,有 800 种排法,只有 2 把空椅子相邻,另 2 把空椅子不相邻,有 种排法,所以共有 1 种排法,故 D 错误.
11.对 ,因为函数 的定义域为 ,而 1) ,
易知当 时， ，当 或 时，
函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,故 是函数 的极小值点,正确:
对 ,当 时, ,所以 ,
而由上可知,函数 在 上单调递增,所以 ,错误;
对 ,当 时, ,而由上可知,函数 在 上单调递减,
所以 ,即 ,正确;
对 ,当 时,
,所以 ,正确;
故选: ACD.
12.540 解析 按照每个盒中的小球数进行分类. 将 6 个不同的小球分为 3 组,有三种情况:
① 按 4,1,1 分组,有 种放法; ② 按 3,2,1 分组,有 种放法;
③按 2,2,2 分组，有 种放法. 综上，不同放法的种数为 .
13. 解析 ,逐个插空法
14. 因为要构成自然数,所以第一位数只能是 1 和 2,故共有 个自然数.
第一位数为 1 共有 个自然数,第二位数排0,1,2,分别有 种排法;根据对称性,第 2 位至第 6 位.每位均可排0,1,2,且均分别有12,6,12种排法,(关键点)
所以第一位数为 1 的所有自然数之和的
15.(1)60 (2)180 (3)180 (4)210
16.(1) ,因为 ,得 ,经检验满足题意.
(2)因为 ，
则 ,
当 时, ,令 得 ,令 得 ,
函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
当 且 时, ,令令 得 ,令 得 ,
函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增
综上,当 时, 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
当 且 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
17. 解析 (1) 由题意得 的定义域为 ,
由曲线 在点 处的切线方程为 ,得 ,解得 ,(另解:也可利用 求解) 所以 .
令 ，得 或 . 当 或 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时,函数 取得极小值,为 ,
当 时，函数 取得极大值，为 .
(2)由 ，得 . 不等式 即 ，即
,(将双变量不等式化为两边运算结构相同的形式,构造函数解决问题)
因为对于任意 ,当 时,不等式恒成立,所以函数 在 上单调
递减. 令 ,则 在 上恒
成立,即 在 上恒成立,设 ,则
,当 时, ,所以 在 上单调递减,
故 ,所以 ,即实数 的取值范围为 710].
18. 解析 (1) 证明: 由 ,得 ,令 ,得 ,
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， 所以 ,即 恒成立.
(2) 由 ，得 ，因为 ，所以 ，即 ,即 ,令 ,则 ,
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，所以 ，即 ， 即 ，因此 在 上恒成立. 令 ,则 ,
若 ，则 ， 在 上单调递增，所以 ，故 ，符合题意； 若 ，令 ，得 ，当 时， 单调递减，当 时, 单调递增,所以 ,不符合题意. 综上,实数 的取值范围为 .
19. 解析 (1) 由题意得 的定义域为 .
令 ，得 ，令 ，得 ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2)证明:因为 的图象与 的图象关于直线 对称，所以 ，
构造函数 ,
则 ,由 ,得 , 则 ,所以 在 上单调递增,故 ,即当 时, .
(3)由(1)知 ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，
易知当 时, ,当 时, ,当 时, ,
画出函数 的大致图象,如图所示. 不妨设 ,由 ,得 ,构造函数 ,
则 ,
所以 在 上单调递增,故 ,即 在 上恒成立.
由 ,得 ,
所以 ,即 ,
又 ,且 在 上单调递减,所以 ,即 .
2026. 3.16
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法中正确的有( )
A. B. C. D.
2. 已知函数 ，则 ( )
A. -12 B. 12 C. -26 D. 26
3. 若 ,则 的值为( )
A. 45 B. 55 C. 120 D. 165
4. 某国际旅行社有 11 名对外翻译人员，其中有 5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又会法语，现从这 11 人中选出 4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则不同的选法种数为( )
A. 225 B. 185 C. 145 D. 110
5. 如图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色， 现有 5 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有( )种
A. 72 B. 48 C. 360 D. 420
6. 有 6 位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排 3 人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高, 则不同的站法种数为( )
A. 90 B. 120 C. 270
7. 已知 是定义在 上连续可导函数,其导函数为 ,若 ,且 ,则不等式 的解集为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 有两个不同的零点,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 将 4 个编号分别为 1,2,3,4 的小球放入 4 个编号分别为 1,2,3,4 的盒子中,下列说法正确的是 ( )
A. 共有 256 种放法
B. 若每个盒子都有小球, 则有 24 种放法
C. 若恰好有一个空盒,则有 144 种放法
D. 若每个盒内放一个小球,且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同,则有 24 种放法
10. 现将 9 把相同的椅子排成一排,5 位同学随机就座,则下列说法中正确的是( )
A. 4 把空椅子全部相邻的排法有 720 种
B. 4 把空椅子中只有 3 把相邻的排法有 1800 种
C. 4 把空椅子均不相邻的排法有 1800 种
D. 4 把空椅子中至多有 2 把相邻的排法有 9 000 种
11. 设函数 ，则()
A. 是 的极小值点
B. 当 时,
C. 当 时,
D. 当 时,
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 把 6 个不同的小球随机放入 3 个不同的盒子中,若每个盒子中至少有 1 个小球,则不同放法的种数为_____.
13. 某班联欢会原定 3 个节目已排成节目单, 开演前又增加了 2 个节目, 如果将这 2 个新节目插入到节目单中，那么不同的插法种数为_____.
14. 将 2 个“0”、2 个“1”和 2 个“2”这 6 个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成_____个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为 1 的所有自然数之和为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 从包含甲、乙 2 人的 8 人中选 4 人参加 4×100 米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法 (结果用数字作答)
(1)甲、乙 2 人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙 2 人都被选中且必须跑相邻两棒；
(3)甲、乙 2 人都被选中且不能相邻两棒；
(4)甲、乙 2 人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
16. (15 分) 已知函数 .
(1)设 是函数 的极值点,求 的值;
(2) 设 ,讨论函数 的单调性.
17. (15 分) 已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求函数 的极值；
(2)若 ，对于任意 ， ，当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
18.(17分)已知 .
(1)求证: ， 恒成立；
(2)若 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
19. (17 分) 已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称,证明:当 时, ;
(3) 如果 ,且 ,证明: .
参考答案
1.B 2.C 3.D 因为 ,所以 ,解得 ,
4.B 分三类:①既会英语又会法语的 2 人均未入选,有 种选法. ②既会英语又会法语的 2 人中有 1 人入选，分这个人当英语翻译和法语翻译两种情况，有 种选法. ③既会英语又会法语的 2 人均入选，分三种情况:2 人都当英语翻译；2 人都当法语翻译，一人当英语翻译，一人当法语翻译，有 种选法. 故共有 种不同的选法.
5.D当使用颜色为 3 种时,如图 区域同色， 区域同色，则不同的着色方法有 种; 当使用颜色为 4 种时, 区域同色且 区域不同色, 或 区域不同色且 区域同色,则不同的着色方法有 种当使用颜色为 5 种时, 各区域颜色均不相同, 则不同的着色方法有 A 种; 所以不同的着色方法共有 60 + 240 + 120 = 420 种.
6. A先给第 1 列选 2 人，从 6 人中选 2 人后，仪需把矮的放前排、 高的放后排，只有 1 种符合要求的排法，共 种选法，再给第 2 列从剩余 4 人中选 2 人， 同理也只有 1 种排法，共 种选法，最后剩余 2 人自动为第 3 列，设 1 种排法，即 ， 即总站法数为: .
7.D令 ,则 ,因为 ,则 ,所以 ,则 在区间 上单调递减,
又 ,由 ,得到 ,解得 , 故选: D.
8. 令 ，可得 ，则 ，即 .
令 ,则 ,当 时, ,
单调递减，当 时， 单调递增，易知 时，
,当 时, ,所以由 ,可得 ,即 ,所以 有两个不同的零点等价于关于 的方程 有两个不相等的正实数解,
即 解得 .
9. ABC 对于 A，每个小球有 4 种放法，所以共有 种放法，故 A 正确
对于 ，若每个盒子都有小球，则有 种放法，故 B 正确.
对于 ，先从 4 个小球中任选 2 个放入其中 1 个盒子中，有 种放法，再在剩下的 3 个盒子中任选 2 个放入剩下的 2 个小球,有 种放法,所以共有 种放法,故 C 正确.
对于 ,先从 4 个小球中任选 1 个,放入编号相同的盒子中,有 种放法,再将剩下的 3 个小球放入编号不同的盒子中,有 2 种放法,所以共有 种放法,故 错误.
10. AC 对于 A,将 4 把空椅子看成一个整体,则排法有 种,故 A 正确;
对于 ,先排 5 位同学,有 种排法,然后将 3 把相邻的空椅子看成一个整体,和另 1 把空椅子插入 5 位同学形成的 6 个空中,有 种排法,所以共有 种排法,故 B 错误;
对于 C，先排 5 位同学，有 种排法，然后将 4 把空椅子插入 5 位同学形成的 6 个空中，因为 4 把空椅子是一样的，所以有 种排法，所以共有 种排法，故 C 正确；
对于 D，至多有 2 把空椅子相邻，即都不相邻或者有 2 把相邻，由 C 的分析可知，4 把空椅子都不相邻有 1800 种排法,2 把空椅子相邻,另 2 把空椅子也相邻,且 4 把空椅子不都相邻,有 800 种排法,只有 2 把空椅子相邻,另 2 把空椅子不相邻,有 种排法,所以共有 1 种排法,故 D 错误.
11.对 ,因为函数 的定义域为 ,而 1) ,
易知当 时， ，当 或 时，
函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,故 是函数 的极小值点,正确:
对 ,当 时, ,所以 ,
而由上可知,函数 在 上单调递增,所以 ,错误;
对 ,当 时, ,而由上可知,函数 在 上单调递减,
所以 ,即 ,正确;
对 ,当 时,
,所以 ,正确;
故选: ACD.
12.540 解析 按照每个盒中的小球数进行分类. 将 6 个不同的小球分为 3 组,有三种情况:
① 按 4,1,1 分组,有 种放法; ② 按 3,2,1 分组,有 种放法;
③按 2,2,2 分组，有 种放法. 综上，不同放法的种数为 .
13. 解析 ,逐个插空法
14. 因为要构成自然数,所以第一位数只能是 1 和 2,故共有 个自然数.
第一位数为 1 共有 个自然数,第二位数排0,1,2,分别有 种排法;根据对称性,第 2 位至第 6 位.每位均可排0,1,2,且均分别有12,6,12种排法,(关键点)
所以第一位数为 1 的所有自然数之和的
15.(1)60 (2)180 (3)180 (4)210
16.(1) ,因为 ,得 ,经检验满足题意.
(2)因为 ，
则 ,
当 时, ,令 得 ,令 得 ,
函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
当 且 时, ,令令 得 ,令 得 ,
函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增
综上,当 时, 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
当 且 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
17. 解析 (1) 由题意得 的定义域为 ,
由曲线 在点 处的切线方程为 ,得 ,解得 ,(另解:也可利用 求解) 所以 .
令 ，得 或 . 当 或 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时,函数 取得极小值,为 ,
当 时，函数 取得极大值，为 .
(2)由 ，得 . 不等式 即 ，即
,(将双变量不等式化为两边运算结构相同的形式,构造函数解决问题)
因为对于任意 ,当 时,不等式恒成立,所以函数 在 上单调
递减. 令 ,则 在 上恒
成立,即 在 上恒成立,设 ,则
,当 时, ,所以 在 上单调递减,
故 ,所以 ,即实数 的取值范围为 710].
18. 解析 (1) 证明: 由 ,得 ,令 ,得 ,
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， 所以 ,即 恒成立.
(2) 由 ，得 ，因为 ，所以 ，即 ,即 ,令 ,则 ,
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，所以 ，即 ， 即 ，因此 在 上恒成立. 令 ,则 ,
若 ，则 ， 在 上单调递增，所以 ，故 ，符合题意； 若 ，令 ，得 ，当 时， 单调递减，当 时, 单调递增,所以 ,不符合题意. 综上,实数 的取值范围为 .
19. 解析 (1) 由题意得 的定义域为 .
令 ，得 ，令 ，得 ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2)证明:因为 的图象与 的图象关于直线 对称，所以 ，
构造函数 ,
则 ,由 ,得 , 则 ,所以 在 上单调递增,故 ,即当 时, .
(3)由(1)知 ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，
易知当 时, ,当 时, ,当 时, ,
画出函数 的大致图象,如图所示. 不妨设 ,由 ,得 ,构造函数 ,
则 ,
所以 在 上单调递增,故 ,即 在 上恒成立.
由 ,得 ,
所以 ,即 ,
又 ,且 在 上单调递减,所以 ,即 .
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